線形代数

線形代数は、次のような線形方程式に関する数学の分野です。

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,}$

次のような線形マップ:

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}$

そしてベクトル空間と行列による表現。^{[1] [2] [3]}

線形代数は、数学のほぼすべての分野の中心です。たとえば、線形代数は、直線、平面、回転などの基本的なオブジェクトの定義など、現代の幾何学の表現の基礎となります。また、数学的解析の分野である関数解析は、線形代数を関数空間に適用したものと見なすことができます。

線形代数は、多くの自然現象をモデル化し、そのようなモデルを使用して効率的に計算できるため、ほとんどの科学および工学分野でも使用されています。線形代数ではモデル化できない非線形システムの場合、多変量関数のある点における微分は、その点の近くの関数を最もよく近似する線形写像であるという事実を使用して、一次近似を処理するためによく使用されます。

連立一次方程式を解くための手順（カウンティングロッドを使用）は、現在ガウス消去法と呼ばれており、古代中国の数学書『九章算術』の第八章「長方形配列」に登場します。その使用法は、2～5個の方程式を含む18の問題で説明されています。^[4]

線形方程式のシステムは、 1637 年にルネ デカルトが幾何学に座標を導入したことによりヨーロッパで生まれました。実際、現在デカルト幾何学と呼ばれるこの新しい幾何学では、線と平面は線形方程式で表され、それらの交点を計算することは線形方程式のシステムを解くことに相当します。

線形システムを解くための最初の体系的な方法は行列式を使用し、 1693年にライプニッツによって最初に考案されました。 1750年にガブリエル・クラマーは行列式を使用して線形システムの明示的な解を与えました。これは現在クラマーの規則と呼ばれています。後にガウスは消去法をさらに説明しましたが、これは当初測地学の進歩として挙げられていました。^[5]

1844 年、ヘルマン・グラスマンは、今日線形代数と呼ばれる基礎的な新しいトピックを含む「拡張理論」を発表しました。1848 年、ジェームズ・ジョセフ・シルベスターは、子宮を意味するラテン語である「マトリックス」という用語を導入しました。

線型代数学は、複素平面で示されたアイデアとともに発展しました。たとえば、 の 2 つの数wとzには差w – zがあり、線分wzと0( w − z )は長さと方向が同じです。これらの線分は同心円状です。4次元の四元数体系は、1843 年にWR Hamiltonによって発見されました。 ^[6]ベクトルという用語は、空間内の点を表すv = x i + y j + z kとして導入されました。四元数の差p – qも、 pqに同心円状の線分を生成します。他の超複素数系でも、基底を持つ線型空間のアイデアが使用されました。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

アーサー・ケイリーは1856年に行列の乗算と逆行列を導入し、一般線型群を可能にした。群の表現のメカニズムは、複素数と超複素数を記述するために利用可能になった。重要なのは、ケイリーが行列を表すために1つの文字を使用し、行列を集合体として扱ったことである。彼はまた、行列と行列式のつながりを理解し、「行列の理論については多くのことが語られるだろうが、それは行列式の理論に先行するべきだと私は思う」と書いた。^[5]

ベンジャミン・パースは『線型連想代数』 （1872年）を出版し、後にその息子チャールズ・サンダース・パースがその研究を拡張した。^[7]

電信には説明システムが必要であり、1873年に出版された『電気と磁気の論文』は力の場の理論を制定し、表現には微分幾何学を必要とした。線型代数は平坦な微分幾何学であり、多様体の接空間で機能する。時空の電磁的対称性はローレンツ変換によって表現され、線型代数の歴史の多くはローレンツ変換の歴史である。

ベクトル空間の最初の現代的でより正確な定義は、1888年にペアノによって導入されました。 ^{[5] 1900年までに、有限次元ベクトル空間の線型変換の理論が登場しました。線型代数は、前世紀の多くのアイデアと方法が}抽象代数として一般化された20世紀前半に現代的な形を取りました。コンピュータの発達により、ガウス消去法と行列分解の効率的なアルゴリズムの研究が増加し、線型代数はモデリングとシミュレーションに不可欠なツールになりました。^[5]

19 世紀まで、線型代数は線型方程式と行列のシステムを通じて導入されていました。現代数学では、ベクトル空間による表現の方が、より総合的で、より一般的 (有限次元の場合に限定されない) であり、より抽象的ではあるものの、概念的にはより単純であるため、一般的に好まれています。

体 F (実数体であることが多い)上のベクトル空間は、2 つの二項演算を備えた集合 Vです。Vの要素はベクトルと呼ばれ、Fの要素はスカラーと呼ばれます。最初の演算であるベクトル加算は、任意の 2 つのベクトルvとwを受け取り、3 番目のベクトル v + w を出力します。2番目の演算であるスカラー乗算は、任意のスカラーaと任意のベクトルvを受け取り、新しいベクトルa vを出力します。加算とスカラー乗算が満たす必要がある公理は次のとおりです。(以下のリストで、u、v、wはVの任意の要素であり、aとb は体Fの任意のスカラーです。) ^[8]

最初の 4 つの公理は、Vが加法に関してアーベル群であることを意味します。

特定のベクトル空間の要素は、さまざまな性質を持つことがあります。たとえば、数列、関数、多項式、行列などです。線型代数は、すべてのベクトル空間に共通するこのようなオブジェクトの特性について扱います。

線型写像は、ベクトル空間構造を保存するベクトル空間間の写像である。体F上の2つのベクトル空間VとWが与えられたとき、線型写像（文脈によっては線型変換または線型写像とも呼ばれる）は、

${\displaystyle T:V\to W}$

加算とスカラー乗算と互換性があり、

${\displaystyle T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} ),\quad T(a\mathbf {v} )=aT(\mathbf {v} )}$

Vの任意のベクトルu、v、およびFのスカラーaに対して。

これは、 Vの任意のベクトルu、vとF のスカラーa、bに対して、

${\displaystyle T(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} )=T(a\mathbf {u} )+T(b\mathbf {v} )=aT(\mathbf {u} )+bT (\mathbf {v} )}$

V = Wが同じベクトル空間である場合、線型写像T  : V → VはV上の線型作用素とも呼ばれます。

2 つのベクトル空間間の全単射線型写像(つまり、2 番目の空間のすべてのベクトルが 1 番目の空間の 1 つのベクトルと正確に関連付けされている) は、同型写像です。同型写像は線型構造を保存するため、2 つの同型ベクトル空間は、線型代数の観点からは「本質的に同じ」であり、ベクトル空間の特性を使用して区別することはできません。線型代数の重要な問題は、線型写像が同型写像であるかどうかをテストし、同型写像でない場合は、その範囲(または像) と、写像の核と呼ばれるゼロ ベクトルに写像される要素の集合を見つけることです。これらの問題はすべて、ガウス消去法またはこのアルゴリズムの変形を使用して解決できます。

誘導演算の下でそれ自体がベクトル空間であるベクトル空間の部分集合の研究は、多くの数学的構造と同様に基礎的である。これらの部分集合は線型部分空間と呼ばれる。より正確には、体F上のベクトル空間Vの線型部分空間とは、任意のu、vがWに、任意のa がFにそれぞれ存在する場合、u + vおよびa u がWに含まれるようなVの部分集合Wのことである。(これらの条件は、 Wがベクトル空間である ことを示すのに十分である。)

たとえば、線型写像T  : V → Wが与えられたとき、Vの像 T ( V )と0の逆像T ⁻¹ ( 0 ) (カーネル空間またはヌル空間と呼ばれる) は、それぞれWとVの線型部分空間です。

部分空間を形成するもう一つの重要な方法は、ベクトルの集合Sの線形結合を考えることである。つまり、すべての和の集合である。

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k},}$

ここで、v ₁、v ₂、...、v _{k は}S内にあり、a ₁、a ₂、...、a _{k は}F内にあり、Sのスパンと呼ばれる線形部分空間を形成します。 Sのスパンは、 S を含むすべての線形部分空間の共通部分でもあります。言い換えると、 S を含む最小の（包含関係において）線形部分空間です。

ベクトルの集合は、そのどれもが他のベクトルの範囲内にない場合、線形独立です。同様に、ベクトルの集合S は、ゼロベクトルをSの要素の線形結合として表現する唯一の方法が、すべての係数a _iにゼロを取ることである場合に、線形独立です。

ベクトル空間を張るベクトルの集合は、全域集合または生成集合と呼ばれます。全域集合Sが線型従属（線型独立ではない）である場合、 Sの何らかの要素w はSの他の要素の範囲に含まれ、 Sからw を削除しても範囲は同じままです。線型独立な全域集合が得られるまで、Sの要素を削除し続けることができます。ベクトル空間Vを張るこのような線型独立集合は、Vの基底と呼ばれます。基底の重要性は、それらが同時に極小生成集合であると同時に極大独立集合であるという事実にあります。より正確には、S が線型独立集合であり、TがS ⊆ Tとなる全域集合である場合、 S ⊆ B ⊆ Tとなる基底Bが存在します。

ベクトル空間Vの任意の2つの基底は同じ濃度を持ち、これをVの次元と呼びます。これはベクトル空間の次元定理です。さらに、同じ体F上の2つのベクトル空間が同型であるための必要十分条件は、それらが同じ次元を持つことです。^[9]

Vの任意の基底（したがってすべての基底）が有限個の要素を持つ場合、V は有限次元ベクトル空間です。U がVの部分空間である場合、dim U ≤ dim Vです。 Vが有限次元の場合、次元が等しいことからU = Vとなります。

U ₁とU _{2 が}Vの部分空間である場合、

${\displaystyle \dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2}),}$

ここでU ₁ + U _2はU ₁ ∪ U ₂の範囲を表す。^[10]

行列は有限次元ベクトル空間と線型写像の明示的な操作を可能にします。したがって、行列の理論は線型代数の重要な部分です。

V を体F上の有限次元ベクトル空間とし、( v 1 _, v 2 _, ..., v _m )をVの基底とする（したがってmはVの次元）。基底の定義により、写像

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},\ldots ,a_{m})&\mapsto a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots a_{m}\mathbf {v} _{m}\\F^{m}&\to V\end{aligned}}}$

は、 Fのm個の要素からなる列の集合F ^mからVへの全単射です。F ^mがベクトル空間の標準的な構造を備え、ベクトルの加算とスカラー乗算が要素ごとに行われる場合、これはベクトル空間の同型です。

この同型性により、ベクトルをこの同型性の逆像、つまり座標ベクトル （a ₁、...、a _m）または列行列で表すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{bmatrix}}.}$

Wが別の有限次元ベクトル空間（同じでもよい）で基底が( w ₁ , ..., w _n )である場合、 WからVへの線型写像fは基底要素の値、つまり( f ( w ₁ ), ..., f ( w _n ))によって適切に定義されます。したがって、f は対応する列行列のリストによって適切に表現されます。つまり、

${\displaystyle f(w_{j})=a_{1,j}v_{1}+\cdots +a_{m,j}v_{m},}$

j = 1, ..., nの場合、fは行列で表される 。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}},}$

m行、n列です。

行列の乗算は、2 つの行列の積が対応する線形写像の合成行列であり、行列と列行列の積が、表現された線形写像を表現されたベクトルに適用した結果を表す列行列であるように定義されます。したがって、有限次元ベクトル空間の理論と行列の理論は、まったく同じ概念を表現する 2 つの異なる言語であると言えます。

異なる基底で同じ線型変換をエンコードする 2 つの行列は、相似であると呼ばれます。2 つの行列が相似であることは、基本的な行と列の演算によって一方を他方に変換できる場合にのみ証明できます。 WからVへの線型写像を表す行列の場合、行演算はVの基底の変更に対応し、列演算はWの基底の変更に対応します。すべての行列は、ゼロ行とゼロ列で囲まれる可能性のある単位行列に相似です。ベクトル空間では、これは、WからVへの任意の線型写像について、 Wの基底の一部がVの基底の一部に全単射に写像され、 Wの残りの基底要素(存在する場合) がゼロに写像されるような基底が存在することを意味します。ガウス消去法は、これらの基本演算を見つけて結果を証明する基本的なアルゴリズムです。

有限の変数集合における有限の線形方程式集合、例えばx ₁、x ₂、...、x _n、またはx、y、...、zは線形方程式系または線形システムと呼ばれる。^{[11] [12] [13] [14] [15]}

線形方程式のシステムは、線形代数の基本的な部分を形成します。歴史的に、線形代数と行列理論は、このようなシステムを解くために開発されてきました。ベクトル空間と行列による線形代数の現代的な表現では、多くの問題が線形システムの観点から解釈される可能性があります。

例えば、

線形システムであること。

このようなシステムには、そのマトリックスを関連付けることができる。

${\displaystyle M=\left[{\begin{array}{rrr}2&1&-1\\-3&-1&2\\-2&1&2\end{array}}\right].}$

そしてその右辺のベクトル

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}8\\-11\\-3\end{bmatrix}}.}$

T を行列Mに関連付けられた線形変換とします。システム ( S ) の解はベクトル

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$

そのような

${\displaystyle T(\mathbf {X} )=\mathbf {v} ,}$

これはTによるvの逆像の要素です。

( S′ ) を関連する同次系とし、方程式の右辺をゼロとする。

( S′ )の解はまさにTの核の要素、つまりMの要素である。

ガウス消去法は、拡大行列に対して基本的な行演算を実行することから成ります。

${\displaystyle \left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}$

これを簡約階段形にするには、これらの行操作によって方程式系の解の集合は変化しない。例では、簡約階段形は

${\displaystyle \left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right],}$

システム（S）が唯一の解を持つ ことを示している

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{aligned}}}$

この線形システムの行列解釈から、同じ方法が線形システムを解くため、およびランク、カーネル、逆行列の計算を含む行列と線形変換に関する多くの操作に適用できることがわかります。

線型自己準同型は、ベクトル空間V をそれ自身に写像する線型写像です。Vがn個の要素を持つ基底を持つ場合、このような自己準同型はサイズnの正方行列で表されます。

一般線型写像に関して、線型自己準同型写像と正方行列は、その研究を線型代数の重要な部分にするいくつかの特定の特性を持ち、線型代数は、幾何学的変換、座標変換、二次形式、および数学のその他の多くの部分を含む数学の多くの部分で使用されます。

正方行列Aの行列式は次のように定義される^[16]

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)},}$

ここで、S _nはn個の要素のすべての順列のグループ、σは順列、(−1) ^{σ は}順列の偶奇です。行列が逆行列になるのは、行列式が逆行列になる場合のみです (つまり、スカラーが体に属する場合は 0 以外になります)。

クラメールの法則は、n 個の未知数を持つn 個の線形方程式系の解を、行列式を用いて閉じた形式で表現したものです。クラメールの法則は解を推論するのに便利ですが、ガウス消去法の方が高速なアルゴリズムである ため、 n = 2または3 の場合を除いて、解の計算にはほとんど使用されません。

自己準同型の行列式は、何らかの順序付けられた基底に関して自己準同型を表す行列の行列式です。この定義は、この行列式が基底の選択に依存しないため、意味をなします。

f が体F上のベクトル空間Vの線型自己準同型である場合、fの固有ベクトルは、 F内のあるスカラーaに対してf ( v ) = avとなるようなVの非ゼロベクトルvです。このスカラーaはfの固有値です。

Vの次元が有限で基底が選択されている場合、fとv はそれぞれ正方行列Mと列行列zで表すことができます。固有ベクトルと固有値を定義する式は次のようになります。

${\displaystyle Mz=az.}$

単位行列 Iは、主対角成分が1である以外は全て0であるので、これを書き直すと次のようになる。

${\displaystyle (M-aI)z=0.}$

zは非ゼロであるはずなので、 M – aIは特異行列であり、その行列式det ( M − aI )はゼロである。したがって、固有値は多項式の根である。

${\displaystyle \det(xI-M).}$

Vがn次元の場合、これはn次単項式であり、行列（または自己準同型）の特性多項式と呼ばれ、最大でn 個の固有値が存在します。

固有ベクトルのみからなる基底が存在する場合、この基底上のfの行列は非常に単純な構造を持ちます。つまり、主対角線上の要素が固有値で、他の要素がゼロであるような対角行列です。この場合、自己準同型と行列は対角化可能であると言われます。より一般的には、自己準同型と行列は、スカラー体を拡張した後に対角化可能になる場合にも対角化可能であると言われます。この拡張された意味では、特性多項式が平方フリーである場合、行列は対角化可能です。

対称行列は常に対角化可能である。対角化不可能な行列もあり、最も単純なものは

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

(その平方はゼロ行列であり、非ゼロ対角行列の平方は決してゼロにならないため、対角化できません)。

自己準同型が対角化できない場合、対角形式ほど単純ではないものの、単純な形式を持つ基底が存在します。フロベニウス正規形はスカラー体を拡張する必要がなく、特性多項式を行列上ですぐに読み取ることができます。ジョルダン正規形は、すべての固有値を含むためにスカラー体を拡張する必要があり、主対角線のすぐ上にあって 1 に等しいいくつかの要素のみが対角形式と異なります。

線型形式は、体F上のベクトル空間Vからスカラー体Fへの線型写像であり、それ自体のベクトル空間として見ることができる。点ごとの加法とスカラー乗法によって、線型形式はVの双対空間と呼ばれるベクトル空間を形成し、通常V* ^[17]またはV ′ ^{[18] [19]}と表記される。

v ₁、...、v _{n が}Vの基底である場合（これはVが有限次元であることを意味する）、i = 1、...、nに対して、 j ≠ iの場合にv _i *( v _i ) = 1かつv _i *( v _j ) = 0となるような線型写像v _i *を定義できる。これらの線型写像はV *の基底を形成し、v ₁、...、v _nの双対基底と呼ばれる。（ Vが有限次元でない場合、 v _i * は同様に定義でき、それらは線型独立であるが、基底を形成しない。）

V内のvに対して、写像

${\displaystyle f\to f(\mathbf {v} )}$

はV*上の線型形式です。これはVから( V *)* ( V*の双対、つまりVの二重双対または二重双対と呼ばれるもの)への標準線型写像を定義します。この標準写像は、Vが有限次元の場合同型であり、これによりV をその二重双対と同一視できます。(無限次元の場合、標準写像は単射ですが、射影ではありません。)

このように有限次元ベクトル空間とその双対空間の間には完全な対称性が存在する。このため、この文脈ではブラケット記法が頻繁に使用される。

${\displaystyle \langle f,\mathbf {x} \rangle }$

f ( x )を表します。

させて

${\displaystyle f:V\to W}$

は線型写像である。W上の任意の線型形式hに対して、合成関数h ∘ fはV上の線型形式である。これは線型写像を定義する。

${\displaystyle f^{*}:W^{*}\to V^{*}}$

双対空間間の空間で、これはfの双対または転置と呼ばれます。

VとWが有限次元で、M がいくつかの順序付き基底によるfの行列である場合、双対基底上のf*の行列は、行と列を交換することによって得られるMの転置 M ^Tです。

ベクトル空間の元とその双対が列ベクトルで表される場合、この双対性はブラケット記法で次のよう に表現できる。

${\displaystyle \langle h^{\mathsf {T}},M\mathbf {v} \rangle =\langle h^{\mathsf {T}}M,\mathbf {v} \rangle .}$

この対称性を強調するために、この等式の2つの要素は次のように書かれることがある。

${\displaystyle \langle h^{\mathsf {T}}\mid M\mid \mathbf {v} \rangle .}$

これらの基本概念に加えて、線型代数は、内積などの追加構造を持つベクトル空間も研究します。内積は双線型形式の一例であり、長さと角度の定義を可能にすることでベクトル空間に幾何学的構造を与えます。正式には、内積は写像です。

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F}$

これは、 Vのすべてのベクトルu、v、wとFのすべてのスカラーaに対して次の3つの公理を満たす：^{[20] [21]}

• 共役対称性:

  ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}.}$

では対称です。${\displaystyle \mathbb {R} }$

• 最初の引数の 線形性:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\langle a\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle &=a\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle .\\\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle &=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle .\end{aligned}}}$

• 正定値性:

  ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0}$

v = 0 の場合にのみ等しくなります。

Vのベクトルvの長さは次のように 定義できる。

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$

そしてコーシー・シュワルツの不等式を証明できる。

${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|.}$

特に、量

${\displaystyle {\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |}{\|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|}}\leq 1,}$

したがって、この量は 2 つのベクトル間の角度の余弦と呼ぶことができます。

2つのベクトルが直交するとは、⟨ u , v ⟩ = 0のときです。正規直交基底とは、すべての基底ベクトルの長さが1で、互いに直交している基底のことです。任意の有限次元ベクトル空間が与えられた場合、正規直交基底はグラム・シュミット法で求めることができます。正規直交基底は特に扱いやすく、v = a ₁ v ₁ + ⋯ + a _n v _nのとき、

${\displaystyle a_{i}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle .}$

内積は多くの有用な概念の構築を容易にする。例えば、変換Tが与えられたとき、そのエルミート共役 T*を次の式を満たす線形変換として 定義することができる。

${\displaystyle \langle T\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,T^{*}\mathbf {v} \rangle .}$

T がTT* = T*Tを満たす場合、 T を 正規行列と呼びます。正規行列は、 Vにわたる固有ベクトルの正規直交系を持つ行列とまったく同じであることがわかります。

線型代数と幾何学の間には密接な関係があり、それは1637 年にルネ・デカルトが直交座標を導入したことに始まります。現在では直交幾何学と呼ばれるこの新しい (当時の) 幾何学では、点は直交座標で表されます。直交座標は 3 つの実数の列です (通常の3 次元空間の場合)。幾何学の基本的な対象である直線と平面は、線形方程式で表されます。したがって、直線と平面の交点を計算することは、線形方程式の連立を解くことに相当します。これが線形代数を発展させる主な動機の 1 つでした。

平行移動、回転、反射、剛体運動、等長変換、射影などのほとんどの幾何学的変換は、線を線に変換します。したがって、これらは線型写像の観点から定義、指定、および研究できます。これは、射影空間の変換として考えた場合のホモグラフィとメビウス変換の場合にも当てはまります。

19 世紀末まで、幾何学的空間は点、直線、平面に関する公理によって定義されていました (総合幾何学)。この頃、ベクトル空間を含む構成によって幾何学的空間を定義できるようになったようです ( たとえば、射影空間とアフィン空間を参照)。2 つのアプローチは本質的に同等であることが示されている。^{[22]古典幾何学では、含まれるベクトル空間は実数上のベクトル空間ですが、構成は任意の体上のベクトル空間に拡張でき、}有限体を含む任意の体上の幾何学を考慮することができます。

現在、ほとんどの教科書では線形代数から幾何学的空間を紹介しており、幾何学は初等レベルでは線形代数のサブフィールドとして紹介されることが多いです。

線形代数は数学のほぼすべての分野で使用されているため、数学を使用するほぼすべての科学領域に関連しています。これらのアプリケーションは、いくつかの幅広いカテゴリに分類できます。

関数解析では関数空間を研究します。関数空間は、ヒルベルト空間などの追加構造を持つベクトル空間です。したがって、線形代数は関数解析とその応用の基本的な部分であり、特に量子力学(波動関数) とフーリエ解析(直交基底) が含まれます。

ほぼすべての科学計算には線形代数が関係しています。そのため、線形代数アルゴリズムは高度に最適化されています。BLASとLAPACK は最もよく知られている実装です。効率性を向上させるために、一部のアルゴリズムは実行時にアルゴリズムを自動的に構成し、コンピューターの特性 (キャッシュサイズ、使用可能なコアの数など) に適応させます。

1960年代以降、線形代数の演算を最適化するための特殊な命令を備えたプロセッサ^[23] 、従来のプロセッサの制御下にあるオプションの配列プロセッサ^{[24] 、配列処理用に設計されたスーパーコンピュータ[25] [26] [27]}、ベクトルレジスタで拡張された従来のプロセッサ^[28]などが存在してきました。

現代のプロセッサの中には、典型的にはグラフィックス・プロセッシング・ユニット（GPU）のように、線形代数の演算を最適化するために行列構造で設計されているものがある。^[29]

周囲空間のモデリングは幾何学に基づいています。この空間に関係する科学では、幾何学が幅広く使用されています。剛体の力学を記述する力学やロボット工学、地球の形状を記述する測地学、シーンとその平面表現の関係を記述する遠近法、コンピューター ビジョン、コンピューター グラフィックス、その他多くの科学分野で幾何学が使用されています。

これらすべてのアプリケーションでは、一般的な説明や定性的なアプローチに合成幾何学がよく使用されますが、明示的な状況の研究では座標を使用して計算する必要があります。これには線形代数の多用が必要です。

ほとんどの物理現象は、偏微分方程式によってモデル化されます。それらを解くには、通常、解が探索される空間を小さな相互に作用するセルに分解します。線形システムの場合、この相互作用には線形関数が関係します。非線形システムの場合、この相互作用は多くの場合、線形関数で近似されます。 ^[b]これは、線形モデルまたは一次近似と呼ばれます。線形モデルは、パラメーター化を管理しやすくするため、複雑な非線形の実世界のシステムによく使用されます。^[30]どちらの場合も、非常に大きな行列が一般に関係します。天気予報（より具体的には、大気モデリングのパラメーター化）は、実際のアプリケーションの典型的な例であり、地球の大気全体が、たとえば幅 100 km、高さ 100 km のセルに分割されています。

^{[31] [32] [33]}

線形代数は、ベクトル空間とこれらの空間間の線形写像を扱う数学の分野であり、流体力学、流体力学、熱エネルギーシステムなど、さまざまな工学分野で重要な役割を果たしています。これらの分野における線形代数の応用は多面的であり、複雑な問題を解決するために不可欠です。

流体力学では、線形代数は流体の挙動に関連する問題の理解と解決に不可欠です。線形代数は流体の流れのモデル化とシミュレーションを支援し、流体力学の問題の分析に不可欠なツールを提供します。たとえば、線形代数の手法は、流体の動きを表す微分方程式のシステムを解くために使用されます。これらの方程式は複雑で非線形であることが多いですが、線形代数法を使用して線形化できるため、より簡単なソリューションと分析が可能になります。

流体力学の分野では、線形代数は数値流体力学(CFD) に応用されています。数値解析とデータ構造を使用して流体の流れに関する問題を解決および分析する分野です。CFD は、さまざまなアプリケーションで流体の流れと熱伝達を計算するために線形代数を大いに利用しています。たとえば、流体力学の基本であるナビエ-ストークス方程式は、線形代数から派生した手法を使用して解かれることがよくあります。これには、流体の流れ場を表現および操作するための 行列とベクトルの使用が含まれます。

さらに、線形代数は熱エネルギーシステム、特に電力システムの解析において重要な役割を果たします。電力の発電、送電、配電をモデル化し、最適化するために使用されます。行列演算や固有値問題などの線形代数の概念は、電力システムの効率、信頼性、経済的パフォーマンスを向上させるために使用されます。この文脈での線形代数の応用は、再生可能エネルギー源やスマートグリッドを含む現代の電力システムの設計と運用に不可欠です。

全体として、流体力学、流体力学、熱エネルギーシステムにおける線形代数の応用は、数学と工学の深い相互関係の一例です。線形代数は、これらの領域における複雑な問題をモデル化、分析、解決するために必要なツールをエンジニアに提供し、技術と産業の進歩につながります。

このセクションでは、線形代数の初歩的な教科書には通常登場しないが、高度な数学では線形代数の一部として一般的に考えられているいくつかの関連トピックを紹介します。

体における乗法逆数の存在は、ベクトル空間を定義する公理には関係ありません。したがって、スカラー体を環R に置き換えると、 R上の加群、またはR加群と呼ばれる構造が得られます。

線型独立性、範囲、基底、線型写像（または加群準同型）の概念は、ベクトル空間の場合とまったく同じように加群に対して定義されますが、本質的な違いは、R が体でない場合、基底を持たない加群が存在することです。基底を持つ加群は自由加群であり、有限集合によって張られる加群は有限生成加群です。有限生成自由加群間の加群準同型は、行列によって表すことができます。環上の行列の理論は体上の行列の理論に似ていますが、環が可換である場合にのみ行列式が存在し、可換環上の正方行列は、その行列式の乗法逆が環内に存在する場合にのみ逆行列である点が異なります。

ベクトル空間は、次元によって完全に特徴付けられます (同型性を除く)。一般に、有限生成モジュールに限定したとしても、モジュールの完全な分類は存在しません。ただし、すべてのモジュールは、自由モジュールの準同型のコカーネルです。

整数上の加群はアーベル群と同一視できる。これは、整数による乗算が繰り返し加算と同一視できるためである。アーベル群の理論のほとんどは、主イデアル領域上の加群に拡張できる。特に、主イデアル領域上では、自由加群のすべてのサブ加群は自由であり、有限生成アーベル群の基本定理は、主環上の有限生成加群に直接拡張できる。

線形方程式や線形方程式系を解くアルゴリズムが存在する環は数多くあります。ただし、これらのアルゴリズムは一般に、体上の同様のアルゴリズムよりもはるかに計算が複雑です。詳細については、 「環上の線形方程式」を参照してください。

多重線型代数では、多変数線型変換、つまり多数の異なる変数のそれぞれについて線型であるマッピングを考慮します。この研究の流れは自然に、双対空間、つまり線型写像f  : V → Fで構成されるベクトル空間V* ( Fはスカラー体) という概念につながります。多重線型写像T  : V ⁿ → Fは、 V*の元のテンソル積を介して記述できます。

ベクトルの加算とスカラー乗算に加えて、双線型ベクトル積V × V → Vが存在する場合、ベクトル空間は代数と呼ばれます。たとえば、結合代数は、結合ベクトル積を持つ代数です（正方行列の代数や多項式の代数など）。

有限次元でないベクトル空間は、扱いやすくするために追加の構造を必要とすることが多い。ノルムベクトル空間は、要素の「サイズ」を測定するノルムと呼ばれる関数を伴うベクトル空間である。ノルムは、要素間の距離を測定する計量を誘導し、連続写像の定義を可能にする位相を誘導する。計量によって、極限と完全性の定義も可能になる。完全なノルムベクトル空間はバナッハ空間と呼ばれる。内積(共役対称セスクイリニア形式)という追加の構造を伴う完全な計量空間はヒルベルト空間と呼ばれ、ある意味では特に行儀の良いバナッハ空間である。関数解析では、さまざまな関数空間を研究するために、線型代数の手法と数学解析の手法を適用する。関数解析における中心的な研究対象は、バナッハ空間であるL ^p空間と、その中で唯一のヒルベルト空間である平方積分関数のL ²空間である。関数解析は、量子力学、偏微分方程式の理論、デジタル信号処理、電気工学にとって特に重要です。また、フーリエ変換や関連手法の基礎となる基礎と理論的枠組みも提供します。

• 基本マトリックス（コンピュータビジョン）
• 幾何代​​数
• 線形計画法
• 線形回帰、統計的推定法
• 数値線形代数
• 線形代数の概要
• 変換行列

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