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射影幾何学において、ジラール・デザルグにちなんで名付けられたデザルグの定理は、次のように述べている。
2つの三角形が軸透視図法で合致するとは、対応する辺を延長したときに、それらの辺が一点（透視軸と呼ばれる）で交わる場合をいう。2つの三角形が中心透視図法で合致するとは、対応する頂点を通る線が一点で交わる場合をいう（透視中心と呼ばれる）。デザルグの定理は、最初の条件が真であることは、 2番目の条件が真であることの必要十分条件であることを述べている。
この交点定理は通常のユークリッド平面では成り立ちますが、一対の辺が平行で、その「交点」が無限遠にまで遠ざかるような例外的な場合には、特別な注意が必要です。一般的に、このような例外を取り除くために、数学者たちはジャン＝ヴィクトル・ポンセレの理論に従って、無限遠に点を追加することでユークリッド平面を「完成」させます。こうして射影平面が得られます。
デザルグの定理は、実射影平面および体または可除環から算術的に定義される任意の射影空間に対して成り立ちます。これには、次元が2より大きい射影空間、またはパップスの定理が成り立つ射影空間が含まれます。しかしながら、デザルグの定理が成り立たない「非デザルグ平面」も数多く存在します。
一方の三角形の3 つの頂点をa、b 、 cとし、もう一方の三角形の 3 つの頂点をA、B 、Cとします。別々の三角形の頂点を線で結びます。すると、線abとAB は最初の点で交わり、線acとAC は2 番目の点で交わり、線bcとBC は3 番目の点で交わります。軸透視とは、これら 3 つの点がすべて透視軸と呼ばれる共通の線上にあることを意味します。 中心透視とは、3 つの線Aa、Bb、Cc が透視中心と呼ばれる点で一点で交わることを意味します。
デザルグはこの定理を公表しなかったが、彼の友人であり弟子であったアブラハム・ボッセ（1602-1676）が1648年に出版した透視図法の使用に関する実用書[ 1 ]の付録「透視図法を使用するためのM.デザルグの普遍的方法（Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective）」に掲載された[ 2 ]。
抽象射影幾何学におけるデザルグの定理の重要性は、特に、射影空間がその定理を満たすのは、それが体または可除環上で定義された射影空間と同型である場合に限るという事実による。
ユークリッド平面のようなアフィン空間においても同様のことが言えるが、それは平行線に関する様々な例外を列挙した場合に限られる。したがって、デザルグの定理は、アフィン空間よりも射影空間にこそ本来の居場所がある、最も単純な幾何学的定理の一つと言える。
定義によれば、2つの三角形が透視図法で表せるのは、それらが中心透視図法で表せる場合（または、この定理によれば、軸透視図法で表せる場合）に限られます。透視図法で表せる三角形は、必ずしも相似である必要はありません。
平面射影幾何学の標準的な双対性（点が線に対応し、点の共線性が線の共線性に対応する）の下では、デザルグの定理の記述は自己双対性を持つ。すなわち、軸方向の透視性は中心透視性に変換され、その逆もまた同様である。デザルグの配置（下記）は自己双対配置である。[ 3 ]
この記述における自己双対性は、定理の一般的な現代的な記述方法に起因する。歴史的には、この定理は単に「射影空間において、中心透視三角形のペアは軸透視である」とだけ書かれており、この記述の双対はデザルグの定理の逆と呼ばれ、常にその名前で呼ばれていた。[ 4 ]
デザルグの定理は、任意の体または可除環上の任意の次元の射影空間に対して成り立ち、また、少なくとも3次元の抽象射影空間に対しても成り立ちます。2次元の場合、この定理が成り立つ平面はデザルグ平面と呼ばれ、可除環上で座標を与えることができる平面と同じです。デザルグの定理が成り立たない非デザルグ平面も多数存在します。
デザルグの定理は、次元が3以上の任意の射影空間に対して成り立ち 、より一般的には、次元が3以上の空間に埋め込むことができる任意の射影空間に対して成り立つ 。
デザルグの定理は次のように述べることができる。
点A、B 、 a、bは、 AaとBbが一点で交わると仮定されているため、同一平面上にあります。したがって、直線ABとab は同一平面上にあり、必ず交わります。さらに、2 つの三角形が異なる平面上にある場合、点AB ∩ abは両方の平面に存在します。対称的な議論により、点AC ∩ acとBC ∩ bcも存在し、両方の三角形の平面に存在します。これら 2 つの平面は 1 点以上で交わるため、それらの交線は 3 つの点すべてを含む直線になります。
2つの三角形が同一平面上にない場合、これはデザルグの定理を証明します。2つの三角形が同一平面上にある場合は、平面上にない点を選択し、それを用いて三角形を平面外に持ち上げて上記の議論が成り立つようにし、その後平面に投影し直すことで、デザルグの定理を証明できます。射影空間の次元が3未満の場合、平面上にない点を見つけることができないため、証明の最後のステップは失敗します。
モンジュの定理は、3点が直線上にあることを主張しており、2次元ではなく3次元で考え、直線を2つの平面の交点として表すという同じ考え方を用いた証明が存在する。
デザルグの定理が成り立たない非デザルグ射影平面が存在するため、 [ 5 ] それを証明するにはいくつかの追加条件を満たす必要があります。これらの条件は通常、あるタイプの共線化が十分に多く存在することを仮定する形をとり、それによって基礎となる代数座標系が除法環（斜体）でなければならないことが示されます。[ 6 ]
パップスの六角形定理は、頂点a、b、cが一直線上にあり、頂点A、B、Cが別の直線上にあるように六角形AbCaBc を描くと、六角形の向かい合う 2 辺は一点で交わる 2 本の直線上にあり、このようにして構成された 3 つの点は共線である、と述べている。パップスの定理が普遍的に成り立つ平面はパッピアン平面と呼ばれる。 ヘッセンベルク (1905) [ 7 ]は、パップスの定理の 3 つの適用からデザルグの定理を導き出すことができることを示した。[ 8 ]
この結果の逆は真ではなく、すべてのデザルグ平面がパップス平面であるとは限りません。パップスの定理を普遍的に満たすことは、基礎となる座標系が可換であることと同値です。したがって、非可換な除法環（体ではない除法環）上で定義された平面は、デザルグ平面ではありますが、パップス平面ではありません。しかし、すべての有限除法環は体であると述べるウェダーバーンの小定理により、すべての有限デザルグ平面はパップス平面です。この事実の完全な幾何学的証明は知られていませんが、バンベルクとペンティラ（2015）は、（ウェダーバーンの小定理の完全な力ではなく）「初等的」な代数的事実のみを使用した証明を与えています。
デザルグの定理に関わる10本の線（三角形の6辺、3本の線Aa、Bb、Cc、透視軸）と10個の点（6つの頂点、透視軸上の3つの交点、透視の中心）は、10本の線がそれぞれ10個の点のうち3つを通り、10個の点がそれぞれ10本の線のうち3つ上に位置するように配置されています。これらの10個の点と10本の線が、射影配置の一例であるデザルグ配置を構成します。デザルグの定理ではこれらの10本の線と点に異なる役割が割り当てられていますが、デザルグ配置自体はより対称的です。10個の点のいずれも透視の中心として選択でき、その選択によってどの6つの点が三角形の頂点になり、どの線が透視軸になるかが決まります。
この限定版では、2つの三角形が与えられた直線上の点から透視図法で結ばれており、対応する2組の辺がこの直線上で交わる場合、3組目の対応する辺もこの直線上で交わると規定している。つまり、これは透視の中心が透視軸上にある場合のみに適用されるデザルグの定理の特殊化である。
ムファン平面とは、小デザルグの定理がすべての直線に対して成り立つ射影平面のことである。
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