セミノーム

数学、特に関数解析において、セミノルムはノルムに似ていますが、正定値である必要はありません。セミノルムは凸集合と密接に関係しており、すべてのセミノルムは何らかの吸収円盤のミンコフスキー汎関数であり、逆に、そのような集合のミンコフスキー汎関数はセミノルムです。

位相ベクトル空間が局所的に凸であるのは、その位相が半ノルムの族によって誘導される場合に限る。

させて${\displaystyle X}$実数または実数上のベクトル空間である${\displaystyle \mathbb {R} }$または複素数​${\displaystyle \mathbb {C} .}$ 実数値関数${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$次の2つの条件を満たす場合、それはセミノルムと呼ばれます。

1. 劣加法性^{[ 1 ]} /三角不等式:${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$すべての人々のために${\displaystyle x,y\in X.}$
2. 絶対的均質性：^{[ 1 ]}${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そしてすべてのスカラー${\displaystyle s.}$

これら2つの条件は、${\displaystyle p(0)=0}$^{[証明 1 ]}そしてすべてのセミノルム${\displaystyle p}$また、以下の性質も有する：^{[証明2 ]}

3. 非負性：^{[ 1 ]}${\displaystyle p(x)\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X.}$

一部の著者は、「セミノーム」（場合によっては「ノーム」）の定義の一部として非否定性を含めているが、これは他の2つの性質から導かれるため、必ずしも必要ではない。

定義上、${\displaystyle X}$これは点を分離するセミノルムであり、つまり以下の追加特性を持つ。

4. 正定値/ 正^{[ 1 ]} /点分離: いつでも${\displaystyle x\in X}$満たす${\displaystyle p(x)=0,}$それから${\displaystyle x=0.}$

A半ノルム空間はペアである${\displaystyle (X,p)}$ベクトル空間から構成される${\displaystyle X}$そして半規範${\displaystyle p}$の上${\displaystyle X.}$セミノルムが${\displaystyle p}$は、半規範空間の規範でもある。${\displaystyle (X,p)}$これはノルム空間と呼ばれます。

絶対同次性は正同次性を意味するため、すべてのセミノルムは劣線形関数と呼ばれる関数の一種である。${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$劣加法性と正同次性を満たす関数は劣線形関数と呼ばれます。半ノルムとは異なり、劣線形関数は必ずしも非負ではありません。劣線形関数は、ハーン・バナッハの定理の文脈でよく見られます。実数値関数${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$は、劣線形かつバランスのとれた関数である場合に限り、セミノルムである。

• 自明な半ノルム${\displaystyle X,}$これは定数を指します${\displaystyle 0}$地図${\displaystyle X,}$非離散トポロジーを誘導する${\displaystyle X.}$
• させて${\displaystyle \mu }$空間の尺度となる${\displaystyle \Omega }$任意の定数に対して${\displaystyle c\geq 1}$、 させて${\displaystyle X}$すべての関数の集合とする${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$そのために $${\displaystyle \lVert f\rVert _{c}:=\left(\int _{\Omega }|f|^{c}\,d\mu \right)^{1/c}}$$ 存在し、有限である。${\displaystyle X}$はベクトル空間であり、関数は${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$はセミノルムです${\displaystyle X}$しかし、それは常に規範となるわけではありません（例えば、${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$そして${\displaystyle \mu }$はルベーグ測度です。${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$必ずしも意味するわけではない${\displaystyle h=0}$作るために${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$規範、商${\displaystyle X}$関数の閉部分空間によって${\displaystyle h}$と${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$結果として得られる空間は、${\displaystyle L^{c}(\mu )}$、によって誘導されるノルムを持つ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$。
• もし${\displaystyle f}$ベクトル空間上の任意の線形形式であれば、その絶対値は${\displaystyle |f|,}$定義される${\displaystyle x\mapsto |f(x)|,}$は半規範です。
• 劣線形関数${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$実ベクトル空間上${\displaystyle X}$は、それが対称関数である場合に限りセミノルムである。つまり、${\displaystyle f(-x)=f(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X.}$
• すべての実数値劣線形関数${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$実ベクトル空間上${\displaystyle X}$半ノルムを誘導する${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle p(x):=\max\{f(x),f(-x)\}.}$^{[ 2 ]}
• 任意の有限個の半ノルムの和は半ノルムである。半ノルム（またはノルム）をベクトル部分空間に制限したものも、やはり半ノルム（またはノルム）である。
• もし${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$そして${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$は半規範（それぞれ規範）である${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$それから地図${\displaystyle r:X\times Y\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle r(x,y)=p(x)+q(y)}$は、半ノルム（またはノルム）である。${\displaystyle X\times Y.}$特に、地図は${\displaystyle X\times Y}$定義される${\displaystyle (x,y)\mapsto p(x)}$そして${\displaystyle (x,y)\mapsto q(y)}$両方ともセミノルムは${\displaystyle X\times Y.}$
• もし${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$半規範は${\displaystyle X}$それならば^{[ 3 ]}$${\displaystyle (p\vee q)(x)=\max\{p(x),q(x)\}}$$そして$${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ただし}}y,z\in X\}}$$ どこ${\displaystyle p\wedge q\leq p}$そして${\displaystyle p\wedge q\leq q.}$^{[ 4 ]}
• 半規範の空間${\displaystyle X}$は、上記の演算に関して一般的に分配束ではありません。例えば、${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$、${\displaystyle p(x,y):=\max(|x|,|y|),q(x,y):=2|x|,r(x,y):=2|y|}$次のような $${\displaystyle ((p\vee q)\wedge (p\vee r))(x,y)=\inf\{\max(2|x_{1}|,|y_{1}|)+\max(|x_{2}|,2|y_{2}|):x=x_{1}+x_{2}{\text{ and }}y=y_{1}+y_{2}\}}$$その間${\displaystyle (p\vee q\wedge r)(x,y):=\max(|x|,|y|)}$
• もし${\displaystyle L:X\to Y}$線形マップであり、${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$はセミノルムです${\displaystyle Y,}$それから${\displaystyle q\circ L:X\to \mathbb {R} }$はセミノルムです${\displaystyle X.}$半標準${\displaystyle q\circ L}$標準となる${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle L}$は単射であり、制限は${\displaystyle q{\big \vert }_{L(X)}}$は規範である${\displaystyle L(X).}$

ベクトル空間上のセミノルム${\displaystyle X}$ミンコフスキー関数を介して、以下の部分集合と密接に結びついている。${\displaystyle X}$凸で、バランスが取れていて、吸収性のある部分集合。${\displaystyle D}$の${\displaystyle X,}$ミンコフスキー関数${\displaystyle D}$はセミノルムです。逆に、セミノルムが与えられた場合、${\displaystyle p}$の上${\displaystyle X,}$セット${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$そして${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$これらは凸集合、バランスのとれた集合、吸収集合であり、さらに、これら２つの集合（および「それらの間」にある任意の集合）のミンコフスキー関数は${\displaystyle p.}$^{[ 5 ]}

すべてのセミノルムは劣線形関数であり、凸性を含む劣線形関数のすべての性質を満たします。${\displaystyle p(0)=0,}$そしてすべてのベクトルについて${\displaystyle x,y\in X}$:逆三角不等式: ^{[ 2 ] [ 6 ]}$${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y)}$$ そしてまた ${\textstyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}}$そして${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y).}$^{[ 2 ] [ 6 ]}

任意のベクトルに対して${\displaystyle x\in X}$そしてポジティブな現実${\displaystyle r>0:}$^{[ 7 ]}$${\displaystyle x+\{y\in X:p(y)<r\}=\{y\in X:p(x-y)<r\}}$$ さらに、${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$吸収ディスクは​${\displaystyle X.}$^{[ 3 ]}

もし${\displaystyle p}$は実ベクトル空間上の劣線形関数である。${\displaystyle X}$すると線形汎関数が存在する${\displaystyle f}$の上${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle f\leq p}$^{[ 6 ]}さらに、任意の線形関数に対して${\displaystyle g}$の上${\displaystyle X,}$${\displaystyle g\leq p}$の上${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle g^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$^{[ 6 ]}

半規範のその他の特性

すべてのセミノルムはバランスのとれた関数です。セミノルム${\displaystyle p}$は規範である${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$非自明なベクトル部分空間を含まない。

もし${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$はセミノルムです${\displaystyle X}$それから${\displaystyle \ker p:=p^{-1}(0)}$はベクトル部分空間である${\displaystyle X}$そしてすべての${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p}$集合上で定数である${\displaystyle x+\ker p=\{x+k:p(k)=0\}}$そして等しい${\displaystyle p(x).}$^{[証明3 ]}

さらに、実際の${\displaystyle r>0,}$^{[ 3 ]}$${\displaystyle r\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}.}$$

もし${\displaystyle D}$を満たす集合である${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$それから${\displaystyle D}$夢中になっている${\displaystyle X}$そして${\displaystyle p=p_{D}}$どこ${\displaystyle p_{D}}$ミンコフスキー関数を表す。${\displaystyle D}$（つまり、${\displaystyle D}$^{[ 5 ]}特に、${\displaystyle D}$上記のとおりで、${\displaystyle q}$セミノルムは${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle q=p}$かつその場合に限り${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:q(x)\leq \}.}$^{[ 5 ]}

もし${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$は規範空間であり、${\displaystyle x,y\in X}$それから${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|}$すべての人々のために${\displaystyle z}$間隔${\displaystyle [x,y].}$^{[ 8 ]}

すべてのノルムは凸関数であるため、ノルムに基づく目的関数のグローバル最大値を求めることは、場合によっては容易である。

合成代数におけるノルムの概念は、通常のノルムの性質を共有しない。

合成代数${\displaystyle (A,*,N)}$体上の代数から成る${\displaystyle A,}$退化​${\displaystyle \,*,}$そして二次形式${\displaystyle N,}$これは「規範」と呼ばれています。いくつかのケースでは${\displaystyle N}$は等方性二次形式であるため、${\displaystyle A}$少なくとも１つの零ベクトルを持つが、これは本稿で議論されている通常のノルムに必要な点の分離とは矛盾する。

超半規範または非アルキメデス半規範は半規範である${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$これも満たす${\displaystyle p(x+y)\leq \max\{p(x),p(y)\}{\text{ for all }}x,y\in X.}$

劣加法性の弱化：準セミノルム

地図${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$が（完全に）均質であり、かつ何らかの${\displaystyle b\leq 1}$そのため${\displaystyle p(x+y)\leq bp(p(x)+p(y)){\text{ for all }}x,y\in X.}$ 最小値${\displaystyle b}$この条件が成り立つものは、乗数と呼ばれます。${\displaystyle p.}$

点を分離する準セミノルムは、準ノルムと呼ばれます。${\displaystyle X.}$

均質性の弱化 -${\displaystyle k}$-セミノーム

地図${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$と呼ばれる${\displaystyle k}$-セミノルムが劣加法であり、かつ${\displaystyle k}$そのため${\displaystyle 0<k\leq 1}$そしてすべての${\displaystyle x\in X}$およびスカラー${\displaystyle s,}$$${\displaystyle p(sx)=|s|^{k}p(x)}$$A${\displaystyle k}$点を分離するセミノルムは、${\displaystyle k}$-ノルム${\displaystyle X.}$

準セミノルムと${\displaystyle k}$-セミノーム:

仮に${\displaystyle q}$はベクトル空間上の準セミノルムである。${\displaystyle X}$乗数付き${\displaystyle b.}$もし${\displaystyle 0<{\sqrt {k}}<\log _{2}b}$すると存在する${\displaystyle k}$-セミノーム${\displaystyle p}$の上${\displaystyle X}$同等${\displaystyle q.}$

• 非対称規範– 規範概念の一般化 
• バナッハ空間– 完備なノルム付きベクトル空間 
• 縮約マッピング– すべての点間の距離を縮小する関数 
• 最適な局所凸トポロジー– 凸集合によって生成されるトポロジーを持つ空間 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• ハーン・バナッハの定理– 有界線形汎関数の拡張に関する定理リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• ガワーズノルム– 加法的組み合わせ論におけるノルムのクラス 
• 局所凸位相ベクトル空間– 凸集合によって生成される位相を持つ空間 
• マハラノビス距離– 統計的距離尺度 
• 行列ノルム– 行列のベクトル空間におけるノルム 
• ミンコフスキー関数– 集合から構成される関数 
• ノルム（数学）– ベクトル空間における長さ 
• ノルムベクトル空間– 距離が定義されるベクトル空間 
• 規範と指標の関係– 距離の概念を持つ数学的空間リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 劣線形関数– 線形代数における関数の種類 

証明

• アダッシュ、ノルベルト；エルンスト、ブルーノ；ケイム、ディーター（1978）。位相ベクトル空間：凸性条件なしの理論。数学講義ノート、第 639巻。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 . 
• Berberian, Sterling K. (1974).関数解析と作用素論講義. 大学院数学テキスト. 第 15巻. ニューヨーク: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0OCLC 878109401​​ 
• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 . 
• コンウェイ、ジョン・B. (1990).関数解析入門.大学院数学テキスト. 第 96巻 (第2 版). ニューヨーク:シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 978-0-387-97245-9OCLC 21195908​​ 
• エドワーズ、ロバート・E. (1995).関数解析：理論と応用. ニューヨーク：ドーバー出版. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 . 
• グロタンディーク、アレクサンダー（1973）。位相ベクトル空間。オーランド・チャルジュブ訳。ニューヨーク：ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ。ISBN 978-0-677-30020-7OCLC 886098。​ 
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4OCLC 8210342。​ 
• Khaleelulla, SM (1982).位相ベクトル空間における反例. Lecture Notes in Mathematics . Vol.  936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6OCLC 8588370​​ 
• ケーテ、ゴットフリート(1983) [1969]。位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol.  159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .  
• クブルスリー、カルロス・S. (2011). 『作用素論の基礎』（第2 版）. ボストン：ビルクハウザー. ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC 710154895 . 
• ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666OCLC 144216834。​ 
• プルゴヴェツキ、エドゥアルド（1981）。ヒルベルト空間における量子力学（第2 版）。アカデミック・プレス。p.  20。ISBN 0-12-566060-X。
• シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• シェクター、エリック（1996）。解析学とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス。ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​ 
• スワルツ、チャールズ（1992）。関数解析入門。ニューヨーク：M.デッカー。ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 . 
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322。​ 
• ウィランスキー、アルバート（2013）。位相ベクトル空間における現代的手法。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-49353-4OCLC 849801114。​ 

• 劣線形関数
• 劣線形および超線形汎関数に対するサンドイッチ定理