ゼロ要素

数学において、ゼロ元は、数 0を他の代数構造に一般化したものの 1 つです。これらの別の意味は、文脈によって同じ意味になることもあれば、そうでないこともあります。

加法単位元は、加法群またはモノイドの単位元です。これは、群内のすべての x に対して0 + x = x + 0 = xとなるような元 0 に対応します。加法単位元の例としては、次のようなものがあります。

• ベクトル加法における零ベクトル：すべての成分が0であるベクトル。ノルムベクトル空間ではそのノルム（長さ）も0である。またはと表記されることが多い。^[1]${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle {\vec {0}}}$
• ゼロ関数またはゼロマップは、点ごとの加算において、z ( x ) = 0で定義されます( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
• 集合和集合の空集合
• 空の合計または空積
• カテゴリ内の初期オブジェクト（空の余積、したがって余積の下での恒等式）

乗法半群または半環の吸収元は、0 ⋅ x = 0という性質を一般化します。例には次のものがあります。

• 空集合 は、集合の直積の下で吸収元となる。なぜなら、 { } × S = { }であるからである。
• 点ごとの乗算( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )の下でz ( x ) = 0によって定義されるゼロ関数またはゼロマップ

吸収元の多くは、空集合や零関数を含めて加法単位元でもある。もう一つの重要な例は、体または環内の特別な元 0 である。これは加法単位元であると同時に乗法吸収元でもあり、その主イデアルは最小イデアルである。

カテゴリ内のゼロオブジェクトは、始端オブジェクトと終端オブジェクトの両方です(したがって、コ積と積の両方において恒等オブジェクトです)。たとえば、自明な構造 (恒等式のみを含む) は、射が恒等式を恒等式にマッピングする必要があるカテゴリ内のゼロ オブジェクトです。具体的な例は次のとおりです。

• 自明な群、単位元のみを含む（群のカテゴリのゼロオブジェクト）
• ゼロ加群は単位元のみを含む（環上の加群のカテゴリにおけるゼロオブジェクト）

カテゴリ内のゼロ射は、関数合成の下での一般化吸収元です。つまり、ゼロ射と合成された任意の射はゼロ射になります。具体的には、0 _XY  : X → YがXからYへの射の中のゼロ射であり、f  : A → Xとg  : Y → Bが任意の射である場合、g ∘ 0 _XY = 0 _XBかつ0 _XY ∘ f = 0 _AYです。

カテゴリにゼロオブジェクト0がある場合、標準射X → 0と0 → Yが存在し、それらを合成するとゼロ射0 _XY  : X → Yが得られます。たとえば、グループのカテゴリでは、ゼロ射は常にグループの恒等式を返す射であり、関数z ( x ) = 0 を一般化します。

半順序集合または格子内の最小の要素は、ゼロ要素と呼ばれることもあり、0 または ⊥ と表記されます。

数学において、ゼロ モジュールとは、モジュールの加算関数の加法単位元のみで構成されるモジュールです。整数では、この単位元はゼロであるため、ゼロ モジュールと呼ばれます。ゼロ モジュールが実際にモジュールであることは簡単に示せます。ゼロ モジュールは加算と乗算に対して閉じていることが自明です。

数学において、環の零イデアルは加法単位元（または零元）のみからなるイデアルである。これがイデアルであるという事実は定義から直接導かれる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{0\}}$

数学、特に線型代数学において、零行列（零じょうぎ、英語: zero matrix）とは、すべての要素がゼロである行列のことである。記号 で表されることもある。^[2]零行列の例としては、 ${\displaystyle O}$

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ }$

環Kの要素を持つm  ×  n行列の集合は、加群を形成します。の零行列は、すべての要素が に等しい行列です。ここで、 はKの加法単位行列です。 ${\displaystyle K_{m,n}}$${\displaystyle 0_{K_{m,n}}}$${\displaystyle K_{m,n}}$${\displaystyle 0_{K}}$${\displaystyle 0_{K}}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}}$

零行列は における加法単位行列です。つまり、すべての に対して次のようになります。 ${\displaystyle K_{m,n}}$${\displaystyle A\in K_{m,n}}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A}$

任意のサイズm  ×  nの零行列は 1 つだけ存在します(任意の環からの要素を含む)。そのため、文脈が明らかな場合は、零行列を指すことがよくあります。行列環では、零行列は加法単位元と吸収元の両方の役割を果たします。一般に、環の零元は一意であり、通常は親環を示す添え字なしで 0 と表記されます。したがって、上記の例は任意の環上の零行列を表しています。

ゼロ行列は、すべてのベクトルをゼロベクトルに送る 線形変換も表します。

数学において、ゼロテンソルは、すべての成分がゼロである任意の次数のテンソルです。次数 1 のゼロテンソルは、ゼロベクトルと呼ばれることもあります。

任意のテンソルと任意のゼロ テンソルのテンソル積を取ると、別のゼロ テンソルが生成されます。特定のタイプのテンソルの中で、そのタイプのゼロ テンソルは、それらのテンソル間の加法的な単位元として機能します。

• ヌル半群
• ゼロ除数
• ゼロオブジェクト
• 関数のゼロ
• ゼロ— 数学以外の用途

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