バンプ機能

数学において、バンプ関数（テスト関数とも呼ばれる）は、ユークリッド空間上の関数 であり、滑らか（すべての次数の連続導関数を持つという意味で）かつコンパクトにサポートされている関数です。定義域を持つすべてのバンプ関数の集合は、またはで示されるベクトル空間を形成します。適切な位相を備えたこの空間の 双対空間は、超関数の空間です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathrm {C} _{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

で与えられる 関数は 、1次元のバンプ関数の例です。この関数がコンパクトな台を持つことは、構成から明らかです。なぜなら、実数直線の関数がコンパクトな台を持つのは、それが有界な閉じた台を持つ場合のみだからです。滑らかさの証明は、非解析的滑らかな関数の記事で説明した関連関数と同じ方法に従います。この関数は、単位円に収まるようにスケールされたガウス関数として解釈できます。置き換えは、を${\displaystyle \Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&{\text{ if }}|x|<1,\\0,&{\text{ if }}|x|\geq 1,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \exp \left(-y^{2}\right)}$${\displaystyle y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}}$${\displaystyle x=\pm 1}$${\displaystyle y=\infty .}$

変数内の（正方形）バンプ関数の簡単な例は、1つの変数内の上記のバンプ関数のコピー の積を取ることによって得られる。${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).}$$

変数の放射対称バンプ関数は、によって定義される関数を取ることによって形成されます。この関数は、原点を中心とする単位球上でサポートされます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \Psi _{n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {x} )=\Psi (|\mathbf {x} |)}$

別の例として、が正で、それ以外の場所ではゼロであるものを考えてみましょう。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle (c,d)}$

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{(x-c)(d-x)}}\right),&c<x<d\\0,&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}$。

スムーズな遷移機能

機能について考える

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}$

すべての実数 xに対して定義されます。

機能

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

は実数直線上のどこでも分母が正であるため、gも滑らかである。さらに、x  ≤ 0ではg ( x ) = 0 、 x ≥ 1 ではg ( x ) = 1 であるため、単位区間[0, 1] でレベル 0 からレベル 1 への滑らかな遷移が実現される。a < b の 実数 区間 [ a , b ] で滑らかな遷移を実現するには、関数

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.}$

実数a < b < c < dに対して、滑らかな関数

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}}$

閉区間[ b、c ]では1に等しく、開区間( a、d )の外側では消えるため、バンプ関数として機能します。

例えば、 を取ると次の結果になるので注意が必要です。 ${\displaystyle \{a=-1\}<\{b=c=0\}<\{d=1\}}$

${\displaystyle q(x)={\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}}}$

これは無限に微分可能な関数ではない（つまり、「滑らか」ではない）ため、制約a < b < c < d が厳密に満たされる必要があります。

この機能に関する興味深い事実:

${\displaystyle q(x,a)={\frac {1}{1+e^{\frac {a(1-2|x|)}{x^{2}-|x|}}}}}$

「ほぼ」一定の傾斜エッジを持つ滑らかな遷移曲線を作成します(この別の例では、真の直線傾斜を持つバンプ関数が示されています)。 ${\displaystyle q\left(x,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$

スムーズなバンプ関数の適切な例は次のようになります。

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}1,{\text{if }}x=0,\\0,{\text{if }}|x|\geq 1,\\{\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}},{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

スムーズな遷移関数の適切な例は次のようになります。

${\displaystyle w(x)={\begin{cases}{\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}&{\text{if }}0<x<1,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\\1&{\text{if }}x\geq 1,\end{cases}}}$

ここで、双曲関数でも表すことができることがわかります。

${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}={\frac {1}{2}}\left(1-\tanh \left({\frac {2x-1}{2(x^{2}-x)}}\right)\right)}$

バンプ関数を「仕様どおりに」構築することは可能です。正式に述べると、が次元の任意のコンパクト セットであり、が を含む開集合である場合、上にありの外側にあるバンプ関数が存在します。は の非常に小さな近傍と見なすことができるため、これは上にありの外側に急速に減少しながらも滑らかで ある関数を構築できることに相当します。${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle K,}$

畳み込みの観点から定義されたバンプ関数

構築は次のように進行します。に含まれるのコンパクトな近傍を考えると、の特性関数は上でに等しく、の外側では に等しくなります。したがって、特に、上で に等しく、の外側ではになります。ただし、この関数は滑らかではありません。重要なアイデアは、 を緩和関数 で畳み込むことで、少し滑らかにすることです。 緩和関数 は、非常に小さなサポートを持つバンプ関数にすぎず、その積分は です。このような緩和関数は、たとえば、前のセクションのバンプ関数を取り、適切なスケーリングを実行することで取得できます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U.}$ ${\displaystyle \chi _{V}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle \chi _{V}}$${\displaystyle \chi _{V}}$${\displaystyle 1.}$${\displaystyle \Phi }$

サポート付き関数で定義されたバンプ関数${\displaystyle c:\mathbb {R} \to [0,\infty )}$${\displaystyle (-\infty ,0]}$

畳み込みを伴わない代替構築の詳細を説明します。これは、与えられた開集合上で正であり、^[1]で消える滑らかな関数を構築することから始まります。この関数のサポートは、の閉包に等しいため、がコンパクトであれば、はバンプ関数です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle {\overline {U}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle {\overline {U}}}$${\displaystyle f}$

負の実数でゼロで、正の実数で正である（つまり、左からの連続性のために が必要となる、上および上の）滑らかな関数から始めます。そのような関数の例は、の場合、です。それ以外の場合は です。^[1]の 開部分集合を固定し、通常のユークリッドノルムを で表します（したがって、は通常のユークリッド計量を備えています）。次の構成は、 で正での外部でゼロである滑らかな関数を定義します。 ^[1]したがって特に、が比較的コンパクトな場合、この関数はバンプ関数になります。 ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle (-\infty ,0)}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle (0,\infty ),}$${\displaystyle c(0)=0}$${\displaystyle c(x):=e^{-1/x}}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle c(x):=0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$

ならばとしますが、ならば とします。したがって はこれらのどちらでもないと仮定します。 を開球によるの開被覆とします。ここで開球は半径と中心を持ちます。するとで定義される写像は、 で正で から消える滑らかな関数です^[1]。 この上限 が に等しくない（したがっては非負の実数）すべての偏導関数が の任意の外側で消える（ に等しい）ため、 任意のに対して、コンパクト集合 上では、（有限個の）偏導関数のそれぞれの値は、ある非負の実数によって上に（一様に）制限されます。^{[注 1]} この級数 はで 一様に収束し、 から消える滑らかな関数になります^{[1]。さらに、任意の非負の整数[1]} に対して、 この級数は でも一様に収束します（のときはいつでも^番目の項の絶対値が であるため）。これで構築が完了します。 ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f=1}$${\displaystyle U=\varnothing }$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \left(U_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{k}}$${\displaystyle r_{k}>0}$${\displaystyle a_{k}\in U.}$${\displaystyle f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{k}(x)=c\left(r_{k}^{2}-\left\|x-a_{k}\right\|^{2}\right)}$${\displaystyle U_{k}}$${\displaystyle U_{k}.}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$$${\displaystyle M_{k}=\sup \left\{\left|{\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}(x)\right|~:~x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} {\text{ satisfy }}0\leq p_{i}\leq k{\text{ and }}p=\sum _{i}p_{i}\right\},}$$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle M_{k}}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus U_{k}\right)\cup {\overline {U_{k}}}=\mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U_{k},}$${\displaystyle {\overline {U_{k}}},}$$${\displaystyle f~:=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}}{2^{k}M_{k}}}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}f~=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}M_{k}}}{\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k\geq p_{1}+\cdots +p_{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \leq {\tfrac {M_{k}}{2^{k}M_{k}}}={\tfrac {1}{2^{k}}}}$

系として、上記の構成の互いに素な閉部分集合が2つ与えられれば、任意のに対して かつ の場合に限り、同様に の場合に限り、関数は 滑らかであり、任意の に対して かつ の場合に限り、かつ の場合に限り、かつ の場合に限り、[ 1 ^] 特に の場合に限り、さらに が で比較的コンパクトである場合(ただし はを意味する)、でサポートされる滑らかなバンプ関数となる。${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle f_{A},f_{B}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle f_{A}(x)=0}$${\displaystyle x\in A,}$${\displaystyle f_{B}(x)=0}$${\displaystyle x\in B,}$$${\displaystyle h~:=~{\frac {f_{A}}{f_{A}+f_{B}}}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle h(x)=0}$${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle h(x)=1}$${\displaystyle x\in B,}$${\displaystyle 0<h(x)<1}$${\displaystyle x\not \in A\cup B.}$${\displaystyle h(x)\neq 0}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A,}$${\displaystyle U:=\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$${\displaystyle B\subseteq U}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\overline {U}}.}$

バンプ関数は滑らかですが、恒等定理により、それらが同一に消滅しない限り、解析的になることは禁じられています。バンプ関数は、しばしば、軟化関数、滑らかなカットオフ関数、および滑らかな1 の分割を形成するために使用されます。これらは、解析で使用されるテスト関数の最も一般的なクラスです。バンプ関数の空間は、多くの操作に対して閉じています。たとえば、2 つのバンプ関数の和、積、または畳み込みは、再びバンプ関数であり、滑らかな係数を持つ任意の微分演算子をバンプ関数に適用すると、別のバンプ関数が生成されます。

バンプ関数のドメインの境界が「滑らかさ」の要件を満たすには、そのすべての導関数の連続性を維持する必要があり、その結果、そのドメインの境界で次の要件が求められます。 ${\displaystyle \partial x,}$$${\displaystyle \lim _{x\to \partial x^{\pm }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=0,\,{\text{ for all }}n\geq 0,\,n\in \mathbb {Z} }$$

バンプ関数のフーリエ変換は（実）解析関数であり、複素平面全体に拡張できます。したがって、バンプ関数全体がゼロ関数のみであるため、0でない限りコンパクトにサポートされません（ペイリー・ウィーナーの定理とリウヴィルの定理を参照）。バンプ関数は無限微分可能であるため、そのフーリエ変換は、大きな角周波数に対しての任意の有限べき乗よりも速く減衰する必要があります^[2]上記の 特定のバンプ関数のフーリエ変換は 、鞍点法 によって解析でき、 大きな角周波数に対して のように漸近的に減衰します^[3]${\displaystyle 1/k}$${\displaystyle |k|.}$$${\displaystyle \Psi (x)=e^{-1/(1-x^{2})}\mathbf {1} _{\{|x|<1\}}}$$$${\displaystyle |k|^{-3/4}e^{-{\sqrt {|k|}}}}$$${\displaystyle |k|.}$

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• Nestruev, Jet (2020年9月10日).滑らかな多様体と観測可能量.数学の大学院テキスト. 第220巻. シャム、スイス: Springer Nature . ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC  1195920718.