等価性（幾何学）

ユークリッド幾何学において、等価性とは、有向線分間の同次関係のことです。2つの線分は、長さと方向が同じである場合に等価であると言われます。等価な2つの線分は平行ですが、必ずしも同一直線上にあるとは限らず、また重なり合うとも限りません。例えば、点Aから点Bへの線分ABは、線分BAとは逆方向を向いています。したがって、ABとBAは等価ではありません。

ユークリッド空間の性質の一つに、ベクトルの平行四辺形性がある。2つの線分が等しい場合、それらは（場合によっては退化した）平行四辺形の2辺を形成する。

あるベクトルがaとb、cとdの間で成り立つ場合、 aとcの間で成り立つベクトルは、bとdの間で成り立つベクトルと同じです。

等価線分の概念は、 1835年にジュスト・ベラヴィティスによって提唱されました。その後、等価線分のクラスを表す用語としてベクトルが採用されました。ベラヴィティスが用いた、異なるが類似した対象を比較するための関係の概念は、特に同値関係の使用において、一般的な数学的手法となっています。ベラヴィティスは、線分ABとCDの等価性を表すために特別な記法を用いました。

${\displaystyle AB\bumpeq CD.}$

マイケル・J・クロウによる以下の翻訳は、ベラヴィティスがベクトル概念を予見していたことを示している。

等価関係は、それらの線を、空間上の位置に関係なく、それぞれ等価な別の線に置き換えた場合でも成立する。このことから、任意の数、任意の種類の線を合計することができ、それらの線をどのような順序で取っても、同じ等価和が得られることが理解できる。

等式においても、方程式と同様に、符号を反転させることを条件として、直線を一方の側から他方の側に移すことができる。

したがって、反対方向を向いた線分は互いに負の値となる。${\displaystyle AB+BA\bumpeq 0.}$

等価性${\displaystyle AB\bumpeq n.CD,}$ここでnは正の数を表し、ABがCDと平行で同じ方向であることを示し、それらの長さはAB = n.CDで表される関係にある。^{[ 1 ]}

ユークリッドベクトルの用語では、AからBへの線分は束縛ベクトルであり、それと同等の線分のクラスは自由ベクトルである。

1878年にWKクリフォードは、等価な線分をステップと呼びました。「線aa'とbb'は、長さが等しく方向も同じであれば、剛体の同じステップを表します。つまり、単に平行であるだけでなく、2本の平行な直線上に同じ向きで描かれているということです。したがって、剛体のステップは、任意の場所に描かれた長さと方向が与えられた線によって適切に表されます。」^{[ 2 ]}

幾何学的等価性は球面にも適用される。

ハミルトンの方法を理解するために、まず、ユークリッド3次元空間におけるアーベル群の並進という、はるかに単純なケースを思い出してみましょう。各並進は空間内のベクトルとして表現でき、方向と大きさだけが重要で、位置は関係ありません。2つの並進の合成は、ベクトル加算のヘッド・トゥ・テール平行四辺形の規則で与えられ、逆を取ることは方向を反転させることに相当します。ハミルトンの回転理論では、アーベル並進群から非アーベルSU(2)へのこのような図の一般化があります。空間内のベクトルの代わりに、ユークリッド3次元空間の単位球面S2上の^長さ< πの有向大円弧を扱います。2つのそのような弧は、一方をその大円に沿ってスライドさせることで他方と一致させることができる場合に同等であるとみなされます。^{[ 3 ]}

球面の大円上では、2 つの有向円弧は、方向と弧長が一致する場合に同値である。このような円弧の同値類は、四元数ベクトルに関連付けられている。

${\displaystyle \exp(ar)=\cos a+r\sin a,}$ここで、aは弧の長さであり、rは垂直性によって大円の平面を決定する。

同質セグメントの同値類の特性を抽象化することで、アフィン空間を定義できる。

Aが点の集合であり、Vがベクトル空間である場合、( A, V )は、 A内の任意の 2 点a,bに対してベクトルが存在する場合にアフィン空間である。${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$Vにおいて、Aの任意のaとVの任意のv に対して、 Aのbが存在し、${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}=v,}$A内の任意の3点に対して、ベクトル方程式は次のようになる。

$\displaystyle {\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {bc}}={\overrightarrow {ac}}.}$

明らかに、この展開は、有向線分の同値類を介してベクトルを導入するのとは対照的に、抽象ベクトル空間の事前導入に依存している。^{[ 4 ]}

• Giusto Bellavitis (1835) 「Saggio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle equipollenze)」、Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto、Padova 5: 244–59。
• Giusto Bellavitis (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze、Google Booksからのリンク。

• Charles-Ange Laisant (1874): Bellavitis (1854) Exposition de la methode des equipollencesを追加したフランス語翻訳、 Google Booksからのリンク。

• Giusto Bellavitis (1858) Calcolo dei Quaternioni di WR Hamilton e sua Relazionecol Metodo delle Equipollenze、HathiTrust からのリンク。
• Charles-Ange Laisant (1887) Theorie et Applications des Equipollence 、Gauthier-Villars、ミシガン大学歴史数学コレクションからのリンク。
• Lena L. Severance (1930) The Theory of Equipollences; Method of Analytical Geometry of Sig. Bellavitis、HathiTrust からのリンク。