ミンコフスキーの不等式

数学的解析において、ミンコフスキー不等式は、L ^p空間がノルムベクトル空間であることを確立します。を測度空間とし、およびを の要素とします。するとは となり、がと が正の線形従属である場合 に限り、 が となる三角不等式が成立します。つまり、またはに対して となります。ここで、ノルムは で与えられます。 またはの場合、本質的な上限によって${\displaystyle S}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L^{p}(S).}$${\displaystyle f+g}$${\displaystyle L^{p}(S),}$ $${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$${\displaystyle 1<p<\infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f=\lambda g}$${\displaystyle \lambda \geq 0}$${\displaystyle g=0.}$$${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$$${\displaystyle p<\infty ,}$${\displaystyle p=\infty }$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.}$$

ミンコフスキーの不等式は、 の三角不等式です。実際、これはより一般的な事実の特殊なケースであり 、右辺が三角不等式を満たすことは容易にわかります。 ${\displaystyle L^{p}(S).}$$${\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$$

ヘルダーの不等式と同様に、ミンコフスキーの不等式は、すべての実数(または複素数) に対して を計数測度として、 シーケンスとベクトルに特化することができます。ここで はの濃度( の要素数) です。$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}+{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

この不等式はドイツの数学者ヘルマン・ミンコフスキーにちなんで名付けられました。

まず、と が両方 とも有限-ノルムを持つ場合、 は有限 -ノルムを持つことを証明します。これは次の式で示されます。実際、ここでは が( に対して)に対して凸である という事実を使用しており、凸性の定義により、 これは次のことを意味します。 ${\displaystyle f+g}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$$${\displaystyle h(x)=|x|^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle p>1}$$${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p}.}$$$${\displaystyle |f+g|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.}$$

さて、もし がゼロなら、ミンコフスキーの不等式が成り立つと正当に議論できる。ここで はゼロではないと仮定する。三角不等式とヘルダーの不等式を使うと、次のことがわかる 。${\displaystyle \|f+g\|_{p}.}$${\displaystyle \|f+g\|_{p}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f+g|\cdot |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}&&{\text{ Hölder's inequality}}\\&=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{aligned}}}$$

ミンコフスキーの不等式は両辺に $${\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.}$$

とが2つの 𝜎 有限測度空間で可測であるとする。このときミンコフスキーの積分不等式は^{[1] [2]} となる。ただし、両辺が有限である 場合は、等式は、非負の可測関数に対してaeが成り立ち、${\displaystyle (S_{1},\mu _{1})}$${\displaystyle (S_{2},\mu _{2})}$${\displaystyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right]^{\frac {1}{p}}~\leq ~\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x),\quad p\in [1,\infty )}$$${\displaystyle p=\infty .}$${\displaystyle p>1,}$${\displaystyle |F(x,y)|=\varphi (x)\,\psi (y)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi .}$

が2点集合上の計数測度である場合、ミンコフスキーの積分不等式は特別な場合として通常のミンコフスキー不等式を与える。すなわち、 を に代入すると、積分不等式は次のようになる。 ${\displaystyle \mu _{1}}$${\displaystyle S_{1}=\{1,2\},}$${\displaystyle f_{i}(y)=F(i,y)}$${\displaystyle i=1,2,}$$${\displaystyle \|f_{1}+f_{2}\|_{p}=\left(\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.}$$

測定可能な関数が非負であれば、すべての^{[3]​​に対して}${\displaystyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$ $${\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,s_{2})\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}~\leq ~\left\|\left\|F(s_{1},\cdot )\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\ .}$$

この表記は、に対してと一般化されている。 この表記法を用いると、指数を操作することで、の場合、$${\displaystyle \|f\|_{p,q}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{m}}\left[\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x,y)|^{q}\mathrm {d} y\right]^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}}$$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m+n}\to E,}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p,q}(\mathbb {R} ^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb {R} ^{m+n}}:\|f\|_{p,q}<\infty \}.}$${\displaystyle p<q,}$${\displaystyle \|f\|_{q,p}\leq \|f\|_{p,q}.}$

逆不等式が成り立つ 場合:${\displaystyle p<1}$$${\displaystyle \|f+g\|_{p}\geq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.}$$

さらに、例からわかるように、とが両方とも非負であるという制約も必要になります。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f=-1,g=1}$${\displaystyle p=1:}$ ${\displaystyle \|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}.}$

逆不等式は標準的なミンコフスキーと同じ議論から導かれますが、ホルダーの不等式もこの範囲で逆になることを利用します。

逆ミンコフスキー法を使用すると、調和平均や幾何平均などのべき乗平均が凹であることを証明できます。 ${\displaystyle p\leq 1,}$

ミンコフスキー不等式は、べき乗関数以外 の関数にも一般化できる。一般化された不等式は次のようになる。 ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x^{p}.}$$${\displaystyle \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i}+y_{i})\right)\leq \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i})\right)+\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (y_{i})\right).}$$

に関する様々な十分条件がマルホランド^[4]らによって発見されている。例えば、マルホランドの十分条件の1つ は${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x\geq 0}$

1. ${\displaystyle \phi (x)}$連続的かつ厳密に増加する${\displaystyle \phi (0)=0.}$
2. ${\displaystyle \phi (x)}$は凸関数である${\displaystyle x.}$
3. ${\displaystyle \log \phi (x)}$は凸関数である${\displaystyle \log(x).}$

• コーシー・シュワルツの不等式 – 内積とノルムを関係付ける数学的不等式
• ヘルダーの不等式 – Lp 空間における積分間の不等式
• マーラーの不等式 – 2つの有限の正の数列の幾何平均を、それぞれの幾何平均の合計に関連付ける不等式Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• ヤングの畳み込み不等式 – 2 つの関数の畳み込みに関する数学的不等式
• ヤングの積の不等式 – 数学的概念

• Bahouri, ハジェル州;ジャン・イヴ・シュマン;ダンチン、ラファエル (2011)。フーリエ解析と非線形偏微分方程式。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 343. ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー。ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC  704397128.
• Hardy, GH ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1988)。不等式。ケンブリッジ数学図書館（第2版）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-35880-9。
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• スタイン、エリアス（1970）。特異積分と関数の微分可能性。プリンストン大学出版局。。
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