バイナリ関数

数学において、バイナリ関数（二変量関数、または2 変数関数とも呼ばれる）は、 2 つの入力を取る関数です。

正確に言えば、関数がバイナリであるのは、次のような集合が存在する場合である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

${\displaystyle \,f\colon X\times Y\rightarrow Z}$

ととの直積はどこにあるか${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

集合論的には、2 項関数は直積のサブセットとして表すことができます。ここで、 はサブセットに属するのは の場合のみ、です。逆に、サブセットが2 項関数を定義するのは、任意のおよび に対して、に属するようなが1つだけ存在する場合のみ、です。 このとき、 は と定義されます。 ${\displaystyle X\times Y\times Z}$${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle f(x,y)=z}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle z\in Z}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle z}$

あるいは、2 項関数は単に から への関数として解釈されることもあります。ただし、このように考えた場合であっても、通常はではなく と書きます。(つまり、同じ括弧のペアが、関数の適用と順序付きペアの形成の両方を示すために使用されます。) ${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle f((x,y))}$

整数の割り算は関数として考えることができます。 が整数の集合、が自然数（ゼロを除く）の集合、 が有理数の集合である場合、割り算は 2 項関数です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle f:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{+}\to \mathbb {Q} }$

体F上のベクトル空間Vでは、スカラー乗算は2 項関数です。スカラーa ∈ F はベクトルv ∈ Vと結合され、新しいベクトルav ∈ Vが生成されます。

もう一つの例は内積、またはより一般的には の形の関数です。ここでx、yは適切なサイズの実数値ベクトル、Mは行列です。M が正定値行列 の場合、内積が得られます。 [ ^1]${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{\mathrm {T} }My}$

定義域が の部分集合である関数は、その定義域が長方形を形成しない、つまり2つの集合の直積を形成しない場合でも、2変数関数と呼ばれることが多い。^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

同様に、2 項関数から 1 変数の通常の関数を導くこともできます。任意の要素 が与えられた場合、によって与えられる からへの関数、またはが存在します。同様に、任意の要素 が与えられた場合、によって与えられるからへの関数、またはが存在します。コンピュータ サイエンスでは、 からへの関数と から への関数 ( は から へのすべての関数の集合) との間のこの同一視をのカリー化と呼びます。 ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f^{x}}$${\displaystyle f(x,\cdot )}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f^{x}(y)=f(x,y)}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle f(\cdot,y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z^{Y}}$${\displaystyle Z^{Y}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

関数に関するさまざまな概念は、2 項関数にも一般化できます。たとえば、上記の除算の例は、すべての有理数は整数と自然数の商として表現できるため、全射（または上）です。関数f ^xとf _{y は常に単射であるため、この例は各入力に対して個別に}単射です。ただし、(たとえば) f (2,4) = f (1,2) であるため、両方の変数に対して同時に単射ではありません。

部分的なバイナリ関数も考えられます。これは、入力の特定の値に対してのみ定義される場合があります。たとえば、上記の除算の例は、ZとNからQへの部分的なバイナリ関数として解釈することもできます。ここで、N はゼロを含むすべての自然数の集合です。ただし、この関数は、2 番目の入力がゼロの場合、定義されません。

二項演算は、 X、Y、Zの集合がすべて等しい二項関数です。二項演算は、代数構造を定義するためによく使用されます。

線型代数において、双線型変換は、集合X、Y、Zがすべてベクトル空間であり、派生関数f ^xとf _yがすべて線型変換であるバイナリ関数です。双線型変換は、他のバイナリ関数と同様に、 X × YからZへの関数として解釈できますが、この関数は一般に線型ではありません。ただし、双線型変換は、テンソル積から Zへの単一の線型変換として解釈することもできます。 ${\displaystyle X\otimes Y}$

2 進関数の概念は、 3 進(または3 次)関数、4 進(または4 次)関数、またはより一般的には任意の自然数nに対するn 進関数に一般化されます。Zへの0 進関数は、Zの要素によって簡単に与えられます。 Aが任意の集合であるA 進関数を定義することもできます。 Aの各要素には 1 つの入力があります。

圏論では、n項関数は多重圏のn項射に一般化されます。n 項射を、その定義域が元の n 項射の定義域の何らかの積である通常の射として解釈することは、モノイド圏で機能します。1つの変数の導来射の構築は、閉じたモノイド圏で機能します。集合の圏は閉じたモノイドですが、ベクトル空間の圏も閉じたモノイドであり、上記の双線型変換の概念を与えます。

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