ドット積の一般化。ヒルベルト空間の定義に用いられる。
内積を用いて定義された2つのベクトル間の角度の幾何学的解釈 任意の体上のスカラー積空間には、第 1 引数で対称かつ線形である「スカラー積」があります。エルミート積空間は複素数体に限定され、第 1 引数で共役対称かつ線形である「エルミート積」があります。内積空間は任意の体上で定義でき、第 1 引数で線形、共役対称、正定値である「内積」があります。内積とは異なり、スカラー積とエルミート積は正定値である必要はありません。 数学 において 、 内積空間 （または、稀に、 ハウスドルフ ・プレ・ヒルベルト空間 ）は、 実ベクトル空間 または 内積 と呼ばれる 演算 を伴う 複素ベクトル空間 である。空間内の2つのベクトルの内積はスカラーであり 、 のように 山括弧 で表記されることが多い。内積により、ベクトルの長さ、 角度 、 直交性 （内積がゼロ）などの直感的な幾何学的概念を形式的に定義できる 。内積空間は 、内積が 直交座標 の ドット積 または スカラー積である ユークリッドベクトル空間を一般化する。無限 次元 の内積空間は、 関数解析 で広く使用されている。 複素数 体 上の 内積空間は、 ユニタリ空間 と呼ばれることもある。内積を伴うベクトル空間の概念は 、1898年に ジュゼッペ・ペアノ によって初めて使用された。 [3]
⟨ 1つの 、 b ⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
内積は自然に、関連する ノルム （ 図では および と表記）を誘導します。したがって、すべての内積空間は ノルムベクトル空間 です。このノルム空間も 完備 （つまり、 バナッハ空間 ）である場合、内積空間は ヒルベルト空間 です。 内積空間 H がヒルベルト空間でない場合、 完備化 によって ヒルベルト空間 に 拡張 できます。これは、 が の内積 の 線型部分 空間であり、 が の の 制限 であり 、ノルムによって定義される 位相 に対して で 稠密で あることを意味します 。
|
x
|
{\displaystyle |x|}
|
ええ
|
{\displaystyle |y|}
H ¯
。
{\displaystyle {\overline {H}}.}
H
{\displaystyle H}
H ¯
、
{\displaystyle {\overline {H}},}
H
{\displaystyle H}
H ¯
、
{\displaystyle {\overline {H}},}
H
{\displaystyle H}
H ¯
{\displaystyle {\overline {H}}}
意味 この記事では、 F は 実数 または 複素数 のいずれかの 体 を表します。したがって、 スカラー は F の要素です 。スカラーを表す式の上のバーは、このスカラーの 複素共役 を表します。ゼロベクトルは、スカラー 0 と区別するために示されます 。
R
、
{\displaystyle \mathbb {R} ,}
Ｃ
。
{\displaystyle \mathbb {C} .}
0
{\displaystyle \mathbf {0} }
内積 空間 は、 体 F上の ベクトル 空間 V と内積 、つまり写像
である。
⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ : 五 × 五 → ふ
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F}
すべてのベクトルとすべてのスカラー に対して次の3つの性質を満たす 。 [5] [6]
x 、 ええ 、 ず ∈ 五
{\displaystyle x,y,z\in V}
1つの 、 b ∈ ふ
{\displaystyle a,b\in F}
共役対称性 :が実数の 場合に限り 、 共役対称性は が常に実数であることを意味します。 F が の場合 、共役対称性は単なる対称性です。
⟨ x 、 ええ ⟩ =
⟨ ええ 、 x ⟩
¯
。
{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}
1つの =
1つの ¯
{\textstyle a={\overline {a}}}
1つの
{\displaystyle a}
⟨ x 、 x ⟩
{\displaystyle \langle x,x\rangle }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
第一引数の 線形性: [注 1]
⟨ 1つの x + b ええ 、 ず ⟩ = 1つの ⟨ x 、 ず ⟩ + b ⟨ ええ 、 ず ⟩ 。
{\displaystyle \langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle .}
正定値性 : がゼロでない場合、 (共役対称性は が実数であることを意味する)。
x
{\displaystyle x}
⟨ x 、 x ⟩ > 0
{\displaystyle \langle x,x\rangle >0}
⟨ x 、 x ⟩
{\displaystyle \langle x,x\rangle }
正定値条件を、 すべての に対して であることを要求するものに置き換えると、 半正定値エルミート形式 の定義が得られます 。半正定値エルミート形式が内積となるのは、すべての に対して である場合 、 である場合 に限ります 。
⟨ x 、 x ⟩ ≥ 0
{\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}
x
{\displaystyle x}
⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
x
{\displaystyle x}
⟨ x 、 x ⟩ = 0
{\displaystyle \langle x,x\rangle =0}
x =
0
{\displaystyle x=\mathbf {0} }
基本的なプロパティ 内積の定義からほぼ直ちに生じる次の特性において、 x 、 y 、 z は任意のベクトルであり、 a 、 b は 任意のスカラーです。
⟨
0
、 x ⟩ = ⟨ x 、
0
⟩ = 0.
{\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x,\mathbf {0} \rangle =0.}
⟨ x 、 x ⟩
{\displaystyle \langle x,x\rangle }
実数かつ非負です。
⟨ x 、 x ⟩ = 0
{\displaystyle \langle x,x\rangle =0}
もし、もし、
x =
0
。
{\displaystyle x=\mathbf {0} .}
⟨ x 、 1つの ええ + b ず ⟩ =
1つの ¯
⟨ x 、 ええ ⟩ +
b ¯
⟨ x 、 ず ⟩ 。
{\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle .}
これは、内積が二 等分線形式 であることを意味します。
⟨ x + ええ 、 x + ええ ⟩ = ⟨ x 、 x ⟩ + 2 再 （ ⟨ x 、 ええ ⟩ ） + ⟨ ええ 、 ええ ⟩ 、
{\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\operatorname {Re} (\langle x,y\rangle )+\langle y,y\rangle ,}
ここで、 は 引数の 実数部 を表します。
再
{\displaystyle \operatorname {Re} }
上では 、共役対称性は対称性に、二乗線型性は双線型性に還元される。したがって、実ベクトル空間上の内積は 正定値対称 双線型形式 である。 正方形の
二項展開は
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
⟨ x + ええ 、 x + ええ ⟩ = ⟨ x 、 x ⟩ + 2 ⟨ x 、 ええ ⟩ + ⟨ ええ 、 ええ ⟩ 。
{\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}
表記 内積には、
通常のドット積のほか、、、などの
いくつ
か
の
表記法が使用されます。
⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
（
⋅ 、 ⋅
）
{\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}
⟨ ⋅
|
⋅ ⟩
{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }
（
⋅
|
⋅
）
{\displaystyle \left(\cdot |\cdot \right)}
コンベンションバリアント 特に 物理学 と 行列代数の分野 では、内積とセスクイリニア形式を、第 1 引数ではなく第 2 引数で線形性を持つように定義することを好んでいる著者もいます。この場合、第 1 引数は第 2 引数ではなく共役線形になります。 量子力学 の ブラケット表記法 でも、わずかに異なる表記法が使用されます。つまり 、 です 。
⟨ ⋅
|
⋅ ⟩
{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }
⟨ x
|
ええ ⟩ :=
（
ええ 、 x
）
{\displaystyle \langle x|y\rangle :=\left(y,x\right)}
例
実数と複素数 内積空間の最も単純な例としては 、およびがあります。
実数 は、 その内積として算術乗算を持つ内積空間となる、
上のベクトル空間です。
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Ｃ
。
{\displaystyle \mathbb {C} .}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
⟨ x 、 ええ ⟩ := x ええ
のために
x 、 ええ ∈
R
。
{\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {R} .}
複素数 は 、上のベクトル空間であり 、内積を持つ内積空間となる。
実数とは異なり、割り当ては 上の複素内積を定義 しない 。
Ｃ
{\displaystyle \mathbb {C} }
Ｃ
{\displaystyle \mathbb {C} }
⟨ x 、 ええ ⟩ := x
ええ ¯
のために
x 、 ええ ∈
Ｃ
。
{\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {C} .}
(
x
,
y
)
↦
x
y
{\displaystyle (x,y)\mapsto xy}
C
.
{\displaystyle \mathbb {C} .}
ユークリッドベクトル空間 より一般的には、 ドット積 を持つ 実 空間は
n
{\displaystyle n}
内積空間であり、 ユークリッドベクトル空間 の例である 。
ここで 、 は
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
⟨
[
x
1
⋮
x
n
]
,
[
y
1
⋮
y
n
]
⟩
=
x
T
y
=
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
=
x
1
y
1
+
⋯
+
x
n
y
n
,
{\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\textsf {T}}y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}
x
T
{\displaystyle x^{\operatorname {T} }}
x
.
{\displaystyle x.}
関数が 上の内積である 場合、かつその場合のみ、 すべての に対して となる 対称 正定値行列 が存在します。が 単位行列 である場合 、 は ドット積です。 別の例として、 および が 正定値である場合 (これは、 および 1 つまたは両方の対角要素が正である場合に限り発生します)、任意の に対して となります。
前述のように、 上のすべての内積は この形式になります (ただし 、 および は を満たします )。
⟨
⋅
,
⋅
⟩
:
R
n
×
R
n
→
R
{\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
M
{\displaystyle \mathbf {M} }
⟨
x
,
y
⟩
=
x
T
M
y
{\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}
x
,
y
∈
R
n
.
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}
M
{\displaystyle \mathbf {M} }
⟨
x
,
y
⟩
=
x
T
M
y
{\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
M
=
[
a
b
b
d
]
{\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}
det
M
=
a
d
−
b
2
>
0
{\displaystyle \det \mathbf {M} =ad-b^{2}>0}
x
:=
[
x
1
,
x
2
]
T
,
y
:=
[
y
1
,
y
2
]
T
∈
R
2
,
{\displaystyle x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},}
⟨
x
,
y
⟩
:=
x
T
M
y
=
[
x
1
,
x
2
]
[
a
b
b
d
]
[
y
1
y
2
]
=
a
x
1
y
1
+
b
x
1
y
2
+
b
x
2
y
1
+
d
x
2
y
2
.
{\displaystyle \langle x,y\rangle :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
b
∈
R
,
a
>
0
{\displaystyle b\in \mathbb {R} ,a>0}
d
>
0
{\displaystyle d>0}
a
d
>
b
2
{\displaystyle ad>b^{2}}
複素座標空間 上の内積の一般的な形式は エルミート形式 と呼ばれ 、 によって与えられます。
ここで、 は任意 のエルミート 正定値行列 であり 、 は の 共役転置 です。実際のケースでは、これは、正の スケール係数 と直交方向のスケーリングを持つ、2 つのベクトルの方向的に異なる スケーリング の結果のドット積に対応します 。これは、直交変換までの、正の重みを持つドット積の 加重和 バージョンです。
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
⟨
x
,
y
⟩
=
y
†
M
x
=
x
†
M
y
¯
,
{\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}
M
{\displaystyle M}
y
†
{\displaystyle y^{\dagger }}
y
.
{\displaystyle y.}
ヒルベルト空間 ヒルベルト空間 に関する記事には 、内積によって誘導される計量が 完全な計量空間 をもたらす内積空間の例がいくつか記載されています。不完全な計量を誘導する内積空間の例としては、連続する複素数値関数の 空間 と、 区間 上の 内積
が挙げられます。この空間は完全ではありません。たとえば、区間 [−1, 1] について、次のように定義される連続する「ステップ」関数の列を
考えてみましょう 。
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
¯
d
t
.
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}
{
f
k
}
k
,
{\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}
f
k
(
t
)
=
{
0
t
∈
[
−
1
,
0
]
1
t
∈
[
1
k
,
1
]
k
t
t
∈
(
0
,
1
k
)
{\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}
このシーケンスは、 連続 関数に収束しない、前の内積によって誘導されるノルムの Cauchy シーケンス です。
ランダム変数 実数 ランダム変数 の場合、 それらの積の
期待 値
は内積です。 [8] [9] [10] この場合、 の 場合に限り （つまり、 ほぼ確実に ）、 はイベントの 確率 を表します 。期待値の内積としての定義は、 ランダムベクトル にも拡張できます。
X
{\displaystyle X}
Y
,
{\displaystyle Y,}
⟨
X
,
Y
⟩
=
E
[
X
Y
]
{\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]}
⟨
X
,
X
⟩
=
0
{\displaystyle \langle X,X\rangle =0}
P
[
X
=
0
]
=
1
{\displaystyle \mathbb {P} [X=0]=1}
X
=
0
{\displaystyle X=0}
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
複素行列 同じサイズの複素正方行列の内積は、 フロベニウスの内積 です。トレースおよび転置は線形であり、共役は 2 番目の行列上にあるため、これはセスクイリニア演算子です。さらに、次のようにエルミート対称性が得られます
。
最後に、 がゼロでない場合 、であるため 、フロベニウスの内積も正定値であり、内積も正定値であることがわかります。
⟨
A
,
B
⟩
:=
tr
(
A
B
†
)
{\displaystyle \langle A,B\rangle :=\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)}
⟨
A
,
B
⟩
=
tr
(
A
B
†
)
=
tr
(
B
A
†
)
¯
=
⟨
B
,
A
⟩
¯
{\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)={\overline {\operatorname {tr} \left(BA^{\dagger }\right)}}={\overline {\left\langle B,A\right\rangle }}}
A
{\displaystyle A}
⟨
A
,
A
⟩
=
∑
i
j
|
A
i
j
|
2
>
0
{\displaystyle \langle A,A\rangle =\sum _{ij}\left|A_{ij}\right|^{2}>0}
内積空間、またはより一般的には 非退化形式 （したがって同型 ）を持つベクトル空間では、ベクトルを共ベクトルに（座標で転置を介して）移すことができるため、ベクトルと共ベクトルの単純な積ではなく、2 つのベクトルの内積と外積を取ることができます。
V
→
V
∗
{\displaystyle V\to V^{*}}
基本的な結果、用語、定義
ノルム特性 あらゆる内積空間は ノルム を誘導し、これを 標準ノルム は、 によって定義されます
。このノルムにより、すべての内積空間は ノルム付きベクトル空間 。
‖
x
‖
=
⟨
x
,
x
⟩
.
{\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}
したがって、ノルムベクトル空間の一般的な性質はすべて内積空間に適用されます。特に、次の性質があります。
絶対的な均質性
‖
a
x
‖
=
|
a
|
‖
x
‖
{\displaystyle \|ax\|=|a|\,\|x\|}
あらゆる およびに対して
(これは から生じます )。
x
∈
V
{\displaystyle x\in V}
a
∈
F
{\displaystyle a\in F}
⟨
a
x
,
a
x
⟩
=
a
a
¯
⟨
x
,
x
⟩
{\displaystyle \langle ax,ax\rangle =a{\overline {a}}\langle x,x\rangle }
三角不等式
‖
x
+
y
‖
≤
‖
x
‖
+
‖
y
‖
{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}
これら 2 つの特性は、
確かに規範が存在することを示しています。
x
,
y
∈
V
.
{\displaystyle x,y\in V.}
コーシー・シュワルツの不等式
|
⟨
x
,
y
⟩
|
≤
‖
x
‖
‖
y
‖
{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}
任意の に対して が等しく、かつ と が 線型 従属で ある場合
に限ります 。
x
,
y
∈
V
,
{\displaystyle x,y\in V,}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
平行四辺形の法則
‖
x
+
y
‖
2
+
‖
x
−
y
‖
2
=
2
‖
x
‖
2
+
2
‖
y
‖
2
{\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}
平行四辺形の法則は、
ノルムが内積によって定義されるための必要かつ十分な条件です。
x
,
y
∈
V
.
{\displaystyle x,y\in V.}
二極化のアイデンティティ
‖
x
+
y
‖
2
=
‖
x
‖
2
+
‖
y
‖
2
+
2
Re
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle }
あらゆる場合において、
内積は分極恒等式によってノルムから取り出すことができる。なぜなら、その虚部は実部であるからである。
x
,
y
∈
V
.
{\displaystyle x,y\in V.}
⟨
x
,
i
y
⟩
.
{\displaystyle \langle x,iy\rangle .}
プトレマイオスの不等式
‖
x
−
y
‖
‖
z
‖
+
‖
y
−
z
‖
‖
x
‖
≥
‖
x
−
z
‖
‖
y
‖
{\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|}
プトレマイオスの不等式は、 半ノルム が内積によって定義されるノルムとなる
ための必要かつ十分な条件である。 [11]
x
,
y
,
z
∈
V
.
{\displaystyle x,y,z\in V.}
直交性
直交性
2つのベクトル とは 次のようになる。
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
は直交 で あり、内積がゼロ、つまり の場合に よく書きます すべてのスカラー
である場合に限り 、また実数値関数が非負の場合に限ります の場合、スカラーは 常に非正の 値で 最小化される という事実の結果です 複素 内積空間
に対して 線型演算子が 同一 である に対して である場合 これは、実内積空間では一般には当てはまりません。これは、共役対称性が複素内積の対称性とは異なることの結果です。実内積空間での反例は における 90° 回転で 、これはすべてのベクトルを直交ベクトルに写像しますが、 と同一 ではありません 。
x
⊥
y
,
{\displaystyle x\perp y,}
⟨
x
,
y
⟩
=
0.
{\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}
‖
x
‖
≤
‖
x
+
s
y
‖
{\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}
s
,
{\displaystyle s,}
f
(
s
)
:=
‖
x
+
s
y
‖
2
−
‖
x
‖
2
{\displaystyle f(s):=\|x+sy\|^{2}-\|x\|^{2}}
y
≠
0
{\displaystyle y\neq 0}
s
0
=
−
⟨
x
,
y
⟩
¯
‖
y
‖
2
{\displaystyle s_{0}=-{\tfrac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}
f
{\displaystyle f}
f
(
s
0
)
=
−
|
⟨
x
,
y
⟩
|
2
‖
y
‖
2
,
{\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\tfrac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}},}
H
,
{\displaystyle H,}
T
:
V
→
V
{\displaystyle T:V\to V}
0
{\displaystyle 0}
x
⊥
T
x
{\displaystyle x\perp Tx}
x
∈
V
.
{\displaystyle x\in V.}
T
{\displaystyle T}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
0
{\displaystyle 0}
直交補数 部分集合の 直交 補集合は、 C のすべての元に直交するベクトルの 集合である 。つまり、
この集合は 常に の閉ベクトル部分空間であり 、 における の 閉包 がベクトル部分空間である場合、
C
⊆
V
{\displaystyle C\subseteq V}
C
⊥
{\displaystyle C^{\bot }}
C
⊥
:=
{
y
∈
V
:
⟨
y
,
c
⟩
=
0
for all
c
∈
C
}
.
{\displaystyle C^{\bot }:=\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\}.}
C
⊥
{\displaystyle C^{\bot }}
V
{\displaystyle V}
cl
V
C
{\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}
C
{\displaystyle C}
V
{\displaystyle V}
cl
V
C
=
(
C
⊥
)
⊥
.
{\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}
ピタゴラスの定理 と が 直交する
場合、
これは、加法性を使用して方程式の右辺を展開し、内積で二乗ノルムを表現することで証明できます。 ピタゴラスの定理
という名前は 、ユークリッド幾何学 における幾何学的解釈に由来しています 。
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
‖
x
‖
2
+
‖
y
‖
2
=
‖
x
+
y
‖
2
.
{\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}
パーセヴァルの正体 ピタゴラスの定理に基づく帰納法では、
が 直交 している場合、
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
∑
i
=
1
n
‖
x
i
‖
2
=
‖
∑
i
=
1
n
x
i
‖
2
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}
角度 が実数の
場合、コーシー・シュワルツの不等式は を意味し 、したがって は
実数です。これにより、 線型代数 の観点から ユークリッド幾何学 の現代的な定義における 2 つのベクトルの(無向) 角度を定義できます。これは、 データ分析でも「 コサイン類似度 」という名前で 使用され 、2 つのデータ ベクトルを比較します。
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle x,y\rangle }
⟨
x
,
y
⟩
‖
x
‖
‖
y
‖
∈
[
−
1
,
1
]
,
{\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}
∠
(
x
,
y
)
=
arccos
⟨
x
,
y
⟩
‖
x
‖
‖
y
‖
,
{\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}
内積の実部と複素部 が の内積である と仮定する （したがって、第2引数は反線型である）。 分極恒等式 は、 内積の
実部が
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
V
{\displaystyle V}
Re
⟨
x
,
y
⟩
=
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}
が実ベクトル空間である
場合
、の 虚部 （ 複素部 とも呼ばれる）は 常に
V
{\displaystyle V}
⟨
x
,
y
⟩
=
Re
⟨
x
,
y
⟩
=
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
)
{\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
0.
{\displaystyle 0.}
この章の残りの部分では、 が 複素ベクトル空間である と仮定する。複素ベクトル空間の
分極恒等式は、
V
{\displaystyle V}
⟨
x
,
y
⟩
=
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
+
i
‖
x
+
i
y
‖
2
−
i
‖
x
−
i
y
‖
2
)
=
Re
⟨
x
,
y
⟩
+
i
Re
⟨
x
,
i
y
⟩
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}
すべてに対して によって定義される写像は、 2 番目の引数ではなく 最初 の引数が反線形であることを除いて、内積の公理を満たします。 と の実部は両方 とも に等しいです が、内積の複素部は異なります。
⟨
x
∣
y
⟩
=
⟨
y
,
x
⟩
{\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }
x
,
y
∈
V
{\displaystyle x,y\in V}
⟨
x
∣
y
⟩
{\displaystyle \langle x\mid y\rangle }
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle x,y\rangle }
Re
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }
⟨
x
∣
y
⟩
=
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
−
i
‖
x
+
i
y
‖
2
+
i
‖
x
−
i
y
‖
2
)
=
Re
⟨
x
,
y
⟩
−
i
Re
⟨
x
,
i
y
⟩
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}
最後の等式は、線形関数を その実部で
表す 式に似ています。
これらの式は、すべての複素内積がその実部によって完全に決定されることを示しています。さらに、この実部は実ベクトル空間として考えた場合の内積を定義します。したがって、複素ベクトル空間上の複素内積 と実内積の 間には1対1の対応があります。
V
,
{\displaystyle V,}
V
,
{\displaystyle V,}
V
.
{\displaystyle V.}
たとえば、 ある整数 に対して が通常の方法で実ベクトル空間と見なされる とき （つまり、 それぞれ と同一視される 次元実ベクトル空間と同一視される とき）、 ドット積は この空間上の実内積を定義します。ドット積によって誘導される上の 唯一の複素内積は、 を に 送る写像です （この写像の実部は ドット積に等しいため）。
V
=
C
n
{\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}
n
>
0.
{\displaystyle n>0.}
V
{\displaystyle V}
2
n
−
{\displaystyle 2n-}
R
2
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}
(
a
1
+
i
b
1
,
…
,
a
n
+
i
b
n
)
∈
C
n
{\displaystyle \left(a_{1}+ib_{1},\ldots ,a_{n}+ib_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}
(
a
1
,
b
1
,
…
,
a
n
,
b
n
)
∈
R
2
n
{\displaystyle \left(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{n},b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{2n}}
x
⋅
y
=
(
x
1
,
…
,
x
2
n
)
⋅
(
y
1
,
…
,
y
2
n
)
:=
x
1
y
1
+
⋯
+
x
2
n
y
2
n
{\displaystyle x\,\cdot \,y=\left(x_{1},\ldots ,x_{2n}\right)\,\cdot \,\left(y_{1},\ldots ,y_{2n}\right):=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{2n}y_{2n}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }
V
=
C
n
{\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}
c
=
(
c
1
,
…
,
c
n
)
,
d
=
(
d
1
,
…
,
d
n
)
∈
C
n
{\displaystyle c=\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right),d=\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}
⟨
c
,
d
⟩
:=
c
1
d
1
¯
+
⋯
+
c
n
d
n
¯
{\displaystyle \langle c,d\rangle :=c_{1}{\overline {d_{1}}}+\cdots +c_{n}{\overline {d_{n}}}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }
実数内積と複素数内積
を複素数ではなく実数上のベクトル空間として考えると します 。 複素内積の 実部は 、実ベクトル空間上の実内積を必ず形成する 写像です。 実ベクトル空間上のすべての内積は、 双線型 かつ 対称な写像 です。
V
R
{\displaystyle V_{\mathbb {R} }}
V
{\displaystyle V}
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle x,y\rangle }
⟨
x
,
y
⟩
R
=
Re
⟨
x
,
y
⟩
:
V
R
×
V
R
→
R
,
{\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ~:~V_{\mathbb {R} }\times V_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} ,}
V
R
.
{\displaystyle V_{\mathbb {R} }.}
たとえば、 内積 （ ここで は 体上のベクトル空間）の場合 、 は 上のベクトル空間であり 、は ドット積 （ここで は 点 と同一視されます） です （ についても同様です）。したがって、 上の 標準の内積 は ドット積 の「拡張」です。また、 が代わりに 対称マップ（通常の 共役対称マップ ではなく） として定義されている 場合、その実部はドット積ではあり ませ ん 。さらに、複素共役がなければ、 の 場合ですが の場合 、割り当てによって ノルムが定義されません。
V
=
C
{\displaystyle V=\mathbb {C} }
⟨
x
,
y
⟩
=
x
y
¯
,
{\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}
V
{\displaystyle V}
C
,
{\displaystyle \mathbb {C} ,}
V
R
=
R
2
{\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
⟨
x
,
y
⟩
R
{\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}
x
⋅
y
,
{\displaystyle x\cdot y,}
x
=
a
+
i
b
∈
V
=
C
{\displaystyle x=a+ib\in V=\mathbb {C} }
(
a
,
b
)
∈
V
R
=
R
2
{\displaystyle (a,b)\in V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}
y
{\displaystyle y}
⟨
x
,
y
⟩
=
x
y
¯
,
{\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle x,y\rangle }
⟨
x
,
y
⟩
=
x
y
{\displaystyle \langle x,y\rangle =xy}
⟨
x
,
y
⟩
=
x
y
¯
{\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}}}
⟨
x
,
y
⟩
R
{\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}
x
∈
C
{\displaystyle x\in \mathbb {C} }
x
∉
R
{\displaystyle x\not \in \mathbb {R} }
⟨
x
,
x
⟩
=
x
x
=
x
2
∉
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \langle x,x\rangle =xx=x^{2}\not \in [0,\infty )}
x
↦
⟨
x
,
x
⟩
{\displaystyle x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}}
次の例は、実内積と複素内積には多くの共通の性質と結果があるものの、完全に互換性があるわけではないことを示しています。たとえば、 の場合、 となります が 、次の例は、その逆は一般には真で はない ことを示しています。任意の が与えられた場合、 ベクトル（ 90°回転した ベクトル）は に属し 、したがって にも属します（ に よる のスカラー乗算 は で定義されていませんが、 で表される の ベクトル は の要素でもあります ）。複素内積の場合、 の値は ですが、実内積の場合、 の値は常に です。
⟨
x
,
y
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x,y\rangle =0}
⟨
x
,
y
⟩
R
=
0
,
{\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=0,}
x
∈
V
,
{\displaystyle x\in V,}
i
x
{\displaystyle ix}
x
{\displaystyle x}
V
{\displaystyle V}
V
R
{\displaystyle V_{\mathbb {R} }}
x
{\displaystyle x}
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
V
R
,
{\displaystyle V_{\mathbb {R} },}
V
{\displaystyle V}
i
x
{\displaystyle ix}
V
R
{\displaystyle V_{\mathbb {R} }}
⟨
x
,
i
x
⟩
=
−
i
‖
x
‖
2
,
{\displaystyle \langle x,ix\rangle =-i\|x\|^{2},}
⟨
x
,
i
x
⟩
R
=
0.
{\displaystyle \langle x,ix\rangle _{\mathbb {R} }=0.}
が複素内積で、が すべての に対して を満たす連続線型演算子である 場合 、この記述は 、次の例が示すように、 が実内積である 場合はもはや真ではありません。 が上記の 内積を持つと仮定します。 によって定義される マップは、 平面上で の による回転を表す 線型マップ（ と の両方に対して線型）です。 と は 直交ベクトルであり、 は すべてのベクトルに対して 単なるドット積であるため、 それでもなお、この回転マップは 確かに と同値ではありません。 対照的に、複素内積を使用すると が得られ 、（予想どおり） は 0 と同値ではありません。
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }
A
:
V
→
V
{\displaystyle A:V\to V}
⟨
x
,
A
x
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x,Ax\rangle =0}
x
∈
V
,
{\displaystyle x\in V,}
A
=
0.
{\displaystyle A=0.}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }
V
=
C
{\displaystyle V=\mathbb {C} }
⟨
x
,
y
⟩
:=
x
y
¯
{\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}}
A
:
V
→
V
{\displaystyle A:V\to V}
A
x
=
i
x
{\displaystyle Ax=ix}
V
{\displaystyle V}
V
R
{\displaystyle V_{\mathbb {R} }}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
x
{\displaystyle x}
A
x
{\displaystyle Ax}
⟨
x
,
A
x
⟩
R
{\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }}
⟨
x
,
A
x
⟩
R
=
0
{\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }=0}
x
;
{\displaystyle x;}
A
{\displaystyle A}
0.
{\displaystyle 0.}
⟨
x
,
A
x
⟩
=
−
i
‖
x
‖
2
,
{\displaystyle \langle x,Ax\rangle =-i\|x\|^{2},}
正規直交シーケンス を次元の有限次元内積空間とします。 の すべて の 基底は、正確に線形独立なベクトルから構成されることを思い出してください 。 グラム ・ シュミット過程を 使用して、任意の基底から始めて、それを正規直交基底に変換することができます。 つまり、すべての要素が直交し、単位ノルムを持つ基底に変換します。 記号では、基底が正規直交であるの は、 すべての に対して 、 各インデックスに対して
V
{\displaystyle V}
n
.
{\displaystyle n.}
V
{\displaystyle V}
n
{\displaystyle n}
{
e
1
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}
⟨
e
i
,
e
j
⟩
=
0
{\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
⟨
e
i
,
e
i
⟩
=
‖
e
a
‖
2
=
1
{\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}
i
.
{\displaystyle i.}
この正規直交基底の定義は、次のように無限次元内積空間の場合に一般化される。 を任意の 内積空間とする。すると、 の集合は、
の要素の有限線形結合によって生成される の部分空間が （内積によって誘導されるノルムにおいて） に稠密である場合 に 、 の 基底
となる。 が の 正規直交基底 である とは、 が基底であり、
および に対して すべて
V
{\displaystyle V}
E
=
{
e
a
}
a
∈
A
{\displaystyle E=\left\{e_{a}\right\}_{a\in A}}
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
E
{\displaystyle E}
V
{\displaystyle V}
E
{\displaystyle E}
V
{\displaystyle V}
⟨
e
a
,
e
b
⟩
=
0
{\displaystyle \left\langle e_{a},e_{b}\right\rangle =0}
a
≠
b
{\displaystyle a\neq b}
⟨
e
a
,
e
a
⟩
=
‖
e
a
‖
2
=
1
{\displaystyle \langle e_{a},e_{a}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}
a
,
b
∈
A
.
{\displaystyle a,b\in A.}
グラム・シュミット過程の無限次元類似物を使用すると、次のことが示されます。
定理。 任意の 可分な 内積空間は正規直交基底を持つ。
ハウスドルフの最大原理と、 完全な内積空間 では線型部分空間への直交射影が明確に定義されているという事実を 用いると 、次のことが示される。
定理。 任意 の完全内積空間は 正規直交基底を持つ。
前の 2 つの定理は、すべての内積空間が正規直交基底を持つかどうかという疑問を提起します。答えは、否定的であることが判明しました。これは自明ではない結果であり、以下で証明されます。次の証明は、Halmos の A Hilbert Space Problem Book (参考文献を参照) から引用されています。 [ 引用が必要 ]
パーセバルの恒等式 から、直ちに次の定理が導かれます。
定理。 が可分な内積空間で の正規直交基底である とする と、写像は
稠密な像を持つ
等長線型写像になります。
V
{\displaystyle V}
{
e
k
}
k
{\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k}}
V
.
{\displaystyle V.}
x
↦
{
⟨
e
k
,
x
⟩
}
k
∈
N
{\displaystyle x\mapsto {\bigl \{}\langle e_{k},x\rangle {\bigr \}}_{k\in \mathbb {N} }}
V
→
ℓ
2
{\displaystyle V\rightarrow \ell ^{2}}
この定理は、任意の正規直交基底が三角多項式 の列の役割を果たす、 フーリエ級数 の抽象的な形式と見なすことができます。基礎となるインデックス セットは、任意の可算セット (および、 ヒルベルト空間 の記事で説明されているように、適切に定義されている限り、実際には任意のセット) とすること ができることに注意してください 。特に、フーリエ級数の理論では次の結果が得られます。
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
定理。 を内積空間と する と、連続関数のシーケンス（すべての整数の集合でインデックス付け）は、
内積 を持つ
空間の正規直交基底です 。マッピングは、
密なイメージを持つ等長線形マップです。
V
{\displaystyle V}
C
[
−
π
,
π
]
.
{\displaystyle C[-\pi ,\pi ].}
e
k
(
t
)
=
e
i
k
t
2
π
{\displaystyle e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}}
C
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle C[-\pi ,\pi ]}
L
2
{\displaystyle L^{2}}
f
↦
1
2
π
{
∫
−
π
π
f
(
t
)
e
−
i
k
t
d
t
}
k
∈
Z
{\displaystyle f\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,\mathrm {d} t\right\}_{k\in \mathbb {Z} }}
シーケンスの直交性は 、次の
事実から直ちに導かれる。
{
e
k
}
k
{\displaystyle \{e_{k}\}_{k}}
k
≠
j
,
{\displaystyle k\neq j,}
∫
−
π
π
e
−
i
(
j
−
k
)
t
d
t
=
0.
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(j-k)t}\,\mathrm {d} t=0.}
数列の正規性は設計によるものです。つまり、係数はノルムが 1 になるように選択されます。最後に、数列が 内積ノルム において稠密な代数スパンを持つという事実は、数列が今度は一様ノルムを持つ 上の連続周期関数の空間において稠密な代数スパンを持つという事実から生じます。これは 、三角多項式の一様密度に関する
ワイエルシュトラス の定理の内容です。
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
内積空間上の作用素 内積空間と間の 線型 写像 にはいくつかの種類があり 、 それらは関連性があります。
A
:
V
→
W
{\displaystyle A:V\to W}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
連続線型写像 : 上で定義された計量に関して線型かつ連続である、または同等に、 の閉じた単位球上の範囲が 有界 非負の実数の集合である 。
A
:
V
→
W
{\displaystyle A:V\to W}
A
{\displaystyle A}
{
‖
A
x
‖
:
‖
x
‖
≤
1
}
,
{\displaystyle \{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\},}
x
{\displaystyle x}
V
,
{\displaystyle V,}
対称線形演算子 ： は線形であり、 すべての
A
:
V
→
W
{\displaystyle A:V\to W}
⟨
A
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
A
y
⟩
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }
x
,
y
∈
V
.
{\displaystyle x,y\in V.}
等長変換 : すべての に対して を 満たします 線型 等長変換 (または 反 線型 等長変換) は、線型写像 (または反 線型写像 ) でもある等長変換です。内積空間については、 分極恒等式 を使用し すべての に対して 等長変換であるための必要 。 等長 変換は単射です。 マズール・ウラムの定理は、 2 つの 実 ノルム空間 間のすべての射影等長変換 がアフィン変換 であることを証明しています。したがって、実内積空間間の等長変換 が線型写像であるための必要十分条件は 等長変換は 内積空間間の 射であり、実内積空間の射は直交変換です ( 直交行列 と比較してください)。
A
:
V
→
W
{\displaystyle A:V\to W}
‖
A
x
‖
=
‖
x
‖
{\displaystyle \|Ax\|=\|x\|}
x
∈
V
.
{\displaystyle x\in V.}
A
{\displaystyle A}
⟨
A
x
,
A
y
⟩
=
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle Ax,Ay\rangle =\langle x,y\rangle }
x
,
y
∈
V
.
{\displaystyle x,y\in V.}
A
{\displaystyle A}
A
(
0
)
=
0.
{\displaystyle A(0)=0.}
等長同型 :は 全射 (したがって 全単射 )な等長写像です 。等長同型はユニタリ演算子とも呼ばれます( ユニタリ行列 と比較してください)。
A
:
V
→
W
{\displaystyle A:V\to W}
内積空間論の観点からは、等長的に同型な2つの空間を区別する必要はない。 スペクトル定理は、有限次元内積空間上の対称、ユニタリ、およびより一般的には 正規作用素 の標準形を提供する 。スペクトル定理の一般化は、ヒルベルト空間の連続正規作用素に対しても成り立つ。 [13]
一般化 内積の公理はいずれも弱められ、一般化された概念を生み出すことができます。内積に最も近い一般化は、双線型性と共役対称性が保持され、正定値が弱められる場合に発生します。
退化した内積 がベクトル空間で半正定値セスクイリニア形式である 場合 、関数は
意味を成し、ノルムのすべての特性を満たしますが、 は を 意味しません （このような関数は 半ノルム と呼ばれます）。商 を考慮することで内積空間を作成できます。 セスクイリニア形式は 次のように因数分解されます。
V
{\displaystyle V}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }
‖
x
‖
=
⟨
x
,
x
⟩
{\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}
‖
x
‖
=
0
{\displaystyle \|x\|=0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
W
=
V
/
{
x
:
‖
x
‖
=
0
}
.
{\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }
W
.
{\displaystyle W.}
この構成はさまざまな状況で使用されます。Gelfand -Naimark-Segal 構成は 、この手法の使用例として特に重要です。別の例としては、任意の集合上の
半正定値核 の表現があります。
あるいは、ペアリングが 非退化形式 、つまりすべての非ゼロ に対して が存在する が と 等しい 必要はない、という形式を要求することもできます 。言い換えると、双対空間への誘導写像は単射です。この一般化は 微分幾何学 において重要です 。接空間が内積を持つ多様体は リーマン多様体 であり、これが非退化共役対称形式と関連付けられる場合、多様体は 擬リーマン多様体 です。 シルベスターの慣性法則 により、すべての内積がベクトルの集合に対する正の重みを持つドット積に相似であるのと同様に、すべての非退化共役対称形式はベクトルの集合に対する 非ゼロの 重みを持つドット積に相似であり、正と負の重みの数はそれぞれ正の指数と負の指数と呼ばれます。 ミンコフスキー空間 におけるベクトルの積は 不定内積の一例ですが、技術的には上記の標準的な定義によれば内積ではありません。ミンコフスキー空間には 4 つの 次元 があり、インデックスは 3 と 1 です ( 「+」と「-」の割り当ては 規則によって異なります )。
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
y
{\displaystyle y}
⟨
x
,
y
⟩
≠
0
,
{\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
V
→
V
∗
{\displaystyle V\to V^{*}}
純粋に代数的なステートメント（正値性を使用しないステートメント）は通常、非退化（入射準同型 ）のみに依存しているため、より一般的に成り立ちます。
V
→
V
∗
{\displaystyle V\to V^{*}}
「内積」という用語は 、もう少し一般的な反対である 外積 ( テンソル積) とは対照的です。簡単に言うと、座標では、内積は 共ベクトル と ベクトルの積で行列 (スカラー) が生成され 、外積は 共ベクトル とベクトルの積で行列が生成されます 。外積は異なる次元に対して定義されますが、内積は同じ次元を必要とします。次元が同じ場合、内積は外積の トレース になります(トレースは正方行列に対してのみ適切に定義されます)。簡単にまとめると、「内側は水平と垂直を掛けて縮小し、外側は垂直と水平を掛けて拡大します」。
1
×
n
{\displaystyle 1\times n}
n
×
1
{\displaystyle n\times 1}
1
×
1
{\displaystyle 1\times 1}
m
×
1
{\displaystyle m\times 1}
1
×
n
{\displaystyle 1\times n}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
より抽象的に言えば、外積は ベクトルと共ベクトルを階数 1 の線形変換 (型 (1, 1) の 単純テンソル ) に送る双線形マップであり、内積は ベクトル上の共ベクトルを評価することによって与えられる双線形評価マップです。ここでのドメイン ベクトル空間の順序は、共ベクトルとベクトルの区別を反映しています。
W
×
V
∗
→
hom
(
V
,
W
)
{\displaystyle W\times V^{*}\to \hom(V,W)}
V
∗
×
V
→
F
{\displaystyle V^{*}\times V\to F}
内積と外積は、 内積 と 外積と混同しないでください。内積と外積は、 ベクトル場 と 微分形式 、またはより一般的には 外積代数 に対する演算です 。
さらに複雑なことに、 幾何代数 では、内積と 外積 （グラスマン積）は幾何積（ クリフォード代数 におけるクリフォード積）に結合されます。内積は2つのベクトル（1ベクトル）をスカラー（0ベクトル）に渡し、外積は2つのベクトルを2ベクトル（2ベクトル）に渡します。この文脈では、外積は通常外積 （ または ウェッジ積 ）と呼ばれます。この文脈では、内積はより正確には スカラー 積と呼ばれます。これは、問題の非退化二次形式が正定値である必要がない（内積である必要がない）ためです。
参照 双線形形式 – スカラー値双線形関数 双直交系 双対空間 – 数学では、線型形式のベクトル空間 エネルギー空間 - 与えられた実ヒルベルト空間の、新たな「エネルギー」内積を備えた部分空間 Pages displaying wikidata descriptions as a fallback L-半内積 – すべてのノルム空間に適用される内積の一般化 ミンコフスキー距離 – ノルムベクトル空間における数学的距離 直交基底 – ベクトルが互いに直交する v の基底 直交補数 – 線形代数の概念 正規直交基底 – 特定の線形基底（数学） リーマン多様体
注記
^ 第 1 引数が線形であるという性質 と 共役対称性の 性質を組み合わせると、 第 2 引数が共役線形 になります : 。これは、内積が元々定義された方法であり、ほとんどの数学のコンテキストで使用されている方法です。理論物理学と量子力学では、 ポール ディラック の ブラケット 表記法に由来する別の規則が採用されており、内積は 第 2 引数で線形 、 第 1 引数で共役線形 であるとされています。この規則は、エンジニアリングやコンピューター サイエンスなど、他の多くの分野で使用されています。
⟨
x
,
b
y
⟩
=
⟨
x
,
y
⟩
b
¯
{\textstyle \langle x,by\rangle =\langle x,y\rangle {\overline {b}}}
参考文献
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.png/500px-Product_Spaces_Drawing_(1).png)
![{\displaystyle x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1e5a3f177321a76836ac0796df3c2fbddb9dde)
![{\displaystyle \langle x,y\rangle :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix x}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2} y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0067f60aa412f08ee8a63bea3c25fec789ca61a8)
![{\displaystyle C([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e4f44fa2823fcdffc5fc26981c0d4fa57cade9)
![{\displaystyle [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba5cb29655f824ce80a0b6a32d9326d0e8742cd)
![{\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e63fdb1fef334282359a93c0b232c0de8125f28)
![{\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4faa9acf0f42fa31023970f64f80526fcf4ecac)
![{\displaystyle \mathbb {P} [X=0]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb889f8f5562ffa91331ceb66a78d4916a8e430)
![{\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971cf06efbbe8a5278a6effdacadd021c1f693a7)
![{\displaystyle C[-\pi ,\pi ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223f9d7493adedbd3d9cf0c35f812f8236c202d1)
![{\displaystyle C[-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7004d3934596427928c52976c6c0457dcd4e522b)
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
