双対性（数学）

数学において、双対性は概念、定理、または数学的構造を他の概念、定理、または構造に1 対 1で変換します。多くの場合 (常にではありませんが)反転演算によって行われます。つまり、 Aの双対がBであれば、 Bの双対はAです。その他の場合には、双対の双対 (二重双対または二重双対) は、必ずしも元の双対 (主双対とも呼ばれる) と同一ではありません。このような反転には不動点があることがあり、その場合Aの双対はA自体になります。たとえば、射影幾何学の標準的な双対性では、デザルグの定理は自己双対です。

数学の文脈では、双対性は多くの意味を持っています。^[1]それは「（現代の）数学において非常に普及した重要な概念」^[2]であり、「数学のほぼすべての分野に現れる重要な一般的なテーマ」^{[3]であると説明されています。}

2つのタイプのオブジェクト間の多くの数学的な双対性は、あるタイプのオブジェクトと別のタイプのオブジェクトからいくつかのスカラー族への双線型関数のペアリングに対応します。たとえば、線型代数の双対性は、ベクトル空間のペアからスカラーへの双線型写像に対応し、分布と関連するテスト関数間の双対性は、分布をテスト関数に対して積分するペアリングに対応し、ポアンカレ双対性は、同様に、与えられた多様体のサブ多様体間のペアリングとして見られる交差数に対応します。^[4]

圏論の観点からは、少なくともベクトル空間の領域では、双対性は関手として見ることもできます。この関手は各空間にその双対空間を割り当て、引き戻し構成は各矢印f : V → Wにその双対f ^∗ : W ^∗ → V ^∗を割り当てます。

マイケル・アティヤの言葉を借りれば、

数学における双対性は定理ではなく、「原理」である。^[5]

次の例のリストは、多くの双対性の共通の特徴を示していますが、双対性の正確な意味はケースごとに異なる可能性があることも示しています。

固定集合Sの部分集合を考えると、単純な双対性が生じる。任意の部分集合A ⊆ Sに対して、補集合A ^{∁ [6]は}Aに含まれないSの要素すべてから構成される。これもまたSの部分集合である。補集合をとると、次のような性質が得られる。

• これを2回適用すると、元のセット、つまり( A ^∁ ) ^∁ = Aに戻ります。これは、補集合を取る操作が反転であると言われることによって表されます。
• 集合A ⊆ Bの包含は、反対方向の包含B ^∁ ⊆ A ^∁に変換されます。
• Sの2つの部分集合AとB が与えられたとき、B がA ^∁に含まれる場合のみ、AはB ^∁に含まれる。

この双対性は、位相幾何学においては、ある固定された位相空間Xの開集合と閉集合の間の双対性として現れる。すなわち、 Xの部分集合Uが閉集合であるためには、Xにおけるその補集合が開集合である場合に限る。このため、閉集合に関する多くの定理は、開集合に関する定理と双対である。たとえば、開集合の和集合はいずれも開集合であるため、双対的に、閉集合の積集合もいずれも閉集合である。^[7]集合の 内部とは、その集合に含まれる最大の開集合であり、集合の閉集合とは、その集合を含む最小の閉集合である。この双対性のため、任意の集合Uの内部の補集合は、Uの補集合の閉集合に等しい。

幾何学における双対性は、双対円錐構成によって提供される。平面上の点の集合（またはより一般的には 内の点）が与えられた場合、双対円錐は、図に示すように、内の すべての点に対して を満たす 点からなる集合として定義される。上記の集合の補集合とは異なり、双対円錐構成を2回適用すると元の集合 が返されるということは一般には真ではない。代わりに、はよりも大きい可能性がある を含む最小の円錐^[8]である。したがって、この双対性は上記のものよりも弱く、 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$$${\displaystyle x_{1}c_{1}+x_{2}c_{2}\geq 0}$$${\displaystyle (c_{1},c_{2})}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{**}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

• この操作を 2 回適用すると、おそらくより大きな集合が返されます。すべての に対して、は に含まれます。(一部の、つまり円錐に対しては、2 つは実際には等しくなります。)${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{**}}$${\displaystyle C}$

他の 2 つのプロパティは変更されずに引き継がれます。

• 包含関係が反対方向（）の包含関係に変わることは依然として真実である。${\displaystyle C\subseteq D}$${\displaystyle D^{*}\subseteq C^{*}}$
• 平面の2 つの部分集合とが与えられたとき、が に含まれる場合、かつ がに含まれる場合のみ。${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D^{*}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C^{*}}$

双対性の非常に重要な例は、線型代数において、任意のベクトル空間 Vにその双対ベクトル空間 V ^*を関連付けることによって生じます。その要素は線型関数 で、K はVが定義されている体です。双対円錐の 3 つの特性は、 の部分集合をベクトル空間に置き換え、そのような部分集合の包含を線型写像に 置き換えることによって、このタイプの双対性に引き継がれます。つまり、${\displaystyle \varphi :V\to K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• 双対ベクトル空間を2回取る操作を適用すると、別のベクトル空間V ^{**が得られます。常に}V → V ^**の写像が存在します。何らかのV、つまり有限次元ベクトル空間に対して、この写像は同型です。
• 線型写像V → Wは、反対方向の写像 ( W ^* → V ^* ) を生じます。
• 2つのベクトル空間VとWが与えられたとき、 VからW ^*への写像はWからV ^*への写像に対応する。

この双対性の特別な特徴は、VとV ^*が特定のオブジェクト、つまり有限次元ベクトル空間に対して同型であることです。しかし、これはある意味で幸運な偶然です。なぜなら、そのような同型性を与えるには、たとえばVの基底の選択など、特定の選択が必要だからです。これは、リースの表現定理を介して、V がヒルベルト空間である場合にも当てはまります。

これまでに説明したすべての双対性において、オブジェクトの双対はオブジェクト自体と同じ種類です。たとえば、ベクトル空間の双対は、やはりベクトル空間です。多くの双対性の記述は、この種類ではありません。代わりに、このような双対性は、一見異なる性質を持つオブジェクト間の密接な関係を明らかにします。このようなより一般的な双対性の 1 つの例は、ガロア理論からのものです。固定されたガロア拡大 K / Fに対して、ガロア群 Gal( K / E )を任意の中間体E (つまり、F ⊆ E ⊆ K ) に関連付けることができます。この群は、ガロア群G = Gal( K / F )の部分群です。逆に、このような任意の部分群H ⊆ Gには、 Hの元によって固定された元で構成される固定体K ^Hがあります。

上記と比較すると、この二重性には次の特徴があります。

• 中間体の拡張F ⊆ F ′は、反対方向のガロア群の包含を生じます：Gal( K / F ′) ⊆ Gal( K / F )。
• Gal( K / E )をEに、K ^HをHに関連付けると、互いに逆になります。これがガロア理論の基本定理の内容です。

poset P = ( X , ≤) (partially ordered set の略。つまり、順序付けの概念はあるが、2つの要素が必ずしも互いに対して順序付けられるわけではない集合) が与えられたとき、 dual poset P ^d = ( X , ≥)は同じ基底集合から成りますが、逆の関係になります。dual partial order のよく知られた例としては、

• 固定集合Sの部分集合など、任意の集合の集合上の部分集合関係⊂と⊃。これにより、上で述べた双対性の最初の例が生じます。
• 整数の割り算と倍数関係。
• 人類の集合における子孫と祖先の関係。

双対変換は、半順序集合Sの反転反自己同型 f、つまり順序​​を反転する反転f  : S → Sである。^{[9] [10]}いくつかの重要なケースでは、これらの単純な特性により、いくつかの単純な対称性を除いて、変換が一意に決定される。たとえば、f ₁、f ₂が2つの双対変換である場合、それらの合成はSの順序自己同型である。したがって、任意の2つの双対変換は順序自己同型によってのみ異なる。たとえば、冪集合S = 2 ^Rのすべての順序自己同型は、 Rの順列によって誘導される。

半順序Pに対して定義された概念は、双対順序集合P ^d上の双対概念に対応します。たとえば、Pの最小元はP ^dの最大元になります。最小性と最大性は、順序理論における双対概念です。その他の双対概念のペアには、上限と下限、下側集合と上側集合、イデアルとフィルターなどがあります。

位相幾何学では、開集合と閉集合は双対概念です。開集合の補集合は閉集合であり、その逆も同様です。マトロイド理論では、特定のマトロイドの独立集合に補完的な集合族自体が、双対マトロイドと呼ばれる別のマトロイドを形成します。

幾何学的または位相的なオブジェクトが同じタイプの他のオブジェクトに対応しているが、オブジェクトの特徴の次元が反転している、明確でありながら相互に関連する双対性が多数存在します。この古典的な例は、プラトン立体の双対性です。立方体と正八面体が双対を形成し、正十二面体と正二十面体が双対を形成し、正四面体が自己双対です。これらの多面体のいずれかの双対多面体は、主多面体の各面の中心点の凸包として形成できるため、双対の頂点は主の面と 1 対 1 で対応します。同様に、双対の各辺は主の辺に対応し、双対の各面は主の頂点に対応します。これらの対応は接続関係が保存されます。つまり、主多面体の 2 つの部分が互いに接する場合、双対多面体の対応する 2 つの部分も互いに接します。より一般的には、極反転の概念を使用すると、任意の凸多面体、またはより一般的には任意の凸多面体は、双対多面体または双対多面体に対応し、 n次元多面体のi次元の特徴は、双対多面体の( n − i − 1)次元の特徴に対応します。双対性の接続関係保存の性質は、主多面体または多面体と双対多面体の面格子が、それ自体が順序論的双対であるという事実に反映されています。多面体の双対性と順序論的双対性はどちらも反転です。つまり、任意の多面体の双対多面体の双対多面体は元の多面体であり、すべての順序関係を 2 回逆にすると元の順序に戻ります。異なる極性中心を選択すると、幾何学的に異なる双対多面体が生成されますが、組み合わせ構造はすべて同じになります。

任意の 3 次元多面体から、頂点と辺のグラフである平面グラフを形成できます。双対多面体には双対グラフがあり、これは多面体の各面に対して 1 つの頂点があり、隣接する 2 つの面ごとに 1 つの辺があるグラフです。平面グラフの双対性の同じ概念は、平面に描かれているが 3 次元多面体から来ていないグラフ、またはより一般的には、より高い種数の曲面上のグラフ埋め込みに一般化できます。つまり、埋め込み内の辺のサイクルによって制限される各領域内に 1 つの頂点を配置し、境界辺を共有する任意の 2 つの領域を接続する辺を描くことで、双対グラフを描くことができます。このタイプの重要な例は計算幾何学に由来します。平面上の点の任意の有限集合Sに対する双対性は、 SのDelaunay 三角形分割とSのVoronoi 図の間にあります。双対多面体や双対多面体と同様に、表面上のグラフの双対性は次元反転反転です。つまり、主埋め込みグラフの各頂点は双対埋め込みの領域に対応し、主の各辺は双対の辺と交差し、主の各領域は双対の頂点に対応します。双対グラフは、主グラフの埋め込み方法によって異なります。つまり、単一のグラフの異なる平面埋め込みは、異なる双対グラフにつながる可能性があります。マトロイド双対性は、平面グラフのグラフィックマトロイドの双対マトロイドが双対グラフのグラフィックマトロイドと同型であるという意味で、平面グラフの双対性の代数拡張です。

ある種の幾何学的双対性は最適化理論にも見られますが、次元を逆転させるものではありません。線形計画法は、実変数のシステム (ユークリッド空間 の点の座標)、線形制約のシステム (点が半空間にあることを指定し、これらの半空間の交差は凸多面体、つまり計画の実行可能領域である)、および線形関数 (最適化の対象) によって指定できます。すべての線形計画法には、同じ最適解を持つ双対問題がありますが、双対問題の変数は主問題の制約に対応し、その逆も同様です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

論理学では、関数または関係AとB は、 A (¬ x ) = ¬ B ( x )（¬ は論理否定）のときに双対であるとみなされます。このタイプの基本的な双対性は、古典論理における∃ および ∀量指定子の双対性です。これらが双対であるのは、古典論理において∃ x .¬ P ( x )と¬∀ x . P ( x )がすべての述語Pに対して同等であるためです。つまり、 Pが成立しないx が存在する場合、すべてのxに対してP が成立するというのは誤りです（ただし、その逆は構成的に成立しません）。この基本的な論理的双対性から、いくつかの他の双対性が導かれます。

• あるモデルにおいて、自由変数への代入によって真になる式がある場合、その式は充足可能であるとされます。自由変数へのすべての代入によって真になる式がある場合、その式は有効です。充足可能性と有効性は二重です。なぜなら、無効な式はまさにその否定が充足可能な式であり、充足不可能な式は否定が有効である式だからです。これは、量指定子がさまざまな解釈に及ぶ、前の項目の特殊なケースと見なすことができます。
• 古典論理では、∧演算子と∨演算子はこの意味で双対です。なぜなら、(¬ x ∧ ¬ y )と¬( x ∨ y )は同値だからです。つまり、古典論理のすべての定理には、同値の双対定理が存在するということです。 ド・モルガンの法則がその一例です。より一般的には、∧ (¬ x _i ) = ¬ ∨ x _iです。左側が真となるのは∀ i .¬ x _iの場合のみであり、右側が真となるのは ¬∃ i . x _iの場合のみです。
• 様相論理では、□ p は命題pが「必然的に」真であることを意味し、◊ pはpが「おそらく」真であることを意味します。様相論理のほとんどの解釈では、これら 2 つの演算子に二重の意味を割り当てています。たとえば、クリプキ意味論では、「p はおそらく真である」は「 pがWで真であるような世界Wが存在する」という意味であり、「p は必然的に真である」は「すべての世界Wについて、p はWで真である」という意味です。 □と◊の二重性は、 ∀と∃の類似した二重性から生じます。他の二重様相演算子も同様に動作します。たとえば、時相論理には、「将来のある時点で真になる」と「将来のすべての時点で真になる」を表す演算子があり、これらは同様に二重です。

他にも類似した二重性は以下から生じます。

• 集合論的な和集合と積集合は、集合補集合演算子^∁の下で双対です。つまり、A ^∁ ∩ B ^∁ = ( A ∪ B ) ^∁であり、より一般的には、⋂ A _α ^∁ = (⋃ A _α ) ^{∁ です}。これは、 ∀と∃の双対性から導かれます。つまり、要素xが⋂ A _α ^∁のメンバーとなるのは、∀ α .¬ x ∈ A _αの場合のみであり、要素x が(⋂ A _α ) ^∁のメンバーとなるのは、¬∃ α . x ∈ A _αの場合のみであるということです。

双対の双対は、文脈に応じて二重双対または二重双対と呼ばれ、多くの場合、元の双対（プライマルとも呼ばれる）と同一であり、双対性は反転です。この場合、二重双対は通常区別されず、代わりにプライマルと双対のみを参照します。たとえば、双対半集合の双対半集合は、逆の関係が反転によって定義されているため、まさに元の半集合です。

他の場合には、双対円錐は主円錐と同一ではありませんが、密接な関係があることがしばしばあります。たとえば、ある集合の双対円錐の双対円錐には主集合が含まれ (主集合を含む最小の円錐です)、主集合が円錐である場合にのみ等しくなります。

重要なケースはベクトル空間の場合で、主空間から二重双対への写像V → V ^**があり、これは「標準評価写像」として知られています。有限次元ベクトル空間の場合、これは同型ですが、これらは同一の空間ではなく、異なる集合です。圏論では、これは § 双対オブジェクトと、恒等関数から二重双対関数への「自然変換」によって一般化されます。ベクトル空間（代数的に考えると）の場合、これは常に単射です。双対空間 § 二重双対への単射を参照してください。これは、双対モジュールに代数的に一般化できます。標準評価写像は依然として存在しますが、常に単射であるとは限りません。単射である場合、これは捩れのないモジュールとして知られています。同型である場合、モジュールは反射的と呼ばれます。

位相ベクトル空間（ノルムベクトル空間を含む）の場合、位相双対という別の概念があり、代数双対V ^{*と区別するために}⁠ ⁠ と${\displaystyle V'}$表記されます。位相双対にはさまざまな位相が可能であり、それぞれが異なる双対空間⁠ ⁠を定義します。これらの場合、標準評価写像⁠ ⁠は一般に同型ではありません。同型である場合、これは（強い双対空間位相を持つ特定の局所凸ベクトル空間に対して）反射空間として知られています。 ${\displaystyle V''}$${\displaystyle V\to V''}$

他の場合には、ポントリャーギン双対性（局所コンパクトアーベル群は自然にその双対に同型である） のように、主群と双対群の関係を示すことは重要な結果である。

双対性のグループは、任意の数学的対象Xについて、 Xの構造に類似した構造を持つ、ある固定された対象Dへの射の集合Hom ( X , D )を与えることによって記述できます。これは、内部 Homと呼ばれることもあります。一般に、これはDの特定の選択に対してのみ真の双対性を生じ、その場合、X ^* = Hom ( X , D )はXの双対と呼ばれます。 Xから双対への写像、つまり双対の双対が常に存在します。 これは、何らかのx ∈ Xに、任意の写像f  : X → D (つまり、 Hom( X , D )の要素) に値f ( x )を関連付ける写像 を割り当てます。検討対象の具体的な双対性、および対象Xによって、この写像は同型である場合とそうでない場合があります。 $${\displaystyle X\to X^{**}:=(X^{*})^{*}=\operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (X,D),D).}$$

序論で述べた双対ベクトル空間の構成は 、そのような双対性の一例です。実際、射の集合、つまり線型写像は、それ自体でベクトル空間を形成します。上で述べた写像V → V ^**は常に単射です。これはVの次元が有限である場合に限り、射影的であり、したがって同型です。この事実は、基底を参照せずに有限次元ベクトル空間を特徴付けます。 $${\displaystyle V^{*}=\オペレーター名 {Hom} (V,K)}$$

ベクトル空間V は、 Vが有限次元である場合に限り、V ^∗に同型です。この場合、そのような同型は非退化双線型形式に等価です。 この場合、 V は内積空間と呼ばれます。たとえば、K が実数または複素数体である場合、任意の正定値双線型形式はそのような同型を生じます。リーマン幾何学では、V は多様体の接空間であるとされ、そのような正双線型形式はリーマン計量と呼ばれます。それらの目的は、角度と距離を測定することです。したがって、双対性は、この幾何学の分野の基礎となっています。内積空間の別の応用は、外積代数の要素間の対応を提供するホッジスターです。n次元ベクトル空間の場合、ホッジスター演算子はk形式を( n − k )形式にマップします。これを使用して、マクスウェル方程式を定式化できます。この形では、内積空間に固有の双対性によって磁場と電場の役割が交換されます。 $${\displaystyle \varphi :V\times V\to K}$$

いくつかの射影平面では、射影平面の各点を直線に、また射影平面の各直線を点に、入射角を保存しながら写像する幾何学的変換を見つけることが可能です。 ^[11]このような平面では、射影平面における双対性の一般原理が生じます。つまり、平面射影幾何学における任意の定理が与えられた場合、どこでも「点」と「直線」という用語を交換すると、新しい、同等に有効な定理が得られます。^{[12]簡単な例として、「2 つの点が、これらの点を通る直線である唯一の直線を決定する」という命題には、「2 つの直線が、これら 2 つの直線の}交点である唯一の点を決定する」という双対命題があります。その他の例については、双対定理を参照してください。

いくつかの平面（特に体平面）におけるこの現象の概念的な説明は、双対ベクトル空間によって提供される。実際、射影平面上の点は1次元の部分ベクトル空間^[13]に対応し、射影平面上の線は次元2の部分ベクトル空間に対応する。このような射影幾何学における双対性は、を満たす線型写像からなる の部分空間を1次元に割り当てることから生じる。線型代数の次元公式の結果として、この空間は2次元である、すなわち、 に関連付けられた射影平面上の線に対応する。 ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(V)=0}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$

（正定値）双線型形式は、 この射影平面と との同一視をもたらします。具体的には、双対性はその直交に割り当てられます。射影幾何学における双対性の明示的な公式は、この同一視によって生じます。 $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{3}x_{i}y_{i}}$$${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left\{w\in \mathbb {R} ^{3},\langle v,w\rangle =0{\text{ すべての }}v\in V\right\}} に対して$

位相ベクトル空間の領域では、双対を位相双対ベクトル空間に置き換えた同様の構成が存在する。位相双対空間にはいくつかの概念があり、それぞれが特定の双対性の概念を生み出す。その双対に標準的に同型である位相ベクトル空間は反射空間と呼ばれる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X''}$$${\displaystyle X\cong X''.}$$

例:

• 有限次元の場合と同様に、各ヒルベルト空間 H上でその内積 ⟨⋅, ⋅⟩ はリース表現定理により全単射となる写像を定義します。系として、すべてのヒルベルト空間は反射的バナッハ空間です。$${\displaystyle H\to H^{*},v\mapsto (w\mapsto \langle w,v\rangle ),}$$
• L ^p空間の双対ノルム空間はL ^qであり、ここで1/ p + 1/ q = 1 ( 1 ≤ p < ∞ )ですが、 L ^∞の双対はL ¹よりも大きくなります。したがって、L ^{1 は}反射的ではありません。
• 超関数は、適切な関数空間上の線型関数である。超関数は偏微分方程式(PDE) の理論において重要な技術的手段である。PDE を直接解く代わりに、まず「弱い意味」で PDE を解く、つまり PDE を満たす超関数を見つけ、次にその解が関数でなければならないことを示す方が簡単な場合がある。^[14]超関数の標準空間 ( 、、)はすべて、反射的局所凸空間である。^[15]${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)'}$

格子Lの双対格子は、格子の点を整数に写す、格子を含む実ベクトル空間 上の線型関数の集合によって与えられる 。これはトーリック多様体の構成に用いられる。^[16]局所コンパクト位相群Gのポンチャギン双対は、円内の値を持つ 連続群準同型によって与えられる （群演算として複素数の乗算を伴う）。 $${\displaystyle \operatorname {Hom} (L,\mathbb {Z} ),}$$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,S^{1}),}$$

双対性の別のグループでは、1 つの理論の対象が別の理論の対象に変換され、最初の理論の対象間の写像が 2 番目の理論の射に変換されますが、方向が逆になります。カテゴリ理論の用語を使用すると、これは 2 つのカテゴリCとDの間の反変関数に相当します。

これはCの任意の2つのオブジェクトXとYに対してマップを与える

その関数は、カテゴリの同値である場合もそうでない場合もあります。そのような関数が、 Cの反対カテゴリ C ^opとDの間の同値である状況はさまざまです。このタイプの双対性を使用すると、最初の理論のすべてのステートメントを、すべての矢印の方向を逆にする必要がある2番目の理論の「双対」ステートメントに変換できます。^{[17]したがって、カテゴリ}CとDの間の双対性は、形式的にはCとD ^op ( C ^opとD )の間の同値と同じです。ただし、多くの場合、反対カテゴリには固有の意味がないため、双対性は追加の別の概念になります。^[18]

その双対に同値なカテゴリは自己双対カテゴリと呼ばれる。自己双対カテゴリの例としては、ヒルベルト空間のカテゴリがある。^[19]

多くの圏論的概念は、反対の圏を考察する際に互いに対応するという意味で対になっている。例えば、直積 Y ₁ × Y ₂と集合の非結合和 Y ₁ ⊔ Y ₂は、次の意味で互いに双対である。

そして

任意の集合Xに対して成り立つ。これは、より一般的な双対性現象の特殊なケースであり、カテゴリCの極限は、反対のカテゴリC ^opの余極限に対応する。この具体的な例としては、さらにエピモーフィズムとモノモーフィズム、特に因子加群（または群など）とサブ加群、直積と直和（双対性を強調するために余積とも呼ばれる）などがある。したがって、場合によっては、このような双対性現象を使用して、特定のステートメントの証明を半分にすることができます。このようなカテゴリの双対性によって関連付けられるその他の概念には、ホモロジー代数の射影加群と入射加群、^[20] 、位相幾何学およびより一般的にはモデルカテゴリのファイバ化と余ファイバ化がある。^[21]

2つの関手 F : C → DとG : D → Cは、すべてのオブジェクトcがCに、dがDにそれぞれ属する場合、随伴関手である。

自然な方法で。実際、極限と余極限の対応は随伴の例であり、随伴が存在するため

C内の任意の図式にその余極限を何らかのカテゴリIでインデックス付けして割り当てる余極限関手と、 Cの任意のオブジェクトc を、すべての場所でc を持つ定数図式に写像する対角関手との間の関係。双対的に、

ゲルファンド双対性は可換C*-代数 Aとコンパクト ハウスドルフ空間 Xの間の双対性である。Xは同じである。Xに、 Xから複素数Cへの連続関数（無限遠で消える）の空間を割り当てる。逆に、空間XはAからAのスペクトルとして再構成することができる。ゲルファンド双対性とポントリャーギン双対性はどちらも、大部分が形式的、カテゴリー理論的な方法で演繹することができる。^[22]

同様に、代数幾何学では可換環とアフィンスキームの間に双対性がある。つまり、すべての可換環AにはアフィンスペクトルSpec Aが存在する。逆に、アフィンスキームSが与えられた場合、構造層O _Sの全体的セクションを取ることで環が得られる。さらに、環準同型はアフィンスキームの射と一対一に対応しており、それによって同値性が存在する。

(可換環) ^op ≅ (アフィンスキーム) ^[23]

アフィン スキームは、スキームのローカルな構成要素です。したがって、前の結果から、スキームのローカル理論は、可換環の研究である可 換代数と同じであることがわかります。

非可換幾何学はゲルファント双対性からインスピレーションを得て、非可換C*-代数をあたかも想像上の空間上の関数であるかのように研究する。タナカ・クライン双対性はポンチャギン双対性の非可換類似物である。^[24]

多くの場合、互いに双対である 2 つのカテゴリは、実際には半順序集合から生じている。つまり、あるオブジェクトが他のオブジェクトよりも「小さい」という概念がある。問題の順序を尊重する双対性は、ガロア接続として知られている。一例として、序論で述べたガロア理論の標準的な双対性が挙げられる。より大きな体の拡大は、ガロア群 Gal (Ω / L )を任意の拡大L ⊃ K (ある固定されたより大きな体 Ω 内)に割り当てるマッピングの下で​​、より小さな群に対応する。^[25]

位相空間Xのすべての開集合の集合は、完全なHeyting 代数を形成します。ストーン双対性と呼ばれる双対性があり、これは、厳密な空間と空間の場所を結び付けます。

• 分配格子と半順序を関係づけるバーコフの表現定理

ポントリャーギン双対性は局所コンパクト アーベル群のカテゴリに双対性を与える。任意のそのような群Gが与えられたとき、指標群

χ ( G ) = Hom ( G , S ¹ )

Gから円群 S ¹への連続群準同型によって与えられるものは、コンパクト開位相を付与することができる。ポントリャーギン双対性は、指標群が再び局所コンパクトアーベルであり、

G ≅ χ ( χ ( G )). ^[26]

さらに、離散群はコンパクトアーベル群に対応し、有限群は有限群に対応します。一方で、ポントリャーギンはゲルファンド双対性の特殊なケースです。他方では、それはフーリエ解析の概念的な根拠です。以下を参照してください。

解析では、関数と演算子の二重記述に移行することで問題が解決されることがよくあります。

フーリエ変換は、ベクトル空間上の関数とその双対との間で変換を行います。 また 逆に 、 fがRまたはR ^N上のL ²関数である 場合、およびもL 2 関数になります。さらに、この変換では、対応する関数空間上で乗算と畳み込みの演算が入れ替わります。フーリエ変換の概念的な説明は、前述のポンチャギン双対性を局所コンパクト群R (またはR ^Nなど) に適用することで得られます。R の任意の特性はξ ↦ e −2 ^πixξで与えられます。フーリエ変換の双対特性は、座標表現と運動量表現による 量子力学システムの代替記述など、他にも多くの形で現れます。$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx,}$$$${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )\ e^{2\pi ix\xi }\,d\xi .}$$${\displaystyle {\ワイドハット {f}}}$${\displaystyle f(-x)={\widehat {\widehat {f}}}(x)}$

• ラプラス変換はフーリエ変換に似ており、多項式による乗算演算子を定数係数の線形微分演算子と交換します。
• ルジャンドル変換は、ラグランジアン力学の速度とハミルトン力学の運動量を切り替える重要な解析的双対性です。

特定の対象が他の対象の双対空間（線型代数の意味で）であることを示す定理は、しばしば双対性と呼ばれる。これらの双対性の多くは、2つのKベクトル空間 の双線型ペアリングによって与えられる。

A ⊗ B → K。

したがって、完全なペアリングの場合、 AとBの双対には同型性が存在します。

滑らかなコンパクト複素多様体 Xのポアンカレ双対性は、 C係数を持つ特異コホモロジー（定数層Cの層コホモロジーと同義） のペアリングによって与えられる。

H ⁱ (X) ⊗ H ^{2 n − i} (X) → C、

ここでnはXの（複素）次元である。^{[27]ポアンカレ双対性は}、特異点ホモロジーとド・ラームコホモロジーの関係として表現することもできる。これは、写像

${\displaystyle (\gamma ,\omega )\mapsto \int _{\gamma }\omega }$

（（2 n  −  k ）-（実）次元サイクルにわたって微分k形式を積分する）は完全なペアリングです。

ポアンカレ双対性も次元を逆転させます。これは、位相多様体がセル複体として表現される場合、複体の双対（平面グラフ双対の高次元一般化）が同じ多様体を表すという事実に対応します。ポアンカレ双対性では、この同相はk番目のホモロジー群と ( n  −  k ) 番目のコホモロジー群の同型に反映されます。

同じ双対性パターンは、可分閉体上の滑らかな射影多様体に対して、Q _ℓ係数を持つl 進コホモロジーを使用して成立します。 ^{[28]これはさらに、}交差コホモロジーを使用して、おそらく特異な多様体に対して一般化され、この双対性はヴェルディエ双対性と呼ばれます。^[29]セール双対性またはコヒーレント双対性は上記の記述に似ていますが、コヒーレント層のコホモロジーに適用されます。^[30]

一般性のレベルが増すにつれて、これらの定理を理解するために、より多くの技術的背景が役立つか必要になることがわかります。これらの双対性の現代的な定式化は、導出カテゴリと、層の特定の直接および逆像関数を使用して行うことができます(ポアンカレ双対性の場合は多様体上の古典的な解析位相、2 番目のケースでは l 進層とエタール位相に関して、コヒーレント双対性の場合はコヒーレント層に関して)。

算術では、さらに別の類似した双対性ステートメントのグループに遭遇します。有限、局所 、大域体のエタールコホモロジー（体上のエタールコホモロジーは体の（絶対）ガロア群の群コホモロジーと同値であるため、ガロアコホモロジーとも呼ばれます）は、同様のペアリングを許容します。たとえば、有限体の絶対ガロア群G ( F _q ) は、 Zのprofinite 完備化、整数と同型です。したがって、完全なペアリング（任意のGモジュールMに対して） ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}}$

H ⁿ ( G , M ) × H ^{1− n} ( G , Hom ( M , Q / Z )) → Q / Z ^[31]

は有限群のポンチャギン双対性の直接的な帰結である。局所体と大域体についても同様の命題が存在する（局所双対性と大域双対性またはポワトゥ・テイト双対性）。^[32]

• アティヤ、マイケル (2007)。 「バルセロナ大学マテマティカ大学 (IMUB) の数学と物理学の二重性講義ノート」(PDF)。
• コストリキン、AI (2001) [1994]、「双対性」、数学百科事典、EMS プレス。
• ガワーズ、ティモシー (2008)、「III.19 双対性」、プリンストン数学入門、プリンストン大学出版、pp.  187– 190。
• カルティエ、ピエール (2001)、「狂った一日の仕事：グロタンディークからコンヌとコンツェビッチまで。空間と対称性の概念の進化」、アメリカ数学会報、新シリーズ、38 (4): 389– 408、doi : 10.1090/S0273-0979-01-00913-2、ISSN  0002-9904、MR  1848254(双対性を含む幾何学のいくつかの側面についての非技術的な概要)

• ジェームズ・C・ベッカーとダニエル・ヘンリー・ゴットリーブ『代数的位相幾何学における双対性の歴史』

• Artstein-Avidan, シリ; Milman、Vitali (2008)、「凸体の測定投影に対する双対性の概念」、Journal of Functional Analysis、254 (10): 2648–66、CiteSeerX  10.1.1.417.3470、doi : 10.1016/j.jfa.2007.11 .008作者のサイトも。
• Artstein-Avidan, Shiri; Milman, Vitali (2007)、「双対性の概念の特徴づけ」、Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences、14 : 42–59、2011-07-24にオリジナルからアーカイブ、2009-05-30 に取得作者のサイトも。
• Dwyer, William G. ; Spaliński, Jan (1995)、「ホモトピー理論とモデルカテゴリ」、Handbook of algebraic topology、アムステルダム: North-Holland、pp.  73– 126、MR  1361887、2021-02-09にオリジナルからアーカイブ、 2009-03-11に取得
• フルトン、ウィリアム（1993）、トーリック多様体入門、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-00049-7
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1994）、代数幾何学の原理、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ、ISBN 978-0-471-05059-9、MR  1288523
• ハーツホーン、ロビン(1966)、「剰余と双対性」、数学講義ノート、第20巻、シュプリンガー・フェアラーク、pp.  20– 48、ISBN 978-3-540-34794-1
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157、OCLC  13348052
• Iversen、Birger (1986)、層のコホモロジー、Universitext、Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-16389-3、MR  0842190
• ジョヤル、アンドレ、ストリート、ロス(1991)、「タナカ双対性と量子群の紹介」(PDF)、カテゴリー理論、数学講義ノート、第 1488 巻、シュプリンガー出版、pp.  413– 492、doi :10.1007/BFb0084235、ISBN 978-3-540-46435-8、MR  1173027
• ラム・ツィット・ユエン（1999）「モジュールと環に関する講義」、大学院数学テキスト第189巻、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98428-5、MR  1653294
• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556
• ルーミス、リン H. (1953)、抽象調和解析入門、D. ヴァン ノストランド、pp. x+190、hdl : 2027/uc1.b4250788
• マック・レーン、サンダース（1998）、Category for the Working Mathematician（第2版）、Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98403-2
• Mazur、Barry (1973)、「数体のエタール コホモロジーに関するメモ」、高等師範科学誌、シリーズ 4、6 ( 4): 521–552、doi : 10.24033/asens.1257、ISSN  0012-9593 、氏 0344254
• ミルン、ジェームス S. (1980)、エタール コホモロジー、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08238-7
• ミルン、ジェームズ S. (2006)、算術双対定理 (第 2 版)、サウスカロライナ州チャールストン: BookSurge, LLC、ISBN 978-1-4196-4274-6、MR  2261462
• ネグレポンティス、ジョーン W. (1971)、「トリプルの観点から見た解析における双対性」、代数ジャーナル、19 (2): 228– 253、doi :10.1016/0021-8693(71)90105-0、ISSN  0021-8693、MR  0280571
• ルディン、ウォルター（1976）、数学解析の原理（第3版）、ニューヨーク：マグロウヒル、ISBN 0-07-054235-X
• ヴェブレン、オズワルド、ヤング、ジョン・ウェスレー（1965）、射影幾何学。第1巻、第2巻、ブレイズデル出版、ギンアンドカンパニー、MR  0179666
• ワイベル、チャールズ A. (1994)、ホモロジー代数入門、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-55987-4、MR  1269324
• エドワーズ、RE（1965）。関数解析。理論と応用。ニューヨーク：ホルト、ライナーハート、ウィンストン。ISBN 0030505356。