平面計

プラニメータ（プラトメーターとも呼ばれる）は、任意の 2 次元形状の 面積を測定するために使用される測定機器です。

プラニメーターにはいくつかの種類がありますが、すべて同じように動作します。プラニメーターの正確な構築方法はさまざまですが、機械式プラニメーターの主な種類は、極座標、線形、およびプリッツまたは「ハチェット」プラニメーターです。スイスの数学者 ヤコブ・アムスラー・ラフォンは、1854年に最初の現代的なプラニメーターを製作しました。この概念は、1818年にヨハン・マルティン・ヘルマンによって開拓されました。^[1]アムスラーの有名なプラニメーターに続いて、電子バージョンを含む多くの開発が行われました。

アムスラー (極) タイプは、2 つのリンクで構成されています。リンクの 1 つの端にはポインターがあり、測定する図形の境界をトレースするために使用されます。リンクのもう一方の端は、動かないように重りの上で自由に回転します。2 つのリンクの接合部の近くには、直径が調整された測定ホイールがあり、細かい回転を示す目盛りと、補助回転カウンター スケール用のウォーム ギアが付いています。領域のアウトラインをトレースすると、このホイールが図面の表面を転がります。オペレーターはホイールを設定し、カウンターをゼロにしてから、ポインターを図形の周囲にトレースします。トレースが完了すると、測定ホイールの目盛りに図形の面積が表示されます。

プラニメーターの測定ホイールが軸に対して垂直に動くと、ホイールは回転し、この動きが記録されます。測定ホイールが軸に対して平行に動くと、ホイールは回転せずに滑るため、この動きは無視されます。つまり、プラニメーターは、測定ホイールの回転軸に対して垂直に投影された測定ホイールの移動距離を測定します。形状の面積は、測定ホイールの回転数に比例します。

極座標型プラニメータは、設計上、そのサイズと形状によって決まる制限内での領域測定に制限されています。しかし、線形型は回転できるため、1 次元に制限はありません。動きは直線に制限されるため、車輪が滑ってはなりません。

プラニメータの開発により、面積の第 1 モーメント(質量中心)の位置、さらには面積の第 2 モーメントの位置も確定できるようになりました。

画像は、線形および極座標の平面計の原理を示しています。平面計の一端にあるポインター M は、測定する表面 S の輪郭 C に沿って動きます。線形平面計の場合、「エルボ」 E の動きはy軸に制限されます。極座標の平面計の場合、「エルボ」はアームに接続され、もう一方の端点 O は固定位置にあります。アーム ME には、回転軸が ME と平行な測定ホイールが接続されています。アーム ME の動きは、ホイールを回転させる ME に垂直な動きと、読み取りには影響しないホイールのスリップを引き起こす ME に平行な動きに分解できます。

リニア プラニメータの動作は、長方形 ABCD の面積を測定することで説明できます (画像を参照)。ポインタを A から B に移動すると、アーム EM は黄色の平行四辺形を通過し、面積は PQ×EM に等しくなります。この面積は、平行四辺形 A"ABB" の面積にも等しくなります。測定ホイールは距離 PQ (EM に垂直) を測定します。C から D に移動すると、アーム EM は緑の平行四辺形を通過し、面積は長方形 D"DCC" の面積に等しくなります。測定ホイールは今度は反対方向に移動し、この読み取り値を前の値から減算します。BC と DA に沿った動きは同じですが、反対方向であるため、ホイールの読み取り値に実質的な影響はなく、互いに打ち消されます。最終的な結果は、黄色と緑の領域の差、つまり ABCD の面積の測定です。

線形プラニメータの動作は、次のように表されるグリーンの定理をベクトル場Nの成分に適用することで正当化できます。

${\displaystyle \!\,N(x,y)=(by,x),}$

ここで、b はエルボ E の y座標です。

このベクトル場は測定アームEMに対して垂直です。

${\displaystyle {\overrightarrow {EM}}\cdot N=xN_{x}+(yb)N_{y}=0}$

測定アームの 長さmに等しい一定の大きさを持ちます。

${\displaystyle \!\,\|N\|={\sqrt {(by)^{2}+x^{2}}}=m}$

それから：

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}(N_{x}\,dx+N_{y}\,dy)=\iint _{S}\left({\frac {\partial N_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial N_{x}}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\\[8pt]={}&\iint _{S}\left({\frac {\partial x}{\partial x}}-{\frac {\partial (by)}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{S}\,dx\,dy=A,\end{aligned}}}$

なぜなら：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}(yb)={\frac {\partial }{\partial y}}{\sqrt {m^{2}-x^{2}}}=0,}$

上記の式の左辺は、輪郭線で囲まれた面積Aに等しく、測定ホイールによって測定された距離に比例し、比例係数mは測定アームの長さです。

上記の導出の正当性は、リニアプラニメータが測定アームに垂直な動きのみを記録すること、または

${\displaystyle N\cdot (dx,dy)=N_{x}dx+N_{y}dy}$はゼロではありません。この量を閉曲線 C 上で積分すると、グリーンの定理と面積が成り立ちます。

グリーンの定理との関連は、極座標での積分の観点から理解できます。極座標では、面積は積分によって計算されますが、積分される形式はrの2 次式であり、角度の変化に対する面積の変化率は半径の 2 次関数で変化することを意味します。 ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$

rとθが時間の関数として変化する 極座標のパラメトリック方程式の場合、これは次のようになる。$${\displaystyle \int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,d(\theta (t))=\int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,{\dot {\theta }}(t)\,dt.}$$

極座標プラニメータの場合、車輪の全回転は に比例します。回転は移動距離に比例し、移動距離は任意の時点で半径と角度の変化に比例します (円周の場合と同様)。 ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$${\textstyle \int r\,d\theta =2\pi r}$

この最後の積分関数は、前の積分関数の（ rに関する）導関数として認識でき、極平面計が導関数に関して面積積分を計算することを示しています。これは、（1 次元）輪郭上の関数の線積分が導関数の（2 次元）積分に等しいとするグリーンの定理に反映されています。 ${\textstyle r(t)\,{\dot {\theta }}(t)}$${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}$

• 曲率計
• ドットプラニメーター
• 数学の道具
• インテググラフ
• 靴ひもの式

Wikisource には、1911 年のブリタニカ百科事典の記事「計算機」のテキストがあります。

• Hatchet Planimeter ^{[リンク切れ‍ ]}
• P. クンケル: ホイッスルラリー サイト、ザ プラニメーター
• ラリーのプラニメータープラッター
• ヴュルツブルク平面図ページ
• Robert Foote の平面図ページ
• 平面計のコンピュータモデル
• Tanya Leiseのプラニメーターの説明とプラニメーターの車輪が回転するにつれて
• 簡単な平面計を作る
• 写真: 平面計を使用する地理学者 (1940～1941 年)
• O. ニルと D. ウィンター: グリーンの定理と平面計