反交換性

数学において、反可換性とは、非可換な数学演算の特定の性質です。反対称演算の2つの引数の位置を入れ替えると、引数を入れ替えない場合の結果の逆演算が得られます。逆演算という概念は、演算の終域における群構造を指し、場合によっては別の演算と関連付けられます。減算は反可換演算です。なぜなら、減算のオペランドを入れ替えると、${\displaystyle ab}$与える${\displaystyle ba=-(ab)}$; 例えば、${\displaystyle 2-10=-(10-2)=-8}$反可換演算のもう1つの顕著な例は、リー括弧です。

対称性が中心的な重要性を持つ数理物理学、あるいは多重線形代数だけでも、これらの演算は（いくつかのベクトル構造に関して多重線形であり、その後）反対称演算と呼ばれ、引数の数がすでに2より大きい場合を除いて、結合法則の設定で2つ以上の引数をカバーするように拡張されます。

もし${\displaystyle A,B}$2 つのアーベル群、双線形写像${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$すべての に対して が反可換である場合、は反可換である。${\displaystyle x,y\in A}$我々は持っています

${\displaystyle f(x,y)=-f(y,x).}$

より一般的には、多重線形マップ${\displaystyle g:A^{n}\to B}$すべての に対して が反可換である場合、 は反可換である。${\displaystyle x_{1},\dots x_{n}\in A}$我々は持っています

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})={\text{sgn}}(\sigma )g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots x_{\sigma (n)})}$

どこ$\displaystyle \text{sgn}}(\sigma )}$順列の符号​${\displaystyle \sigma }$。

アーベル群が${\displaystyle B}$2-ねじれを持たないということは、${\displaystyle x=-x}$それから${\displaystyle x=0}$すると、任意の反可換双線形写像${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$満たす

${\displaystyle f(x,x)=0.}$

より一般的には、 2 つの要素を転置することにより、任意の反可換多重線形写像${\displaystyle g\colon A^{n}\to B}$満たす

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=0}$

もし${\displaystyle x_{i}}$が等しい場合、このような写像は交代写像と呼ばれます。逆に、多重線形性を用いると、任意の交代写像は反可換です。二進数の場合、これは次のように機能します。${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$交代すると双線形性により、

${\displaystyle f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)=0}$

多重線形の場合の証明も同様ですが、入力のうち2つだけを考慮する必要があります。

もし${\displaystyle e_{i}^{2}=1,\quad e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}=0,i\neq j\ ,}$ それから${\displaystyle (\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}.}$^{[ 1 ]}

反交換的な二項演算の例としては、以下のようなものがある。

• クロス積
• リー代数のリー括弧
• ライリングのライブラケット
• 引き算
• i、j、kの四元数の積

• 可換性
• 整流子
• 外積代数
• 次数付き可換環
• 演算（数学）
• 数学における対称性
• 粒子統計（物理学における反可換性のため）。

• Bourbaki, Nicolas (1989)、「第 III 章テンソル代数、外積代数、対称代数」、代数学 第 1 章～第 3 章、数学の基礎（第 2 版 ）、ベルリン-ハイデルベルク-ニューヨーク市：Springer-Verlag、ISBN 3-540-64243-9MR 0979982、Zbl 0904.00001​  。

• Gainov, AT (2001) [1994]、「反可換代数」、数学百科事典、EMS Pressこれは、オリジナルのロシア語作品を参照しています。
• ワイススタイン、エリック W. 「反可換性」 . MathWorld .