分野（数学）

数学において、体とは、加算、減算、乗算、除算が定義され、有理数における対応する演算と同様の振る舞いをする集合のことである。したがって、体は代数学、数論、その他多くの数学分野で広く用いられる基本的な代数構造である。

最もよく知られている体としては、有理数体、実数体、複素数体などが挙げられる。その他にも、有理関数体、代数関数体、代数数体、有限体、p進体など、多くの体が数学、特に数論や代数幾何学において広く用いられ、研究されている。

体論は、コンパスと定規だけでは角の三等分と円積算はできないことを証明している。体拡張の対称性を理解することに特化したガロア理論は、一般的な 5次方程式は根号では解けないというアーベル・ルフィニの定理の優雅な証明を提供している。

体は、いくつかの数学分野における基礎概念として機能します。これには、追加の構造を持つ体に基づく数学解析のさまざまな分野が含まれます。解析における基本的な定理は、実数体の構造的性質に依存します。代数的な目的において最も重要なのは、任意の体がベクトル空間のスカラーとして使用できることです。ベクトル空間は、線形代数の標準的な一般的な文脈です。有理数体の兄弟である数体は、数論で深く研究されています。関数体は、幾何学的対象の性質を記述するのに役立ちます。有限体は、誤り訂正符号や暗号に使用されます。

意味

非公式には、体とは、有理数や実数と同様に振る舞う加算演算 $a + b$ と乗算演算 $a \cdot b$ を持つ集合のことです。要件には、各要素 $aに対して$ 加法逆元 $-$ $a$ が存在し、各非ゼロ要素 $bに対して$ 乗法逆元 $b$ $-1$ が存在することが含まれます。これにより、いわゆる逆演算、減算 $a$ $-$ $b$ と除算 $a$ $/$ $b$ を、それぞれ $a$ $-$ $b$ $=$ $a$ $+ (-$ $b$ $)$ および $a$ $/$ $b$ $=$ $a$ $\cdot$ $b$ $-1$ と定義できます。多くの場合、積 $a$ $\cdot$ $b$ $は並置によってab$ のように表されます。

古典的な定義

形式的には、体とは、集合F $と$ 、加算と乗算と呼ばれる $F$ 上の2 つの二項演算から成り、以下の公理を満たすものです。^[¹^] $F$ 上の二項演算は写像 $F$ $\times$ $F$ $\to$ $F$ $であり、 F$ の要素の各順序対を $F$ の一意に決定された要素に写します。^[²^]^[³^] $a$ と $b$ の加算の結果は $a$ と $b$ の和と呼ばれ、 $a$ $+$ $b$ と表記されます。aと $b$ の乗算の結果は a と b の $積$ と $呼ば$ れ、 a ⋅ b と表記されます $。$ $これら$ $の$ $演算は、$ 体の公理と呼ばれる以下の性質を満たす必要があります。

これらの公理は、体 $Fのすべての$ 要素 $a$ 、 $b$ 、 $c$ に対して成り立つ必要がある。

加算と乗算の結合法則: $a + (b + c) = (a + b) + c$ 、および $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ 。
加法と乗法の交換法則: $a + b = b + a$ 、および $a \cdot b = b \cdot a$ 。
加法および乗法の単位元： $F$ には、 $a$ $+ 0 =$ $a$ および $a$ $\cdot 1 =$ $a$ となるような異なる要素 $0$ と $1$ が存在する。
加法逆元： $F$ のすべての $aに対して、$ $a$ $+ (-$ $a$ $) = 0$ となるような、 $F$ の要素 $-$ $a$ が存在し、これを $a$ の加法逆元と呼ぶ。
乗法逆元： $F$ のすべての $a \neq 0に対して、$ $a$ $-1$ または $1/$ $a$ で表される $F$ の要素が存在し、これは $a$ の乗法逆元と呼ばれ、 $a$ $\cdot$ $a$ $-1$ $= 1$ となります。
乗法の加算に対する分配法則: $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ 。

同等だがより簡潔な定義は、体とは、加算と乗算と呼ばれる2つの可換演算を持つ集合であり、

これは加法に関する群であり、加法単位元は $0$ と呼ばれる。
非ゼロ要素は乗法に関して群を形成する。
乗法は加算に対して分配法則が成り立つ。

さらに簡潔に言うと、体とは、 $0 \neq 1$ であり、すべての非ゼロ要素が乗法に関して可逆である可換環のことである。

代替定義

体は、異なるが同等な方法で定義することもできます。体は、4 つの二項演算 (加算、減算、乗算、除算) とそれらの必要な性質によって定義することもできます。ゼロによる除算は、定義により除外されます。^{[ 4 ]}存在量化子を避けるために、体は 2 つの二項演算 (加算と乗算)、2 つの単項演算 (それぞれ加法逆元と乗法逆元を生成する)、および 2 つの零項演算 (定数 $0$ と $1$ ) によって定義できます。これらの演算は、上記の条件に従います。存在量化子を避けることは、構成的数学と計算において重要です。^{[ 5 ]} $0 = 1 + (-1) および - a = (-1)$ aであるため、同じ 2 つの二項演算、1 つの単項演算 (乗法逆元)、および 2 つの (必ずしも異なるとは限らない) 定数1 $と$ −1 $によって$ 、 $同等$ $に体を定義することも$ $できます$ $。$ ^[^a^]

例

有理数

有理数は、分野が発展する以前から長い間広く用いられてきました。有理数は、 $a$ $/$ $b$ という分数で表すことができる数であり、 $a$ と $b$ は整数で、 $b$ $\neq 0$ です。このような分数の加法逆元は $-$ $a$ $/$ $b$ であり、乗法逆元 ( $a$ $\neq 0$ の場合) は $b$ $/$ $a$ です。これは次のように表すことができます。

\displaystyle {\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.}

抽象的に要求される体の公理は、有理数の標準的な性質に帰着します。たとえば、分配法則は次のように証明できます。^{[ 6 ]}

{\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}

実数と複素数

実数 $R は$ 、通常の加算と乗算の演算とともに、体を形成します。複素数 $C$ は式から構成されます。

a + bi 、

a

、 b は

実数

、

ここで $i$ は虚数単位、すなわち $i 2 = -1$ を満たす（非実数）数である。実数の加算と乗算は、このタイプの式がすべての体公理を満たし、したがって $C$ に対して成り立つように定義されている。例えば、分配法則は

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac - bd) + (bc + ad) i 。

これは明らかに上記と同じタイプの表現であり、したがって複素数は体を形成します。複素数は、平面上の点として幾何学的に表現できます。その点の直交座標は、複素数を記述する式の実数で与えられます。また、原点からこれらの点への矢印として表現することもできます。矢印の長さと、ある特定の方向で囲まれた角度によって指定されます。加算は、矢印を直感的に理解できる平行四辺形（直交座標の加算）に組み合わせることに対応し、乗算は、直感的ではないものの、矢印の回転と拡大縮小（角度の加算と長さの乗算）を組み合わせることに対応します。実数と複素数の体は、数学、物理学、工学、統計学、その他多くの科学分野で広く用いられています。

構成可能な数

古代において、いくつかの幾何学的問題は、コンパスと定規を用いて特定の数を作図できるかどうか（あるいはできないかどうか）に関係していました。例えば、ギリシャ人は、一般に、与えられた角をこの方法で三等分することは不可能であることを知りませんでした。これらの問題は、作図可能数の体を用いて解決できます。^{[ 7 ]}実数作図可能数は、定義により、点0と点1からコンパスと定規のみを用いて有限回のステップで作図できる線分の長さです。これらの数は、作図可能数に限定された実数の体演算を備えており、有理数の体 $Q$ を適切に含む体を形成します。図は、必ずしも $Q$ に含まれるとは限らない作図可能数の平方根の作図を示しています。図のラベルを使用して、線分 $AD$ 、 $DB$ 、および $AB$ 上の半円（中心は中点 $O$ ）を作図し、 $D$ を通る垂線と点 $Cで交わるようにします。$ $h={\sqrt {p}}$ $BDの$ 長さが1の場合、 $B$ から。

すべての実数が構成可能であるとは限らない。 $\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ は作図可能な数ではないため、コンパスと定規を使って体積が2 の立方体の辺の長さを作図することは不可能であり、これは古代ギリシャ人が提起したもう一つの問題である。

4つの要素を持つ場

有理数などの馴染みのある数体系に加えて、体には他にもあまり直接的ではない例があります。次の例は、 $O$ 、 $I$ 、 $A$ 、 $B$ と呼ばれる 4 つの要素からなる体です。表記法は、 $O が$ 加法単位元 (上記の公理では 0 と表記) の役割を担い、 $I が$ 乗法単位元 (上記の公理では $1 と$ 表記) となるように選択されています。体の公理は、さらに体論を用いるか、直接計算することで検証できます。たとえば、

A \cdot (B + A) = A \cdot I = A

となり、これは分配法則により

A \cdot B + A \cdot A = I + B = Aと等しくなります。

この体は有限体または4つの要素を持つガロア体と呼ばれ、 $F 4$ または $GF(4)$ と表記されます。^{[ 8 ]} $O$ と $I$ からなる部分集合(右側の表で赤で強調表示) も体であり、二元体 $F$ $2$ または $GF(2)$ として知られています。

基本的な概念

この節では、 $F は$ 任意の体を表し、 $a$ と $bは$ $F$ の任意の要素を表す。

定義の結果

$a \cdot 0 = 0$ および $- a = (-1) \cdot a$ となる。^{[ 9 ]}

$ab = 0$ の場合、 $a$ または $b は$ $0$ でなければなりません。なぜなら、 $a \neq 0$ の場合、 $b = (a -1 a) b = a -1 (ab) = a -1 \cdot 0 = 0$ となるからです。これは、すべての体が整域であることを意味します。

さらに、任意の要素 $a$ および $b$ に対して、以下の性質が成り立ちます。

-0 = 0

1 -1 = 1

-(- a) = a

(a -1) -1 = a

(a

\neq 0 の

場合)

(- a) \cdot b = a \cdot (- b) = -(a \cdot b)

体の加法群と乗法群

体 $Fの公理から、F は加法に関して$ アーベル群であることが導かれる。この群は体の加法群と呼ばれ、単に $Fと表記すると混乱を招く可能性があるため、$ $(F, +)$ と表記されることもある。

同様に、 $F$ の非零要素は乗法に関してアーベル群を形成し、これを乗法群と呼び、で表す。 $(F\smallsetminus \{0\},\cdot )$ または単に $F\smallsetminus \{0\}$ 、または $F \times$ 。

したがって、体は、加算と乗算という2つの演算を備えた集合 $F$ として定義でき、 $F$ は加算に関してアーベル群である。 $F\smallsetminus \{0\}$ は乗法に関してアーベル群であり（0 は加法の単位元）、乗法は加法に対して分配法則が成り立つ。^{[ b ]}したがって、群の一般的な事実を適用することで、体に関するいくつかの基本的な命題を得ることができる。例えば、加法逆元 $- a$ と乗法逆元 $a -1$ $はa$ によって一意に決定される。

$1 \neq 0$ という条件は、慣例により、単一の要素からなる自明な環を除外するために課せられている。実際、自明な環の非ゼロ要素（存在しない）は群を形成しない。なぜなら、群は少なくとも1つの要素を持たなければならないからである。^{[ c ]}

体の乗法群の有限部分群はすべて巡回群である（1の根§ 巡回群を参照）。

特性

$F$ の 2 つの要素の乗算に加えて、 $F$ の任意の要素 $a$ と正の整数 $nの積$ $n \cdot a$ $をn$ 重和として定義することも可能です。

a + a + ... + a

(これはF

の要素です。)

正の整数が存在しない場合、

n \cdot 1 = 0

、

すると、 $F の$ 特性は $0$ であると言われます。^{[ 11 ]}例えば、有理数体 $Q$ $は、正の整数n が$ ゼロではないため、特性 0 を持ちます。そうでなければ、この等式を満たす正の整数 $nが存在$ する場合、そのような最小の正の整数は素数であることが示されます。これは通常 $pで表され、その体の特性は$ $p$ であると言われます。例えば、体 $F$ $4 は$ (上記の加算表の表記では) $I$ $+$ $I$ $= O$ であるため、特性 $2 を$ 持ちます。

$F の$ 特性が $p$ である場合、すべての $a$ ∈ $F$ に対して $p \cdot a = 0 と$ なります。これは、

(a + b) p = a p + b p

、

二項式に現れる他のすべての二項係数は $p$ で割り切れるため、ここで $a$ $p$ $:=$ $a$ $\cdot$ $a$ $\cdot \dots \cdot$ $a$ ( $p$ 個の因子) は $p$ 乗、つまり要素 $aの$ $p$ 重積です。したがって、フロベニウス写像は

F \to F : x \mapsto x p

$これはF$ の加算(および乗算)と互換性があり、したがって体準同型である。 ^{[ 12 ]}この準同型の存在により、標数 $pの体は標数$ $0$ の体とはかなり異なるものとなる。

部分体と主体

体 $F$ の部分体 $Eは、$ $F$ の体演算に関して体となる $F$ の部分集合です。言い換えれば、 $Eは$ $1 を$ 含み、非零要素の加算、乗算、加法逆元、乗法逆元に関して閉じている $F$ の部分集合です。これは、 $1 ∊$ $Eであり、すべての$ $a$ $,$ $b$ $∊$ $E$ に対して $a$ $+$ $b$ と $a$ $\cdot$ $b$ の両方が $E$ に含まれ、すべての $a$ $\neq 0$ に対して $-$ $a$ と $1/$ $a$ の両方が $E$ $に$ 含まれることを意味します。

体準同型写像は $、$ $φ$ $($ $e$ $1$ $+$ $e$ $2$ $) =$ $φ ( e 1) + φ (e 2$ ) 、 φ $($ $e 1$ $e$ $2 ) =$ $φ$ $($ $e$ $1$ $)$ $φ (e 2)$ $、$ $および$ $φ$ $($ $1$ $E$ $)$ $= 1$ $Fを満たす$ $2 つの体間の$ $写像$ $φ$ : $E$ $\to$ $F$ です。ここで、 $e 1$ と $e 2$ $はE$ の任意の要素です。すべての体準同型写像は単射です。^{[ 13 ]} $φ$ が全射でもある場合、それは同型写像と呼ばれます(または、体 $E$ と $F$ は同型であると呼ばれます)。

体は、真の（つまり、厳密に小さい）部分体を持たない場合、素体と呼ばれます。任意の体 $F$ は素体を含みます。Fの標数が $p$ （素数）である場合、素体は以下で紹介する有限体 $F$ $p$ $と同型です。そうでない場合、$ 素体は $Q$ と同型です。^[¹⁴^]

有限体

有限体（ガロア体とも呼ばれる）は、有限個の要素を持つ体であり、その要素数は体の位数とも呼ばれます。上記の導入例 $F 4$ は、4 つの要素を持つ体です。その部分体 $F 2$ は最小の体です。なぜなら、定義により、体には少なくとも 2 つの異なる要素、 $0$ と $1 が$ 存在するからです。

素数位数の最も単純な有限体は、モジュラー演算を用いることで最も直接的にアクセスできます。固定された正の整数 $n$ に対して、「モジュロ $n$ 」演算とは、数値を扱うことを意味します。

Z / n Z = {0, 1, ..., n - 1}。

この集合の加算と乗算は、整数の集合 $Z$ $で該当する演算を実行し、 n$ で割って余りを取ることによって行われます。この構成により、n が素数である場合に限り、体が得られます。 $たとえば$ 、素数n = 2 を取ると、 $前述の$ 体 $F 2$ が得られます。n $= 4$ の場合、より一般的には、任意の合成数 $(つまり、厳密に小さい 2 つの自然数の積$ $n$ $=$ $r$ $\cdot$ $s$ として表せる任意の数 $n$ ) に対して、 $Z$ $/ n$ $Z は体ではありません。Z /$ $n$ Zでは $r$ $\cdot$ $s$ $= 0$ であるため、2 つの非ゼロ要素の積はゼロになります。これは、前述のように、 Z $/$ $n$ $Z$ $が$ $体にならない理由です。このようにして構成されたp$ 個の要素 ( $p$ $は$ $素数$ )を持つ体 $Z$ $/$ $p$ $Z$ $は$ $、$ 通常 $F$ $p$ と表記されます。

すべての有限体 $F は$ $q = p n$ 個の要素を持ち、 $p$ は素数で $n \geq 1$ である。この記述は、 $F を$ その素体上のベクトル空間と見なすことができるため成り立つ。このベクトル空間の次元は必然的に有限であり、 $n$ とすると、これは上記の記述を意味する。^{[ 15 ]}

$q = p n$ 個の要素を持つ体は、多項式の分割体として構成できる。

f (x) = x q - x

。

このような分割体は、多項式 $f が$ $q 個の$ 零点を持つ $F p$ の拡張です。これは、 $f$ の次数が $q$ であるため、 $f が$ 可能な限り多くの零点を持つことを意味します。q $= 2$ $2$ $=$ $4$ の場合、上記の乗算表を使用して場合ごとに確認すると、 $F$ $4$ の 4 つの要素すべてが方程式 $x$ $4$ $=$ $x$ を満たすため、それらは $f$ の零点です。対照的に、 $F$ $2$ では、 $f は$ 2 つの零点 (つまり $0$ と $1$ ) しか持たないため、このより小さな体では $f は$ 線形因子に分割されません。基本的な体論の概念をさらに詳しく説明すると、同じ位数の 2 つの有限体は同型であることが示されます。^[¹⁶^] $したがって、 q個の要素を持つ$ 有限体について、 $F$ $q$ または $GF($ $q$ $)$ と表記するのが慣例です。

歴史

歴史的に、体の概念は3つの代数分野、すなわち多項式方程式の解法、代数的整数論、および代数幾何学から生まれた。^{[ 17 ]}体の概念への第一歩は1770年にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって踏み出された。彼は、式中の3次多項式の零点 $x 1 、 x 2 、 x 3を入れ替えることで、$

(x 1 + ωx 2 + ω 2 x 3) 3

（ $ω$ は1の3乗根である）は2つの値しか与えない。このようにして、ラグランジュは、未知数 $xに関する3次方程式を$ $x³$ に関する2次方程式に還元することによって進む、シピオーネ・デル・フェロとフランソワ・ヴィエトの古典的な解法を概念的に説明した。^[¹⁸^] $4$ 次方程式に関する同様の観察と合わせて、ラグランジュは、最終的に体の概念と群の概念となったものを結びつけた。^[¹⁹^]ヴァンデルモンドも1770年に、そしてより詳細にはカール・フリードリヒ・ガウスは『算術研究』 （1801年）の中で、この方程式を研究した。

x p = 1

素数 $p$ に対して、そして現代の言葉で言えば、結果として得られる巡回ガロア群。ガウスは、 $p$ $= 2$ $2$ $k$ $+ 1の場合、$ 正 $p$ 角形を構成できることを推論した。ラグランジュの研究に基づいて、パオロ・ルフィーニは(1799) 5 次方程式(次数 $5$ の多項式方程式) は代数的に解くことができないと主張したが、彼の議論は不完全であった。これらのギャップは、1824 年にニールス・ヘンリック・アーベルによって埋められた。 ^[²⁰^]エヴァリスト・ガロアは、1832 年に、多項式方程式が代数的に解けるための必要十分条件を考案し、事実上、今日ガロア理論として知られるものを確立した。アーベルとガロアはどちらも、今日では代数的数体と呼ばれるものを扱っていたが、体や群の明示的な概念は考えていなかった。

1871年、リヒャルト・デデキントは、4つの算術演算に関して閉じている実数または複素数の集合に対して、ドイツ語の「 Körper 」という言葉を導入した。これは「身体」または「体」を意味し、（有機的に閉じた実体を示唆するためである）。英語の「field」という用語は、ムーア（1893年）によって導入された。^{[ 21 ]}

ここでいう「体」とは、実数または複素数の無限体系であって、それ自体で閉じており、かつ完全な体系であり、これらの数の任意の2つの加算、減算、乗算、除算によって、再びその体系の数が得られるような体系を意味する。

—リチャード・デデキント、1871年^{[ 22 ]}

1881年、レオポルド・クロネッカーは、彼が「有理性の領域」と呼んだものを定義した。これは、現代の用語では有理分数の体である。クロネッカーの概念は、すべての代数的数の体（これはデデキントの意味での体である）を網羅するものではなかったが、一方で、体の要素の性質について特定の仮定を置かなかった点で、デデキントの概念よりも抽象的であった。クロネッカーは、 $Q (π)$ のような体を、有理関数体 $Q (X)として抽象的に解釈した。これ以前には、1844年の$ ジョセフ・リウヴィルの研究以来、超越数の例は知られていたが、シャルル・エルミート（1873年）とフェルディナント・フォン・リンデマン（1882年）がそれぞれ $e$ と $π$ の超越性を証明するまで、超越数は知られていなかった。^{[ 23 ]}

抽象体の最初の明確な定義はウェーバー (1893)によるものである。^{[ 24 ]}特に、ハインリヒ・マルティン・ウェーバーの概念には体 $F p$ が含まれていた。ジュゼッペ・ヴェロネーゼ(1891) は形式的冪級数の体を研究し、それがヘンゼル (1904)による $p$ 進数の体導入につながった。シュタイニッツ (1910) は、それまで蓄積された抽象体理論の知識を統合した。彼は体の性質を公理的に研究し、多くの重要な体理論の概念を定義した。ガロア理論、体の構成、および基本概念のセクションで言及されている定理の大部分は、シュタイニッツの著作に見られる。アルティンとシュライアー (1927)は、体における順序の概念、ひいては解析の領域を純粋に代数的な性質に結びつけた。^{[ 25 ]}エミール・アルティンは1928年から1942年にかけてガロア理論を再発展させ、原始要素定理への依存を排除した。

フィールドの構築

リングからフィールドを構築する

可換環とは、加算と乗算演算を備え、乗法逆元 $a -1$ の存在を除いて、体のすべての公理を満たす集合である。^{[ 26 ]}例えば、整数 $Z は$ 可換環を形成するが、体ではない。整数 $nの$ 逆数は、 $n$ $= \pm1$ でない限り、それ自体は整数ではない。

代数構造の階層において、体は、すべての非零元が単元である（つまり、すべての元が可逆である）可換環 $Rとして特徴づけられる。同様に、体は、正確に 2 つの異なる$ イデアル $(0)$ と $R$ を持つ可換環である。体は、 $(0)$ が唯一の素イデアルである可換環でもある。

可換環 $Rが与えられたとき、$ $R$ に関連する体を構成する方法は 2 つあります。つまり、すべての非零元が可逆になるように $R を$ 変更する方法は 2 つあります。分数体を作る方法と、剰余体を作る方法です。Z の分数体は有理数体 $Q$ であり、 $Z$ の剰余体 $は$ 有限体 $F$ $p$ です。

分数の体

整数領域 $R$ が与えられたとき、その分数体 $Q (R)$ は、整数からQが構成されるのとまったく同じように、 $R$ の 2 つの要素の分数から構成されます。より正確には、 $Q$ $($ $R$ $)の要素は、$ $a$ と $b が$ $R$ の要素であり、 $b$ $\neq 0 で$ あるような分数 $a$ $/$ $b$ です。2 つの分数 $a$ $/$ $b$ と $c$ $/$ $dが等しいのは、$ $ad$ $=$ $bc$ の場合のみです。分数に対する演算は、有理数の場合とまったく同じように機能します。たとえば、

\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}

環が整域である場合、分数の集合が体を形成することを示すのは簡単である。^{[ 27 ]}

体（または整域） $F上の$ 有理分数の体 $F (x)は、$ 多項式環 $F$ $[$ $x$ $]$ の分数の体である。形式的ローラン級数の体 $F$ $(($ $x$ $))は、$

\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}x^{i}\ (k\in \mathbb {Z} ,a_{i}\in F)

体 $F上の体 F は、$ 形式的冪級数( $k$ $\geq 0$ )の環 $F [[x]]$ の分数体です。任意のローラン級数は、冪級数を $x$ の冪で割った分数であるため(任意の冪級数とは異なり)、この状況では分数の表現はそれほど重要ではありません。

残余場

$R を体へ$ 単射的に埋め込む分数体に加えて、可換環 $R$ から体 $Fへの$ 全射写像によって体を得ることもできる。このようにして得られる体はすべて商体 $R$ $/$ $m$ であり、 $mは$ $R$ の極大イデアルである。R $が極大イデアル$ $m$ を 1 つだけ持つ場合、この体は $R$ の剰余体と呼ばれる。^[²⁸^]

体 $E$ 上の多項式環 $R$ $=$ $E$ $[$ $X$ $]において、$ 単一の多項式 $f$ によって生成されるイデアルは、 $fが$ $E$ において既約である場合、すなわち、 $f が$ $E$ $[$ $X$ $]における$ 次数が低い2 つの多項式の積として表せない場合に限り、最大となる。これにより、体が得られる。

K = E [X] / (f (X))

この体 $K$ には、次の式を満たす要素 $x$ (すなわち $X$ の剰余類) が含まれています。

f (x) = 0

。

例えば、 $Cは$ $R$ から虚数単位記号 $i$ を付加することによって得られ、 $f$ $($ $i$ $) = 0$ を満たします。ここで $f$ $($ $X$ $) =$ $X$ $2$ $+ 1$ です。さらに、 $fは$ $R$ 上で既約であるため、多項式 $f$ $($ $X$ $) ∊$ $R$ $[$ $X$ $]を$ $f$ $($ $i$ $)$ に写像すると同型写像が得られます。

\mathbf {R} [X]{\big /}\left(X^{2}+1\right)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbf {C} .

より大きなフィールドの中にフィールドを構築する

与えられたより大きなコンテナフィールド内にフィールドを構築できます。フィールド $Eと、$ $E$ を部分フィールドとして含むフィールド $F$ が与えられたとします。Fの $任意の要素$ $xに対して、$ $E$ と $x$ を含む $F$ の最小の部分フィールドが存在し、これを $x$ によって生成されるFの部分フィールドと呼び、 $E$ $($ $x$ $)$ と表記します。^[²⁹^] $Eから$ $E$ $($ $x$ $)$ への移行は、要素を $E$ に隣接させることで表されます。より一般的には、部分集合 $S$ $\subset$ $F$ $に対して、 E$ と $S$ を含む $F$ の最小部分フィールドが存在し、 $E$ $($ $S$ $)$ と表記します。

ある体 $F$ の2 つの部分体 $E$ と $E$ $'$ の合成体とは、 $E$ と $E$ $'$ の両方を含む $F$ の最小の部分体のことである。この合成体を用いて、特定の性質を満たす $F$ の最大の部分体、例えば、後述するように $E上の代数体である$ $F$ の最大の部分体を構成することができる。^[^d^]

分野拡張

$部分体E \subset F$ の概念は、 $Fが$ $Eの$ 体拡大(または単に拡大)であると考えることによって、反対の観点からも考えることができ、それは次のように表される。

F / E

、

そして「 $F$ over $E$ 」と読みます。

体拡張の基本的なデータとして、その次数 $[F : E] 、つまり$ $E$ ベクトル空間としての $F$ の次元があります。これは式^[³⁰^{]を満たします。}

[G : E] = [G : F] [F : E]

。

次数が有限である拡張は、有限拡張と呼ばれる。拡張 $C / R$ と $F 4 / F 2$ は次数が $2$ であるのに対し、 $R / Q$ は無限拡張である。

代数的拡張

$体拡大F / E$ の研究において重要な概念は代数的要素である。要素 $x \in F$ は、 $E$ の係数を持つ多項式の根である場合、すなわち多項式方程式を満たす場合に、 $E$ 上の代数的要素である。

e n x n + e n -1 x n -1 + \dots + e 1 x + e 0 = 0

、

ここで $、e n, ..., e 0$ $はE$ に属し、 $e n \neq 0 で$ ある。例えば、 $C$ の虚数単位 $iは$ $R$ 上で代数的であり、 $Q$ 上でも代数的である。なぜなら、次の式を満たすからである。

i 2 + 1 = 0

。

$Fのすべての要素が$ $E$ 上の代数的であるような体拡大を代数拡大と呼ぶ。上記の乗法公式からわかるように、有限拡大は必ず代数的である。^{[ 31 ]}

上記のように、要素 $x$ によって生成される部分体 $E (x)は、$ $x$ が代数的要素である場合に限り、 $E$ の代数的拡大体となります。つまり、 $xが代数的要素であれば、$ $E$ $($ $x$ $)$ の他のすべての要素も必然的に代数的要素となります。さらに、拡大体 $E$ $($ $x$ $) /$ $E$ の次数、すなわち $E$ -ベクトル空間としての $E$ $($ $x$ $)の次元は、上記のように$ $x を$ 含む多項式方程式が存在する最小次数 $nに等しくなります。この次数が$ $n$ の場合、 $E$ $($ $x$ $)$ の要素は次の形式になります。

\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k},\ \ a_{k}\in E.

例えば、ガウス有理数の体 $Q (i)は、$ $a$ と $b$ の両方が有理数である $a$ $+$ $bi$ の形のすべての数からなる $C$ の部分体です。a $+$ $bi$ $+$ $ci$ $2は$ $a$ $-$ $c +$ $bi$ に単純化できるため、 $i$ $2の$ $形$ (およびより高い指数についても同様) の被加数はここでは考慮する必要はありませ $ん$ 。

超越の基盤

上述の有理分数の体 $E (X) （$ $X$ は不定元）は、 $Eの係数を持つ多項式方程式で零点が$ $X$ となるものは存在しないため、 $E$ の代数的拡張ではありません。X のような代数的ではない要素は超越的と呼ばれます。非公式に言えば、不定元 $X$ $とそのべき乗は$ $E$ の要素と相互作用しません。同様の構成は、1 つの不定元だけでなく、複数の不定元を用いても行うことができます。

ここでも、前述の体拡張 $E (x) / E$ $が重要な例です。xが$ 代数的でない場合 (つまり、 $x が$ $E$ の係数を持つ多項式の根でない場合)、 $E$ $($ $x$ $)は$ $E$ $($ $X$ $)$ と同型になります。この同型は、有理分数で $xを$ $X$ に置き換えることによって得られます。

体 $F$ の部分集合 $S$ は、 $E上で$ 代数的に独立（多項式関係を満たさない）であり、かつ $Fが$ $E$ $($ $S$ $)$ の代数的拡大である場合に、超越基底となります。任意の体拡大 $F$ $/$ $E$ は超越基底を持ちます。^[³²^] $したがって、体拡大は、 E$ $($ $S$ $) /$ $E$ の形のもの（純粋に超越的な拡大）と代数的な拡大に分類できます。

閉鎖作業

体は、厳密にそれより大きい代数的拡大を持たない場合、または同等に、任意の多項式方程式が

f n x n + f n -1 x n -1 + \dots + f 1 x + f 0 = 0

、係数

f n 、 ...、 f 0 \in F 、 n > 0

、

解 $x ∊ F$ を持つ。^{[ 33 ]}代数学の基本定理により、 $C$ は代数的に閉じている、つまり、複素係数を持つ任意の多項式方程式は複素解を持つ。有理数と実数は、方程式が代数的に閉じていないため、代数的に閉じていない。

x 2 + 1 = 0

$有理数解や実数解は存在しない。Fを$ 含む体は、 $F$ 上で代数的であり（大まかに言えば、 $F$ に比べて大きすぎない）、かつ代数的に閉じている（すべての多項式方程式の解を含むのに十分な大きさである）場合、 $F$ の代数的閉包と呼ばれる。

上記より、 $Cは$ $R$ の代数閉包である。ある体 $F$ の代数閉包が $F$ の有限拡大であることは非常に特殊である。なぜなら、アルティン・シュライアーの定理により、この拡大の次数は必然的に $2$ であり、 $Fは$ $R$ と初等的に同値だからである。このような体は実閉体とも呼ばれる。

任意の体 $F$ は代数閉包を持ち、さらに (一意でない) 同型を除いて一意である。これは一般に代数閉包と呼ばれ、 F と表記される $。$ 例えば、 $Q$ の代数閉包 $Q$ は代数的数の体と呼ばれる。体 $F$ は、その構成に超フィルター補題(選択公理よりも弱い集合論的公理)を必要とするため、通常は暗黙的である。^[³⁴^]この点において、 $F$ $q$ $の代数閉包は例外的に単純である。それは、 F$ $q$ を含む有限体(位数 $q$ $n$ のもの) の和集合である。標数 $0$ の任意の代数閉体 $Fに対して、$ ローラン級数の体 $F$ $(($ $t$ $))$ の代数閉包は、 $t$ の根を隣接させることによって得られるピュイズー級数の体である。^[³⁵^]

追加構造を持つフィールド

場は数学をはじめとする様々な分野で遍在しているため、その概念は特定の数学分野のニーズに合わせて幾度も改良されてきた。

順序付きフィールド

体Fは、 $任意$ の 2 つの要素を比較でき、 x $\geq 0 かつ$ $y$ $\geq 0 のとき x + y \geq$ 0かつ $xy$ $\geq$ $0$ $が$ 成り立つ $場合$ $、$ 順序体と呼ばれます。例えば、実数は通常の順序 $\geq を$ 持つ順序体を形成します。アルティン・シュライアーの定理は、体が順序体であるのは、それが形式的に実体である場合のみであると述べており、これは任意の二次方程式が

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=0

唯一の解として $x 1 = x 2 = \dots = x n = 0$ を持つ。^{[ 36 ]}固定体 $F上のすべての可能な順序の集合は、$ $F$ 上の二次形式のWitt 環 $W($ $F$ $)$ から $Z$ への環準同型の集合と同型である。^[³⁷^]

アルキメデス体とは、各要素に対して有限の式が存在するような順序体である。

1 + 1 + \dots + 1

その値がその要素よりも大きい、つまり無限要素が存在しない。言い換えれば、この体には無限小（すべての有理数よりも小さい要素）が存在しない。あるいは、これと同等に、この体は $R$ の部分体と同型である。

順序付き体は、存在するはずのすべての上限、下限（デデキントカットを参照）、および極限が存在する場合にデデキント完全である。より厳密には、 $F$ の各有界部分集合は最小上限を持つ必要がある。任意の完全体は必然的にアルキメデス的である^[³⁸^]。なぜなら、アルキメデス的でない体には最大の無限小も最小の正の有理数も存在しないため、すべての要素がすべての無限小よりも大きい数列 $1/2、1/3、1/4、...$ には極限がないからである。

実数のすべての真部分体にもこのようなギャップが含まれているため、 $R$ は同型を除いて唯一の完全順序体である。^{[ 39 ]}微積分学におけるいくつかの基礎的な結果は、この実数の特徴付けから直接導かれる。

超実数 $R *$ は、アルキメデス的ではない順序体を形成します。これは、無限数と無限小数を含めることによって得られる実数の拡張です。これらは、それぞれ任意の実数よりも大きく、小さい数です。超実数は、非標準解析の基礎を形成します。

位相場

体の概念のもう一つの洗練形は位相体であり、集合 $Fは$ 位相空間であり、体のすべての演算 (加算、乗算、写像 $a \mapsto - a$ および $a \mapsto a -1$ ) は、その空間の位相に関して連続写像である。 ^{[ 40 ]}以下で議論するすべての体の位相は、計量、すなわち関数から誘導される。

d : F \times F \to R 、

これは、 $F$ の任意の 2 つの要素間の距離を測定するものです。

$F$ の完備化は、非公式に言えば、元の体 $Fに「隙間」があれば、それ$ $を$ 埋める別の体です。例えば、 $x$ $=$ $\sqrt2$ のような任意の無理数 $xは、有理数の体$ $Q$ における「隙間」です。つまり、x は $Q$ には含まれませんが、絶対値で与えられる距離で、x に任意に近い有理数が存在するということです。絶対値で定義される距離に対する $Q$ の完備化は、実数の体 $R$ であり、コーシー列による実数の構成は、本質的に、そのような隙間をすべて埋めるための新しい数を導入することから成り立っています。

体 $Q p$ $は数論やp$ 進解析で用いられる。代数閉包 $Q p$ $はQ p$ 上のノルムを拡張した一意のノルムを持つが、完全ではない。しかし、この代数閉包の完備化は代数的に閉じている。複素数と大まかに類似しているため、複素 $p$ 進数と呼ばれることもあり、 $C p$ と表記される。^{[ 41 ]}

地元の畑

以下の位相場は局所場と呼ばれます: ^{[ 42 ]}^{[ e ]}

$Q p$ の有限拡大体（標数ゼロの局所体）
$F p ((t))$ の有限拡大、 $F p$ 上のローラン級数の体(特性 $p$ の局所体)。

これら 2 種類の局所体にはいくつかの基本的な類似点があります。この関係では、要素 $p \in Q p$ と $t \in F p ((t)) ($ 一様化体と呼ばれる) は互いに対応します。この最初の現れは初等的なレベルにあります。両方の体の要素は、一様化体で $F p$ $の係数を持つべき級数として表現できます。(ただし、 Q p$ での加算は繰り上がりを使用して行われますが、 $F p ((t))$ ではそうではないため、これらの体は同型ではありません。) 次の事実は、この表面的な類似性がはるかに深いことを示しています。

$ほとんどすべてのQ$ $p$ に対して真である一次命題は、ほとんどすべての $F$ $p$ $(($ $t$ $))$ に対しても真である。この応用例として、 $Q$ $p$ における同次多項式の零点を記述するAx–Kochen の定理がある。
両分野の穏やかに分岐した拡張は、互いに一対一対応している。
$p ($ $Q$ $p$ 内) および $t$ ( $F$ $p$ $(($ $t$ $))$ 内) の任意の $p$ 乗根を隣接させることで、これらの体の (無限) 拡大体、すなわち完全体と呼ばれるものが得られる。驚くべきことに、これら 2 つの体のガロア群は同型であり、これがこれら 2 つの体の間の注目すべき類似性の最初の兆候である。^[⁴³^] $\operatorname {Gal} \left(\mathbf {Q} _{p}{\bigl (}p^{1/p^{\infty }}{\bigr )}\right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbf {F} _{p}((t)){\bigl (}t^{1/p^{\infty }}{\bigr )}\right).$

微分場

微分場とは、微分作用素 $D$ を備えた場であり、すなわち、 $\mathbf {D} (ab)=\mathbf {D} (a)b+a\mathbf {D} (b)$ 体のすべての要素 $a$ と $bに対して。$ ^{[ 44 ]} 例えば、体 $R (X)は、多項式上の標準的な微分演算子$ $D$ とともに微分体を形成します。これらの体は、線形微分方程式を扱うガロア理論の変種である微分ガロア理論の中心です。

ガロア理論

ガロア理論は、加算と乗算の算術演算における対称性を研究することによって、体の代数的拡大を研究する。この分野における重要な概念は、有限ガロア拡大 $F$ $/$ $E$ であり、これは定義上、分離可能かつ正規である。原始要素定理は、有限分離可能拡大は必然的に単純であり、すなわち次の形式であることを示している。

F = E [X] / f (X)

、

ここで、 $f$ は既約多項式である (上記参照)。^{[ 45 ]}このような拡張の場合、正規かつ分離可能であるということは、 $fのすべての零点が$ $F$ に含まれ、 $f$ は単純零点のみを持つことを意味する。後者の条件は、 $E の$ 特性が $0$ であれば常に満たされる。

有限ガロア拡大の場合、ガロア群 $Gal(F / E)は、$ $E$ 上で自明な $F$ の体自己同型群(すなわち、加法と乗法を保存し、 $Eの要素を自身に写像する$ 全単射 $σ$ $:$ $F$ $\to$ $F$ ) です。この群の重要性は、ガロア理論の基本定理に由来します。この定理は、 $Gal($ $F$ $/$ $E$ $)$ の部分群の集合と拡大 $F$ $/$ $E$ の中間拡大の集合との間に明示的な一対一対応を構築します。^[⁴⁶^]この対応によって、群論的性質は体に関する事実に変換されます。例えば、上記のガロア拡大のガロア群が可解でない場合 (アーベル群から構築できない場合)、 $f$ の零点は加法、乗法、根号、すなわち、を含む式で表現することはできません。 ${\sqrt[{n}]{~}}$ 例えば、対称群 $S n は$ $n \geq 5$ の場合、解くことができません。したがって、示されているように、次の多項式の零点は和、積、根号では表すことができません。後者の多項式については、この事実はアーベル・ルフィニの定理として知られています。

f (X) = X 5 - 4 X + 2

(および

E = Q

)、^{[ 47 ]}

f (X) = X n + a n -1 X n -1 + \dots + a 0

(ここで

f

は、いくつかの不定元

a

i

に対してE (a 0, ..., a n -1)

の多項式とみなされ、

E

は任意の体であり、

n

\geq 5

です)。

体のテンソル積は通常、体ではありません。例えば、次数 $nの有限拡大$ $F / E$ $は、 F$ 代数の同型が存在する場合に限りガロア拡大となります。

F \otimes E F ≅ F n

。

この事実は、代数幾何学的対象に適用可能なガロア理論の広範な拡張であるグロタンディークのガロア理論の始まりである。 ^{[ 48 ]}

場の不変量

体 $F$ の基本不変量には、特性と、その素体に対する $F$ の超越度が含まれます。後者は、素体上で代数的に独立な $Fの要素の最大数として定義されます。2 つの代数的に閉じた体$ $E$ と $F は$ 、これらの 2 つのデータが一致する場合に限り同型です。^[⁴⁹^]これは、同じ濃度と特性を持つ任意の2 つの非可算代数的に閉じた体が同型であることを意味します。たとえば、 $Q$ $p$ $、$ $C$ $p$ 、 $C$ は同型です (ただし、位相体としては同型ではありません)。

場のモデル理論

モデル理論（数理論理学の一分野）において、 2つの体 $E$ と $Fは、$ $E$ に対して真であるすべての数学的命題が $F$ に対しても真であり、かつその逆も成り立つ場合、基本的に同値であると呼ばれる。問題となる数学的命題は、一階述語論理式（ $0、1$ 、加算、乗算を含む）でなければならない $。n$ $> 0$ $（$ n $は$ 整数）の場合の典型的な例は次のようになる。

φ (E) = "

E

における

n

次多項式は、

E

に零点を持つ"

$すべてのn$ に対するそのような式の集合は、 $E$ が代数的に閉じていることを示している。レフシェッツ原理によれば、 $C$ $は標数 0 の任意の代数的に閉じた体F$ と初等的に同値である。さらに、任意の固定命題 $φ が$ $C$ で成り立つのは、十分高い標数の任意の代数的に閉じた体で成り立つ場合かつその場合に限る。^{[ 50 ]}

$U が$ 集合 $I上の$ 超フィルターであり、 $F$ $i が$ $I$ のすべての $i$ に対して体である場合、 $U$ に関する $F$ $i$ の超積は体である。^[⁵¹^]これは次のように表される。

ulim i \to\infty F i

、

$なぜなら、それはいくつかの点で体F i$ の極限として振る舞うからである。Łośの定理によれば、有限個の $F i$ を除くすべてのF iに対して成り立つ任意の一階述語は、超積に対しても成り立つ。上記の文 $φ$ に適用すると、同型写像^{[ f ]が存在することがわかる。}

\operatorname {ulim} _{p\to \infty }{\overline {\mathbf {F} }}_{p}\cong \mathbf {C} .

上記のAx–Kochenの定理も、これと超積の同型性（どちらの場合もすべての素数 $p$ について）から導かれる。

ulim p Q p ≅ ulim p F p ((t))

。

さらに、モデル理論では、実閉体や指数体（指数関数 $exp : F \to F \times$ を備えた体）など、他のさまざまなタイプの体の論理的性質も研究しています。^{[ 52 ]}

絶対ガロア群

代数的に閉じていない（または分離的に閉じていない）体の場合、絶対ガロア群 $Gal(F)$ は根本的に重要です。上記で概説した有限ガロア拡大の場合を拡張すると、この群は $Fの$ すべての有限分離拡大を支配します。初等的な方法で、群 $Gal($ $F$ $q$ $)$ は、 $Z$ のプロ有限完備化であるプリューファー群であることが示されます。この記述は、 $Gal($ $F$ $q$ $)の唯一の代数的拡大は$ $n$ $> 0$ の体 $Gal($ $F$ $q$ $n$ $)$ であり、これらの有限拡大のガロア群は次のように与えられるという事実を包含しています。

Gal(F q n / F q) = Z / n Z

。

$p$ 進数体のガロア群 ( $Q p$ の有限拡大)についても、生成元と関係式による記述が知られています。^{[ 53 ]}

ガロア群やワイル群などの関連群の表現は、ラングランズ・プログラムなど、算術の多くの分野で基本的である。このような表現のコホモロジー的研究は、ガロア・コホモロジーを用いて行われる。^{[ 54 ]}例えば、古典的には中心単純 $F$ 代数の群として定義されるブラウアー群は、ガロア・コホモロジー群、すなわちとして再解釈することができる。

Br(F) = H 2 (F, G m)

。

K理論

ミルナーK理論は次のように定義される。

K_{n}^{M}(F)=F^{\times }\otimes \cdots \otimes F^{\times }/\left\langle x\otimes (1-x)\mid x\in F\smallsetminus \{0,1\}\right\rangle .

ウラジーミル・ヴォエヴォツキーが2000年頃に証明したノルム剰余同型定理は、同型写像を用いてこれをガロアコホモロジーと関連付けている。

K_{n}^{M}(F)/p=H^{n}(F,\mu _{l}^{\otimes n}).

代数的K理論は、係数が与えられた体である可逆行列の群と関連しています。例えば、可逆行列の行列式を取ると、同型写像 $K 1 (F) = F \times$ が得られます。松本定理によれば、 $K 2 (F)は$ $K 2 M (F)$ と一致します。次数が高くなると、K理論はミルナーK理論から乖離し、一般に計算が困難になります。

アプリケーション

線形代数と可換代数

$a \neq 0$ の場合、方程式は

ax = b

体 $F$ において一意解 $x$ を持つ。 $x=a^{-1}b.$ 体の定義のこの直接的な帰結は、線形代数において基本的である。例えば、ガウス消去法や任意のベクトル空間が基底を持つことの証明に不可欠な要素である。^{[ 55 ]}

加群理論（体ではなく環上のベクトル空間の類似概念）は、上記の方程式が複数の解を持つ場合もあれば、解を持たない場合もあるため、はるかに複雑です。特に、環上の線形方程式系は、体の場合よりも解くのがはるかに難しく、整数環 $Z$ のような非常に単純な場合でさえ同様です。

有限体：暗号理論と符号理論

楕円曲線 $E （赤色）上の3点$ $P$ 、 $Q$ 、 $R$ の和は、これらの点を通る直線（青色）が存在する場合、ゼロとなる。

広く用いられている暗号化ルーチンは、離散べき乗、すなわち計算

a n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a

(

n個の因数、

n \geq 1 の

整数)

（大きな）有限体 $F q$ では、逆演算である離散対数よりもはるかに効率的に実行できます。つまり、方程式の解 $nを決定することです。$

a n = b

。

楕円曲線暗号では、有限体における乗算は、楕円曲線上の点の加算、すなわち、次の形式の方程式の解の加算に置き換えられます。

y 2 = x 3 + ax + b

。

有限体は、符号理論や組み合わせ論でも用いられる。

幾何学：関数の場

適切な位相空間 $X上の$ 関数を体 $F$ に写像する場合、各点ごとに加算および乗算を行うことができます。例えば、2 つの関数の積は、定義域内でのそれらの値の積によって定義されます。

(f \cdot g)(x) = f (x) \cdot g (x)

。

これにより、これらの関数は $F$ 可換代数となる。

関数の体を持つためには、整域である関数の代数を考慮する必要があります。この場合、2つの関数の比、つまり次の形式の式が考えられます。

{\frac {f(x)}{g(x)}},

関数体と呼ばれる体を形成する。

これは主に 2 つのケースで発生します。X が複素多様体 X の場合 $。$ この $場合$ 、正則関数、つまり複素数値微分可能関数の代数を考えます。それらの比は、 $X$ 上の有理型関数の体を形成します。

代数多様体 $X$ (多項式方程式の共通零点として定義される幾何学的対象) の関数体は、正則関数の比、すなわち多様体上の多項式関数の比から構成されます。例えば、体 $F上の$ $n$ 次元ベクトル空間 $F nの関数体は$ $F$ $($ $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ $)$ です。これは、 $F$ 上の $n$ 個の不定元に関する多項式の比から構成される体です。X の関数体は、 $任意$ の開稠密部分多様体の関数体と同じです。言い換えれば、関数体は、 $X を$ (わずかに) 小さい部分多様体に置き換えても影響を受けません。

関数体は、多様体の同型と双有理同値の下で不変です。したがって、抽象代数多様体の研究や代数多様体の分類にとって重要なツールです。たとえば、 $F$ $($ $X$ $)$ の超越度に等しい次元は、双有理同値の下で不変です。^[⁵⁶^]曲線(つまり、次元が 1 の場合)では、関数体 $F$ $($ $X$ $)は$ $X$ に非常に近いです。X が滑らかで適切 (コンパクトであることの類似) であれば $、$ Xは、同型を除い $て$ 、その関数体から再構成できます。^[^g^]高次元では、関数体は $Xについてより少ない、しかし決定的な情報を記憶しています。高次元における関数体とその幾何学的意味の研究は、$ 双有理幾何学と呼ばれます。最小モデルプログラムは、所定の関数体を持つ最も単純な (ある厳密な意味で) 代数多様体を特定しようとします。

数論：大域的な体

代数的整数論と算術幾何学では、大域的体が注目されています。定義上、これらは数体（ $Qの有限拡大）または$ $F q$ 上の関数体（ $F q (t)の有限拡大）です。局所的体と同様に、これら 2 種類の体は、それぞれ標数が$ $0$ と正の標数であるにもかかわらず、いくつかの類似した特徴を共有しています。この関数体との類推は、多くの場合、まず関数体に関する問題を理解し、その後数体の場合を扱うことで、数学的な期待を形成するのに役立ちます。後者の方が難しい場合が多いです。たとえば、リーマンゼータ関数の零点に関するリーマン予想（2017 年現在未解決）は、ワイル予想（1974 年にピエールドリーニュによって証明）と並行していると考えることができます。

円分体は、最も集中的に研究されている数体の一つです。円分体は Q ( ζ n ) の形をしており、ζ n は原始的な n 乗根 $、すなわち ζ n =$ 1 $かつ 0$ < $m$ < $n$ $に対して$ $ζ$ m $\neq$ $1$ $を$ $満たす$ 複素数 $ζ$ $です$ $。$ [ 57 $]$ n^が^正則^素数 $で$ ある場合、クンマーは円分体を用いてフェルマーの最終定理を証明しました。この定理は、方程式に有理数の非ゼロ解が存在しないことを主張しています。

x n + y n = z n

。

局所体は大域体の完備化である。オストロフスキーの定理は、大域体 $Q$ の完備化は局所体 $Q p$ と $R$ のみであることを主張している。大域体における算術の問題の研究は、対応する問題を局所的に調べることで行われる場合がある。この手法は局所-大域原理と呼ばれる。例えば、ハッセ-ミンコフスキーの定理は、二次方程式の有理解を求める問題を、 $R$ と $Q p$ におけるこれらの方程式を解くことに帰着させ、その解は容易に記述できる。^{[ 58 ]}

局所体とは異なり、大域体のガロア群は知られていない。逆ガロア理論は、任意の有限群が、ある数体 $F$ のガロア群 $Gal(F / Q)$ であるかどうかという（未解決の）問題を研究している。^[⁵⁹^]クラス体理論は、アーベル拡大、すなわちアーベルガロア群を持つ拡大、あるいは同等に大域体のアーベル化されたガロア群を記述する。古典的な定理であるクロネッカー・ウェーバーの定理は、 $Q$ の最大アーベル $Q$ $ab$ 拡大を記述する。それは体である。

Q (ζ n, n \geq 2)

1 の原始 $n$ 乗根をすべて隣接させることによって得られる。クロネッカーの青春の夢は、一般の数体 $Fの$ $F ab$ の同様に明示的な記述を求めている。虚数二次体の場合、 $F=\mathbf {Q} ({\sqrt {-d}})$ $d > 0 の$ 場合、複素乗法理論では楕円曲線を用いて $F ab$ を記述します。一般的な数体については、そのような明示的な記述は知られていません。

注記

↑定数の一部と加法逆元を表すために記号「 $- 」を先験的に二重に使用することは、この後者の条件によって正当化されます。$
↑同様に、体とは、 $⟨$ $2, 2, 1$ $, 1$ $, 0, 0$ $⟩$ 型の代数構造 $⟨ F , +, \cdot, -, -1$ , 0, 1⟩ であり、 $0$ $-1$ は定義されておらず、 $⟨$ $F$ $, +, -, 0$ $⟩$ および $\left\langle F\smallsetminus \{0\},\cdot ,{}^{-1}\right\rangle$ はアーベル群であり、 $\cdotは$ $+$ に対して分配法則が成り立つ。^{[ 10 ]}
↑この慣習には他にも理由があり、それらは一般的に技術的なものです。
↑ $その他の例としては、 F$ 内の最大非分岐拡張または最大アーベル拡張が挙げられます。
↑一部の著者は、体 $R$ と $C を$ 局所体とみなしています。一方、アルキメデス局所体とも呼ばれるこれら 2 つの体は、ここで考察する局所体とはほとんど類似点がなく、カッセルズ (1986、p. vi) はそれらを「完全に異常」と呼んでいます。
↑ $C$ と $ulim$ $p$ $F$ $p は$ どちらも、Łoś の定理により代数的に閉じている。同じ理由で、どちらも標数がゼロである。最後に、どちらも非可算集合であるため、同型である。
↑より正確には、代数的に閉じた体 $F上の滑らかな固有代数曲線と$ $F$ $($ $T$ $)$ の有限体拡大の間にはカテゴリーの同値性がある。

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外部リンク

[6] 定数の一部と加法逆元を表すために記号「 $- 」を先験的に二重に使用することは、この後者の条件によって正当化されます。$

[12] 同様に、体とは、 $⟨$ $2, 2, 1$ $, 1$ $, 0, 0$ $⟩$ 型の代数構造 $⟨ F , +, \cdot, -, -1$ , 0, 1⟩ であり、 $0$ $-1$ は定義されておらず、 $⟨$ $F$ $, +, -, 0$ $⟩$ および $\left\langle F\smallsetminus \{0\},\cdot ,{}^{-1}\right\rangle$ はアーベル群であり、 $\cdotは$ $+$ に対して分配法則が成り立つ。^{[ 10 ]}

[13] この慣習には他にも理由があり、それらは一般的に技術的なものです。

[33] $その他の例としては、 F$ 内の最大非分岐拡張または最大アーベル拡張が挙げられます。

[47] 一部の著者は、体 $R$ と $C を$ 局所体とみなしています。一方、アルキメデス局所体とも呼ばれるこれら 2 つの体は、ここで考察する局所体とはほとんど類似点がなく、カッセルズ (1986、p. vi) はそれらを「完全に異常」と呼んでいます。

[57] $C$ と $ulim$ $p$ $F$ $p は$ どちらも、Łoś の定理により代数的に閉じている。同じ理由で、どちらも標数がゼロである。最後に、どちらも非可算集合であるため、同型である。

[63] より正確には、代数的に閉じた体 $F上の滑らかな固有代数曲線と$ $F$ $($ $T$ $)$ の有限体拡大の間にはカテゴリーの同値性がある。

[1] Beachy & Blair (2006) 、定義 4.1.1、p. 181

[2] フレイリー (1976) 、p. 10

[3] マッコイ (1968) 、p. 16

[4] クラーク（1984）、第3章

[5] Mines、Richman & Ruitenburg (1988) 、§II.2。Heyting fieldも参照。

[7] Beachy & Blair (2006) 、p. 120、第3章

[8] アルティン（1991）、第13.4章

[9] Lidl & Niederreiter (2008) 、例 1.62

[10] Beachy & Blair (2006) 、p. 120、第3章

[11] ウォレス (1998)、Th. 2

[14] アダムソン（2007）、§I.2、p.10

[15] エスコフィエ (2012) 、14.4.2

[16] アダムソン（2007）、§I.3

[17] アダムソン（2007）、17ページ、定理3.2

[18] Lidl & Niederreiter (2008) 、補題 2.1、定理 2.2

[19] Lidl & Niederreiter (2008) 、定理 1.2.5

[20] クライナー（2007）、p.63

[21] キアナン（1971）、50ページ

[22] ブルバキ（1994）、75-76頁

[23] コリー（2004）、p.24

[24] 「数学用語の最も古い使用例（F）」

[25] ディリクレ（1871年）、42ページ、クライナー（2007年）による翻訳、66ページ

[26] ブルバキ（1994）、p.81

[27] Corry (2004) 、p. 33。Fricke & Weber (1924)も参照。

[28] ブルバキ（1994）、92ページ

[29] ラング（2002）、§II.1

[30] アルティン（1991）、§10.6

[31] アイゼンバッド（1995）、60ページ

[32] ジェイコブソン（2009）、p.213

[34] Artin (1991) 、定理 13.3.4

[35] アルティン（1991）、系13.3.6

[36] ブルバキ (1988) 、第 V 章、§14、No. 2、定理 1

[37] アルティン（1991）、§13.9

[38] バナシェフスキー (1992) . Mathoverflow の投稿

[39] リベンボイム（1999）、186ページ、§7.1

[40] ブルバキ (1988) 、第 VI 章、§2.3、系 1

[41] ローレンツ (2008) 、§22、定理 1

[42] プレステル（1984）、命題1.22

[43] Prestel (1984) 、定理 1.23

[44] ワーナー（1989）、第14章

[45] グヴェア（1997）、§5.7

[46] セール（1979）

[48] ショルツェ (2014)

[49] ファン・デル・プット&シンガー (2003) 、§1

[50] Lang (2002) 、定理 V.4.6

[51] ラング（2002）、§VI.1

[52] Lang (2002) 、例 VI.2.6

[53] ボルスーとジャネリゼ (2001)。「エタール基本グループ」も参照してください。

[54] Gouvêa (2012) 、定理 6.4.8

[55] マーカー、メスマー、ピレイ（2006）、系1.2

[56] Schoutens (2002) 、§2

[58] クールマン (2000)

[59] ヤンセン＆ウィングバーグ（1982）

[60] セール（2002）

[61] アルティン（1991）、§3.3

[62] アイゼンバッド (1995) 、§13、定理 A

[64] ワシントン（1997年）

[65] セール（1996）、第4章

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[67] おっぱい (1957)

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