ストラトノビッチ積分

確率過程において、ストラトノビッチ積分またはフィスク・ストラトノビッチ積分（ルスラン・ストラトノビッチとドナルド・フィスクが同時に開発した）は確率積分であり、伊藤積分の最も一般的な代替手段である。伊藤積分は応用数学では通常選択されるが、物理学ではストラトノビッチ積分が頻繁に使用される。

状況によっては、ストラトノビッチ定義の積分の方が扱いやすい場合があります。伊藤計算とは異なり、ストラトノビッチ積分は、通常の計算の連鎖律が成り立つように定義されます。

おそらく、これらが使用される最も一般的な状況は、ストラトノビッチの確率微分方程式(SDE)の解としてです。これらは伊藤の SDE と同等であり、どちらかの定義の方が便利な場合は、2 つの定義間で変換できます。

ストラトノビッチ積分は、リーマン積分と同様に、リーマン和の極限として定義できます。 がウィーナー過程であり、がウィーナー過程の自然な濾過に適合したセミマルチンゲールであると仮定します。すると、ストラトノビッチ積分${\displaystyle W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}}$

は平均二乗の極限として定義される確率変数である^[1]${\displaystyle :\Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}{X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}} \over 2}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)}$

の分割メッシュは 0 に近づきます (リーマン–スティルチェス積分のスタイルで) 。 ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T}$${\displaystyle [0,T]}$

通常の微積分学の多くの積分技法はストラトノビッチ積分にも適用できる。例えば、が滑らかな関数であれば、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{0}^{T}f'(W_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}=f(W_{T})-f(W_{0})}$

さらに一般的には、が滑らかな関数であれば、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial t}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t=f(W_{T},T)-f(W_{0},0).}$

この後者の規則は、通常の微積分の連鎖律に似ています。

確率積分は解析形式で解くことはほとんどできないため、確率 数値積分は確率積分のあらゆる用途において重要なトピックとなっている。さまざまな数値近似がストラトノビッチ積分に収束し、これらの変形がストラトノビッチSDEを解くのに使用されている（Kloeden & Platen 1992）。ただし、ランジュバン方程式の数値解法として最も広く使用されているオイラー法（オイラー・丸山法）では、方程式が伊藤形式であることが求められることに注意する必要がある。^[2]

、およびが確率過程である 場合、${\displaystyle X_{t},Y_{t}}$${\displaystyle Z_{t}}$

${\displaystyle X_{T}-X_{0}=\int _{0}^{T}Y_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}Z_{t}\,\mathrm {d} t}$

すべてについて、我々はまた次のように書く。 ${\displaystyle T>0}$

${\displaystyle \mathrm {d} X=Y\circ \mathrm {d} W+Z\,\mathrm {d} t.}$

この表記法は、確率微分方程式（SDE）を定式化するためによく使用されます。これは、たとえば、通常の微積分学の表記法と互換性があります。

${\displaystyle \mathrm {d} (t^{2}\,W^{3})=3t^{2}W^{2}\circ \mathrm {d} W+2tW^{3}\,\mathrm {d} t.}$

ウィーナー過程に関する伊藤積分は（円なし）で示される。その定義には、各部分区間の左側の端点での過程の値を選択することを除いて、上記のストラトノビッチ積分の定義と同じ手順が使用される。すなわち、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}}$$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{t_{i}}}$の代わりに${\displaystyle (X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}})/2}$

この積分は、ストラトノビッチ積分のように通常の連鎖律には従いません。代わりに、少し複雑な伊藤の補題を使用する必要があります。

伊藤積分とストラトノビッチ積分間の変換は、次の式で実行できる。

${\displaystyle \int _{0}^{T}f(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},}$

ここで、は2変数の連続的に微分可能な関数であり、最後の積分は伊藤積分である（Kloeden & Platen 1992、p. 101）。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle W}$${\displaystyle t}$

ランジュバン方程式は、与えられた問題において解釈（ストラトノビッチまたは伊藤）を指定することの重要性を例示している。 は、連続的に微分可能な拡散係数 を持つ、つまりSDE を満たす、時間同次伊藤拡散であるとする。対応するストラトノビッチ版を得るには、項（伊藤解釈）を（ストラトノビッチ解釈） に翻訳する必要がある。${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$${\displaystyle \sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$${\displaystyle \sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {d\sigma }{dx}}(X_{t})\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}.}$

明らかに、が から独立している場合、2 つの解釈はランジュバン方程式に対して同じ形式になります。その場合、ノイズ項は「加法的」と呼ばれます (ノイズ項には固定係数のみが乗算されるため)。そうでない場合、 の場合、伊藤形式のランジュバン方程式は一般にストラトノビッチ形式のそれと異なる可能性があり、その場合、ノイズ項は乗法的と呼ばれます (つまり、ノイズはであるの関数で乗算されます)。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle dW_{t}}$${\displaystyle \sigma =\sigma (X_{t})}$${\displaystyle dW_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \sigma (X_{t})}$

より一般的には、任意の2つのセミマルチンゲール と${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{s-}\circ \mathrm {d} Y_{s}=\int _{0}^{T}X_{s-}\,\mathrm {d} Y_{s}+{\frac {1}{2}}[X,Y]_{T}^{c},}$

ここで、 は共変量の連続部分です。 ${\displaystyle [X,Y]_{T}^{c}}$

ストラトノビッチ積分には、伊藤積分の重要な特性、つまり「未来を見通す」という特性が欠けている。株価のモデル化など、現実世界の多くのアプリケーションでは、過去の出来事に関する情報しか得られないため、伊藤解釈の方が自然である。金融数学では、通常、伊藤解釈が使用される。

しかし、物理学では、確率積分はランジュバン方程式の解として発生します。ランジュバン方程式は、より微視的なモデルの粗視化バージョンです (Risken 1996)。検討中の問題に応じて、ストラトノビッチ解釈または伊藤解釈、あるいは等温解釈などのさらに特殊な解釈が適切です。ストラトノビッチ解釈は、物理科学で最も頻繁に使用される解釈です。

ウォン・ザカイ定理は、有限のノイズ相関時間で特徴付けられる非白色ノイズスペクトルを持つ物理システムは、がゼロに近づく極限で、ストラトノビッチ解釈による白色ノイズを持つランジュバン方程式で近似できることを述べています。^{[引用が必要]}${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$

ストラトノビッチ計算は通常の連鎖律を満たすため、ストラトノビッチの意味での確率微分方程式 (SDE) は、 上だけでなく、微分可能多様体上で定義する方が簡単です。伊藤計算の連鎖律は扱いにくいため、多様体の場合はより扱いにくい選択となります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

SDE の超対称理論では、 SDE によって決定される確率フローによって位相空間の外部代数に誘導されるプルバックを平均化することによって得られる進化演算子を考慮します。このコンテキストでは、SDE の Stratonovich 解釈を使用するのが自然です。

• Øksendal, Bernt K. (2003).確率微分方程式: 応用入門. Springer, ベルリン. ISBN 3-540-04758-1。
• ガーディナー、クリスピン W. (2004)。確率論的手法ハンドブック(第 3 版)。シュプリンガー、ベルリン ハイデルベルク。ISBN 3-540-20882-8。
• Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). 「確率積分と数理ファイナンスの短い歴史: 初期、1880-1970」IMS 講義ノートモノグラフ45 : 1–17. CiteSeerX  10.1.1.114.632 .
• クローデン、ピーター E.プラテン、エックハルト (1992)。確率微分方程式の数値解。数学の応用。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-54062-5。。

• リスケン、ハンネス (1996)。フォッカー・プランク方程式。 Synergetics の Springer シリーズ。ベルリン、ハイデルベルク: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-61530-9。。