毛玉定理

代数的位相幾何学のヘアリーボール定理（ヨーロッパではハリネズミ定理と呼ばれることもある）^[1]は、偶数次元のn球面上にはゼロでない連続接ベクトル場は存在しないことを述べている。^{[2] [3]}通常の球面、つまり 2 球面では、f が球面上のすべての点pにℝ ³のベクトルを割り当てる連続関数で、 f ( p ) が常にpで球面に接している場合、少なくとも 1 つの極、つまり場がゼロになる点（f ( p ) = 0となるp）が存在している。

この定理は1885年にアンリ・ポアンカレによって2次元球面に対して初めて証明され、 ^{[4] 1912年に}ルイツェン・エグベルトゥス・ヤン・ブラウワーによって高次元の偶数次元に拡張されました。^[5]

この定理は口語的に「つむじを作らずに毛玉を平らにとかすことはできない」または「ココナッツの毛をとかすことはできない」と表現されている。^[6]

ベクトル場の零点には必ず（零でない）「指数」があり、2次元球面のオイラー特性が2なので、零点における指数の合計は必ず2になる。したがって、零点が少なくとも1つは存在しなければならない。これは、ポアンカレ・ホップの定理の結果である。トーラスの場合、オイラー特性は0であり、「毛むくじゃらのドーナツを平らにとかす」ことが可能である。この点で、零でないオイラー特性を持つ任意のコンパクトな 正則2次元多様体について、任意の連続接ベクトル場には少なくとも1つの零点が存在することになる。

コンピュータグラフィックスの一般的な問題は、与えられた非ゼロベクトルに直交する ℝ 3 の非ゼロベクトルを生成することです。すべての非ゼロベクトル入力に対してこれを行うことができる単一の連続関数は存在しません。これは、ヘアリーボール定理の帰結です。これを^確認するには、与えられたベクトルを球の半径と見なし、与えられたベクトルに直交する非ゼロベクトルを見つけることは、その球の半径に接する表面に接する非ゼロベクトルを見つけることと同じであることに注意してください。しかし、ヘアリーボール定理によれば、球上のすべての点に対して (つまり、すべての与えられたベクトルに対して) これを実行できる連続関数は存在しません。

代数的位相幾何学からは、レフシェッツの不動点定理を用いた、密接に関連した議論がある。2次元球面のベッティ数は1、0、1、0、0、...なので、恒等写像のレフシェッツ数（ホモロジー上の全トレース）は2である。ベクトル場を積分すると、球面上の1パラメータ微分同相写像群（の少なくとも一部）が得られ、その中のすべての写像は恒等写像に同相である。したがって、それらはすべてレフシェッツ数2でもある。したがって、それらは不動点を持つ（レフシェッツ数がゼロでないため）。これがベクトル場の零点が実際に存在しなければならないことを意味することを示すには、さらに研究が必要である。これは、より一般的なポアンカレ-ホップ指数定理の正しい記述を示唆している。

ヘアリーボール定理の帰結として、偶数次元の球をそれ自身に写像する任意の連続関数は、不動点か、それ自身の反対心点に写像する点のいずれかを持つことになります。これは、次のように関数を接線ベクトル場に変換することで確認できます。

s を球をそれ自身に写像する関数とし、 v を構築する接線ベクトル関数とします。各点pについて、p を接点としてs ( p )の立体投影を構築します。すると、 v ( p ) はpに対するこの投影点の変位ベクトルになります。毛球定理によれば、 v ( p ) = 0となるp が存在するので、s ( p ) = p となります。

この議論は、 s ( p ) がpの反対心点となる点p が存在する場合にのみ成立します。なぜなら、そのような点だけがpの接平面に立体投影できないからです。

さらに、任意の偶数次元の射影空間は不動点特性を持つという帰結があります。これは、連続関数 を の関数 に持ち上げることで、前の結果から導かれます。 ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2n}}$${\displaystyle S^{2n}}$

オイラー特性χとの関連から、正しい一般化が示唆されます。2 n球面には、n ≥ 1に対して非ゼロのベクトル場はありません。偶数次元と奇数次元の違いは、m球面の非ゼロのベッティ数はb ₀と b _mだけなので、それらの交代和χ はmが偶数の場合は 2 で、mが奇数の場合は 0 になることです。

実際、周囲の偶数次元ユークリッド空間 の座標をペアで考えるという単純な手順で、奇数次元球面が非ゼロの接線ベクトル場を許容することが簡単にわかります。つまり、接線ベクトル場は、次式で与えられる ベクトル場を指定することによって定義できます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle v:\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{2n})=(x_{2},-x_{1},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1}).}$

このベクトル場を単位球面への接線ベクトル場に制限するには、次の式を満たす単位ベクトルとのドット積がゼロになることを証明すれば十分である。座標のペアリングにより、 ${\displaystyle S^{2n-1}\subset \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle x=(x_{1},\dots,x_{2n})}$${\displaystyle \|x\|=1}$

${\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{2n})\bullet (x_{1},\dots ,x_{2n})=(x_{2}x_{1}-x_{1}x_{2})+\cdots +(x_{2n}x_{2n-1}-x_{2n-1}x_{2n})=0.}$

2 n球の場合、周囲のユークリッド空間は奇数次元であるため、座標をペアにするこの単純なプロセスは不可能です。これは、偶数次元球に接するベクトル場が消えない可能性を排除するものではありません。しかし、ヘアリーボール定理は、実際にはそのようなベクトル場を構築する方法はないことを示しています。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$

毛玉定理には、数多くの物理的な例証がある。例えば、固定軸の周りを剛体ボールを回転させると、その表面にある点の速度の連続的な接線ベクトル場が生じる。この場には速度ゼロの点が 2 つあるが、ボールの中心を完全に貫通すると、それらの点は消え、その結果、ボールは位相的にトーラスと等価なものとなり、この物体には「毛玉」定理は適用されない。^[7]毛玉定理は、波面が球と位相的に等価な表面 (オイラー特性 χ = 2 を持つ表面) を形成する場合に、電磁波の伝播の解析にうまく適用できる可能性がある。表面上には、電場と磁場のベクトルがゼロとなる点が必ず 1 つ以上現れる。^[8]プラズマ（または他の複雑な媒体）内の電磁波のパラメータ空間の特定の2球面上にも、これらのタイプの「つむじ」または「禿げた点」が現れます。これは、システム内に位相励起、つまり散乱や反射の影響を受けない堅牢な波が存在することを示しています。^[9] 地球の大気中の風を接線ベクトル場として理想化すると、毛玉定理は、地球の表面に風が吹いている限り、常にどこかにサイクロンがあることを意味します。ただし、風は大気中で垂直に移動できるため、理想化されたケースは気象学的に適切ではないことに注意してください。 （地球の周りの大気の「殻」ごとに、風が水平方向に移動していない点が必ずあるというのは真実です。）この定理はコンピュータモデリング（ビデオゲームのデザインを含む）にも影響を与えます。そこでは、与えられたベクトルに直交する（つまり垂直な）非ゼロの3次元ベクトルを計算することが一般的な問題です。ヘアリーボール定理は、このタスクを実行する単一の連続関数は存在しないことを意味します。^[10]

• 不動点定理
• 中間値定理
• 球面上のベクトル場

• アイゼンバーグ、マレー、ガイ、ロバート（1979）、「毛玉定理の証明」、アメリカ数学月刊誌、86（7）：571–574、doi：10.2307/2320587、JSTOR  2320587

• ジャービス、タイラー、タントン、ジェームズ (2004)、「スペルナーの補題による毛玉定理」、アメリカ数学月刊誌、111 (7): 599–603、doi :10.1080/00029890.2004.11920120、JSTOR  4145162、S2CID  29784803
• リチェソン、デイビッド・S. (2008)、「ココナッツの毛をとかす」、オイラーの宝石：多面体公式と位相幾何学の誕生、プリンストン大学出版、pp. 202–218、ISBN 978-0-691-12677-7

• Weisstein, Eric W.「Hairy Ball Theorem」。MathWorld。