逆関数

数学において、関数fの逆関数（fの逆関数とも呼ばれる）は、fの演算を元に戻す関数である。 fの逆関数は、 fが全単射である場合にのみ存在し、存在する場合は次のように表される。 ${\displaystyle f^{-1}.}$

関数 の場合、その逆関数は明示的に記述できます。つまり、各要素をf ( x ) = yとなる一意の要素に渡します。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$

例として、実数値関数f ( x ) = 5 x − 7を考えてみましょう。f は、入力に 5 を掛け、その結果から 7 を引く関数と考えることができます。これを元に戻すには、入力に 7 を足し、その結果を 5 で割ります。したがって、fの逆関数は、次のように定義されます。${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.}$

f を、定義域が集合X 、共定義域が集合Yである関数とする。このとき、YからXへの関数g が存在し、すべての に対してかつすべての に対してとなるとき、 fは可逆である。^[1]${\displaystyle g(f(x))=x}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(g(y))=y}$${\displaystyle y\in Y}$

fが逆関数である場合、この性質を満たす関数g は1 つだけ存在します。関数gはfの逆関数と呼ばれ、通常はf ⁻¹と表記されます。この表記法は1813 年にジョン・フレデリック・ウィリアム・ハーシェルによって導入されました。 ^{[2] [3] [4] [5] [6] [注 1]}

関数f が逆関数となるのは、それが全単射である場合のみです。これは、すべての に対する条件がfが単射であることを意味し、すべての に対する条件がfが全射であることを意味するためです。 ${\displaystyle g(f(x))=x}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(g(y))=y}$${\displaystyle y\in Y}$

逆関数f ⁻¹からfへの関数fは、次のように明示的に記述できる。

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{X 内の唯一の元 }}x{\text{ で、}}f(x)=y となるもの)}$。

f が定義域Xと共定義域Y を持つ可逆関数である場合、

${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$、すべてのおよびすべてのに対して。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$${\displaystyle y\in Y}$

関数の合成を使用すると、このステートメントは関数間の次の式に書き直すことができます。

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$そして${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

ここで、id _Xは集合X上の恒等関数、つまり引数を変更しない関数です。圏論では、このステートメントは逆射の定義として使用されます。

関数合成について考えると、表記法f ^{−1 を}理解するのに役立ちます。関数f : X → X をそれ自体で繰り返し合成することを反復といいます。値xから始めて、 fをn回適用すると、これはf ⁿ ( x )と表記されます。つまり、f ² ( x ) = f ( f ( x ))などとなります。f ⁻¹ ( f ( x )) = xなので、 f ⁻¹とf ^{n を}合成するとf ^{n −1}となり、 fを 1 回適用した効果が「元に戻り」ます。 

f ⁻¹ ( x )という表記は誤解される可能性があるが、^[1] ( f ( x )) ^{−1 は}確かにf ( x )の逆数を表し、 fの逆関数とは何の関係もない。^[6]この表記は、逆数との曖昧さを避けるために逆関数に使用されることがある。^[7]${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$

一般的な表記法に従って、一部の英語の著者は、xに適用された正弦関数の逆関数（実際には部分逆関数。下記参照）を表すのにsin ⁻¹ ( x )のような表現を使用しています。 ^{[8] [6]他の著者は、これが}sin ( x )の乗法逆関数の表記法（ (sin ( x )) ⁻¹と表記できる）と混同される可能性があると感じています。^[6]混乱を避けるために、逆三角関数は、しばしば接頭辞「arc」（ラテン語のarcus）を付けて示されます。^{[9] [10]}たとえば、正弦関数の逆関数は通常、逆正弦関数と呼ばれ、arcsin ( x )と表記されます。^{[9] [10]同様に、}双曲関数の逆関数は接頭辞「ar」（ラテン語のārea）を付けて示されます。^[10]たとえば、双曲正弦関数の逆関数は通常、 arsinh ( x )と表記されます。^[10] sin ⁻¹ ( x )のような表現は、多値逆関数と部分逆関数を区別するのに依然として有用である: 。他の逆特殊関数は、 f ⁻¹表記の曖昧さを避ける必要がある場合、接頭辞「inv」が付けられることがある。^{[11] [10]}${\displaystyle \sin ^{-1}(x)=\{(-1)^{n}\arcsin(x)+\pi n:n\in \mathbb {Z} \}}$

f ( x ) = x ²で与えられる関数f : R → [0,∞)は、すべての に対して であるため単射ではありません。したがって、f は逆関数ではありません。 ${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

関数の定義域が非負の実数に制限されている場合、つまり、関数を前と同じ規則でとると、関数は全単射であり、したがって逆関数である。^{[12]ここでの逆関数は}（正の）平方根関数と呼ばれ、と表記される。 ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}}$${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$

次の表は、いくつかの標準関数とその逆関数を示しています。

代数式で与えられる関数の多くは、その逆関数の式を持っています。これは、可逆関数の逆関数が次のように明示的に記述される からです。${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in \mathbb {R} {\text{ such that }}f(x)=y)}$。

これにより、代数式で与えられる多くの関数の逆関数を簡単に決定することができます。たとえば、fが関数で ある場合、

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

実数y を決定するには、 (2 x + 8) ³ = yとなる唯一の実数x を見つけなければなりません。この方程式は次のように解くことができます。 ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

したがって、逆関数f ^−1は次の式で与えられる。

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

関数の逆関数は閉じた形式式で表現できないことがあります。例えば、fが関数の 場合

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

するとf は一対一なので、逆関数f ⁻¹を持ちます。この逆関数の式は無限和として表されます。

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}$

関数は二項関係の特殊なタイプであるため、逆関数の特性の多くは逆関係の特性に対応します。

与えられた関数fに対して逆関数が存在する場合、それは一意である。^[13]これは、逆関数が逆関係でなければならないためであり、これはfによって完全に決定される。

関数とその逆関数の間には対称性がある。具体的には、関数fが定義域Xと共定義域Yを持つ可逆関数である場合、その逆関数f ⁻¹は定義域Yと像Xを持ち、f ⁻¹の逆関数は元の関数fである。記号で表すと、関数f : X → Y とf ⁻¹ : Y → Xの場合、^[13]

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$そして${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

この記述は、 fが逆行列を持つためには単射でなければならないという含意から導かれる。逆行列の逆行列の性質は簡潔に^[14]で表現できる。

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

関数合成の逆関数は^{[15]で与えられる。}

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

gとfの順序が逆になっていることに注意してください。fの後にg を元に戻すには、まずg を元に戻し、次にf を元に戻す必要があります。

例えば、f ( x ) = 3 x、g ( x ) = x + 5とします。すると、合成g  ∘  f は、最初に3を掛けてから5を加算する関数になります。

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

このプロセスを逆にするには、まず5を引いてから3で割る必要があります。

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

これは合成 ( f ⁻¹  ∘  g ⁻¹ )( x )です。

Xが集合である場合、 X上の恒等関数はそれ自身の逆関数になります。

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

より一般的には、関数f  : X → X_がそれ自身の逆関数に等しいのは、合成f  ∘  fがXに等しい場合のみです。このような関数は反転と呼ばれます。

fが逆関数である場合 、関数のグラフは

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

は方程式のグラフと同じである

${\displaystyle x=f(y).}$

これは、xとyの役割が逆になっていることを除いて、 fのグラフを定義する方程式y = f ( x )と同一である。したがって、 x 軸とy軸の位置を入れ替えることで、fのグラフからf ^{−1のグラフを得ることができる。これは、} y = xの線を横切ってグラフを 反転することと同等である。^{[16] [1]}

逆関数定理によれば、一変数の連続関数（）は、その範囲（像）上で逆関数となるためには、関数が厳密に増加または減少する（極大値や極小値を持たない）必要がある。例えば、関数 ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

導関数 f′ ( x )=3x2 ⁺ 1は常に正な ので、逆関数である。

関数f が区間I上で微分可能であり、各x ∈ Iに対してf′ ( x ) ≠ 0 であるとき、逆関数f ^−1はf ( I )上で微分可能である。^[17] y = f ( x ) のとき、逆関数の導関数は逆関数定理によって与えられる。

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

ライプニッツの記法を用いると、上の式は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

この結果は連鎖律から導かれます（逆関数と微分に関する記事を参照）。

逆関数定理は、多変数関数に一般化できます。具体的には、連続的に微分可能な多変数関数 f : R ⁿ → R ⁿは、点pにおけるfのヤコビ行列が逆行列である限り、点pの近傍で逆行列が存在します。この場合、f ( p )におけるf ⁻¹のヤコビアンは、 pにおけるfのヤコビアンの逆行列です。

• fを摂氏温度を華氏温度に変換する関数とすると、その逆関数は華氏温度を摂氏温度に変換する。^[18 ]$${\displaystyle F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;}$$$${\displaystyle C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-1}(f(C))={}&f^{-1}\left({\tfrac {9}{5}}C+32\right)={\tfrac {5}{9}}\left(({\tfrac {9}{5}}C+32)-32\right)=C,\\&{\text{for every value of }}C,{\text{ and }}\\[6pt]f\left(f^{-1}(F)\right)={}&f\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)={\tfrac {9}{5}}\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)+32=F,\\&{\text{for every value of }}F.\end{aligned}}}$$
• f が家族の各子供に誕生年を割り当てるとします。逆関数は、どの子供が特定の年に生まれたかを出力するでしょう。しかし、家族に同じ年に生まれた子供がいる場合 (たとえば、双子や三つ子など)、入力が共通の誕生年である場合、出力はわかりません。また、子供が生まれていない年が指定された場合、子供に名前を付けることはできません。しかし、各子供が別々の年に生まれ、子供が生まれた 3 年間に注目すると、逆関数が存在します。たとえば、$${\displaystyle {\begin{aligned}f({\text{Allan}})&=2005,\quad &f({\text{Brad}})&=2007,\quad &f({\text{Cary}})&=2001\\f^{-1}(2005)&={\text{Allan}},\quad &f^{-1}(2007)&={\text{Brad}},\quad &f^{-1}(2001)&={\text{Cary}}\end{aligned}}}$$
• R はある量のxパーセント上昇につながる関数、F はxパーセント下落を生み出す関数とします。x = 10 % の 100 ドルに適用すると、最初の関数を適用してから 2 番目の関数を適用しても、100 ドルの元の値は復元されないことがわかります。これは、見た目に反して、これら 2 つの関数が互いに逆ではないことを示しています。
• 溶液の pH を計算する式はpH = −log ₁₀ [H ⁺ ]です。多くの場合、pH 測定から酸の濃度を見つける必要があります。逆関数[H ⁺ ] = 10 ^−pHが使用されます。

関数fが1対1でない場合でも、定義域を制限することでfの部分逆関数を定義できる場合があります。たとえば、関数

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

はx ² = (− x ) ²なので一対一ではない。しかし、領域x ≥ 0に制限すると関数は一対一になり、その場合

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

（代わりにx ≤ 0 の領域に制限すると、逆関数はyの平方根の負になります。）あるいは、逆関数が多値関数であることに満足している場合は、領域を制限する必要はありません。

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

この多価逆関数はfの完全逆関数と呼ばれることもあり、その部分 ( √ xや − √ xなど) は枝と呼ばれる。多価関数の最も重要な枝 (例えば正の平方根) は主枝と呼ばれ、そのyにおける値はf ⁻¹ ( y )の主値と呼ばれる。

実数直線上の連続関数の場合、各極値ペアの間に 1 つの分岐が必要です。たとえば、極大値と極小値を持つ3 次関数の逆関数には 3 つの分岐があります (隣の図を参照)。

これらの考慮は、三角関数の逆関数を定義する際に特に重要です。例えば、正弦関数は1対1ではありません。

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

任意の実数xに対して（より一般的には任意の整数nに対してsin( x + 2 π n ) = sin( x )）。ただし、正弦は区間 [− ⁠ π/2⁠、  ⁠π/2⁠ ]であり、対応する部分逆関数は逆正弦と呼ばれます。これは逆正弦の主枝であると考えられるため、逆正弦の主値は常に − ⁠の間になります。π/2⁠と⁠π/2⁠ . 次の表は、各逆三角関数の主な分岐を示しています。^[19]

左辺と右辺の 関数合成は必ずしも一致する必要はありません。一般的に、条件は

1. 「 g ( f ( x )) = xとなるgが存在する」そして
2. 「 f ( g ( x ))= xとなるgが存在する」

これらはfの異なる特性を意味します。たとえば、f : R → [0, ∞)が平方写像を表し、R内のすべてのxに対してf ( x ) = x ²となるものとし、 g : [0, ∞) → R が平方根写像を表し、x ≥ 0内のすべての x に対してg ( x ) = √ xとなるものとします。すると、f ( g ( x )) = x が[0, ∞)内のすべてのxに対して成立します。つまり、g はfの右逆です。しかし、g はfの左逆ではありません。たとえば、g ( f (−1)) = 1 ≠ −1です。

f : X → Yのとき、fの左逆関数（またはfの逆関数）は関数g : Y → Xであり、 fとg を左から合成すると恒等関数となる^[20]。 つまり、関数gは次の規則を満たす 。 $${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}{\text{.}}}$$

f ( x )= yならば、g ( y )= xです。

関数gは、 fの像上のfの逆関数と等しくなければなりませんが、像内にない Yの要素については任意の値をとることができます。

空でない定義域を持つ関数fは、左逆関数を持つ場合に限り単射である。^[21] 基本的な証明は次のようになる。

• g がfの左逆であり、f ( x ) = f ( y )である場合、g ( f ( x )) = g ( f ( y )) = x = yです。

• 空でないf : X → Yが単射である場合、左逆g : Y → Xを次のように構築します。すべてのy ∈ Yに対して、y がfの像に含まれる場合、 f ( x ) = yとなるx ∈ Xが存在します。g ( y ) = xとします。 fは単射であるため、この定義は一意です。それ以外の場合は、 g ( y )をXの任意の要素とします。

  すべてのx ∈ Xに対して、f ( x ) はfの像になります。構築により、g ( f ( x )) = x となり、左逆行列の条件となります。

古典数学では、空でない定義域を持つすべての単射関数f は必ず左逆関数を持つ。しかし、構成的数学ではこれが成り立たないことがある。例えば、実数における2元集合の包含 {0,1} → Rの左逆関数は、実数直線を集合{0,1}に引き戻すことで分解不可能性に違反する。^[22]

fの右逆関数（またはfの切断関数）は、関数h : Y → Xであって、

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

つまり、関数hは次の規則を満たす。

もし、${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

したがって、h ( y ) は、 fの下でyにマッピングされるXの要素のいずれかになります。

関数f には、それが全射である場合にのみ右逆関数が存在します(ただし、一般にそのような逆関数を構築するには選択公理が必要です)。

h がfの右逆であれば、f は射影的です。すべての に対して、となるものが存在します。${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x=h(y)}$${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$

fが全射の場合、f には右逆関数hがあり、これは次のように構築できます。すべての に対して、となる関数が少なくとも 1 つ存在します( fは全射であるため)。そのため、そのうちの 1 つをh ( y )の値として選択します。^{[引用が必要]}${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)=y}$

左逆関数と右逆関数の両方である逆関数 (両側逆関数) が存在する場合、それは一意でなければなりません。実際、関数に左逆関数と右逆関数がある場合、それらは両方とも同じ両側逆関数であるため、逆関数と呼ぶことができます。

がの左逆であり右逆である場合、すべての に対して です。${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle g(y)=g(f(h(y))=h(y)}$

関数が全単射である場合に限り、その関数には両側逆関数が存在します。

全単射関数fは単射なので、左逆関数が存在します ( fが空関数の場合は、それ自身の左逆関数になります)。f は全射なので、右逆関数が存在します。上記により、左逆関数と右逆関数は同じになります。${\displaystyle f\colon \varnothing \to \varnothing }$

fに両側逆関数gがある場合、g はfの左逆関数と右逆関数なので、f は単射かつ全射です。

f : X → Y が任意の関数（必ずしも逆関数ではない）である場合、要素y ∈ Yの逆像（または逆像）は、 yに写像されるXのすべての要素の集合として定義されます。

${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

yの逆像は関数fの（多値）完全逆関数によるyの像と考えることができます。

同様に、S がYの任意の部分集合である場合、Sの逆像は、 Sに写像されるXのすべての要素の集合です。 ${\displaystyle f^{-1}(S)}$

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

例えば、関数f : R → R ; x ↦ x ²を考えてみましょう。この関数は全単射ではないため逆関数ではありませんが、共役域の部分集合に対して逆像を定義することができます。例えば、

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$。

単一の要素y ∈ Yの逆像、つまり単集合{ y } は、 yのファイバーと呼ばれることもあります。Yが実数の集合である場合、 f ⁻¹ ({ y })をレベル集合と呼ぶのが一般的です。

• ラグランジュの逆定理は、解析関数の逆関数のテイラー級数展開を与える。
• 逆関数の積分
• 逆フーリエ変換
• 可逆コンピューティング

• ブリッグス、ウィリアム; コクラン、ライル (2011)。微積分学/初等超越論 単変数。アディソン・ウェズリー。ISBN 978-0-321-66414-3。
• デブリン、キース J. (2004)。集合、関数、論理/抽象数学入門(第 3 版)。チャップマン & ホール/ CRC 数学。ISBN 978-1-58488-449-1。
• フレッチャー、ピーター; パティ、C. ウェイン (1988)。高等数学の基礎。PWS-ケント。ISBN 0-87150-164-3。
• レイ、スティーブン・R. (2006)。『分析と証明入門』（第4版）。ピアソン/プレンティス・ホール。ISBN 978-0-13-148101-5。
• スミス、ダグラス、エゲン、モーリス、セントアンドレ、リチャード (2006)。『上級数学への移行』（第 6 版）。トンプソン・ブルックス/コール。ISBN 978-0-534-39900-9。
• Thomas Jr.、George Brinton (1972)。『微積分と解析幾何学 パート 1: 1 変数の関数と解析幾何学(別版)』Addison-Wesley。
• ウルフ、ロバート S. (1998)。証明、論理、推測 / 数学者の道具箱。WHフリーマン アンド カンパニー ISBN 978-0-7167-3050-7。

• Amazigo, John C.; Rubenfeld, Lester A. (1980) 「暗黙関数、ヤコビアン、逆関数」。Advanced Calculus and its Applications to the Engineering and Physical Sciences。ニューヨーク: Wiley。pp. 103–120。ISBN 0-471-04934-4。
• ビンモア、ケン・G. (1983)。「逆関数」。微積分学。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。pp. 161–197。ISBN 0-521-28952-1。
• スピヴァック、マイケル (1994)。微積分学(第 3 版)。出版するか滅ぼすか。ISBN 0-914098-89-6。
• スチュワート、ジェームズ( 2002 )。微積分学(第 5 版)。ブルックス コール。ISBN 978-0-534-39339-7。

• 「逆関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]