ローカルプロパティ

数学では、ある数学的対象が、その対象の限定された直接的な部分（例えば、十分に小さい点や任意に小さい点の近傍）でその性質が満たされている場合、その性質を局所的に満たしていると言われます。

おそらく、局所性という概念の最もよく知られた例は、局所最小値（または局所最大値）の概念である。これは、関数の値が点のすぐ近くの近傍内で最小（または最大）となる点である。^[1]これは、関数のドメイン全体にわたる最小値（または最大値）に対応する大域最小値（または大域最大値）の概念とは対照的である。^{[2] [3]}

位相空間は、各点の「近く」で次のいずれかの方法で特性が示される場合、 局所的に特性を示すと言われることがあります。

1. 各ポイントには、その特性を示す近隣地域があります。
2. 各ポイントには、プロパティを表示するセットの近隣ベースがあります。

ここで、条件 (2) はほとんどの場合条件 (1) よりも強力であり、両者を区別するために特別な注意を払う必要があることに注意してください。たとえば、これらの条件の選択が異なると、 局所コンパクトの定義に多少のばらつきが生じる可能性があります。

• 局所コンパクト位相空間
• 局所連結および局所パス連結位相空間
• 局所的にハウスドルフ、局所的に正則、局所的に正規など...
• ローカルにメートル法化可能

位相空間間の同値性の概念（例えば、同相写像、微分同相写像、等長写像）が与えられた場合、最初の空間のすべての点が 2 番目の空間の近傍と同値な近傍を持つとき、2 つの空間は局所的に同値であると言われます。

たとえば、円と線は非常に異なるオブジェクトです。円を引き伸ばして線のように見せることも、線を圧縮して隙間や重なりなく円に合わせることもできません。ただし、円の小さな部分を引き伸ばして平らにすると、線の小さな部分のように見えます。このため、円と線は局所的に同等であると言えます。

同様に、球と平面は局所的に等価です。十分に小さい観察者（たとえば、人間と地球）が球の 表面に立つと、球と平面の区別がつかなくなります。

無限群の場合、「小さな近傍」は有限生成 部分群 とみなされます。すべての有限生成部分群がPである場合、無限群は局所的にPであると言われます。たとえば、すべての有限生成部分群が有限である場合、グループは局所的に有限であり、すべての有限生成部分群が可溶である場合、グループは局所的に可溶です。

有限群の場合、「小近傍」は素数 pで定義される部分群、通常は局所部分群、つまり非自明なp部分群の正規化群とみなされます。この場合、ある特性が局所部分群から検出できる場合、その特性は局所的であると言えます。大域的特性と局所的特性は、1960 年代に行われた 有限単純群の分類に関する初期の研究の重要な部分を占めていました。

可換環の場合、代数幾何学の考え方により、環の「小さな近傍」を素イデアルでの局所化と見なすのが自然です。その場合、局所環から検出できるプロパティは局所的であると言われます。たとえば、可換環上の平坦モジュールであることは局所的プロパティですが、自由モジュールであることはそうではありません。詳細については、「モジュールの局所化」を参照してください。

• ローカルパスの接続性
• ローカル・グローバル原則