モジュールのカテゴリ

代数学では、環が与えられたとき${\displaystyle R}$左モジュールのカテゴリ${\displaystyle R}$オブジェクトがすべて左モジュールであるカテゴリです${\displaystyle R}$そしてその射はすべて左モジュール間のモジュール準同型である${\displaystyle R}$-モジュール。たとえば、${\displaystyle R}$は整数環である${\displaystyle \mathbb {Z} }$これはアーベル群の圏と同じものです。右加群の圏も同様に定義されます。

環上の双加群の圏を定義することもできる。${\displaystyle R}$しかし、そのカテゴリーは、包絡代数上の左（または右）加群のカテゴリーと同等である。${\displaystyle R}$（あるいはその反対の立場）。

注:一部の著者は、モジュールの圏を指す用語としてモジュール圏という用語を使用しています。この用語は、モノイド圏作用を持つ圏を指す場合もあるため、曖昧になる可能性があります。^{[ 1 ]}

左加群と右加群の圏はアーベル圏である。これらの圏は十分な射影^{[ 2 ]}と十分な入射^{[ 3 ]} を持つ。ミッチェルの埋め込み定理によれば、すべてのアーベル圏は、ある環上の加群の圏の完全部分圏として生じる。

左加群と右加群のカテゴリーには、射影極限と帰納極限が存在する。 ^{[ 4 ]}

可換環上、加群のテンソル積とともに${\displaystyle \otimes }$加群の圏は対称モノイド圏である。

可換環上の加群の圏のモノイド対象${\displaystyle R}$は、まさに結合代数である。${\displaystyle R}$。

コンパクトな物体${\displaystyle R}$-$\displaystyle \mathbf {Mod} }$これはまさに有限表示加群である。

カテゴリー​${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$（著者によっては$\displaystyle \mathbf {Vect} _{K}}$) は体上のすべてのベクトル空間を持つ${\displaystyle K}$オブジェクトとして、そして${\displaystyle K}$-線形写像を射として扱う。${\displaystyle K}$（フィールドとして）は、環上のモジュールと同じものです${\displaystyle K}$、${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$は、${\displaystyle R}$-$\displaystyle \mathbf {Mod} }$（著者によっては$\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}$左派のカテゴリー${\displaystyle R}$-モジュール。

線形代数の多くは、${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$例えば、ベクトル空間の次元定理によれば、同型類は${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$基数に正確に対応し、${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$は、以下のサブカテゴリに相当します。${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$ベクトル空間を対象とする${\displaystyle K_{n}}$、 どこ${\displaystyle n}$は任意の基数です。

環空間上の加群の層の圏も十分な単射を持つ（ただし、必ずしも十分な射影を持つとは限らない）。

• 代数的K理論（加群圏の重要な不変量）
• 指輪のカテゴリー
• 派生カテゴリ
• モジュールスペクトル
• 次数付きベクトル空間のカテゴリ
• 表現のカテゴリー
• 指輪の交換
• 森田等価性
• 安定モジュールカテゴリ
• アイレンベルク＝ワッツの定理

• n LabのMod