マイヤーG関数

数学において、G 関数は、コルネリス・シモン・マイヤー( 1936 年)によって、既知の特殊関数のほとんどを特殊な場合として包含することを目的とした非常に一般的な関数として導入されました。これはこの種の試みの唯一のものではなく、一般化超幾何関数とマクロバート E 関数も同じ目的を持っていましたが、マイヤーの G 関数はそれらも特殊な場合として包含することができました。最初の定義は、マイヤーが級数を用いて行いました。現在では、より一般的で受け入れられている定義は、1953 年にアーサー・エルデリーによって完全な一般性をもって導入された複素平面上の線積分によるものです。 

現代の定義によれば、確立された特殊関数の大部分は、Meijer G 関数で表すことができます。注目すべき特性は、すべての G 関数の集合が微分だけでなく不定積分に関しても閉包性を持つことです。G関数G ( z ) から引数zの定数乗である任意の因子z ^ρを解放できる関数方程式と組み合わせると、閉包性は、関数が関数引数の定数乗の定数倍の G 関数f ( x ) = G ( cx ^γ ) として表現できる場合、この関数の導関数と原始関数も同様に表現できることを意味します。

特殊関数の幅広い適用範囲は、導関数や原始関数の表現や操作以外にも、MeijerのG関数の様々な用途に力を与えています。例えば、有理数γ/δを持つ2つのG関数の積G1(cxγ)・G2(dxδ ^)として表せる任意の関数g ( x )_の正の実軸上の定積分は_、別のG関数に等しくなります。また、適切なG関数ペアを変換カーネルとして用いることで、ハンケル変換やラプラス変換などの積分変換とその逆変換の一般化が得られます。

さらに一般的な関数として、MeijerのG関数にパラメータを追加したものがFoxのH関数である。

Meijer G関数の応用例の一つとして、動的カシミール効果の移動ミラーモデルにおける慣性地平線からの放射の粒子スペクトルが挙げられる（Good 2020 ）。

メイジャーG関数の一般的な定義は、複素平面における次の線積分によって与えられる（Bateman & Erdélyi 1953 、§ 5.3-1）。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds,}$

ここでΓはガンマ関数を表す。この積分は、いわゆるメリン・バーンズ型であり、逆メリン変換と見なすことができる。この定義は、以下の仮定の下で成り立つ。

• 0 ≤ m ≤ qかつ 0 ≤ n ≤ pであり、m、n、p、qは整数である。
• 任意の {k, j} の組み合わせ ( k = 1, 2, ..., n、j = 1, 2, ..., m)に対してa _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... が成り立つ。これは、任意のΓ( b _j − s ) ( j = 1, 2, ..., m ) の極が、任意の Γ(1 − a _k + s ) ( k = 1, 2, ..., n)の極と一致しないことを意味する。
• z ≠ 0

歴史的な理由から、最初の下付きインデックスと2番目の上付きインデックスは最上位のパラメータ行を指し、 2番目の下付きインデックスと最初の上付きインデックスは最下位のパラメータ行を指すことに注意してください。ベクトルを用いた以下のような、より簡潔な表記法をよく見かけます。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

コンピュータ代数システムにおける G 関数の実装では、通常、4 つの (空の場合もある) パラメータ群a ₁ ... a _n、a _{n +1} ... a _p、b ₁ ... b _m、およびb _{m +1} ... b _qに対して個別のベクトル引数を使用するため、順序p、q、n、およびm を冗長として省略できます。

積分式中のLは、積分を行う際にたどるべき経路を表します。この経路には3つの選択肢があります。

1. L は− i ∞ から + i ∞ まで移動し、Γ( b _j − s ) ( j = 1, 2, ..., m ) のすべての極は経路の右側にあり、Γ(1 − a _k + s ) ( k = 1, 2, ..., n ) のすべての極は左側にある。このとき、|arg z | < δ πで積分は収束する。

${\displaystyle \delta =m+n-{\tfrac {1}{2}}(p+q);}$

このための明白な前提条件はδ > 0 です。さらに、積分は、|arg z | = δ π ≥ 0 の場合、(q − p) ( σ + ¹ ⁄ ₂ ) > Re( ν ) + 1 であれば収束します。ここで、σ は、積分変数sが + i ∞ と − i ∞ の 両方に近づくときのRe( s ) を表します。

${\displaystyle \nu =\sum _{j=1}^{q}b_{j}-\sum _{j=1}^{p}a_{j}.}$

必然的に、 |arg z | については、 = δ πおよびp = qの場合、Re( ν ) < −1の場合、積分はσに関係なく収束します。

2. Lは +∞ で始まり +∞ で終わるループで、Γ( b _j − s ) j = 1, 2, ..., mのすべての極を負の方向にちょうど 1 回囲しますが、Γ(1 − a _k + s ) k = 1, 2, ..., nの極は囲みません。このとき、 q > p ≥ 0の場合、すべてのzに対して積分が収束します。また、| z | < 1である限り、q = p > 0 に対しても収束します。後者の場合、Re( ν ) < −1 であれば、| z | = 1に対しても積分が収束します。ここで、νは最初の経路の場合と同様に定義されます。

3. Lは −∞ で始まり −∞ で終わるループで、Γ(1 − a _k + s ) k = 1, 2, ..., nのすべての極を正の方向にちょうど 1 回囲しますが、Γ( b _j − s ) j = 1, 2, ..., mの極は囲みません。ここで、 p > q ≥ 0の場合、すべてのzに対して積分が収束します。また、| z | > 1 である限り、p = q > 0に対しても収束します。2番目の経路についても述べたように、 p = qの場合、 Re( ν ) < −1のとき、| z | = 1に対しても積分が収束します。

収束条件は、被積分関数中のガンマ関数にスターリングの漸近近似を適用することで容易に確立できます。複数の経路で積分が収束する場合、積分結果は一致することが示されます。1つの経路でのみ収束する場合は、その経路のみを考慮すればよいことになります。実際、複素平面における数値経路積分は、マイヤーG関数を計算するための実用的かつ合理的な手法となります。

この定義の結果として、Meijer G 関数は、原点z = 0 と単位円| z | = 1を除いて、 zの解析関数となります。

上記で紹介した2番目の経路に沿って評価したときに積分が収束し、Γ( b _j − s ) j = 1, 2, ..., mの間に合流極が現れない場合、Meijer G関数は、一般化超幾何関数_p F _{q −1}による留数の和として表現できます（Slaterの定理）。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{m}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-b_{h})^{*}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1+b_{h}-a_{j})\;z^{b_{h}}}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1+b_{h}-b_{j})\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-b_{h})}}\times }$

${\displaystyle _{p}F_{q-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1+b_{h}-\mathbf {a_{p}} \\(1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right).}$

星印は、 j = hに対応する項が省略されていることを示します。 2 番目の経路に沿って積分が収束するには、 p < qまたはp = qかつ | z | < 1 のいずれかである必要があり、極が区別されるためには、 b _j、j = 1、2、...、mのペアが整数またはゼロだけ異なっていてはなりません。 関係式の星印は、次のようにインデックスj = hの寄与を無視するように注意を促します。 積では、これは Γ(0) を 1 に置き換えることに相当し、超幾何関数の引数では、ベクトル表記の意味を思い出すと、

${\displaystyle 1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} =(1+b_{h}-b_{1}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{j}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{q}),}$

これは、ベクトルの長さをqからq -1に短縮することに相当します。

m = 0の場合、2 番目の経路には極が含まれないため、積分は恒等的にゼロになることに注意してください。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,0,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,}$

p < qの場合、またはp = qかつ | z | < 1 の場合。

同様に、上記の第3 の経路に沿って評価したときに積分が収束し、Γ(1 − a _k + s ) ( k = 1, 2, ..., n ) の間に合流極が現れない場合、G 関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{h}-a_{j})^{*}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-a_{h}+b_{j})\;z^{a_{h}-1}}{\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{h}+a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (a_{h}-b_{j})}}\times }$

${\displaystyle _{q}F_{p-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-a_{h}+\mathbf {b_{q}} \\(1-a_{h}+\mathbf {a_{p}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n}z^{-1}\right).}$

そのためには、p > qまたはp = qかつ | z | > 1 のいずれかが必要であり、a _k ( k = 1, 2, ..., n ) のペア間で整数またはゼロの差があってはならない。したがって、n = 0 の場合、次のようになる。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,}$

p > qの場合、またはp = qかつ | z | > 1 の場合。

一方、任意の一般化超幾何関数は、マイヤーG関数を用いて容易に表現できる。

${\displaystyle \;_{p}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} \\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{q+1,\,p}^{\,p,\,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,-z^{-1}\right),}$

ここで、ベクトル表記法を使用しました。

${\displaystyle \Gamma (\mathbf {a_{p}} )=\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j}).}$

これは、少なくとも1つのパラメータa _pの非正の整数値が超幾何関数を有限多項式に還元しない限り成り立ちます。この場合、いずれかの G 関数のガンマ係数はゼロになり、G 関数のパラメータセットは、上記の定義からk = 1, 2, ..., nおよびj = 1 , 2 , ..., mに対してa _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ...という要件に違反します。この制限を除けば、この関係は、一般化超幾何級数_p F _q ( z ) が収束する場合、つまり、任意の有限zに対してp ≤ qの場合、および | z | < 1に対してp = q + 1 の場合に有効です。後者の場合、G 関数との関係により、実軸に沿って 1 から ∞ まで分岐切断された | z | ≥ 1 への_p F _q ( z )の解析接続が自動的に提供されます。最後に、この関係式は、次数p > q + 1への超幾何関数の定義の自然な拡張を提供する。したがって、G 関数を用いることで、p > q + 1 の場合の一般化超幾何微分方程式も解くことができる。

G 関数の定義からわかるように、被積分関数の分子と分母の因数を決定するa _pとb _qの間に等しいパラメータが現れる場合、分数を簡略化でき、それによって関数の次数を下げることができます。次数mまたはnのどちらが下がるかは、問題となるパラメータの特定の位置によって決まります。したがって、a _k ( k = 1, 2, ..., n ) のいずれかがb _j ( j = m + 1, ..., q)のいずれかと等しい場合、G 関数は次数p、q 、 nを下げます。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},a_{1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m,\,n-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n,p,q\geq 1.}$

同じ理由で、a _k（k = n + 1, ..., p ）のいずれかがb _j（j = 1, 2, ..., m ）のいずれかと等しい場合、G 関数はその次数p、qおよびmを下げます。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},b_{1}\\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m-1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1}\\b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m,p,q\geq 1.}$

定義から出発して、以下の性質を導き出すことも可能である。

${\displaystyle z^{\rho }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} +\rho \\\mathbf {b_{q}} +\rho \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} ,\alpha '\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ,\mathbf {b_{q}} ,\beta '\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ',\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {h^{1+\nu +(p-q)/2}}{(2\pi )^{(h-1)\delta }}}\;G_{hp,\,hq}^{\,hm,\,hn}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}/h,\dots ,(a_{1}+h-1)/h,\dots ,a_{p}/h,\dots ,(a_{p}+h-1)/h\\b_{1}/h,\dots ,(b_{1}+h-1)/h,\dots ,b_{q}/h,\dots ,(b_{q}+h-1)/h\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z^{h}}{h^{h(q-p)}}}\right),\quad h\in \mathbb {N} .}$

νとδという略語は、上記のG関数の定義において導入されたものである。

任意のG関数を含む定積分には、以下のものがある。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx={\frac {\eta ^{-s}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+s)}}.}$

なお、この積分が存在する条件はここでは省略されている。G関数のメリン変換が、上記の定義に現れる被積分関数に戻ることは、当然のことながら驚くべきことではない。

G関数に対するオイラー型の積分は次のように与えられる。

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{-\alpha }\;(1-x)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }x^{-\alpha }\;(x-1)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

これらの積分が存在するための詳細な制約については、 A. Erdelyi 編著の「積分変換表」第 II 巻 (1954 年) の 417 ページを参照してください。なお、これらの積分は G 関数への影響を考慮すると、かなり広範囲の関数 ( Erdélyi–Kober 演算子) の分数積分演算を定義するために使用できます。

根本的に重要な結果として、正の実軸上で積分された2つの任意のG関数の積は、別のG関数で表すことができる（畳み込み定理）。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)G_{\sigma ,\tau }^{\,\mu ,\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {c_{\sigma }} \\\mathbf {d_{\tau }} \end{matrix}}\;\right|\,\omega x\right)dx=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\eta }}\;G_{q+\sigma ,\,p+\tau }^{\,n+\mu ,\,m+\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}-b_{1},\dots ,-b_{m},\mathbf {c_{\sigma }} ,-b_{m+1},\dots ,-b_{q}\\-a_{1},\dots ,-a_{n},\mathbf {d_{\tau }} ,-a_{n+1},\dots ,-a_{p}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\omega }{\eta }}\right)=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\omega }}\;G_{p+\tau ,\,q+\sigma }^{\,m+\nu ,\,n+\mu }\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{n},-\mathbf {d_{\tau }} ,a_{n+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{m},-\mathbf {c_{\sigma }} ,b_{m+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right).}$

積分が存在するための制約については、Meijer, CS, 1941: Nederl. Akad. Wetensch, Proc. 44, pp.  82–92 を参照してください。結果のメリン変換は、被積分関数の 2 つの関数のメリン変換からガンマ因子を単に組み立てるだけであることに注目してください。

畳み込み公式は、定義となるメリン・バーンズ積分をG関数のいずれかに置き換え、積分の順序を逆にして、内側のメリン変換積分を評価することによって導出できる。前述のオイラー型積分も同様の方法で導出できる。

一般に、任意の適切な関数f ( z ) または任意の適切な関数g ( z )に対して、次の 2 つの関係が同時に成り立つ場合、2つの関数k ( z , y ) とh ( z , y )は変換カーネルのペアと呼ばれます。

${\displaystyle g(z)=\int _{0}^{\infty }k(z,y)\,f(y)\;dy,\quad f(z)=\int _{0}^{\infty }h(z,y)\,g(y)\;dy.}$

カーネルのペアは、k ( z , y ) = h ( z , y ) の場合、対称であると言われます。