米田の補題

米田の補題の反変版^{[ 3 ]}があり、これは反変関数に関するものである。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$に${\displaystyle \mathbf {Set} }$（前層とも呼ばれる）。このバージョンでは、反変ホム関数が関係する。

${\displaystyle h^{A}(-)\equiv \mathrm {Hom} (-,A),}$

送信する${\displaystyle X}$ホームセットへ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,A)}$任意の反変ファンクターが与えられた場合${\displaystyle G}$から${\displaystyle {\mathcal {C}}}$に${\displaystyle \mathbf {Set} }$米田の補題は、

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},G)\cong G(A).}$

(共変)米田の補題で提供される全単射(各)${\displaystyle A}$そして${\displaystyle F}$）は、2 つの特定のファンクター間の自然な同型写像の構成要素です。${\displaystyle {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$に${\displaystyle \mathbf {Set} }$[ ^{4 ] : 61 2つのファンクタの}うちの1つは評価ファンクタである

${\displaystyle -(-)\colon {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

${\displaystyle -(-)\colon (A,F)\mapsto F(A)}$

ペアを送信する${\displaystyle (f,\Phi )}$射の${\displaystyle f\colon A\to B}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}}$そして自然な変化${\displaystyle \Phi \colon F\to G}$地図へ

${\displaystyle \Phi _{B}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{A}\colon F(A)\to G(B).}$

自然同型が何であるかがわかっているので、これで他の関手を決定するのに十分です。2 番目の関手の下では、

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} ,}$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F),}$

ペアの画像${\displaystyle (f,\Phi )}$地図は

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(f,-),F)=\operatorname {Nat} (\hom(f,-),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(A,-),\Phi )}$

それは自然な変化をもたらす${\displaystyle \Psi \colon \hom(A,-)\to F}$自然な変化へ${\displaystyle \Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)\colon \hom(B,-)\to G}$構成要素は

${\displaystyle (\Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-))_{C}(g)=(\Phi \circ \Psi )_{C}(g\circ f)\qquad (g\colon B\to C).}$

の使用${\displaystyle h_{A}}$共変ホムファンクターと${\displaystyle h^{A}}$反変ホムファンクターについては、完全に標準化されているわけではありません。多くのテキスト^{[ 5 ]}や論文では、これら2つのファンクターに対して、反対の慣例を用いるか、全く関係のない記号を使用しています。アレクサンダー・グロタンディークの基礎的なEGAも反対の慣例に従い、次のように定義しています。${\displaystyle h_{X}(Y)=\operatorname {Hom} (Y,X)}$^{[ 6 ]} . ^{[ b} ]

「何かに落ちる」という記憶術は、${\displaystyle h_{A}}$は共変ホム関数です。文字が${\displaystyle A}$下降している（つまり、下付き文字）${\displaystyle h_{A}}$オブジェクトに代入する${\displaystyle X}$射からの${\displaystyle A}$の中へ${\displaystyle X}$。

以来${\displaystyle \Phi }$これは自然変換であり、次の可換図式が得られます。

この図は、自然変換を示しています${\displaystyle \Phi }$完全に決定されます${\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}$各射について${\displaystyle f\colon A\to X}$1つは

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u.}$

さらに、あらゆる要素${\displaystyle u\in F(A)}$このように自然変換を定義する。反変の場合の証明も全く同様である。^{[ 1 ]}

米田の補題の重要な特殊ケースは、ファンクターが${\displaystyle F}$から${\displaystyle {\mathcal {C}}}$に${\displaystyle \mathbf {Set} }$は別のホムファンクターである${\displaystyle h_{B}}$この場合、米田の補題の共変バージョンは次のように述べている。

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).}$

つまり、ホムファンクター間の自然変換は、関連するオブジェクト間の射（逆方向）と1対1に対応します。射が与えられた場合${\displaystyle f\colon B\to A}$関連する自然変換は次のように表される。${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$。

各オブジェクトをマッピングする${\displaystyle A}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}}$関連するホムファンクターへ${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$そして各射${\displaystyle f\colon B\to A}$対応する自然変換へ${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$反変関関数を決定します${\displaystyle h_{\bullet }}$から${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\text{op}}}$に${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$、すべての（共変）ファンクターのファンクターカテゴリ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$に${\displaystyle \mathbf {Set} }$解釈できる${\displaystyle h_{\bullet }}$共変関数として：

${\displaystyle h_{\bullet }\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.}$

この設定における米田の補題の意味は、関手が${\displaystyle h_{\bullet }}$は完全に忠実であり、したがって埋め込みを与える。${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ファンクターのカテゴリーにおいて${\displaystyle \mathbf {Set} }$すべてのファンクターの集合${\displaystyle \{h_{A}|A\in C\}}$は、${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$したがって、米田埋め込みは、カテゴリが${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$は、その圏と同型である。${\displaystyle \{h_{A}|A\in C\}}$。

米田の補題の反変版は次のように述べている。

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).}$

したがって、${\displaystyle h^{\bullet }}$共変関数を生み出す${\displaystyle {\mathcal {C}}}$反変関数の圏へ${\displaystyle \mathbf {Set} }$:

${\displaystyle h^{\bullet }\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.}$

米田の補題によれば、任意の局所的に小さい圏は${\displaystyle {\mathcal {C}}}$反変関手の圏に埋め込むことができる${\displaystyle {\mathcal {C}}}$に${\displaystyle \mathbf {Set} }$経由${\displaystyle h^{\bullet }}$これは米田埋め込みと呼ばれます。

米田埋め込みは、ひらがなのよで表されることがある。^{[ 7 ]}

米田埋め込みは、本質的に、すべての（局所的に小さい）圏について、その圏内のオブジェクトは、完全かつ忠実な方法で前層によって表現できると述べています。つまり、

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},P)\cong P(A)}$

前層Pについて。多くの一般的な圏は、実際には前層の圏であり、詳しく調べると層の圏であることがわかります。また、そのような例は一般的に位相的な性質を持つため、一般にトポスであることがわかります。米田の補題は、圏の位相構造を研究し理解するための重要な手がかりとなります。

2つのカテゴリが与えられた場合${\displaystyle \mathbf {C} }$そして${\displaystyle \mathbf {D} }$2つのファンクタを持つ${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$それらの間の自然な変換は、次の終わりのように記述できます。^{[ 8 ]}

${\displaystyle \mathrm {Nat} (F,G)=\int _{c\in \mathbf {C} }\mathrm {Hom} _{\mathbf {D} }(Fc,Gc)}$

任意のファンクターについて${\displaystyle K\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Set} }$そして${\displaystyle H\colon \mathbf {C} \to \mathbf {Set} }$以下の式はすべて米田の補題の定式化である。^{[ 9 ]}

${\displaystyle K\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Kc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c),\qquad K\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Kc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-)},}$

${\displaystyle H\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Hc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-),\qquad H\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Hc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c)}.}$

させて${\displaystyle {\mathcal {C}}}$小さなカテゴリーである、 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ファンクター、そして${\displaystyle [{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} ]}$前層のカテゴリー、その米田拡張^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\tilde {F}}:[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} ]\rightarrow {\mathcal {D}}}$

左側のKan 拡張機能です${\displaystyle \mathrm {Lan} _{H^{\bullet }}F:[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} ]\rightarrow {\mathcal {D}}}$の${\displaystyle F}$米田埋め込みに沿って${\displaystyle H^{\bullet }}$:

${\displaystyle {\tilde {F}}:=\mathrm {Lan} _{H^{\bullet }}F}$