積分

積分を求めることができる最初の体系的な手法として記録されているのは、古代ギリシャの天文学者エウドクソスと哲学者デモクリトス（紀元前370年頃）による、面積や体積が既知である無限個の分割に分割することで面積や体積を求める方法である。^{[ 1 ]}この方法は紀元前3世紀にアルキメデスによってさらに発展させられ、円の面積、球の表面積と体積、楕円の面積、放物線の下の面積、回転放物面のセグメントの体積、回転双曲面のセグメントの体積、螺旋の面積を計算するために使用された。^{[ 2 ]}

同様の方法は、紀元3世紀頃に中国の劉徽によって独自に開発され、円の面積を求めるために用いられた。この方法は後に5世紀に中国の父子数学者、祖崇之と祖庚によって球の体積を求めるために用いられた。^{[ 3 ]}

中東では、ハサン・イブン・アル＝ハイサム（ラテン語ではアルハゼン、紀元965年頃- 1040年頃）が4乗の和の公式を導き出した。^{[ 4 ]}アルハゼンは、曲線で囲まれた面積を計算する方程式を決定した。  $\displaystyle y=x^{k}}$（これは積分に相当します）${\displaystyle \int x^{k}\,dx}$（現代の表記法では）任意の非負整数値に対して${\displaystyle k}$[ ^{5 ]}彼はその結果を用いて、現在ではこの関数の積分と呼ばれるものを実行し、積分平方と4乗の和の公式によって放物面の体積を計算することができ^た。^{[ 6 ]}

積分計算における次の重要な進歩は、17 世紀まで現れませんでした。この頃、カヴァリエリの不可分法とフェルマーの研究が、近代微積分の基礎を築き始めました。^{[ 7 ]}カヴァリエリは、カヴァリエリの求積公式で、次数n = 9までのx ⁿの積分を計算しました。^{[ 8 ]} n = − 1 の場合は、双曲線対数という関数の発明が必要で、これは 1647 年に双曲線の求積によって達成されました。

17世紀初頭には、バローとトリチェリによってさらなる進歩がなされ、彼らは積分と微分の間の関連性の最初の兆候を示した。バローは微積分学の基本定理の最初の証明を提供した。^{[ 9 ]}ウォリスはカヴァリエリの方法を一般化し、負のべき乗や分数のべき乗を含む、 xの一般的なべき乗の積分を計算した。 ^{[ 10 ]}

積分における大きな進歩は、17 世紀にライプニッツとニュートンがそれぞれ独立して微積分学の基本定理を発見したことで実現した。^{[ 11 ]}この定理は、積分と微分の間の関係を示している。この関係は、微分が比較的容易であることと相まって、積分を計算するために利用できる。特に、微積分学の基本定理は、より広範なクラスの問題を解くことを可能にする。ライプニッツとニュートンが共に開発した包括的な数学的枠組みも同様に重要である。無限小計算と呼ばれるこの枠組みは、連続領域を持つ関数の精密な解析を可能にした。この枠組みは最終的に現代の微積分学となり、その積分の記法はライプニッツの研究から直接引き継がれている。

ニュートンとライプニッツは積分に体系的なアプローチを提供したが、彼らの研究には厳密さが欠けていた。バークレー司教はニュートンが用いた消滅増分を「消えた量の幽霊」と呼び、痛烈に批判した。^{[ 12 ]}微積分は極限の発展によりより確固たる基盤を得た。積分はリーマンによって極限を用いて初めて厳密に形式化された。^{[ 13 ]}有界な区分的連続関数はすべて有界区間でリーマン積分可能であるが、その後、特にフーリエ解析の文脈で、リーマンの定義が適用されないより一般的な関数が検討され、ルベーグは測度論（実解析のサブフィールド）に基づいて積分の異なる定義を定式化した。リーマンとルベーグのアプローチを拡張した他の積分の定義も提案された。実数系に基づくこれらのアプローチは今日最も一般的ですが、超実数系に基づく無限リーマン和の標準部分として積分を定義するなど、代替的なアプローチも存在します。

不定積分の表記法は、1675 年にゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって導入されました。 ^{[ 14 ]}彼は、 summa ( ſummaと表記。ラテン語で「合計」または「総和」を意味する) を表す文字ſ (長い s )から積分記号∫を採用しました。積分記号の上と下に境界がある定積分の現代的な表記法は、 1819～1820 年頃にジョセフ・フーリエがフランス学士院の覚書で初めて使用し、1822 年に彼の著書に再録されました。^{[ 15 ]}

アイザック・ニュートンは、積分を表すために変数の上に小さな縦棒を使用したり、変数を四角で囲んだりした。縦棒は微分を表すのに使われる. xやx ′と混同されやすく、四角表記は印刷機で再現するのが難しかったため、これらの表記は広く採用されなかった。^{[ 16 ]}

この用語は、 1690 年にジェイコブ ベルヌーイによってラテン語で「Ergo et horum Integralia aequantur」として初めて印刷されました。^{[ 17 ]}

リーマン積分は、区間のタグ付き分割に関する関数のリーマン和によって定義される。 ^{[ 22 ]}実数直線上の閉区間[ a , b ]のタグ付き分割は有限数列である。

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

これは区間[ a , b ]をn個の部分区間[ x _{i −1} , x _i ]に分割し、それぞれの部分区間には特定の点 t i ∈ [ x i −1 , x i ] が「タグ付け」され_ます。この_ようなタグ付け_された分割に関する関数fのリーマン和は次のように定義されます。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};}$

したがって、和の各項は、与えられた部分区間の選択された点における関数値に等しい高さと、部分区間の幅Δ _i = x _i − x _{i −1}と同じ幅を持つ長方形の面積です。このようなタグ付き分割のメッシュは、分割によって形成される最大の部分区間の幅、max _{i =1... n} Δ _iです。区間[ a , b ]上の関数fのリーマン積分は、次の場合にSに等しくなります。^{[ 23 ]}

すべての人にとって${\displaystyle \varepsilon >0}$存在する${\displaystyle \delta >0}$つまり、タグ付きパーティションであれば${\displaystyle [a,b]}$メッシュが以下${\displaystyle \delta }$、

$\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

選択されたタグが各区間における関数の最大値（または最小値）である場合、リーマン和は上側（または下側）ダルブー和となり、リーマン積分とダルブー積分の密接な関係を示唆する。

理論と応用の両方において、積分の下で極限を取ることができることはしばしば興味深い。例えば、適切な意味で問題の解を近似する関数列を構成できる場合が多い。その場合、解関数の積分は近似関数の積分の極限となるはずである。しかし、極限として得られる関数の多くはリーマン積分可能ではないため、そのような極限定理はリーマン積分では成り立たない。したがって、より広いクラスの関数を積分できるような積分の定義を持つことが非常に重要である。^{[ 24 ]}

このような積分はルベーグ積分であり、積分可能な関数のクラスを拡大するために次の事実を利用します。関数の値が定義域上で並べ替えられても、関数の積分は同じままであるはずです。このようにしてアンリ・ルベーグは自身の名を冠した積分を導入し、ポール・モンテルへの手紙の中でこの積分を次のように説明しています。^{[ 25 ]}

私はポケットに集めた一定額を支払わなければなりません。ポケットから紙幣と硬貨を取り出し、見つけた順に債権者に渡して、合計金額に達するまで続けます。これがリーマン積分です。しかし、別の方法もあります。ポケットからすべてのお金を取り出した後、同じ額面の紙幣と硬貨を並べ、いくつかの山を順番に債権者に支払います。これが私の積分です。

フォランドが述べているように、「 fのリーマン積分を計算するには、定義域[ a , b ] を部分区間に分割する」のに対し、ルベーグ積分では、「実際にはfの値域を分割している」。^{[ 26 ]}したがって、ルベーグ積分の定義は、測度μ から始まる。最も単純な場合、区間A = [ a , b ]のルベーグ測度μ ( A )はその幅b − aであり、両方が存在する場合、ルベーグ積分は (本来の) リーマン積分と一致する。^{[ 27 ]}より複雑な場合、測定される集合は、連続性も区間との類似性もない、高度に断片化される可能性がある。

「 fの値域を分割する」という考え方を用いると、非負関数f  : R → Rの積分は、 y = tとy = t + dtの間の細い水平帯の面積をtについて合計したものになります。この面積はμ { x : f ( x ) > t } dtです。f ∗ ( t ) = μ { x : f ( x ) > t }とします。すると、 fの^ルベーグ積分は次のように定義されます。  

${\displaystyle \int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt}$

ここで、右辺の積分は通常の広義リーマン積分である（f ^∗は厳密に減少する正の関数であり、したがって明確に定義された広義リーマン積分を持つ）。^{[ 28 ]}適切なクラスの関数（可測関数）に対して、これはルベーグ積分を定義する。

一般的な可測関数fは、 fのグラフとx軸の間の領域の面積の絶対値の合計が有限である場合、ルベーグ積分可能である: ^{[ 29 ]}

${\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .}$

この場合、積分は、リーマンの場合と同様に、 x軸より上の面積とx軸より下の面積の差になります。^{[ 30 ]}

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu }$

どこ

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{alignedat}}}$

リーマン積分とルベーグ積分は積分の定義として最も広く用いられているが、他にも以下のような定義が存在する。

• ダルブー積分は、ダルブー和（制限付きリーマン和）によって定義されますが、リーマン積分と等価です。関数がダルブー積分可能であるのは、それがリーマン積分可能である場合に限ります。ダルブー積分は、リーマン積分よりも定義が容易であるという利点があります。
• リーマン・スティルチェス積分は、変数ではなく関数に関して積分を行うリーマン積分の拡張である。
• ルベーグ・スティルチェス積分は、ヨハン・ラドンによってさらに発展させられ、リーマン・スティルチェス積分とルベーグ積分の両方を一般化したものである。
• ダニエル積分は、測度に依存しないルベーグ積分とルベーグ・スティルチェス積分を包含する。
• ハール積分は、局所的にコンパクトな位相群上の積分に用いられるもので、 1933年にアルフレッド・ハールによって導入された。
• ヘンストック・クルツヴァイル積分は、アルノー・デンジョワ、オスカー・ペロン、そして（ゲージ積分として最も優雅に）ヤロスラフ・クルツヴァイルによって様々に定義され、ラルフ・ヘンストックによって発展させられた。
• ヒンチン積分は、アレクサンドル ヒンチンにちなんで名付けられました。
• ブラウン運動などの半マルチンゲールに関する積分を定義する伊藤積分とストラトノビッチ積分。
• ヤング積分は、特定の非有界変動関数に関するリーマン・スティルチェス積分の一種である。
• ラフパス積分は、追加の「ラフパス」構造を備えた関数に対して定義され、半マルチンゲールと分数ブラウン運動などのプロセスの両方に対する確率積分を一般化します。
• ショケ積分は、1953年にギュスターヴ・ショケによって考案された、劣加法性または優加法性の積分である。
• ボフナー積分は、バナッハ空間に値をとる関数に対するルベーグ積分の一般化である。

閉区間[ a , b ]上のリーマン積分可能な関数の集合は、点ごとの加算とスカラーによる乗算、および積分演算の下でベクトル空間を形成する。

${\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx}$

は、このベクトル空間上の線形汎関数です。したがって、積分可能な関数の集合は、線形結合を取ることによって閉じられ、線形結合の積分は、積分の線形結合になります。^{[ 31 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,}$

同様に、測度μを持つ与えられた測度空間E上の実数値ルベーグ積分可能関数の集合は、線形結合を取ることによって閉じられ、したがってベクトル空間を形成し、ルベーグ積分は

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu }$

は、このベクトル空間上の線形汎関数であるため、次のようになります。^{[ 30 ]}

${\displaystyle \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu 。}$

より一般的には、測度空間( E、μ )上のすべての可測関数のベクトル空間を考えます。これらの関数は、局所的にコンパクトな位相体K上の局所的にコンパクトな完備位相ベクトル空間Vに値をとります。 f : E → V 。すると、各関数fにVの要素または記号∞を割り当てる抽象的な積分写像を定義できます。 

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,}$

これは線形結合と互換性があります。^{[ 32 ]}この状況では、積分がVの要素である関数の部分空間に対して線形性が成り立ちます(つまり「有限」です)。最も重要な特殊なケースは、KがR、C 、またはp 進数の体Q _pの有限拡大であり、VがK上の有限次元ベクトル空間である場合、およびK = CでV が複素ヒルベルト空間である場合に発生します。

線形性、およびある種の「単純な」関数に対する自然な連続性や正規化を用いることで、積分の別の定義を与えることができる。これは、集合X上の実数値関数の場合におけるDaniellのアプローチであり、 Nicolas Bourbakiによって局所的にコンパクトな位相ベクトル空間に値をとる関数へと一般化された。積分の公理的特徴付けについては、Hildebrandt (1953)を参照のこと。

閉区間[ a , b ]上で定義されたリーマン積分可能な関数に対しては、いくつかの一般的な不等式が成り立ち、他の積分概念にも一般化できる (ルベーグとダニエル)。

• 上界と下界。区間[ a , b ]上の積分可能な関数fは、その区間上で必ず有界です。したがって、実数mとMが存在し、すべてのx ∈ [ a , b ]に対してm ≤ f ( x ) ≤ M が成り立ちます。したがって、区間[ a , b ]上のfの下界と上界は、それぞれm ( b − a )とM ( b − a )で抑えられるので、次のことが成り立ちます。$${\displaystyle m(ba)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(ba).}$$
• 関数間の不等式。^{[ 33 ]} [ a , b ]の各xに対してf ( x ) ≤ g ( x )ならば、 fの上和と下和はそれぞれgの上和と下和によって上から抑えられる。したがって$$\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$これは上記の不等式の一般化であり、M ( b - a )は[ a , b ]上で値Mを持つ定数関数の積分です。さらに、関数間の不等式が厳密であれば、積分間の不等式も厳密です。つまり、[ a , b ]内の各xに対してf ( x )< g ( x )であれば、$$\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$
• 部分区間。[ c , d ]が[ a , b ]の部分区間であり、f ( x )がすべてのxに対して非負である場合、$$\int_{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int_{a}^{b}f(x)\,dx.}$$
• 関数の積と絶対値。fとgが2つの関数である場合、それらの点ごとの積とべき乗、および絶対値を考えることができます。$${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.}$$fが[ a , b ]上でリーマン積分可能であれば、| f |についても同様であり、$$\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.}$$さらに、fとgが両方ともリーマン積分可能であれば、fgもリーマン積分可能であり、$${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).}$$この不等式はコーシー・シュワルツの不等式として知られており、ヒルベルト空間理論において重要な役割を果たします。左辺は区間[ a , b ]上の2つの二乗可積分関数fとgの内積として解釈されます。
• ヘルダーの不等式。^{[ 34 ]} pとqを2つの実数、1 ≤ p、q ≤ ∞で、1/ p + 1 / q = 1を満たすものとし、fとgを2つのリーマン積分可能な関数とする。このとき、関数| f | ^pと| g | ^qも積分可能であり、次のヘルダーの不等式が成り立つ。$${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.}$$p = q = 2の場合、ヘルダーの不等式はコーシー・シュワルツの不等式になります。
• ミンコフスキーの不等式。^{[ 34 ]} p ≥ 1が実数であり、fとgがリーマン積分可能な関数であると仮定します。このとき、 | f | ^p、| g | ^pおよび| f + g | ^pもリーマン積分可能であり、次のミンコフスキーの不等式が成り立ちます。$${\displaystyle \left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.}$$ルベーグ積分に関するこの不等式の類似物は、L ^p空間の構成に使用されます。

この節では、fは実数値のリーマン積分可能な関数である。積分

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

区間[ a , b ]上での積分は、 a < bの場合に定義されます。これは、関数fの上和と下和が、値x _iが増加する分割a = x ₀ ≤ x ₁ ≤ . . . ≤ x _n = b上で評価されることを意味します。幾何学的には、これは、より大きなインデックスを持つ区間が、より小さなインデックスを持つ区間の右側にある区間[ x _i , x _{i +1} ]内でfを評価する「左から右」の積分が行われることを意味します。区間の端点である値aとbは、 fの積分範囲と呼ばれます。a > bの場合にも積分を定義できます^。 [ ^{18 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.}$

a = bの場合、これは次のことを意味します。

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.}$

最初の慣例は、 [ a , b ]の部分区間で積分を取ることを考慮すると必要であり、2 番目の慣例は、退化区間または点で取った積分はゼロになるべきであることを示しています。最初の慣例の 1 つは、区間[ a , b ]でのfの積分可能性は、任意の部分区間[ c , d ]でfが積分可能であることを意味しますが、特に、積分には、 cが[ a , b ]の任意の要素である場合、次の性質があります。 ^{[ 31 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$

最初の規約では、結果として得られる関係は

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

は、 a、b、cの任意の巡回置換に対して明確に定義されます。

f を閉区間[ a , b ]上で定義された連続実数値関数とする。Fを[ a , b ]内のすべてのxに対して^{[ 37 ]}で定義される関数とする。

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$

すると、Fは[ a , b ]で連続であり、開区間( a , b )で微分可能であり、

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

( a , b )のすべてのxについて。

f を閉区間[ a , b ]上で定義された実数値関数とし、[ a , b ]上で原始関数Fを持つものとする。すなわち、fとFは、 [ a , b ]内のすべてのxに対して、

${\displaystyle f(x)=F'(x).}$

f が[ a , b ]上で積分可能であれば、

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

「適切な」リーマン積分とは、被積分関数が積分範囲で囲まれた閉区間上で定義され、かつ有限であることを前提とする積分である。これらの条件のうち一つ以上が満たされない場合、不適切な積分となる。場合によっては、このような積分は、徐々に大きな区間における一連の適切なリーマン積分の極限を考えることによって定義されることもある。

区間が有界でない場合、例えばその上端では、広義積分はその端点が無限大に近づくときの極限になります。^{[ 38 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

被積分関数が半開区間( a , b ]でのみ定義または有限である場合、極限によって有限の結果が得られる可能性があります。^{[ 39 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)\,dx.}$

すなわち、広義積分とは、積分区間の一方の端点が特定の実数、∞、または−∞に近づくときの、正則積分の極限のことである。より複雑なケースでは、両端点、あるいは内部の点における極限が必要となる。

1 変数の正関数の定積分が、関数のグラフとx軸の間の領域の面積を表すのと同様に、 2 変数の正関数の二重積分は、関数によって定義される曲面と、その定義域を含む平面の間の領域の体積を表します。 ^{[ 40 ]}例えば、2 次元の関数は 2 つの実変数xとyに依存し、2 つの区間のデカルト積として与えられる長方形R上の関数fの積分は、${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}$書くことができる

${\displaystyle \int _{R}f(x,y)\,dA}$

ここで、微分dA は面積に関して積分が行われることを示しています。この二重積分はリーマン和を用いて定義でき、領域R上のz = f ( x , y )のグラフの下の (符号付き) 体積を表します。^{[ 41 ]}適切な条件 (例えば、fが連続である場合) の下では、フビニの定理によれば、この積分は等価な反復積分として表現できます。^{[ 42 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right]\,dx.}$

これにより、二重積分の計算の問題が一次元積分の計算に還元されます。このため、R上の積分の別の表記法では二重積分記号を使用します。^{[ 41 ]}

${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA.}$

より一般的な領域での積分も可能です。n次元領域Dにおける体積に関する関数fの積分は、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は次のような記号で表されます。

${\displaystyle \int _{D}f(\mathbf {x} )d^{n}\mathbf {x} \ =\int _{D}f\,dV.}$

積分の概念は、高次元空間内の曲線や曲面など、より一般的な積分領域にも拡張できます。このような積分は、それぞれ線積分、面積分と呼ばれます。これらは、ベクトル場を扱う場合など、物理学において重要な応用例があります。

線積分（経路積分とも呼ばれる）は、積分対象の関数を曲線に沿って評価する積分である。^{[ 43 ]}さまざまな線積分が使用されている。閉曲線の場合、それは経路積分とも呼ばれる。

積分される関数は、スカラー場またはベクトル場である可能性があります。線積分の値は、曲線上のすべての点における場の値の合計であり、曲線上の何らかのスカラー関数（一般的には弧長、またはベクトル場の場合は、ベクトル場と曲線内の微分ベクトルのスカラー積）で重み付けされています。 ^{[ 44 ]}この重み付けにより、線積分は区間上で定義されるより単純な積分と区別されます。物理学の多くの単純な公式は、線積分に関して自然な連続アナログを持っています。たとえば、仕事は力Fと変位sの積に等しいという事実は、（ベクトル量で）次のように表すことができます。^{[ 45 ]}

${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} .}$

電場や重力場などのベクトル場F内を経路Cに沿って移動する物体の場合、場が物体に対して行う全仕事は、sからs + dsまで移動する間に行われる微分仕事を合計することによって得られます。これにより、線積分^{[ 46 ]}が得られます。

${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} .}$

面積分は、二重積分を曲面（空間内の曲がった集合である場合もある）上の積分に一般化したものであり、線積分の二重積分版と考えることができる。積分される関数は、スカラー場またはベクトル場である。面積分の値は、曲面上のすべての点における場の和である。これは、曲面を曲面要素に分割することによって実現でき、これによりリーマン和の分割が可能となる。^{[ 47 ]}

面積分法の応用例として、曲面S上のベクトル場vを考えます。つまり、Sの各点xに対して、v ( x )はベクトルです。流体がSを流れ、v ( x )がxにおける流体の速度を決定するとします。流量は、単位時間あたりにSを通過する流体の量として定義されます。流量を求めるには、各点におけるvとSの単位曲面法線との内積を取る必要があります。これによりスカラー場が得られ、これを曲面上で積分します。^{[ 48 ]}

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }.}$

この例における流体の流れは、水や空気などの物理的な流体によるものかもしれないし、電気や磁束によるものかもしれない。このように、面積分は物理学、特に古典的な電磁気学の理論において応用されている。

複素解析では、被積分関数は実変数xの実関数ではなく、複素変数zの複素数値関数です。複素関数を曲線に沿って積分する場合${\displaystyle \gamma }$複素平面では、積分は次のように表される。

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz.}$

これは経路積分として知られています。

微分形式は、多変数微積分、微分位相幾何学、テンソルなどの分野における数学的概念です。微分形式は次数によって分類されます。例えば、1次形式は、座標の微分を重み付き和にしたものなどです。

${\displaystyle E(x,y,z)\,dx+F(x,y,z)\,dy+G(x,y,z)\,dz}$

ここで、 E、F、Gは3次元の関数です。微分1形式は向き付けられた経路に沿って積分することができ、結果として得られる積分は線積分を別の方法で表したものです。ここで、基本微分dx、dy、dzは、3つの座標軸に平行な無限小の向き付けられた長さを測定します。

微分2形式は、次の形式の和である。

${\displaystyle G(x,y,z)\,dx\wedge dy+E(x,y,z)\,dy\wedge dz+F(x,y,z)\,dz\wedge dx.}$

ここでは基本的な2つの形式${\displaystyle dx\wedge dy,dz\wedge dx,dy\wedge dz}$座標2平面に平行な方向付けられた領域を測定する。記号${\displaystyle \wedge }$はウェッジ積を表し、これは、向き付けられた長さを表す 2 つの形式のウェッジ積が向き付けられた面積を表すという意味で、クロス積に似ています。2 つの形式は向き付けられた表面上で積分することができ、結果として得られる積分は、のフラックスを与える表面積分に等しくなります。${\displaystyle E\mathbf {i} +F\mathbf {j} +G\mathbf {k} }$。

外積や3次元ベクトル解析とは異なり、外積と微分形式の解析は、任意の次元やより一般的な多様体（曲線、曲面、およびそれらの高次元版）において意味を持ちます。外微分はベクトル解析の勾配と回転の役割を果たし、ストークスの定理はベクトル解析の3つの定理、すなわち発散定理、グリーンの定理、ケルビン・ストークスの定理を同時に一般化します。

積分の離散的な等価物は総和である。総和と積分は、ルベーグ積分理論または時間尺度計算を用いることで、同じ基礎の上に構築することができる。

変数（あるいは物理学では空間や時間の次元）ではなく、関数の空間に対して行われる積分は、関数積分と呼ばれます。

1 つの実変数の定積分を計算する最も基本的な手法は、微積分学の基本定理に基づいています。f ( x ) を、与えられた区間[ a , b ]で積分するxの関数とします。次に、 fの原始関数、つまり、区間上でF ′ = fとなる関数Fを見つけます。被積分関数と積分が積分経路上に特異点を持たない限り、微積分学の基本定理により、

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

積分を計算するために開発された多くの手法のうちの1つを使用する必要がある場合があります。これらの手法のほとんどは、ある積分を、より扱いやすい別の積分に書き換えるものです。手法には、置換積分、部分積分、三角関数置換積分、部分分数分解積分などがあります。

より複雑な積分を計算するための代替方法も存在します。多くの非初等積分はテイラー級数に展開し、項ごとに積分することができます。場合によっては、結果として得られる無限級数を解析的に和をとることができます。被積分関数がマイヤーG関数の積として表せると仮定すれば、マイヤーG関数を用いた畳み込み法も使用できます。定積分を計算するあまり一般的ではない方法も多数存在します。例えば、パーセバルの恒等式を用いて、矩形領域上の積分を無限和に変換することができます。場合によっては、工夫を凝らして積分を評価することもできます。その例については、ガウス積分を参照してください。

回転体の体積の計算は、通常、円盤積分またはシェル積分によって行うことができます。

さまざまな手法で導き出された具体的な結果は、積分の一覧にまとめられています。

数学、物理学、工学における多くの問題では、積分に関する明示的な公式が必要となる。そのため、長年にわたり、積分に関する膨大な表が作成され、公開されてきた。コンピュータの普及に伴い、多くの専門家、教育者、学生が、積分を含む困難または煩雑な作業を実行するために特別に設計されたコンピュータ代数システムを利用するようになった。記号積分は、 MacsymaやMapleといった初期のシステムの開発動機の一つとなっている。

記号積分における大きな数学的難題は、多くの場合、比較的単純な関数には、有理関数や指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数、乗算や合成といった基本関数のみを含む閉じた形式で表現できる積分が存在しないことです。リッシュアルゴリズムは、基本関数の原始関数が基本関数であるかどうかを判定し、基本関数であれば積分を計算するための一般的な基準を提供します。しかし、原始関数が閉じた形式で表現できる関数は例外であり、したがって、コンピュータ代数システムでは、ランダムに構築された基本関数の原始関数を見つけることは期待できません。良い面としては、原始関数の「構成要素」が事前に固定されている場合、与えられた関数の原始関数がこれらの構成要素と乗算および合成の演算を使用して表現できるかどうかを判定し、存在する場合には記号的な解を見つけることができる可能性があります。Mathematica、Maple、その他の数式処理システムに実装されているRischアルゴリズムは、有理関数、根号、対数関数、指数関数から構成される関数および原始関数に対して、まさにそのような処理を行います。

特殊な被積分関数の中には、特別な研究に値するほど頻繁に現れるものがある。特に、原始関数の集合に、特殊関数（ルジャンドル関数、超幾何関数、ガンマ関数、不完全ガンマ関数など）を含めることは有用である。リッシュのアルゴリズムを拡張してこれらの関数を含めることは可能であるが、困難であり、活発な研究テーマとなっている。

近年、多項式係数を持つ線形微分方程式の解であるD-有限関数を用いる新しいアプローチが登場しました。ほとんどの基本関数と特殊関数はD-有限関数であり、 D-有限関数の積分もまたD-有限関数です。これにより、 D-有限関数の原始関数を微分方程式の解として表現するアルゴリズムが提供されます。この理論では、 D-関数の定積分を最初の係数で与えられる級数の和として計算することもでき、任意の係数を計算するアルゴリズムも提供されます。

ルールベースの積分システムは積分を容易にします。コンピュータ代数システムのルールベース積分器である Rubi は、広範な記号積分ルールのシステムをパターンマッチングして、さまざまな被積分関数を積分します。このシステムは、6600 を超える積分ルールを使用して積分を計算します。^{[ 55 ]}括弧法は 、ラマヌジャンのマスター定理の一般化であり、広範囲の単変数および多変数積分に適用できます。一連のルールが被積分関数のべき級数展開の係数と指数項に適用され、積分が決定されます。この方法は、メリン変換と密接に関連しています。^{[ 56 ]}

定積分は、いくつかの数値積分法を用いて近似することができます。矩形法は、関数の下の領域を関数値に対応する一連の矩形に分割し、ステップ幅を掛けて合計を求める方法に基づいています。より良いアプローチである台形公式は、リーマン和で使用される矩形を台形に置き換えます。台形公式は、最初と最後の値を半分に重み付けし、ステップ幅を掛けてより良い近似値を得ます。^{[ 57 ]}台形公式の背後にある考え方、つまり関数のより正確な近似が積分のより良い近似値をもたらすという考え方は、さらに発展させることができます。シンプソンの公式は、被積分関数を区分的二次関数で近似します。^{[ 58 ]}

リーマン和、台形公式、シンプソン公式は、ニュートン・コーツ公式と呼ばれる求積法のファミリーの例です。次数n のニュートン・コーツ求積法は、各小区間の多項式を次数n の多項式で近似します。この多項式は、区間上の関数の値を補間するように選択されます。^{[ 59 ]}次数が高いニュートン・コーツ近似はより正確になる可能性がありますが、関数の評価回数が増え、ルンゲ現象による数値的不正確さに悩まされる可能性があります。この問題の解決策の 1 つは、クレンショー・カーティス求積法です。これは、被積分関数をチェビシェフ多項式で展開することによって近似します。

ロンバーグ法は、ステップ幅を段階的に半分にし、T ( h ₀ )、T ( h ₁ )などで表される台形近似を与えます。ここで、h _{k +1は}h _kの半分です。新しいステップサイズごとに、新しい関数値の半分だけを計算する必要があり、残りは前のサイズから引き継がれます。次に、近似を通して多項式を補間し、 T (0)に外挿します。ガウス求積法は、直交多項式の集合の根で関数を評価します。^{[ 60 ]} n点ガウス法は、次数が2 n − 1までの多項式に対して正確です。

高次元積分の計算（例えば、体積計算）では、モンテカルロ積分などの代替手法が重要な役割を果たします。^{[ 61 ]}

任意の二次元形状の面積は、プラニメーターと呼ばれる測定器を用いて測定できる。不規則な形状の物体の体積は、物体を水中に沈めた際に押し出される流体の量を測定することで、高精度に測定できる。

面積は、コンパスと定規を使った幾何学的な作図によって、等価な正方形を描くことによって求められる場合がある。

ケンプフ、ジャクソン、モラレスは、微分を用いて積分を計算できる数学的関係を示した。彼らの計算法には、ディラックのデルタ関数と偏微分演算子が含まれている。${\displaystyle \partial _{x}}$これは関数積分にも適用でき、関数微分によって計算することが可能になります。^{[ 62 ]}

微積分学の基本定理により、基本的な関数の計算が容易に行える。

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(x)\,dx=-\cos(x){\big |}_{x=0}^{x=\pi }=-\cos(\pi )-{\big (}-\cos(0){\big )}=2.}$

• Keisler, H. Jerome、『初等微積分：無限小を用いたアプローチ』、ウィスコンシン大学
• ストロヤン、KD、『微積分入門』、アイオワ大学
• ショーン・マウチ著『ショーンの応用数学の本』、CIT刊。微積分学の完全な入門を含むオンライン教科書。
• ベンジャミン・クロウェル著『微積分』、フラートン・カレッジ、オンライン教科書
• ギャレット、ポール、『大学1年生向け微積分ノート』
• フセイン、ファラズ著『微積分を理解する』（オンライン教科書）
• ジョンソン、ウィリアム・ウールジー (1909)積分計算の基礎的論文、 HathiTrustからのリンク。
• Kowalk, WP、「積分理論」、 2012年2月27日にWayback Machineにアーカイブ済み、オルデンブルク大学。古い問題に対する新しい概念。オンライン教科書
• スラウター、ダン、「差分方程式から微分方程式へ」 （2011年7月15日にWayback Machineにアーカイブ済み） 、微積分入門
• ホリスティック数値解析研究所における数値積分法
• PS Wang著『記号操作による定積分の評価』（1972年） ―定積分計算手法の手引書