ストーン・ワイエルシュトラスの定理

数学的解析において、ワイエルシュトラスの近似定理は、閉区間 [ a , b ] 上で定義されるすべての連続関数は、多項式関数によって望みどおりに均一に近似できることを述べています。多項式は最も単純な関数の 1 つであり、コンピュータは多項式を直接評価できるため、この定理は、特に多項式補間において、実用的および理論的に関連性があります。この結果の元のバージョンは、ワイエルシュトラス変換を使用して 1885 年にカール ワイエルシュトラスによって確立されました。

マーシャル・H・ストーンは定理を大幅に一般化し^[1]、証明を簡素化した^{[2] 。彼の結果は、}ストーン・ワイエルシュトラスの定理 として知られている。ストーン・ワイエルシュトラスの定理は、ワイエルシュトラスの近似定理を2つの方向に一般化するものである。すなわち、実数区間[ a , b ]の代わりに任意のコンパクトな ハウスドルフ空間 Xが考慮され、多項式関数の代数の代わりに、上のさまざまな他の連続関数の族で十分であることが示される。詳細は以下で説明する。ストーン・ワイエルシュトラスの定理は、コンパクトなハウスドルフ空間上の連続関数の代数の研究において極めて重要な結果である。 ${\displaystyle X}$

さらに、ストーン-ワイエルシュトラスの定理は非コンパクトなティコノフ空間にも一般化されており、つまり、ティコノフ空間上の任意の連続関数は、ストーン-ワイエルシュトラスの定理に現れ、以下で説明するタイプの代数によってコンパクト 集合上で一様に近似されます。

ワイエルシュトラスの元の定理の別の一般化はメルゲリアン定理であり、これはそれを複素平面の特定の部分集合上で定義された関数に一般化します。

ワイエルシュトラスが最初に発見した近似定理の記述は次のとおりです。

そのページでは、ベルンシュタイン多項式を使用したこの定理の構成的証明が概説されています。

微分可能関数の場合、ジャクソンの不等式は与えられた次数の多項式による近似値の誤差を制限する。つまり、が連続k次導関数を持つ場合、任意のに対して、最大次数の多項式が存在し、となる。^[3]${\displaystyle f}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lVert f-p_{n}\rVert \leq {\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{(n+1)^{k}}}\lVert f^{(k)}\rVert }$

しかし、が単なる連続である場合、近似値の収束は次のような意味で任意に遅くなる可能性がある。0に減少する任意の正の実数列に対して、最大で次数の任意の多項式に対してとなる関数が存在する。^[4]${\displaystyle f}$${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \lVert fp\rVert >a_{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$

ワイエルシュトラスの近似定理の結果として、空間C[ a , b ] は分離可能であることが示されます。つまり、多項式関数は稠密であり、各多項式関数は有理数係数の 1 つで一様に近似できます。有理数係数の多項式は可算な数しかありません。C [ a , b ] は距離化可能かつ分離可能であるため、C [ a , b ]の濃度は最大で2 ^{ℵ ₀}になります。(注: この濃度の結果は、実数上の連続関数は有理数への制限によって一意に決定されるという事実からも導かれます。)

[ a , b ]上の連続実数値関数の集合C [ a , b ]は、上限ノルム‖ f ‖ = sup _{a ≤ x ≤ b} | f  ( x ) |とともにバナッハ代数（つまり、すべてのf 、 g に対して‖ fg ‖ ≤ ‖ f ‖ ·‖ g ‖となるような結合代数およびバナッハ空間）である。すべての多項式関数の集合はC[ a , b ]の部分代数（つまり、関数の乗算に関して閉じているC[ a , b ]のベクトル部分空間）を形成し、ワイエルシュトラスの近似定理の内容は、この部分代数がC[ a , b ]において稠密であるということです。  

ストーンは任意のコンパクトなハウスドルフ空間Xから始めて、一様収束の位相を持つX上の実数値連続関数の代数C( X , R )を考える。彼はC( X , R )の稠密な部分代数を見つけたい。部分代数が満たさなければならない重要な性質は、それが点を分離することであることが判明した。つまり、 X上の異なる 2 つの点xとyに対して、 p ( x ) ≠ p ( y )となる関数p がAに存在する場合、 X上で定義された関数の集合A は点を分離すると言われる。ここで、次のように言える。

これは、 [ a , b ]上の多項式が定数を含み点を分離する C[ a , b ]の部分代数を形成するため、ワイエルシュトラスの元の主張を意味します。

ストーン・ワイエルシュトラスの定理の一種は、Xが局所的にコンパクトな場合にも成り立ちます。C ₀ ( X , R )を、無限遠で消滅するX上の実数値連続関数の空間とします。つまり、連続関数fがC ₀ ( X , R )に含まれるとは、任意のε > 0に対して、 X  \  K上で | f | < εとなるコンパクト集合K ⊂ Xが存在する場合です。また、C ₀ ( X , R )は、最大ノルムを持つバナッハ代数です。C ₀ ( X , R )の部分代数Aは、 Aのすべての要素が同時に一点で消滅しない場合には、どこにも消滅しないと言われています。つまり、Xのすべてのxに対して、 f  ( x ) ≠ 0となるようなfがAに存在します。この定理は次のように一般化されます。      

このバージョンは、 Xがコンパクトな場合にはC0 ( X , R )=C( X , R )_となるため、明らかに以前のバージョンを意味します。また、局所コンパクト性の仮定を弱めるストーン-ワイエルシュトラスのより一般的なバージョンもあります。^[5]

ストーン・ワイエルシュトラスの定理は、ワイエルシュトラスの結果を超える次の 2 つの命題を証明するために使用できます。

• f が集合[ a , b ] × [ c , d ]上で定義される連続実数値関数であり、ε > 0である場合、 2変数の多項式関数pが存在し、すべてのx が[ a , b ]に含まれ、すべてのy が[ c , d ]に含まれる場合、 |  f  ( x , y ) − p ( x , y ) | < ε が成り立ちます。^{[引用が必要]}  
• XとY が2 つのコンパクトなハウスドルフ空間で、f  : X × Y → Rが連続関数である場合、任意のε > 0に対して、 X上のn > 0かつ連続関数f ₁ , ...,   f _nとY上の連続関数g ₁ , ..., g _nが存在し、 ‖ f − Σ  f _i  g _i ‖ < ε が成り立ちます。^{[引用が必要]}  

もう少し一般的なのが次の定理です。ここでも、 一様収束の位相を持つコンパクト空間 上の複素数値連続関数の代数を考察します。これは、点ごとの複素共役によって与えられる *-演算を持つC*-代数です。 ${\displaystyle C(X,\mathbb {C} )}$${\displaystyle X}$

によって生成される複素単位 *-代数は、定数関数1を投入し、それらを加算、乗算、共役、または複素スカラーで乗算し、これを有限回繰り返すことによって の要素から取得できるすべての関数で構成されます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

この定理は実数バージョンを意味します。なぜなら、複素数値関数のネットワークが与えられた関数 を一様に近似する場合、それらの関数の実部はその関数 の実部 を一様に近似し、また実数部分集合に対して、生成された複素単位（自己随伴）代数の実部を取ると、生成された実単位代数と一致するからです。 ${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle \operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f}$${\displaystyle S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),}$

実際の場合と同様に、この定理の類似は局所コンパクトなハウスドルフ空間に対しても当てはまります。

以下はこの複雑なバージョンの応用例です。

• フーリエ級数: 関数e _n ( x ) = e ^{2 πinx} , n ∈ Zの線形結合の集合はC([0, 1]/{0, 1})に稠密であり、ここで区間[0, 1]の端点を特定して円を得る。この重要な帰結は、e _{n が}[0, 1]上の二乗可積分関数の空間L ² ([0, 1])の正規直交基底であるということである。^{[引用が必要]}

Holladay (1957)に従って、コンパクト空間X上の四元数連続関数の代数C( X , H )を、やはり一様収束の位相で考える。

四元数qが次のように書かれる場合${\textstyle q=a+ib+jc+kd}$

• そのスカラー部分a は実数です。${\displaystyle {\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}}$

同じく

• −qiのスカラー部分は実数bです。${\displaystyle {\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}}$
• −qjのスカラー部分は実数であるcです。${\displaystyle {\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}}$
• −qkのスカラー部分は実数dです。${\displaystyle {\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}}$

そうすると、次のように言えるでしょう。

コンパクトなハウスドルフ空間ie上の複素数値連続関数の空間は、単位可換 C*-代数の標準的な例です。空間X は、弱 * 位相を持つ上の純粋状態の空間と見ることができます。上記のヒントに従って、未解決のままであるストーン-ワイエルシュトラスの定理の非可換拡張は次のとおりです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

1960 年に、ジム・グリムは上記の予想のより弱いバージョンを証明しました。

X をコンパクトなハウスドルフ空間とする。ストーンによるこの定理の元々の証明では、 C( X , R )の格子の考え方が使われていた。 C( X , R )のサブセットLが格子と呼ばれるのは、任意の 2 つの要素f、g ∈ Lに対して、関数max{  f , g }、 min{  f , g }もLに属する場合である。ストーン・ワイエルシュトラスの定理の格子バージョンは、次のように述べている。  

格子の性質は絶対値 |  f  |を使って定式化でき、それがfの多項式で近似できることに気づけば、ストーン・ワイエルシュトラスの上記のバージョンはこのバージョンから証明できる。定理の変形は、最大値で閉じたC( X , R )の線形部分空間に適用できる: ^[7]  

より正確な情報は以下をご覧ください:

X が少なくとも2点を持つコンパクトなハウスドルフ空間であり、L がC( X , R )内の格子であるとします。関数φ ∈ C( X , R )がLの閉包に属するための必要十分条件は、X内の異なる点xとyの各ペアと各ε > 0に対して、 |  f  ( x ) − φ ( x )| < εかつ|  f  ( y ) − φ ( y )| < εとなるようなf   ∈ Lが存在することです。 

ストーン・ワイエルシュトラスの定理のもう一つの一般化は、エレット・ビショップによるものである。ビショップの定理は以下の通りである: ^[8]

Glicksberg (1962) は、 Krein-Milman 定理を本質的に使用して Bishop の定理の簡単な証明を与えている。また、Hahn-Banach 定理の証明はLouis de Branges (1959) のプロセスによるものである。Rudin (1973、§5.7) も参照のこと。

ナハビンの定理は、滑らかな多様体上の複素数値滑らかな関数の代数に対するストーン・ワイエルシュトラスの定理の類似物である。^[9]ナハビンの定理は以下の通りである: ^[10]

1885年には、実変数の任意の関数に解析的表現を与える可能性についてという題名の論文の英語版も出版された。^{[11] [12] [13] [14] [15]}数学者ヤミレット・キンタナによると、ワイエルシュトラスは「あらゆる解析関数はべき級数で表現できるのではないかと疑っていた」という。^{[15] [14]}

• ミュンツ・サースの定理
• バーンスタイン多項式
• ルンゲの現象は、ある細かく間隔を置いたx = x _nに対してf  ( x ) = P ( x )となる多項式P を見つけることは、 f を一様に近似する多項式を見つけようとする試みとしては悪い方法であることを示しています。例えば Rudin (1976)、p. 160、式 (51) 以降で説明されているより良い方法は、適切に選択された多項式カーネルの族とfの畳み込みを取ることによって、fを一様に近似する多項式P を構築することです。       
• 複素関数の多項式近似に関するメルゲリアン定理。

• Holladay, John C. (1957)、「四元数に対するストーン・ワイエルシュトラスの定理」(PDF)、Proc. Amer. Math. Soc.、8 : 656、doi : 10.1090/S0002-9939-1957-0087047-7。
• Louis de Branges (1959)、「ストーン・ワイエルシュトラスの定理」、Proc.アメール。数学。社会、10 (5): 822–824、土井: 10.1090/s0002-9939-1959-0113131-7。
• Jan Brinkhuis & Vladimir Tikhomirov (2005) Optimization: Insights and Applications、Princeton University Press ISBN 978-0-691-10287-0 MR 2168305。 
• グリム、ジェームズ (1960)、「C*-代数に対するストーン-ワイエルシュトラスの定理」、数学年報、第 2 シリーズ、72 (2): 216–244、doi :10.2307/1970133、JSTOR  1970133
• グリックスバーグ、アーヴィング (1962)、「代数と反対称集合に直交する測度」、アメリカ数学会誌、105 (3): 415–435、doi : 10.2307/1993729、JSTOR  1993729。
• ルディン、ウォルター（1976）、数学的解析の原理（第3版）、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-054235-8
• ルディン、ウォルター（1973）、機能分析、マグロウヒル、ISBN 0-07-054236-8。
• JG Burkill、多項式による近似に関する講義(PDF)。

ヴァイエルシュトラスの歴史的出版物（ドイツ語）は、ベルリン・ブランデンブルク科学アカデミーのデジタルオンラインアーカイブから無料で入手できます。

• K. ヴァイエルシュトラス (1885)。非常に優れた分析結果を基に、さまざまな機能が開発されます。ベルリンの教育学アカデミー、1885 年 (II)。
  Erste Mittailung (パート 1) pp. 633–639、Zweite Mittailung (パート 2) pp. 789–805。

• 「ストーン・ワイエルシュトラスの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]