順序ベクトル空間

数学において、順序付きベクトル空間または半順序付きベクトル空間は、ベクトル空間演算と互換性のある 半順序を備えたベクトル空間です。

実数上のベクトル空間と集合上の順序が与えられた場合、そのペアは順序付きベクトル空間と呼ばれ、順序がのベクトル空間構造と互換性があると言い、すべてのに対して、次の2つの公理が満たされる場合、をベクトル順序 付き空間と呼ぶ。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X,}$${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y,z\in X}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$${\displaystyle r\geq 0}$

1. ${\displaystyle x\leq y}$暗示する${\displaystyle x+z\leq y+z,}$
2. ${\displaystyle y\leq x}$暗示する${\displaystyle ry\leq rx.}$

がベクトル空間構造と両立する半順序である場合、は順序付きベクトル空間と呼ばれ、 は上のベクトル半順序と呼ばれる 。この2つの公理は、平行移動と正相似が順序構造の自己同型であり、写像が双対順序構造への同型であることを意味する。順序付きベクトル空間は、その加法演算の下で順序付き群である。${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x\mapsto -x}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle -y\leq -x.}$

ベクトル空間の部分集合 は、すべての実数、つまりすべての に対してであるとき、円錐と呼ばれます。円錐は、原点を含むとき、尖っていると呼ばれます。円錐が凸であるのは、次の場合のみです。任意の空でない円錐族（それぞれ凸円錐）の共通部分は、やはり円錐（それぞれ凸円錐）です。同じことは、増加する（集合包含のもとで）円錐族（それぞれ凸円錐）の和集合にも当てはまります。ベクトル空間の円錐が生成的であるとは、^[1]のときです。${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle rC\subseteq C,}$${\displaystyle c,c'\in C}$${\displaystyle c+c'\in C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C+C\subseteq C.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=CC.}$

順序付けされたベクトル空間が与えられたとき、を満たすのすべての要素の部分集合は、の正錐と呼ばれる尖った凸錐（つまり、 を含む凸錐）であり、 で表記されます。正錐の要素は正 と 呼ばれます。と が順序付けされたベクトル空間の要素である場合、 である場合に限ります。正錐が を生成する場合、 が の下での有向集合である場合に限ります 。任意の尖った凸錐が与えられたとき、 のベクトル空間構造と互換性のある上の順序を、すべてに対して を宣言することによって定義できます。この 結果として生じる順序付けされたベクトル空間の正錐がである場合に限ります。したがって、尖った凸錐と 上のベクトル順序の間には^{1 対 1} の対応があります。が順序付けされている 場合、 と同値であると定義することによって上の同値関係を形成できます。は と同値であり、が原点を含む同値類である 場合、 はのベクトル部分空間であり、 は関係 の下で順序付けされたベクトル空間です。および が存在して、である場合に限ります。^[1]${\displaystyle X,}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {PosCone} X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (X,\leq ),}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle yx\in X^{+}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\leq .}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle yx\in C;}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y\leq x;}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/N}$${\displaystyle A\leq B}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle a\leq b.}$

ベクトル空間の の部分集合は、次の式を満たす凸錐であるとき、真錐と呼ばれる。 明示的に、(1) (2)すべてに対して、かつ (3) ^[2]を満たすとき、真錐である 。真錐の空でない族の共通部分は、やはり真錐である。実ベクトル空間の各真錐は、次を定義することによってベクトル空間に順序を誘導する。かつ、次が成り立つときのみである。さらに、この順序付きベクトル空間の正錐は、 となる。したがって、 の真凸錐と のベクトル部分順序の間には一対一の対応が存在する。${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C+C\subseteq C,}$${\displaystyle rC\subseteq C}$${\displaystyle r>0,}$${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y-x\in C,}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

上の全ベクトル順序とは、のベクトル空間構造と互換性のある上の全順序を意味します 。ベクトル空間上の全ベクトル順序の族は、集合包含に関して最大​​となるすべての適切な錐の族と一対一に対応しています。^[1] 全ベクトル順序は、その次元が実数上のベクトル空間として考えたときに 1 より大きい場合、アルキメデス的ではありません。 ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

とがそれぞれ正錐と正錐を持つベクトル空間の2つの順序である場合、は^[2]の場合よりも優れていると言える。${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q,}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P\subseteq Q.}$

通常の順序付けを持つ実数は、完全に順序付けられたベクトル空間を形成します。すべての整数に対して、 辞書式順序付けを持つ実数上のベクトル空間として考えられたユークリッド空間は、次の場合に限り、順序付けされたベクトル空間を形成します。その順序がアルキメデス的であるための必要十分条件は です。^[3]${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n=1}$

が任意の集合であり、が（実数上の）実数値関数のベクトル空間である場合、上の点ごとの順序は、すべてのに対して、かつすべてのに対してであるときのみ、で与えられる^[3]${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f,g\in X,}$ ${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f(s)\leq g(s)}$${\displaystyle s\in S.}$

通常、この順序が割り当てられるスペースは次のとおりです。

• 有界実数値写像の空間${\displaystyle \ell ^{\infty }(S,\mathbb {R} )}$${\displaystyle S.}$
• 収束する実数値列の空間${\displaystyle c_{0}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle 0.}$
• 位相空間上の連続実数値関数の空間${\displaystyle C(S,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S.}$
• 任意の非負の整数に対して、ユークリッド空間を離散位相が与えられた空間として考えたとき。${\displaystyle n,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C(\{1,\dots ,n\},\mathbb {R} )}$${\displaystyle S=\{1,\dots ,n\}}$

上のすべての測定可能なほぼどこでも有界実数値写像の空間で、すべてのに対して事前順序がほぼどこでもによって定義される場合に限ります。^[3]${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f(s)\leq g(s)}$

順序付きベクトル空間における順序区間は、 という形式の集合である 。上記 の公理 1 および 2 から、 および はに属することがわかり、 したがってこれらの順序区間は凸である。 部分集合は、ある順序区間に含まれる場合、順序が制限されていると言われる。 ^[2] 順序付き実ベクトル空間において、 に対して である場合、形式の区間は平衡 で ある。^[2]順序付きベクトル空間の 順序単位は、という集合が を吸収するような任意の元である。^[2]$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}[a,b]&=\{x:a\leq x\leq b\},\\[0.1ex][a,b[&=\{x:a\leq x<b\},\\]a,b]&=\{x:a<x\leq b\},{\text{ or }}\\]a,b[&=\{x:a<x<b\}.\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle x,y\in [a,b]}$${\displaystyle 0<t<1}$${\displaystyle tx+(1-t)y}$${\displaystyle [a,b];}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle [-x,x]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [-x,x]}$

順序付きベクトル空間上のすべての線型関数の集合で、すべての順序区間を有界集合に写像するものは、の順序境界双対と呼ばれ、 ^[2]で表されます。空間が順序付きである場合、その順序境界双対は、その代数的双対 のベクトル部分空間です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\operatorname {b} }.}$

順序ベクトル空間の部分集合は、任意の空でない部分集合に対して、との両方で順序が有界であり、の要素が存在するとき、順序完備と呼ばれます。順序ベクトル空間が順序完備であるとは、の順序完備部分集合であるということです^[4]${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \sup B}$${\displaystyle \inf B}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

が実数上の順序付きベクトル空間で順序が1である場合、写像は部分線型関数である。^[3]${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle u,}$${\displaystyle p(x):=\inf\{t\in \mathbb {R} :x\leq tu\}}$

が順序付きベクトル空間である場合、すべての${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y\in X,}$

• ${\displaystyle x\geq 0}$そして暗示する^[3]${\displaystyle y\geq 0}$${\displaystyle x+y\geq 0.}$
• ${\displaystyle x\leq y}$^[3]の場合のみ${\displaystyle -y\leq -x.}$
• ${\displaystyle x\leq y}$そして暗示する^[3]${\displaystyle r<0}$${\displaystyle rx\geq ry.}$
• ${\displaystyle x\leq y}$もし、もし、もし、もし、もし、もし^[3]${\displaystyle y=\sup\{x,y\}}$${\displaystyle x=\inf\{x,y\}}$
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$存在する場合のみ存在する。その場合^[3]${\displaystyle \inf\{-x,-y\}}$${\displaystyle \inf\{-x,-y\}=-\sup\{x,y\}.}$
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$が存在する場合のみ存在し、その場合、すべての^[3]${\displaystyle \inf\{x,y\}}$${\displaystyle z\in X,}$
  • ${\displaystyle \sup\{x+z,y+z\}=z+\sup\{x,y\},}$そして
  • ${\displaystyle \inf\{x+z,y+z\}=z+\inf\{x,y\}}$
  • ${\displaystyle x+y=\inf\{x,y\}+\sup\{x,y\}.}$
• ${\displaystyle X}$はベクトル格子であるためには、すべての^{[3]​​に対して}${\displaystyle \sup\{0,x\}}$${\displaystyle x\in X.}$

円錐が生成的であるとは、円錐がベクトル空間全体に等しい場合を言う。 ^[2]とがそれぞれ正の円錐を持つ2つの非自明な順序付きベクトル空間である 場合、円錐が を生成していることは、集合が の真円錐である場合に限り、 からへのすべての線型写像の空間である。 この場合、 によって定義される順序は、 [2 ^]の標準順序と呼ばれる。 より一般的には、が真円錐である の任意のベクトル部分空間である場合、 によって定義される順序は、^[2]の標準順序と呼ばれる。${\displaystyle C}$${\displaystyle C-C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q,}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C=\{u\in L(X;W):u(P)\subseteq Q\}}$${\displaystyle L(X;W),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle L(X;W).}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L(X;W)}$${\displaystyle C\cap M}$${\displaystyle C\cap M}$${\displaystyle M.}$

順序付きベクトル空間上の線形関数 は、次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 正であると呼ばれます。${\displaystyle f}$

1. ${\displaystyle x\geq 0}$暗示する${\displaystyle f(x)\geq 0.}$
2. もしそうなら^[3]${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$

正錐を持つベクトル空間上のすべての正線型形式の集合は双対錐と呼ばれ、 で表され、の極に等しい錐である。 上の線型関数の空間上の双対錐によって誘導される前順序は と呼ばれる。${\displaystyle C,}$${\displaystyle C^{*},}$${\displaystyle -C.}$${\displaystyle X}$二重予約注文。^[3]

順序ベクトル空間の順序双対は、 によって表され、 によって定義される集合である。 ただし、集合の等式が成立しない順序ベクトル空間も存在する。 [ ^2]${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+},}$${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}.}$${\displaystyle X^{+}\subseteq X^{b},}$

を順序付きベクトル空間とします。順序付きベクトル空間はアルキメデス順序であり、 の順序がアルキメデス的であるとは、 が長子化される（つまり、すべての に対して となるようなものが存在する）ときはいつでも、[ 2 ]が成り立つことを言います。^順序付きベクトル空間である 位相ベクトル空間（TVS）は、その正錐が閉じている場合、必然的にアルキメデス的です。^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{nx:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle nx\leq y}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x\leq 0.}$

順序付きベクトル空間は規則的に順序付けられており、その順序が規則的であるとは、その空間がアルキメデス順序であり、^[2]内の点を区別する場合 を言います。この性質は、順序付きベクトル空間を研究するために双対性のツールをうまく使用できるように、十分な数の正の線型形式が存在することを保証します。^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X.}$

順序付きベクトル空間は、すべての要素に対して、最大値と最小値が存在するとき、ベクトル格子と呼ばれる。^[2]${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \sup(x,y)}$ ${\displaystyle \inf(x,y)}$

全体を通して、正の錐を持つ順序付きベクトル空間とする。${\displaystyle X}$${\displaystyle C.}$

部分空間

がのベクトル部分空間である場合、の正の錐によって誘導される上の標準順序は、 が適切な場合この錐が適切である尖った凸錐によって誘導される部分順序である。^[2]${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C\cap M,}$${\displaystyle C}$

商空間

を順序付きベクトル空間のベクトル部分空間とし、を正準射影とし、 を商空間に正準順序付けを誘導する の円錐とします。 が の真円錐である場合、 は順序付きベクトル空間 を にします。[2] が -飽和である場合、の正^準順序を 定義します。 ^{[1] は、}が真円錐 ではない順序付きベクトル空間の例を示している ことに注意してください。${\displaystyle M}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}$${\displaystyle {\hat {C}}}$${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X/M.}$${\displaystyle {\hat {C}}}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle {\hat {C}}}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\hat {C}}}$${\displaystyle X/M.}$${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$${\displaystyle \pi (C)}$

が位相ベクトル空間（TVS）で、における原点の各近傍に対してとなるような原点の近傍が存在する場合、 は商位相に対する正規錐である。^[1]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle [(U+N)\cap C]\subseteq V+N}$${\displaystyle {\hat {C}}}$

が位相ベクトル格子であり、がの閉じた立体部分格子である場合、も位相ベクトル格子である。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/L}$

製品

が任意の集合である場合、からへのすべての関数の空間は適切な錐によって標準的に順序付けられる^[2]${\displaystyle S}$${\displaystyle X^{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}$

が順序付きベクトル空間の族であり、 の正の錐がであるとすると、 は の尖った凸錐であり、上の標準順序を決定する。すべてが真錐であれば、 は真錐である。^[2]${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$${\displaystyle X_{\alpha }}$${\displaystyle C_{\alpha }.}$${\textstyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha };}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{\alpha }}$

代数的直和

の代数的直和は、 ^[2]から継承された標準的な部分空間順序が与えられた のベクトル部分空間です。 が順序付きベクトル空間の順序付きベクトル部分空間である場合、 の 標準的な代数的同型 (標準的な積の順序を持​​つ) が順序同型 である場合、 はこれらの部分空間の順序付き直和です。 [ 2 ^]${\textstyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$

• 通常の順序を持​​つ実数は順序付きベクトル空間です。
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$は、関係が次のいずれかの方法で定義される順序付きベクトル空間です（強度が増加する順序、つまりペアのセットが減少する順序）。 ${\displaystyle \,\leq \,}$
  • 辞書式順序:または の場合に限り、これは全順序です。正の円錐はまたはで与えられ、つまり、極座標では、角座標が原点とともに を満たす点の集合です。${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$${\displaystyle a<c}$${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b\leq d).}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle (x=0{\text{ and }}y\geq 0),}$${\displaystyle -\pi /2<\theta \leq \pi /2,}$
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$かつ（の2 つのコピーの積の順序）の場合に限ります。これは半順序です。正の円錐は によって与えられ、つまり、原点とともに極座標で となります。${\displaystyle a\leq c}$${\displaystyle b\leq d}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle y\geq 0,}$${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2,}$
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$または( 「<」による2 つの のコピーの直積の反射閉包)の場合に限ります。これも半順序です。正の円錐は、または、つまり極座標で原点とともに によって与えられます。${\displaystyle (a<c{\text{ and }}b<d)}$${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b=d)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (x>0{\text{ and }}y>0)}$${\displaystyle x=y=0),}$${\displaystyle 0<\theta <\pi /2,}$

2 番目の順序のみが、閉じた集合のサブセットとして存在します。位相空間における部分順序を参照してください。${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

3 次では、2 次元の「間隔」はトポロジーを生成する開集合です。${\displaystyle p<x<q}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は同様に定義された関係を持つ順序付きベクトル空間です。たとえば、上記の2番目の順序の場合: ${\displaystyle \,\leq \,}$
  • ${\displaystyle x\leq y}$の場合に限り${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$
• リース空間は、順序によって格子が生じる順序付きベクトル空間です。
• 上の連続関数の空間において、すべてのに対して${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [0,1].}$

• 順序位相（関数解析）  – 順序ベクトル空間の位相
• 順序体 – 順序付けられた構造を持つ代数的オブジェクト
• 順序付きグループ – 互換性のある半順序を持つグループPages displaying short descriptions of redirect targets
• オーダーリング – 互換性のある合計順序を持つリングPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 順序付き位相ベクトル空間
• 半順序空間 – 半順序位相空間
• 商品の注文
• リース空間 – 格子として順序付けられた半順序ベクトル空間
• 位相ベクトル格子
• ベクトル格子 – 格子として順序付けられた、部分的に順序付けられたベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets

• Aliprantis, Charalambos D ; Burkinshaw, Owen (2003).局所立体リース空間と経済学への応用(第 2 版). プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会. ISBN 0-8218-3408-8。
• ブルバキ、ニコラ;数学の要素：位相ベクトル空間; ISBN 0-387-13627-4。 
• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
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