一般化されたストークスの定理

ベクトル解析と微分幾何学における一般化ストークスの定理（アポストロフィを付けてストークスの定理またはストークスの定理と呼ばれることもある）は、ストークス・カルタン定理とも呼ばれ、^[1]多様体上の微分形式の積分に関する定理であり、ベクトル解析のいくつかの定理を簡略化および一般化しています。特に、微分積分の基本定理は多様体が線分である場合の特殊なケースであり、グリーンの定理とストークスの定理はまたは内の面の場合であり、発散定理は内の体積の場合です^{[2]。したがって、この定理は}多変数微分積分の基本定理と呼ばれることもあります。^[3]${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

ストークスの定理は、ある向き付け可能な多様体の境界上の微分形式の積分は、その外微分を全体にわたって積分したものに等しい、すなわち、 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\omega }$${\displaystyle \Omega }$$${\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\operatorname {d} \omega \,.}$$

ストークスの定理は、ヴィト・ヴォルテラ、エドゥアール・グルサ、アンリ・ポアンカレによるベクトル解析の定理の一般化に関する先行研究に続いて、1945年にエリー・カルタンによって現代的な形で定式化されました。^{[ 4] [5] [6]}

この現代的な形のストークスの定理は、ケルビン卿が1850年7月2日の手紙でジョージ・ストークスに伝えた古典的な結果を大幅に一般化したものである。 ^{[7] [8] [9]ストークスは、1854年の}スミス賞試験の問題として定理を設定し、彼の名前を冠した結果が生まれました。これは1861年にヘルマン・ハンケルによって初めて発表されました。 ^{[9] [10]}この古典的なケースは、ユークリッド三次元空間における表面上のベクトル場の回転の面積分（つまり、の流束）を、表面境界上のベクトル場の 線積分に関連付けます。 ${\displaystyle {\textbf {F}}}$${\displaystyle {\text{curl}}\,{\textbf {F}}}$

微積分学の第二基本定理は、区間上の関数の積分は、の不定理を求めることによって計算できると述べています。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,.}$$

ストークスの定理は、次の意味でこの定理を大幅に一般化したものです。

• の選択により、となります。微分形式の用語では、これはが 0 形式、つまり関数 の外微分である、つまり であることを意味します。一般ストークスの定理は、などの 0 形式だけでなく、より高次の微分形式にも適用されます。${\displaystyle F}$${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f(x)}$${\displaystyle f(x)\,dx}$${\displaystyle F}$${\displaystyle dF=f\,dx}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle F}$
• 閉区間は、境界 を持つ1 次元多様体の簡単な例です。その境界は、2 つの点とで構成される集合です。区間 上の積分は、より高次元の多様体上の形式の積分に一般化できます。必要な技術的条件は 2 つあります。多様体は向き付け可能でなければならず、形式は明確に定義された積分を与えるためにコンパクトにサポートされている必要があります。${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f}$
• 2 つの点とが閉区間の境界を形成します。より一般的には、ストークスの定理は境界を持つ有向多様体に適用されます。の境界はそれ自体が多様体であり、 の自然な方向を継承します。たとえば、区間の自然な方向は、2 つの境界点の方向を与えます。直感的に、はと反対の方向を継承します。これは、それらが区間の反対側の端にあるためです。したがって、2 つの境界点 について「積分」することは、の差を取ることです。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle F}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle F(b)-F(a)}$

さらに簡単に言えば、点を曲線の境界、つまり 1 次元多様体の 0 次元境界と見なすことができます。したがって、0 次元境界 ( ) での原始微分 ( ) を考慮することで1 次元多様体 ( ) 上の積分 ( ) の値を求めることができるのと同様に、微積分の基本定理を、いくつかの追加の注意事項とともに一般化して、多様体の 次元境界 ( ) での原始微分( )を考慮することで 次元多様体 ( )上の積分( ) の値を扱うことができます。 ${\displaystyle f\,dx=dF}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \{a,b\}}$${\displaystyle d\omega }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \partial \Omega }$

したがって、基本定理は次のようになります。 $${\displaystyle \int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}\,dF=\int _{\partial [a,b]}\,F=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a)\,.}$$

を境界を持つ次元の有向滑らかな多様体とし、を上でコンパクトにサポートされている滑らかな-微分形式とします。まず、 が単一の有向座標チャートの領域でコンパクトにサポートされていると仮定します。この場合、上のの積分を 、つまりを に引き戻すことによってと 定義します。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \{U,\varphi \}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Omega }$$${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha =\int _{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^{*}\alpha \,,}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

より一般的には、 の積分は次のように定義されます。を(一貫して方向付けられた) 座標チャートの 局所有限被覆に関連付けられた1 の分割とすると、 合計の各項が上記のように に引き戻されて評価される積分を定義します。 この量は明確に定義されています。つまり、座標チャートの選択や 1 の分割には依存しません。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \{\psi _{i}\}}$ ${\displaystyle \{U_{i},\varphi _{i}\}}$$${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\alpha \,,}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

一般化されたストークスの定理は次のようになります。

ここで外微分 は、多様体構造のみを使用して定義されます。右辺は、-多様体に境界がないことを強調するためにと書かれることがあります。 ^{[注 1]} (この事実はストークスの定理の含意でもあります。なぜなら、与えられた滑らかな-次元多様体に対して、定理を 2 回適用すると任意の-形式が得られ、これは を意味するからです。) 方程式の右辺は、積分法則を定式化するためによく使用されます。その場合、左辺は同等の微分定式化につながります (以下を参照)。 ${\displaystyle d}$${\textstyle \oint _{\partial \Omega }\omega }$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Omega }$${\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }d(d\omega )=0}$${\displaystyle (n-2)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \partial (\partial \Omega )=\emptyset }$

この定理は、 が何らかのより大きな多様体 (多くの場合 ) の埋め込まれた有向部分多様体であり、その上で形式が定義されている状況でよく使用されます。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \omega }$

M を滑らかな多様体とする。 Mの（滑らかな）特異k単体は、 R ^kの標準単体からMへの滑らかな写像として定義される。 M上の特異k鎖の群C _k ( M , Z )は、 Mの特異k単体の集合上の自由アーベル群として定義される。これらの群は、境界写像∂とともに、鎖複体を定義する。対応するホモロジー（またはコホモロジー）群は、 M の滑らかな単体ではなく連続単体を使用して定義される通常の特異ホモロジー群H _k ( M , Z )（または特異コホモロジー群H ^k ( M , Z ) ）と同型である。

一方、外微分dを接続写像とする微分形式は、コチェーン複体を形成し、これがド・ラーム・コホモロジー群を定義します。 ${\displaystyle H_{dR}^{k}(M,\mathbf {R} )}$

微分k形式は、 R ^kに引き戻すことで、自然な方法でk単体上で積分できます。線型性による拡張により、連鎖上で積分できます。これにより、 k形式の空間からk番目の特異コチェーンのグループC ^k ( M、Z ) 、つまりC _k ( M、Z )上の線型関数への線型写像が得られます。言い換えると、k形式ω はkチェーン 上の関数を定義します 。ストークスの定理によれば、これはド・ラーム・コホモロジーから実係数を持つ特異コホモロジーへの連鎖写像であり、外微分dは形式上の∂の双対のように動作します。これにより、ド・ラーム・コホモロジーから特異コホモロジーへの準同型写像が得られます。形式のレベルでは、これは次のことを意味します。 $${\displaystyle I(\omega )(c)=\oint _{c}\omega .}$$

1. 閉じた形式、すなわちdω = 0は境界、すなわち∂Σ _c M _cと書ける多様体上では積分がゼロであり、
2. 正確な形式、すなわちω = dσは、サイクルにわたって積分がゼロになります。つまり、境界を合計すると空集合になる場合、∂Σ _c M _c = ∅ です。

ド・ラームの定理は、この準同型が実際には同型であることを示しています。したがって、上記の 1 と 2 の逆が成り立ちます。言い換えると、{ c _i }がk番目のホモロジー群を生成するサイクルである場合、任意の対応する実数{ a _i }に対して、となる 閉じた形式ωが存在し 、この形式は完全形式を除いて一意です。 $${\displaystyle \oint _{c_{i}}\omega =a_{i}\,,}$$

滑らかな多様体上のストークスの定理は滑らかな多様体上の鎖のストークスの定理から導くことができ、逆もまた同様である。^[11] 正式には、後者は次のようになる。^[12]

これらの位相的な議論を簡素化するために、 d = 2次元の例を検討して、基礎となる原理を調べることは価値があります。基本的な考え方は、左の図で理解できます。この図は、多様体の方向付けられたタイリングでは、内部パスが反対方向に横断され、パス積分へのそれらの寄与がペアごとに打ち消されることを示しています。結果として、境界からの寄与のみが残ります。したがって、十分に細かいタイリング (または、同等に単体) に対してストークスの定理を証明すれば十分であり、これは通常、難しくありません。

を区分的に滑らかなジョルダン平面曲線とします。ジョルダン曲線定理は、 がコンパクトな要素と非コンパクトな要素の2 つの要素に分割されることを意味します。で囲まれたコンパクトな部分を と表記し、が滑らかで であるとします。が^{[note 2]}で定義される空間曲線であり、 が上の滑らかなベクトル場である場合、次のようになります。^{[13] [14] [15]}${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle S=\psi (D)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$${\displaystyle {\textbf {F}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {S} }$$

この古典的な記述は、ベクトル場を1形式、その回転を2形式と同一視した後の一般的な定式化の特別なケースである。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot d\Gamma \to F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\\\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\\\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\\\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} \to \\[1.4ex]&d(F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz)=\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)dy\wedge dz+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)dz\wedge dx+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

が境界を持つ滑らかな多様体である上記の定式化は、多くの用途では十分ではありません。たとえば、積分領域が 2 つの-座標と 2 つの関数のグラフの間の平面領域として定義されている場合、領域にコーナーが存在することがよくあります。このような場合、コーナー ポイントは が境界を持つ滑らかな多様体ではないことを意味し、したがって上記のストークスの定理の記述は適用されません。それでも、ストークスの定理の結論が依然として正しいことを確認することは可能です。これは、 とその境界が、小さな点の集合 (測度ゼロ集合)から離れて適切に動作するためです。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

粗さを考慮したストークスの定理のバージョンは、ホイットニーによって証明されました。^[16]が の連結で有界な開部分集合であると仮定します。次の性質を満たす場合、標準領域と呼びます。で開いたの部分集合が存在し、 での補集合のハウスドルフ測度がゼロであり、 のすべての点が一般化された法線ベクトルを持つということです。これは、 が最初の基底ベクトルとなるように座標系を選択した場合、 の周りの開近傍に、がグラフであり、が領域となるような滑らかな関数が存在するようなベクトルです。ホイットニーは、標準領域の境界は、ゼロのハウスドルフ測度の集合と、それぞれが片側にのみ領域を持つ滑らかな -多様体の有限または可算な和集合の和集合であると指摘しています。次に、が の標準領域であり、 が 上で定義され、連続で、有界であり、 上で滑らかで、 上で積分可能であり、上で積分可能であるような-形式である場合、ストークスの定理が成り立つことを証明します。つまり、 ${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x_{2},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \{x_{1}=f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \{x_{1}:x_{1}<f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle D\cup P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P}$${\displaystyle d\omega }$${\displaystyle D}$$${\displaystyle \int _{P}\omega =\int _{D}d\omega \,.}$$

粗集合の測度論的性質の研究は幾何学的測度論につながる。ストークスの定理のさらに一般的なバージョンはフェデラーとハリソンによって証明されている。^[17]

微分形式を使用するストークスの定理の一般形は、特殊な場合よりも強力で使いやすいです。従来のバージョンは、微分幾何学の仕組みを使わずに直交座標を使用して定式化できるため、よりアクセスしやすいです。さらに、それらは古く、その結果、名前がよりよく知られています。従来の形式は、実践的な科学者やエンジニアによってより便利であると考えられることがよくありますが、球面座標や円筒座標などのよく知られている他の座標系を使用する場合でも、従来の定式化の不自然さが明らかになります。名前の適用方法や二重定式の使用に混乱が生じる可能性があります。

これは、1 形式 (ベクトル場についてのステートメントであるため、双対化されています) の (双対化された) (1 + 1) 次元のケースです。この特殊なケースは、多くの大学のベクトル計算入門コースで単にストークスの定理と呼ばれることが多く、物理学や工学で使用されています。回転定理と呼ばれることもあります。

古典的なストークスの定理は、ユークリッド 3 次元空間内の面上のベクトル場の回転の面積分と、その境界上のベクトル場の線積分を関連付けます。これは、ユークリッド 3 次元空間上の計量を使用してベクトル場を 1 形式と同一視した場合の、一般的なストークスの定理 ( ) の特殊なケースです。線積分の曲線 は、正の向きを持つ必要があります。つまり、面法線 が観察者に向かっている 場合、は反時計回りを向きます。${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \partial \Sigma }$${\displaystyle \partial \Sigma }$${\displaystyle n}$

この定理の 1 つの帰結は、回転角が 0 のベクトル場の磁力線は閉じた輪郭にはならないということです。式は次のように書き直すことができます。

グリーンの定理は、上で引用したP、Q、Rの積分における両辺の 3 番目の積分関数としてすぐに認識できます。

4 つのマクスウェル方程式のうち 2 つは3 次元ベクトル場の回転を含んでおり、それらの微分形式と積分形式はストークスの定理の特殊な 3 次元 (ベクトル計算) の場合によって関連付けられています。境界が移動するケースを避けるように注意する必要があります。部分時間微分は、そのようなケースを除外することを目的としています。境界が移動する場合は、積分と微分を入れ替えると、以下の結果には含まれていない境界運動に関連する項が発生します (積分記号 の下の微分を参照)。

上に挙げたマクスウェル方程式のサブセットは、SI単位系で表された電磁場に対して有効です。CGS単位系やガウス単位系などの他の単位系では、項のスケーリング係数が異なります。たとえば、ガウス単位では、ファラデーの電磁誘導の法則とアンペールの法則はそれぞれ次の形式をとります: ^{[18] [19]。} ここでcは真空中の光速です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,,\\\nabla \times \mathbf {H} &={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \,,\end{aligned}}}$$

同様に、ベクトル場をユークリッド体積形式と縮約して得られる -形式 と同一視する場合、発散定理は 特別なケースとなる。この応用は、 が任意の定数ベクトルである場合である。積の発散を計算すると、 次のようになる。これはすべてに当てはまる ので、$${\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {F} \,d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \operatorname {Vol} }\mathbf {F} \cdot d{\boldsymbol {\Sigma }}}$$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle {\textbf {F}}=f{\vec {c}}}$${\displaystyle {\vec {c}}}$$${\displaystyle {\vec {c}}\cdot \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\,d_{\mathrm {Vol} }={\vec {c}}\cdot \oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\,d{\boldsymbol {\Sigma }}\,.}$$${\displaystyle {\vec {c}}}$$${\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\,d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\,d{\boldsymbol {\Sigma }}\,.}$$

をスカラー場とします。すると、 は 特定の点における 表面の法線ベクトルになります。${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f=\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f}$$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle \partial \Omega }$

証明:をベクトルとします。このとき、 これは任意の(特に、すべての基底ベクトルに対して) に当てはまるので、結果は次のようになります。 ${\displaystyle {\vec {c}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{\Omega }{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {c}}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}\cdot {\vec {c}}f&{\text{by the divergence theorem}}\\&=\int _{\Omega }{\vec {c}}\cdot {\vec {\nabla }}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {c}}\cdot {\vec {n}}f\\&={\vec {c}}\cdot \int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f-{\vec {c}}\cdot \int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f\\&={\vec {c}}\cdot \left(\int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\vec {c}}}$

• チャンドラセカール・ウェンツェルの補題

• グルンスキー、ヘルムート(1983)。一般ストークスの定理。ボストン: ピットマン。ISBN 0-273-08510-7。
• Katz, Victor J. (1979 年 5 月). 「ストークスの定理の歴史」.数学雑誌. 52 (3): 146–156. doi :10.2307/2690275. JSTOR  2690275.
• ルーミス、リン・ハロルド、スターンバーグ、シュロモ(2014)。『Advanced Calculus』。ハッケンサック、ニュージャージー：ワールドサイエンティフィック。ISBN 978-981-4583-93-0。
• Madsen, Ib ; Tornehave, Jørgen (1997)。『微積分からコホモロジーへ: De Rham コホモロジーと特性類』ケンブリッジ、イギリス: Cambridge University Press。ISBN 0-521-58956-8。
• Marsden, Jerrold E. ; Anthony, Tromba (2003).ベクトル計算(第 5 版). W. H. Freeman.
• リー、ジョン (2003)。滑らかな多様体入門。Springer- Verlag。ISBN 978-0-387-95448-6。
• ルディン、ウォルター（1976）。数学的解析の原理。ニューヨーク、NY：マグロウヒル。ISBN 0-07-054235-X。
• スピヴァック、マイケル(1965)。『多様体上の微積分学：上級微積分の古典的定理への現代的アプローチ』サンフランシスコ：ベンジャミン・カミングス。ISBN 0-8053-9021-9。
• スチュワート、ジェームズ (2009)。微積分: 概念とコンテキスト。Cengage Learning。pp. 960–967。ISBN 978-0-495-55742-5。
• スチュワート、ジェームズ (2003)。微積分学：超越関数入門（第 5 版）。ブルックス/コール。
• Tu, Loring W. (2011).多様体入門（第2版）. ニューヨーク: Springer. ISBN 978-1-4419-7399-3。

ウィキメディア・コモンズには、一般化ストークスの定理に関連するメディアがあります。

• 「ストークスの公式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 発散定理とストークスの定理の証明
• 微積分 3 – ストークスの定理 (lamar.edu より) – 解説