テンソル（本質的な定義）

数学において、テンソル理論に対する現代的な成分フリーのアプローチでは、テンソルは、ある特定のタイプの多重線形概念を表現する抽象的な対象として捉えられます。テンソルの性質は、線形写像として、あるいはより一般的には、その定義から導き出すことができ、テンソルの操作規則は、線形代数を多重線形代数に拡張することによって生じます。

微分幾何学では、本質的な幾何学的命題は多様体上のテンソル場によって記述することができ、その場合、座標を参照する必要は全くありません。一般相対性理論においても、物理的性質を記述するテンソル場について同様のことが言えます。成分を用いないアプローチは、テンソルが自然に現れる抽象代数学やホモロジー代数学でも広く用いられています。

共通の体F上の有限個のベクトル空間の集合{ V ₁ , ..., V _n }が与えられたとき、それらのテンソル積V ₁ ⊗ ... ⊗ V _nを構成でき、その要素はテンソルと呼ばれます。

ベクトル空間V上のテンソルは、次の形式のベクトル空間の要素（すなわち、ベクトル）として定義される。 $${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$$ ここで、V ^∗はVの双対空間である。

積の中にVがm個、V ^∗がn個ある場合、テンソルは( m , n )型で、反変次数がm、共変次数がn、全次数がm + nであると言われます。次数が 0 のテンソルはスカラー (体Fの要素) であり、反変次数が 1 のテンソルはVのベクトルであり、共変次数が 1 のテンソルはV ^∗の1 形式です (このため、最後の 2 つの空間の要素はしばしば反変ベクトルと共変ベクトルと呼ばれます)。型( m , n )のすべてのテンソルの空間は、 $${\displaystyle T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n}.}$$

例１．${\displaystyle V}$は有限次元であり、 (1, 1)型テンソルの空間である。${\displaystyle T_{1}^{1}(V)=V\otimes V^{*},}$は、 VからVへの線形変換の空間と自然な形で同型である。

例２．${\displaystyle V}$は有限次元であり、実ベクトル空間V上の双線形形式である。${\displaystyle V\times V\to F,}$自然な形でタイプ(0, 2)テンソルに対応する${\displaystyle T_{2}^{0}(V)=V^{*}\otimes V^{*}.}$このような双線形形式の例として、関連する計量テンソルと呼ばれるものが定義され、通常はgと表記されます。

テンソルのランクという用語は、線形代数における行列のランクの概念を拡張したものですが、テンソルの次数（または位数）を意味する場合にもよく用いられます。行列のランクとは、行列の値域を張るために必要な列ベクトルの最小数です。したがって、行列が2つの非ゼロベクトルの外積として表せる場合、その行列のランクは1となります。 $${\displaystyle A=vw^{\mathrm {T} }.}$$ 行列のランク${\displaystyle A}$は、合計が${\displaystyle A}$: $${\displaystyle A=v_{1}w_{1}^{\mathrm {T} }+\cdots +v_{k}w_{k}^{\mathrm {T} }.}$$

単純テンソル（階数1のテンソル、基本テンソル、または分解可能なテンソルとも呼ばれる^{[ 1 ]}）は、次の形式のテンソルの積として表すことができるテンソルである。 $${\displaystyle T=a\otimes b\otimes \cdots \otimes d}$$ ここで、 a、b、...、dはゼロではなく、VまたはV ^∗に属します。つまり、テンソルがゼロではなく、完全に因数分解可能な場合です。すべてのテンソルは、単純テンソルの和として表現できます。テンソルTのランクは、 Tに合計される単純テンソルの最小数です。^{[ 2 ]}

ゼロテンソルのランクはゼロです。ゼロでない0次または1次のテンソルのランクは常に1です。ゼロでない2次以上のテンソルのランクは、テンソルを表現できる（積の和）の中で最も高次元のベクトルを除くすべてのベクトルの次元の積以下です。各積が次元dの有限次元ベクトル空間からのn個のベクトルである場合、 d ^{n −1}となります。

インデックスにおいて、ランク 1 のテンソルは次の形式のテンソルである。 $${\displaystyle T_{ij\dots }^{k\ell \dots }=a_{i}b_{j}\cdots c^{k}d^{\ell }\cdots .}$$

2次テンソルのランクは、テンソルを行列とみなした場合のランクと一致し[ ^{3 ] 、}例えばガウス消去法によって決定できます。しかし、3次以上のテンソルのランクは決定が非常に困難な場合が多く、テンソルの低ランク分解は実用上非常に興味深い場合があります^{[ 4 ]} 。実際、任意の有限体上の3次テンソルのランクを求める問題はNP完全であり、有理数体上ではNP困難です^{[ 5 ]}。行列の効率的な乗算や多項式の効率的な評価といった計算タスクは、双線形形式の集合を同時に評価する問題として再定式化できます。$${\displaystyle z_{k}=\sum _{ij}T_{ijk}x_{i}y_{j}}$$ 入力x _iとy _jが与えられた場合。テンソルTの低ランク分解が既知であれば、効率的な評価戦略が既知となる。^{[ 6 ]}

スペース${\displaystyle T_{n}^{m}(V)}$多重線形写像に関して、普遍的な性質によって特徴づけることができる。このアプローチの利点の一つは、多くの線形写像が「自然」または「幾何学的」（つまり、基底の選択に依存しない）であることを示す方法を提供することである。基底を用いて明示的な計算情報を記述することができ、この優先順位は、式が自然な写像を生み出すことを証明するよりも便利な場合がある。もう一つの側面は、テンソル積が自由モジュールにのみ使用されるわけではなく、「普遍的」アプローチがより一般的な状況に容易に適用できるということである。

ベクトル空間の デカルト積（または直和）上のスカラー値関数$${\displaystyle f:V_{1}\times \cdots \times V_{N}\to F}$$ 各引数に関して線形である場合、多重線形である。V 1 × ... × V N から W へのすべての多重線形写像の空間はL _N ( V ₁ , ... , ^V N ; _W )と_表記される。N  = 1 の場合、多重線形写像は単なる通常の線形写像であり、 VからWへのすべての線形写像の空間はL ( V ; W )と表記される。

テンソル積の普遍的な特徴付けは、各多重線形関数に対して、 $${\displaystyle f\in L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};W)}$$ （Wはスカラー場、ベクトル空間、またはテンソル空間を表すことができる）一意の線形関数が存在する $${\displaystyle T_{f}\in L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};W)}$$ そのため $${\displaystyle f(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},v_{1},\ldots ,v_{n})=T_{f}(\alpha _{1}\otimes \cdots \otimes \alpha _{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})}$$Vのすべてのv _iとV ^∗のα _i について。

普遍性を用いると、Vが有限次元の場合、 ( m , n )テンソルの空間は自然な同型写像を持つことがわかる。$${\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};F)\cong L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};F).}$$

テンソルの定義における各V は、線形写像の引数内のV ^∗に対応し、その逆もまた同様である。（前者の場合、 Vはm個、V ^∗はn個存在し、後者の場合、その逆となることに注意されたい。）特に、次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}^{1}(V)&\cong L(V^{*};F)\cong V,\\T_{1}^{0}(V)&\cong L(V;F)=V^{*},\\T_{1}^{1}(V)&\cong L(V;V).\end{aligned}}}$$

微分幾何学、物理学、工学では、滑らかな多様体上のテンソル場を扱うことがしばしばあります。テンソルという用語は、テンソル場の略記として使われることがあります。テンソル場は、多様体上の点ごとに変化するテンソルの概念を表します。

• アブラハム、ラルフ；マースデン、ジェロルド E. (1985)、『力学の基礎』（第 2 版）、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー、ISBN 0-201-40840-6。
• ブルバキ、ニコラ（1989）、『数学の基礎、代数学I』、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 3-540-64243-9。
• de Groote, HF (1987), Lectures on the Complexity of Bilinear Problems , Lecture Notes in Computer Science, vol.  245, Springer, ISBN 3-540-17205-X。
• ポール、ハルモス(1974)、有限次元ベクトル空間、スプリンガー、ISBN 0-387-90093-4。
• Håstad, Johan (1989 年 11 月 15 日)、「Tensor Rank Is NP-Complete」、Journal of Algorithms、11 (4): 644–654、doi : 10.1016/0196-6774(90)90014-6。
• Jeevanjee, Nadir (2011)、「物理学者のためのテンソルと群論入門」、Physics Today、65 (4): 64、Bibcode : 2012PhT....65d..64P、doi : 10.1063/PT.3.1523、ISBN 978-0-8176-4714-8{{citation}}: CS1 maint: ISBN を使用した作業パラメータ (リンク)。
• クヌース、ドナルド・E. (1998) [1969]、『コンピュータプログラミングの技法』第2巻 （第3版）、アディソン・ウェスリー、 145  ～146ページ、ISBN  978-0-201-89684-8。
• Hackbusch, Wolfgang (2012), Tensor Spaces and Numerical Tensor Calculus , Springer, p.  4, ISBN 978-3-642-28027-6。