機能空間

数学において、関数空間とは、2つの固定された集合間の関数の集合のことです。多くの場合、定義域や値域には、関数空間に受け継がれる追加の構造が存在します。例えば、任意の集合Xからベクトル空間への関数の集合は、点ごとの加算とスカラー乗算によって与えられる自然なベクトル空間構造を持ちます。また、関数空間は位相構造や距離構造を受け継ぐ場合もあり、そのため「関数空間」という名前が付けられています。数学用語、特に解析学や幾何学では、関数はしばしば次のような形式の写像を指すことがあります。${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$または${\displaystyle X\to \mathbb {C} }$どこ${\displaystyle X}$問題となっている空間は、他の形式の地図とは異なります。${\displaystyle X\to Y}$任意の2つの空間間の写像は、単にマップと呼ばれます。その例としては、位相空間上のコンパクト台を持つ関数の空間が挙げられます。しかし、より広い文脈では、関数空間は、おそらく何らかの追加構造を備えた関数の集合（理論的に集合したもの）から構成される場合もあります。

Fを体とし、Xを任意の集合とする。関数X → Fの集合は、演算が点ごとに定義されるF上のベクトル空間の構造を持つことができる^{[ 1 ]}。すなわち、任意のf、g : X → F、任意のx ∈ X、任意のc ∈ Fに対して、次のように定義する。  $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)&=c\cdot f(x).\end{aligned}}}$$ 領域Xに追加の構造がある場合、代わりにその構造を尊重するすべての関数のサブセット(または部分空間) を考えることができます。たとえば、 VとX自体がF上のベクトル空間である場合、線形写像X → Vの集合は、点ごとの演算 (しばしばHom ( X , V )と表記) を持つF上のベクトル空間を形成します。そのような空間の 1 つは、 Xの双対空間、つまり、加算とスカラー乗算が点ごとに定義された線形汎関数X → Fの集合です。

余分な構造を持たない関数空間の基数次元は、エルデシュ・カプランスキーの定理によって求めることができる。

関数空間は、数学のさまざまな分野に現れる。

• 集合論では、 XからYへの関数の集合は{ X → Y } またはY ^Xと表記されることがあります。
  • 特殊なケースとして、集合Xの冪集合は、Xから{0, 1} へのすべての関数の集合と同一視することができ、2 ^Xと表記されます。
• XからYへの全単射の集合は次のように表される。${\displaystyle X\leftrightarrow Y}$階乗表記X ! は、単一の集合Xの順列に使用できます。
• 関数解析においても、上記のようなベクトル空間上の位相を含む連続線形変換について同様のことが見られ、主要な例の多くは位相を持つ関数空間であり、最もよく知られている例としてはヒルベルト空間やバナッハ空間が挙げられる。
• 関数解析において、自然数からある集合Xへのすべての関数の集合を数列空間と呼ぶ。これは、 Xの要素のすべての可能な数列の集合からなる。
• 位相幾何学では、ある位相空間Xから別の位相空間Yへの連続関数の空間に位相を導入しようと試みることがあり、その有用性は空間の性質によって異なります。よく用いられる例としては、コンパクト開位相（例えばループ空間）があります。また、集合論的関数（必ずしも連続関数ではない）の空間Y ^X上の積位相も利用可能です。この文脈では、この位相は点ごとの収束位相とも呼ばれます。
• 代数トポロジーにおいて、ホモトピー理論の研究は本質的に関数空間の離散不変量の研究である。
• 確率過程の理論において、基本的な技術的問題は、過程の経路（時間の関数）の関数空間上に確率測度を構築する方法である。
• 圏論において、関数空間は指数対象または写像対象と呼ばれる。それは表現の正準双関手として現れるが、型（単一）関手としても現れる。${\displaystyle [X,-]}$型ファンクターの随伴ファンクターとして現れる。${\displaystyle -\times X}$オブジェクト上;
• 関数型プログラミングとラムダ計算では、関数型は高階関数の概念を表現するために用いられる。
• プログラミング全般において、クロージャなどの多くの高階関数概念は、明示的な型付けの有無にかかわらず出現します。
• 領域理論では、基本的な考え方は、性質の良いデカルト閉圏を作成することによって、ラムダ計算をモデル化できる部分順序からの構成を見つけることです。
• 有限群の表現論では、群Gの2 つの有限次元表現VとWが与えられたとき、線形写像のベクトル空間 Hom( V , W )上のGの表現をHom 表現と呼ぶことができる。^{[ 2 ]}

関数解析の主要なテーマの一つは、線形構造という最低限の構造を超えた、より複雑な構造を持つ関数空間やベクトル空間を研究することである。具体的には、位相ベクトル空間、バナッハ空間、ヒルベルト空間などが挙げられる。これにより、数学者は有限次元ベクトル空間から得られる直感を応用することができる。

関数空間は、補間、埋め込み、表現、バナッハ空間同型など、複雑な相互関係を持っています。関数解析における多くの基本的な定理や構成は、これらの関係を扱っており、例えば、リース表現定理、リース・トーリン定理、ガリアルド・ニレンベルグ補間不等式、レリッヒ・コンドラホフ定理、ハーディ・リトルウッド最大関数などがあります。

させて${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$開集合とする。

• ${\displaystyle B(\Omega )}$有界関数
• 連続するもの
  • ${\displaystyle C(\Omega )}$一様ノルム位相を備えた連続関数
  • ${\displaystyle C_{c}(\Omega )}$コンパクトなサポートを備えた連続関数
  • ${\displaystyle C_{b}(\Omega )}$連続有界関数
  • ${\displaystyle C_{0}(\Omega )}$無限遠で消滅する連続関数。${\displaystyle C_{b}(\Omega )}$^{[ 3 ]}
  • ${\displaystyle C^{r}(\Omega )}$r個の連続導関数を持つ連続関数。
• 滑らかなもの
  • ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$滑らかな関数
  • ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$コンパクトなサポートを持つ滑らかな関数（つまり、バンプ関数の集合）
  • ${\displaystyle C^{\omega }(\Omega )}$実解析関数
• ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$、 のために${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$は、pノルムが である可測関数のL ^p空間です。${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\Omega }|f|^{p}\right)^{1/p}}$有限である
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\Omega )}$急速に減少する滑らかな関数のシュワルツ空間とその連続双対、${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\Omega )}$緩和分布
• ${\displaystyle D(\Omega )}$極限トポロジーにおけるコンパクトサポート
• ${\displaystyle {\text{Lip}}_{0}(\Omega )}$上のすべてのリプシッツ関数の空間${\displaystyle \Omega }$ゼロで消滅する。
• ${\displaystyle W^{k,p}}$k階までの弱導関数が次の値をとる関数のソボレフ空間${\displaystyle L^{p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$正則関数
• ${\displaystyle BMO(\Omega )}$平均振動が制限された空間。ジョン・ニレンバーグ空間とも呼ばれる。
• 線形関数
• 区分的線形関数
• 連続関数、コンパクトなオープントポロジー
• すべての関数、点ごとの収束空間
• 丈夫なスペース
• ホルダースペース
• スコロホッド空間： càdlàg関数の空間。
• ベゾフ空間
• ソウチェク・スペース
• トリーベル・リゾルキン空間
• バロンスペース

yが関数空間の要素である場合${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$閉区間[ a , b ]で定義されたすべての連続関数のノルムは${\displaystyle \|y\|_{\infty }}$定義済み${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$はa ≤ x ≤ bにおけるy ( x )の 最大絶対値である。^{[ 4 ]}$${\displaystyle \|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{where}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)}$$

これは均一規範または上限規範（「sup norm」）と呼ばれます。

• コルモゴロフ、AN、フォミン、SV（1967）。関数理論と関数解析の基礎。クーリエ・ドーバー出版。
• Stein, Elias ; Shakarchi, R. (2011). 関数解析：解析学のさらなるトピックへの入門。プリンストン大学出版局。

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