ベクトル空間

ベクトルの加算：ベクトルv（青）とベクトルw （赤）の和v + w （黒）を示します。

スカラー乗算： −vと2wの倍数を示します。

ベクトル空間の最初の例は、固定された平面上の、1つの固定点から始まる矢印で構成されます。これは物理学で力や速度を記述するために使用されます。^{[ 30 ]}任意の2つの矢印vとwが与えられた場合、これら2つの矢印によって張られる平行四辺形には、原点から始まる1つの対角線矢印が含まれます。この新しい矢印は2つの矢印の和と呼ばれ、v + wと表記されます。2つの矢印が同じ線上にある特殊な場合、それらの和は、矢印の方向が同じかどうかに応じて、長さが長さの和または差となるこの線上の矢印になります。矢印に対して実行できるもう1つの操作はスケーリングです。任意の正の実数aが与えられた場合、 vと同じ方向を持ち、長さをa倍することによって拡大または縮小された矢印は、 vのa倍と呼ばれます。これはa vと表記されます。aが負の場合、a vは代わりに反対方向を指す矢印として定義されます。^{[ 31 ]}

以下にいくつかの例を示します。a = 2 の場合、結果として得られるベクトルa wはwと同じ方向を持ちますが、長さはwの 2 倍に引き伸ばされます(2 番目の画像)。同様に、2 wはw + w の和です。さらに、(−1) v = − vはvと反対方向で同じ長さを持ちます(2 番目の画像で下向きの青いベクトル)。

ベクトル空間の2つ目の重要な例は、実数xとyのペアです。xとyの成分の順序が重要なので、このようなペアは順序対とも呼ばれます。このようなペアは( x , y )と書きます。このような2つのペアの和と、ペアと数値の乗算は次のように定義されます。^{[ 32 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})&=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),\\a(x,y)&=(ax,ay).\end{aligned}}}$$

上記の最初の例は、矢印をその終点の直交座標のペアで表すと、この例に簡略化されます。

体F上のベクトル空間の最も単純な例は、体F自体であり、その加算はベクトル加算として、その乗算はスカラー乗算として見なされます。より一般的には、すべてのnタプル(長さnのシーケンス) は、$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$$Fの 要素a _iはベクトル空間を形成し、通常はF ⁿと表記され、座標空間と呼ばれます。^{[ 33 ]} n = 1 の場合は、上述の最も単純な例であり、この場合、体Fはそれ自身上のベクトル空間とみなされます。F = Rかつn = 2 (したがってR ² )の場合は、前の例に帰着します。

複素数 の集合Cは、実数xとyに対してi を虚数単位としてx + iyの形で表せる数であり、通常の加算と乗算によって実数上のベクトル空間を形成します。すなわち、実数x 、 y、a、b、c に対して、( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b )およびc ⋅ ( x + iy ) = ( c ⋅ x ) + i ( c ⋅ y )が成り立ちます。ベクトル空間のさまざまな公理は、複素数演算にも同じ規則が成り立つという事実から導かれます。複素数の例は、本質的には上述の実数の順序対のベクトル空間と同じです（つまり、同型です）。複素数x + i yが複素平面上の順序対( x , y )を表していると考えると、加算とスカラー乗算の規則は、先の例の規則と完全に一致することがわかります。

より一般的には、体拡張は、特に代数学や代数的整数論において、ベクトル空間の別の例を提供する。より小さな体Eを含む体Fは、 Fの与えられた乗算と加算演算により、E-ベクトル空間となる。^{[ 34 ]}例えば、複素数はR上のベクトル空間であり、体拡張は${\displaystyle \mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})}$Q上のベクトル空間です。

任意の固定集合Ωから体Fへの関数も、各要素ごとに加算とスカラー乗算を行うことでベクトル空間を形成します。つまり、2つの関数fとgの和は関数fとgです。${\displaystyle (f+g)}$によって与えられた $${\displaystyle (f+g)(w)=f(w)+g(w),}$$ 乗算についても同様です。このような関数空間は、Ωが実数直線または区間、あるいはRの他の部分集合である場合など、多くの幾何学的状況で発生します。位相幾何学や解析学における連続性、積分可能性、微分可能性などの多くの概念は、線形性に関して良好な性質を持ちます。このような性質を持つ関数の和やスカラー倍は、依然としてその性質を持ちます。^{[ 35 ]}したがって、このような関数の集合はベクトル空間であり、その研究は関数解析に属します。

同次線形方程式系はベクトル空間と密接に関係している。^{[ 36 ]}例えば、 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}&&a\,&&+\,3b\,&\,+&\,&c&\,=0\\4&&a\,&&+\,2b\,&\,+&\,2&c&\,=0\\\end{alignedat}}}$$ は任意の値を持つ3つ組で与えられる${\displaystyle a,}$${\displaystyle b=a/2,}$そして${\displaystyle c=-5a/2.}$これらはベクトル空間を形成します。このような3つ組の和とスカラー倍は、3つの変数の同じ比率を満たします。したがって、これらも解です。行列を使用すると、上記のように複数の線形方程式を1つのベクトル方程式にまとめることができます。

$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} ,}$$

どこ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}$は、与えられた方程式の係数を含む行列です。${\displaystyle \mathbf {x} }$ベクトル${\displaystyle (a,b,c),}$${\displaystyle A\mathbf {x} }$は行列積を表し、${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$はゼロベクトルです。同様に、同次線形微分方程式の解はベクトル空間を形成します。例えば、

$${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)+2f^{\prime }(x)+f(x)=0}$$

収量${\displaystyle f(x)=ae^{-x}+bxe^{-x},}$どこ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は任意の定数であり、${\displaystyle e^{x}}$は自然指数関数です。

行列は線形マップを符号化するのに便利な概念です。^{[ 45 ]}右図のように、スカラーの長方形配列として記述されます。任意のm × n行列${\displaystyle A}$次のようにして、 F ⁿからF ^mへの線形写像が生じる。$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\ldots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right),}$$ どこ${\textstyle \sum }$は総和を表す、または行列の行列乗算を使用する。${\displaystyle A}$座標ベクトル${\displaystyle \mathbf {x} }$:

$${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} .}$$

さらに、VとWの基底を選択した後、任意の線形写像f  : V → Wは、この割り当てによって行列によって一意に表現される。^{[ 46 ]}

正方行列Aの行列式det ( A )は、対応する写像が同型写像であるかどうかを示すスカラーです。同型写像であるためには、行列式がゼロでないことが十分かつ必要です。^{[ 47 ]}実数n × n行列に対応するR ⁿの線形変換は、その行列式が正である場合に限り、向きを保存します。

自己準同型写像、線形写像f  : V → V は、この場合、ベクトル v を f による像 f ( v ) と比較できるため、特に重要です。λ v = f ( v )を満たす任意の非ゼロベクトルv（ λはスカラー）は、固有値 λ を持つ f の固有ベクトルと呼ばれます。[ 48 ]同様に、 v^は差f − λ · Id（Idは恒等写像V → V）の核の要素です。Vが有限次元の場合、これは行列式を使用して言い換えることができます。 固有値λを持つfは、 $${\displaystyle \det(f-\lambda \cdot \operatorname {Id} )=0.}$$ 行列式の定義を明確にすると、左辺の式はλに関する多項式関数であることがわかります。これはfの特性多項式と呼ばれます。^{[ 49 ]}体Fがこの多項式の零点を含むほど十分に大きい場合 ( F = Cのように代数的に閉じたFの場合は自動的にそうなる)、任意の線形写像は少なくとも 1 つの固有ベクトルを持ちます。ベクトル空間V は、固有ベクトルからなる基底である固有基底を持つ場合と持たない場合があります。この現象は、写像のジョルダン標準形によって決まります。 ^{[ 50 ]} fの特定の固有値に対応するすべての固有ベクトルの集合は、問題の固有値 (およびf ) に対応する固有空間として知られるベクトル空間を形成します。

空でない部分集合${\displaystyle W}$ベクトル空間の${\displaystyle V}$これは加算とスカラー乗算に関して閉じており、したがって${\displaystyle \mathbf {0} }$-ベクトル${\displaystyle V}$)はの線形部分空間と呼ばれます${\displaystyle V}$または単にの部分空間${\displaystyle V}$周囲空間が明確にベクトル空間である場合。^{[ 51 ] [ nb4 ]}部分空間${\displaystyle V}$それらは（同じ体上の）ベクトル空間である。与えられた集合を含むすべての部分空間の共通部分${\displaystyle S}$ベクトルのスパンは、ベクトルの最小部分空間と呼ばれ、${\displaystyle V}$セットを含む${\displaystyle S}$要素で表すと、スパンは、要素のすべての線形結合からなる部分空間である。${\displaystyle S}$[ ^{52 ]​}

次元 1 および 2 の線形部分空間は、それぞれ線(またはベクトル線) および平面と呼ばれます。Wがn次元ベクトル空間である場合、次元 1 未満の任意の部分空間、つまり次元 2 の任意の部分空間は、${\displaystyle n-1}$ハイパープレーンと呼ばれる。^{[ 53 ]}

部分空間に対応するものは商ベクトル空間である。^{[ 54 ]}任意の部分空間が与えられた場合${\displaystyle W\subseteq V}$商空間${\displaystyle V/W}$（"${\displaystyle V}$モジュロ${\displaystyle W}$」は次のように定義されます。集合として、それは $${\displaystyle \mathbf {v} +W=\{\mathbf {v} +\mathbf {w}$$ :\mathbf {w} \in W\},} ただし${\displaystyle \mathbf {v} }$は任意のベクトルです${\displaystyle V}$2つのそのような要素の合計${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W}$そして${\displaystyle \mathbf {v} _{2}+W}$は${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}\right)+W}$、スカラー乗算は次のように表される。${\displaystyle a\cdot (\mathbf {v} +W)=(a\cdot \mathbf {v} )+W}$この定義の重要な点は、${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W=\mathbf {v} _{2}+W}$の差が${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$そして${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$横たわる${\displaystyle W}$^{[注5 ]}このように、商空間は部分空間に含まれる情報を「忘れる」。${\displaystyle W}$。

カーネル​${\displaystyle \ker(f)}$線形マップの${\displaystyle f:V\to W}$ベクトルで構成される${\displaystyle \mathbf {v} }$マッピングされている${\displaystyle \mathbf {0} }$で${\displaystyle W}$[ ^{55 ]}カーネル^とイメージ${\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{f(\mathbf {v} ):\mathbf {v} \in V\}}$は部分空間である${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$それぞれ。^{[ 56 ]}

重要な例として、線形写像の核が挙げられる。${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} }$ある固定行列に対して${\displaystyle A}$このマップの核はベクトルの部分空間です。${\displaystyle \mathbf {x} }$そのため${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$これは、 に属する同次線形方程式系の解の集合である。${\displaystyle A}$この概念は線形微分方程式にも適用されます。 $${\displaystyle a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0,}$$ ここで係数は${\displaystyle a_{i}}$関数は${\displaystyle x,}$対応する地図にも。 $${\displaystyle f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}},}$$関数の導 関数${\displaystyle f}$直線的に現れる（対照的に${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)^{2}}$例えば）。微分は線形手順（つまり、${\displaystyle (f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }}$そして${\displaystyle (c\cdot f)^{\prime }=c\cdot f^{\prime }}$定数に対して${\displaystyle c}$この割り当ては線形であり、線形微分演算子と呼ばれます。特に、微分方程式の解は${\displaystyle D(f)=0}$ベクトル空間（RまたはC上）を形成する。^{[ 57 ]}

核と像の存在は、ベクトル空間のカテゴリー（固定体上）が${\displaystyle F}$) はアーベル圏、つまり、数学的対象とそれらの間の構造保存写像の集合 (圏)であり、アーベル群の圏と非常によく似た振る舞いをする。^{[ 58 ]}このため、第一同型定理(行列関連の用語 ではランク零性定理とも呼ばれる) などの多くの命題が、$${\displaystyle V/\ker(f)\;\equiv \;\operatorname {im} (f)}$$そして、第２および第３の同型定理は、群 に対する対応する命題と非常によく似た方法で定式化および証明することができる。

ベクトル空間の直積と直和は、添え字付きベクトル空間の族を組み合わせて新しいベクトル空間を作成する2つの方法です。

直接生成物${\displaystyle \textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}}$ベクトル空間族の${\displaystyle V_{i}}$すべてのタプルの集合から構成される${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{i}\right)_{i\in I}}$各インデックスを指定する${\displaystyle i}$あるインデックスセットにおいて${\displaystyle I}$要素${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$の${\displaystyle V_{i}}$^{[ 59 ]}加算とスカラー乗算は成分ごとに実行されます。この構成の変形として直和があります。${\textstyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$（コプロダクトとも呼ばれ、表記される）${\textstyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$）では、非ゼロベクトルが有限個しか含まれないタプルのみが許可されます。インデックスセットが${\displaystyle I}$有限であれば、2つの構成は一致するが、一般的には異なる。

テンソル積${\displaystyle V\otimes _{F}W,}$または単に${\displaystyle V\otimes W,}$2つのベクトル空間の${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$は多重線形代数の中心的な概念の一つであり、線形写像などの概念を複数の変数に拡張することを扱います。写像${\displaystyle g:V\times W\to X}$デカルト積から${\displaystyle V\times W}$双線形であると言われるのは、${\displaystyle g}$両方の変数に関して線形である${\displaystyle \mathbf {v} }$そして${\displaystyle \mathbf {w} .}$ つまり、固定された${\displaystyle \mathbf {w} }$地図${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$上記の意味では線形であり、固定の場合も同様である。${\displaystyle \mathbf {v} .}$

テンソル積は、双線形写像の普遍的な受け手となる特定のベクトル空間である。${\displaystyle g,}$以下のように定義される。テンソルと呼ばれる記号の有限（形式的）和からなるベクトル空間として定義される。$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} _{2}+\cdots +\mathbf {v} _{n}\otimes \mathbf {w} _{n},}$$ 規則に従う^{[ 60 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}a\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )~&=~(a\cdot \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} ~=~\mathbf {v} \otimes (a\cdot \mathbf {w} ),&&~~{\text{ where }}a{\text{ is a scalar}}\\(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\otimes \mathbf {w} ~&=~\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} &&\\\mathbf {v} \otimes (\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})~&=~\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{2}.&&\\\end{alignedat}}}$$ これらのルールにより、地図が${\displaystyle f}$から${\displaystyle V\times W}$に${\displaystyle V\otimes W}$タプルをマッピングする${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$に${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$双線形である。普遍性とは、任意のベクトル空間が与えられたときに、${\displaystyle X}$および任意の双線形写像${\displaystyle g:V\times W\to X,}$独自の地図が存在する${\displaystyle u,}$図に点線の矢印で示されているように、その組成は${\displaystyle f}$等しい${\displaystyle g}$:${\displaystyle u(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).}$^{[ 61 ]}これはテンソル積の普遍性と呼ばれ、高度な抽象代数でよく使われる方法の一例で、このオブジェクトからの、またはこのオブジェクトへの写像を指定することによって間接的にオブジェクトを定義します。

ベクトルの「測定」は、ベクトルの長さを測定する基準となるノルムを指定するか、ベクトル間の角度を測定する内積によって行われます。ノルムと内積は次のように表されます。${\displaystyle |\mathbf {v} |}$そして${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,}$それぞれ。内積のデータは、関連するノルムを定義することによって、ベクトルの長さも定義できることを意味します。${\textstyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}.}$このようなデータを備えたベクトル空間は、それぞれノルムベクトル空間および内積空間として知られています。^{[ 65 ]}

座標空間${\displaystyle F^{n}}$標準ドット積を搭載可能： $${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$$ で${\displaystyle \mathbf {R} ^{2},}$これは、2つのベクトル間の角度という一般的な概念を反映している。${\displaystyle \mathbf {x} }$そして${\displaystyle \mathbf {y} ,}$余弦定理により： $${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.}$$ このため、2 つのベクトルが${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$これらは直交と呼ばれます。ミンコフスキー空間では、標準的なドット積の重要な変形が用いられます。${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ローレンツ積^{[ 66 ]を備えている}$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.}$$ 標準的な内積とは異なり、これは正定値ではありません。${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }$また、負の値も取ります。たとえば、${\displaystyle \mathbf {x} =(0,0,0,1).}$3つの空間次元ではなく、時間に対応する第4の座標を抜き出すことで、特殊相対性理論の数学的取り扱いに有用となる。他の慣例では、時間はしばしば第1、つまり「ゼロ番目」の成分として表記され、ローレンツ積は次のように表されることに注意されたい。$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.}$$

収束問題はベクトル空間を考慮することによって扱われる${\displaystyle V}$互換性のあるトポロジー、つまり要素が互いに近いことを議論できる構造を持つ。^{[ 67 ]}ここで互換性があるとは、加算とスカラー乗算が連続写像でなければならないことを意味する。おおまかに言うと、${\displaystyle \mathbf {x} }$そして${\displaystyle \mathbf {y} }$で${\displaystyle V}$、 そして${\displaystyle a}$で${\displaystyle F}$限定された量だけ変化すると、${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$そして${\displaystyle a\mathbf {x} .}$^{[注6 ]}スカラーの変化量を指定する意味を理解するために、フィールド${\displaystyle F}$また、この文脈では位相構造も必要となる。一般的な選択肢としては、実数または複素数が挙げられる。

このような位相ベクトル空間では、ベクトルの列を考えることができる。無限和$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }f_{i}~=~\lim _{n\to \infty }f_{1}+\cdots +f_{n}}$$は、対応する数列の有限部分和の極限 を表す。${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$要素の${\displaystyle V.}$例えば、${\displaystyle f_{i}}$何らかの関数空間に属する（実数または複素数の）関数である可能性がある${\displaystyle V,}$この場合、級数は関数級数となる。級数の収束様式は、関数空間に課せられた位相に依存する。このような場合、点ごとの収束と一様収束が代表的な例である。^{[ 68 ]}

ある種の無限級数の極限の存在を保証する方法の一つは、任意のコーシー列が極限を持つ空間に注目を限定することである。このようなベクトル空間は完備であると呼ばれる。大まかに言えば、ベクトル空間は必要な極限をすべて含んでいる場合に完備である。例えば、単位区間上の多項式のベクトル空間は、${\displaystyle [0,1],}$一様収束のトポロジーを備えているが、連続関数は完全ではない。${\displaystyle [0,1]}$は、ワイエルシュトラスの近似定理により、多項式の列で一様に近似できる。^{[ 69 ]}対照的に、上のすべての連続関数 の空間は${\displaystyle [0,1]}$同じトポロジーを持つものは完全である。^{[ 70 ]}ノルムは、ベクトルのシーケンスを定義することによってトポロジーを生み出す。${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$収束して${\displaystyle \mathbf {v} }$かつその場合に限り $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.}$$ バナッハ空間とヒルベルト空間は、それぞれノルムと内積によって位相が与えられる完備な位相ベクトル空間です。関数解析の重要な分野であるこれらの研究は、有限次元位相ベクトル空間上のすべてのノルムが同じ収束の概念を生み出すため、無限次元ベクトル空間に焦点を当てています。^{[ 71 ]}右の画像は、${\displaystyle 1}$-規範と${\displaystyle \infty }$-ノルム${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}:}$単位「球」が互いに囲み合うため、あるノルムで数列がゼロに収束するのは、他のノルムでもゼロに収束する場合に限る。しかし、無限次元の場合、一般に同値でない位相が存在するため、位相ベクトル空間の研究は、追加データのないベクトル空間の研究よりも豊かである。

概念的な観点から言えば、位相ベクトル空間に関連するすべての概念は位相と一致するはずです。たとえば、すべての線形写像（汎関数とも呼ばれる）を考慮する代わりに、${\displaystyle V\to W,}$位相ベクトル空間間の写像は連続でなければならない。^{[ 72 ]}特に、（位相）双対空間${\displaystyle V^{*}}$連続関数から構成される${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$（または${\displaystyle \mathbf {C} }$) 基本的なハーン・バナッハの定理は、適切な位相ベクトル空間の部分空間を連続汎関数によって分離することに関係している。^{[ 73 ]}

ヒルベルト空間

完全内積空間は、デイヴィッド・ヒルベルトにちなんでヒルベルト空間として知られている。^{[ 77 ]}ヒルベルト空間${\displaystyle L^{2}(\Omega ),}$内積は次のように与えられる。 $${\displaystyle \langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,}$$ どこ${\displaystyle {\overline {g(x)}}}$は、の複素共役を表します。${\displaystyle g(x),}$^{[ 78 ] [注9 ]}は重要な事例である。

定義により、ヒルベルト空間では、任意のコーシー列は極限に収束する。逆に、関数列を見つける${\displaystyle f_{n}}$与えられた極限関数を近似する望ましい特性を持つことも同様に重要である。テイラー近似の形で行われた初期の解析では、微分可能な関数の近似が確立された。${\displaystyle f}$多項式によって。^{[ 79 ]}ストーン・ワイエルシュトラスの定理により、上のすべての連続関数は${\displaystyle [a,b]}$多項式によって望む限り近似することができる。^{[ 80 ]}三角関数による同様の近似手法は一般にフーリエ展開と呼ばれ、工学分野で広く応用されている。より一般的に、より概念的に言えば、この定理は、どのような「基本関数」、あるいは抽象的なヒルベルト空間においてはどのような基本ベクトルがヒルベルト空間を生成するのに十分であるかを簡潔に記述するものである。${\displaystyle H,}$それらの張る空間（つまり、それらの有限線形結合とそれらの極限）の閉包が全空間であるという意味で。このような関数の集合は、${\displaystyle H,}$その濃度はヒルベルト空間次元として知られています。^{[注10 ]}この定理は、近似目的に十分な適切な基底関数を示すだけでなく、グラム・シュミット法と組み合わせることで直交ベクトルの基底を構築することもできます。^{[ 81 ]}このような直交基底は、有限次元ユークリッド空間の座標軸のヒルベルト空間への一般化です。

さまざまな微分方程式の解は、ヒルベルト空間の観点から解釈できます。たとえば、物理学や工学の多くの分野でこのような方程式が導き出され、特定の物理的性質を持つ解が基底関数としてよく使用され、多くの場合直交しています。^{[ 82 ]}物理学の例として、量子力学の時間依存シュレーディンガー方程式は、偏微分方程式によって時間経過に伴う物理的性質の変化を記述し、その解は波動関数と呼ばれます。^{[ 83 ]}エネルギーや運動量などの物理的性質の確定値は、ある（線形）微分演算子の固有値に対応し、関連する波動関数は固有状態と呼ばれます。スペクトル定理は、関数に作用する線形コンパクト演算子を、これらの固有関数とその固有値で分解します。^{[ 84 ]}

一般のベクトル空間には、ベクトル間の乗算は存在しない。2つのベクトルの乗算を定義する追加の双線形演算子を備えたベクトル空間は、体上の代数（または体Fが指定されている場合はF代数）である。^{[ 85 ]}

例えば、すべての多項式の集合${\displaystyle p(t)}$2 つの多項式の和​​が多項式であることを利用して、それらはベクトル空間を形成します。また、2 つの多項式の積が再び多項式であるため、それらは代数を形成します。 （複数の変数の）多項式の環とその商は、代数幾何学の基礎を形成します。なぜなら、それらは代数幾何学的対象の関数の環だからです。^{[ 86 ]}

もう1つの重要な例はリー代数で、可換でも結合的でもないが、そうでないことは制約によって制限される（${\displaystyle [x,y]}$の積を表す${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$):

• ${\displaystyle [x,y]=-[y,x]}$（反交換性）および
• ${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$（ヤコビ恒等式）。^{[ 87 ]}

例としては、ベクトル空間が挙げられます。${\displaystyle n}$-による-${\displaystyle n}$行列、${\displaystyle [x,y]=xy-yx,}$2 つの行列の交換子、そして${\displaystyle \mathbf {R} ^{3},}$クロス積を備えている。

テンソル代数${\displaystyle \operatorname {T} (V)}$これは、任意のベクトル空間に積を追加する正式な方法です。${\displaystyle V}$代数を得るため。^{[ 88 ]}ベクトル空間として、それは単純テンソルと呼ばれる記号によって張られる。$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {v} _{n},}$$ 度​${\displaystyle n}$は様々です。乗算は、そのような記号を連結し、加算の下で分配法則を適用し、スカラー乗算がテンソル積⊗と可換であることを要求することによって与えられます。これは、上記のテンソル積のセクションで紹介した2つのベクトル空間のテンソル積の場合とほぼ同じです。一般に、間には関係はありません。${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}}$そして${\displaystyle \mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}.}$このような2つの要素を等しく強制すると対称代数が得られるが、${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}}$外積代数が得られる。^{[ 89 ]}

ベクトル束とは、位相空間Xによって連続的にパラメータ化されたベクトル空間の族である。^{[ 90 ]}より正確には、 X上のベクトル束とは、連続写像を備えた 位相空間Eである。$${\displaystyle \pi :E\to X}$$Xのすべてのx に対して、ファイバーπ ⁻¹ ( x ) はベクトル空間である。 dim V = 1の場合を線束と呼ぶ。任意のベクトル空間Vに対して、射影X × V → Xにより、積X × Vは「自明な」ベクトル束になる。X上のベクトル束は、局所的にXと何らかの (固定された) ベクトル空間Vの積である必要がある。すなわち、 Xのすべてのxに対して、 π から π ⁻¹ ( U )への制限が自明な束U × V → Uと同型であるようなxの近傍Uが存在する^{[ nb 11 ]} 。局所的に自明であるにもかかわらず、ベクトル束は (基礎となる空間Xの形状に応じて) 大きな範囲で「ねじれている」可能性がある (すなわち、束は (大域的に) 自明な束X × Vと同型である必要はない)。例えば、メビウスの帯は円S ¹上の線束として見ることができる（開区間を実数直線と同一視することによって）。しかし、円柱S ¹ × Rとは異なり、後者は向き付け可能であるのに対し、前者は向き付け不可能である。^{[ 91 ]}

Properties of certain vector bundles provide information about the underlying topological space. For example, the tangent bundle consists of the collection of tangent spaces parametrized by the points of a differentiable manifold. The tangent bundle of the circle S¹ is globally isomorphic to S¹ × R, since there is a global nonzero vector field on S¹.^{[nb 12]} In contrast, by the hairy ball theorem, there is no (tangent) vector field on the 2-sphereS² which is everywhere nonzero.^[92]K-theory studies the isomorphism classes of all vector bundles over some topological space.^[93] In addition to deepening topological and geometrical insight, it has purely algebraic consequences, such as the classification of finite-dimensional real division algebras: R, C, the quaternionsH and the octonionsO.

The cotangent bundle of a differentiable manifold consists, at every point of the manifold, of the dual of the tangent space, the cotangent space. Sections of that bundle are known as differential one-forms.

加群は環にとって、ベクトル空間が体にとっての存在と同じである。体Fの代わりに環Rに同じ公理を適用すると、加群が得られる。^{[ 94 ]}加群の理論は、ベクトル空間の理論と比較して、乗法逆元を持たない環の要素が存在するため複雑である。たとえば、Z加群 (つまりアーベル群) Z /2 Zが示すように、加群は基底を持つ必要はない。基底を持つ加群 (すべてのベクトル空間を含む) は自由加群として知られている。それにもかかわらず、ベクトル空間は、要素がベクトルと呼ばれる体である環上の加群としてコンパクトに定義できる。一部の著者は、ベクトル空間という用語を、可除環上の加群を意味するために使用している。^{[ 95 ]}可換環のスペクトルによる代数幾何学的解釈により、ベクトル束の代数的対応物である局所自由加群などの概念を発展させることができる。

大まかに言えば、アフィン空間とは、原点が指定されていないベクトル空間のことである。^{[ 96 ]}より正確には、アフィン空間とは、自由推移的なベクトル空間作用を持つ集合である。特に、ベクトル空間は、写像によって、それ自身上のアフィン空間となる。 $${\displaystyle V\times V\to W,\;(\mathbf {v} ,\mathbf {a} )\mapsto \mathbf {a} +\mathbf {v} .}$$Wがベクトル空間である 場合、アフィン部分空間とは、線形部分空間V を固定ベクトルx ∈ Wで平行移動することによって得られるWの部分集合です。この空間はx + Vと表記され (これはWにおけるVの剰余類です)、 v ∈ Vに対してx + vの形のすべてのベクトルから構成されます。重要な例として、非斉次線形方程式系の解の空間が挙げられます。 $${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {b} }$$線形方程式に関する上記のセクション で議論した同次ケースを一般化すると、${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }$この方程式において。^{[ 97 ]}解の空間はアフィン部分空間x + Vであり、x は方程式の特定の解であり、V は同次方程式の解の空間（Aの零空間）である。

固定された有限次元ベクトル空間Vの 1 次元部分空間の集合は射影空間として知られており、無限遠で交差する平行線の概念を形式化するために使用できます。 ^{[ 98 ]}グラスマン多様体とフラッグ多様体は、それぞれ固定次元kの線形部分空間と部分空間のフラッグをパラメータ化することによってこれを一般化します。