ラインバンドル

数学において、線束は空間の点から点へと変化する線の概念を表現する。例えば、各点で接線を持つ平面上の曲線は変化する線を決定する。接線束はこれらを整理する方法である。より正式には、代数位相幾何学と微分位相幾何学において、線束は階数1のベクトル束^{として定義される。[1]}

線束は、空間の各点に対して連続的に 1 次元ベクトル空間を選択することにより指定されます。位相的な応用では、このベクトル空間は通常、実数または複素数です。実数ベクトル空間と複素数ベクトル空間の位相特性が異なるため、2 つのケースは根本的に異なる動作を示します。実数直線から原点を削除すると、結果は 1×1可逆実数行列のセットになります。これは、正の実数と負の実数をそれぞれ 1 点に縮小することで離散 2 点空間とホモトピー等価になります。一方、複素平面から原点を削除すると、円のホモトピー型を持つ 1×1 可逆複素行列が生成されます。

したがって、ホモトピー理論の観点からは、実線束は2 点ファイバーを持つファイバー束、つまり二重被覆とほぼ同じように動作します。この特殊なケースは、微分可能多様体の向き付け可能な二重被覆で、対応する線束は接線束の行列式バンドルです (以下を参照)。メビウスの帯は円の二重被覆 (θ → 2θ マッピング) に対応し、ファイバーを変更することで、2 点ファイバー、ファイバーとしての単位区間、または実数直線 を持つと見なすこともできます。

複素線束は円束と密接に関係しています。球面から球面へのホップファイバリングなど、有名なものがいくつかあります。

代数幾何学では、可逆層（つまり、階数 1 の局所自由層）は線束と呼ばれることが多い。

あらゆる直線束は、以下の条件を満たす因子から生じる。

(I) が既約かつ既約なスキームである場合、すべての直線束は因子から生じます。 ${\displaystyle X}$

(II) が射影スキームである場合、同じステートメントが成立します。 ${\displaystyle X}$

代数幾何学で最も重要な直線束の 1 つは、射影空間上の同語直線束です。体上のベクトル空間の射影化は、乗法群 の作用によるの商として定義されます。したがって の各点はのコピーに対応し、 のこれらのコピーは上の -バンドルに組み立てることができます。しかし、 はと 1 点だけ異なり、その点を各ファイバーに付加することで 上の直線束が得られます。この直線束は、同語直線束と呼ばれます。この直線束は、セールねじり層 の双対に対応するため、 と表記されることもあります。 ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V\setminus \{0\}}$${\displaystyle k^{\times}}$${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$${\displaystyle k^{\times}}$${\displaystyle k^{\times}}$${\displaystyle k^{\times}}$${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$${\displaystyle k^{\times}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

が空間で、が上の線束であるとします。の大域切断は、が自然な射影である場合に となる関数です。 が自明であるの小さな近傍では、線束の全空間はと基礎体の積であり、切断は関数 に制限されます。ただし、 の値は自明化の選択に依存するため、どこにも消えない関数による乗算までしか決定されません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s:X\to L}$${\displaystyle p:L\to X}$${\displaystyle p\circ s=\operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k}$${\displaystyle s}$${\displaystyle U\to k}$${\displaystyle s}$

大域セクションは、射影空間への写像を次のように決定します。のファイバー内のすべての零点を選ばないことで、上のトートロジー直線束のファイバーが選択されるため、の同時消滅しない大域セクションを選ぶことで、 から射影空間 への写像が決定されます。 この写像は、 のファイバーを、トートロジー束の双対のファイバーに送ります。 具体的には、が の大域セクションであるとします。の小さな近傍では、これらのセクションによって上の - 値関数が決定され、その値は自明化の選択に依存します。 ただし、これらは非ゼロ関数による同時乗算まで決定されるため、それらの比は明確に定義されます。 つまり、点 上では、自明化の変更によってそれぞれに非ゼロ定数 λ が乗算されるため、値は明確に定義されません。 ただし、同じ定数 λが乗算されるため、セクションがで同時に消滅しない限り、同次座標は明確に定義されます。したがって、セクションが同時に消滅することがない場合は、セクションはからへの写像を与える形式を決定し、この写像の下でのトートロジーバンドルの双対の引き戻しは です。このようにして、射影空間は普遍的な性質を獲得します。 ${\displaystyle r+1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$${\displaystyle r+1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s_{0},\dots ,s_{r}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s_{0}(x),\dots ,s_{r}(x)}$ ${\displaystyle [s_{0}(x):\dots :s_{r}(x)]}$${\displaystyle s_{0},\dots ,s_{r}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [s_{0}:\dots :s_{r}]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$${\displaystyle L}$

射影空間への写像を決定する普遍的な方法は、 のすべてのセクションのベクトル空間の射影化に写像することです。位相的なケースでは、すべての点で非ゼロセクションが存在し、これは、その点の小さな近傍の外側で消えるバンプ関数を使用して構築できます。このため、結果として得られる写像はどこでも定義されます。ただし、コドメインは通常、有用であるには大きすぎます。代数的および正則的な設定ではその逆が当てはまります。ここで、大域セクションの空間は有限次元であることが多いですが、特定の点で非ゼロの大域セクションが存在しない場合があります。(この手順でレフシェッツ ペンシルを構築する場合のように。) 実際、バンドルが非ゼロの大域セクションをまったく持たない可能性があります。これは、トートロジー直線バンドルの場合です。直線バンドルが十分に十分な場合、この構築により、小平埋め込み定理が検証されます。 ${\displaystyle L}$

一般に、が空間上のベクトル束で、ファイバーの次元が一定である場合、ファイバーごとに取られたの- 番目の外冪は線束であり、行列式線束と呼ばれます。この構成は、特に滑らかな多様体の余接束に適用されます。結果として得られる行列式束は、向き付け可能な多様体に対してゼロでない大域断面を持ち、任意の実指数を持つそのテンソル冪を定義して、テンソル積によって任意のベクトル束を「ねじる」ために使用できるという意味で、テンソル密度の現象の原因となります。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$

同じ構成（上の外冪をとる）は、ネーター領域上の有限生成 射影加群 にも適用され、結果として得られる可逆加群はの行列式加群と呼ばれます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

最初のスティフェル・ホイットニー類は滑らかな実直線束を分類する。特に、実直線束（の同値類）の集合は係数を持つ最初のコホモロジーの元に対応している。この対応は実際にはアーベル群の同型である（群演算は直線束のテンソル積とコホモロジー上の通常の加算である）。同様に、最初のチャーン類は空間上の滑らかな複素直線束を分類し、直線束の群は整数係数を持つ2番目のコホモロジー類と同型である。しかし、束は同値な滑らかな構造（したがって同じ最初のチャーン類）を持ちながら、異なる正則構造を持つことができる。チャーン類の命題は、多様体上の層 の指数列を使用して簡単に証明できる。${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

より一般的には、ホモトピー理論の観点から分類問題を見ることができます。実線束には普遍束があり、複素線束には普遍束があります。分類空間に関する一般理論によれば、ヒューリスティックは、それぞれの群と自由作用である群作用がある収縮可能な空間を探すことです。これらの空間は普遍主束として、作用の商は分類空間として機能します。これらの場合、実射影空間と複素射影空間の無限次元類似物でそれらを明示的に見つけることができます。 ${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle BG}$

したがって、分類空間は のホモトピー型、つまり同次座標の無限列によって与えられる実射影空間になります。これは普遍的な実直線束を持ちます。ホモトピー理論では、これはCW 複体上の任意の実直線束がからへの分類写像を決定し、普遍的な束の引き戻しに同型な束を作ることを意味します。この分類写像は、 上の標準クラスから、係数を持つの最初のコホモロジーにおける のStiefel-Whitney クラスを定義するために使用できます。 ${\displaystyle BC_{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty}}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty}}$

同様に、複素射影空間は普遍複素直線束を持ちます。この場合、分類写像により、(整コホモロジー) におけるの最初のチャーン類が生じます。${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{2}(X)}$

さらに、四元数（実次元 4）の直線束を持つ類似の理論があります。これにより、実 4 次元コホモロジーにおける ポントリャーギン類の 1 つが生じます。

このように、特性類の理論の基礎的なケースは直線束のみに依存します。一般的な分割原理によれば、これは理論の残りの部分を（明示的にではないにしても）決定することができます。

複素多様体上の正則直線束や代数幾何学における可逆層の理論があり、それらの分野で直線束理論を解明しています。

• Iバンドル
• 豊富なラインバンドル
• ラインフィールド

• マイケル・マレー、Line Bundles、2002 (PDF ウェブリンク)
• ロビン・ハーツホーン著『代数幾何学』AMS書店、1975年。ISBN 978-0-8218-1429-1