特殊機能

特殊関数は、数学的解析、関数解析、幾何学、物理学、またはその他のアプリケーション における重要性のために、多かれ少なかれ確立された名前と表記法を持つ特定の数学関数です。

この用語はコンセンサスによって定義されているため、一般的な正式な定義はありませんが、数学関数のリストには、一般的に特別なものとして受け入れられている関数が含まれています。

多くの特殊関数は、微分方程式の解や初等関数の積分として現れる。そのため、積分表^[1]には通常、特殊関数の説明が含まれており、特殊関数表^[2]には最も重要な積分、少なくとも特殊関数の積分表現が含まれている。微分方程式の対称性は物理学と数学の両方に不可欠であるため、特殊関数の理論は、リー群とリー代数の理論、および数理物理学の特定のトピックと密接に関連している。

シンボリック計算エンジンは通常、特殊関数の大部分を認識します。

国際的に標準化された表記法を持つ関数としては、正弦関数( )、余弦関数( )、指数関数( )、誤差関数(または) などがあります。 ${\displaystyle \sin}$${\displaystyle \cos}$${\displaystyle \exp}$${\displaystyle \operatorname {erf} }$${\displaystyle \operatorname {erfc} }$

いくつかの特殊関数には複数の表記法があります。

• 自然対数は、文脈に応じて、、、またはと表記されることがあります。${\displaystyle \ln}$${\displaystyle \log}$${\displaystyle \log_{e}}$${\displaystyle \operatorname {ログ} }$
• 接線^{[壊れたアンカー}]関数^は、 、、または(いくつかのヨーロッパ言語で使用)と表記される場合があります。${\displaystyle \tan}$${\displaystyle \operatorname {タン} }$${\displaystyle \operatorname {tg} }$
• アークタンジェントは、、、、または と表記されます。${\displaystyle \arctan }$${\displaystyle \operatorname {atan} }$${\displaystyle \operatorname {arctg} }$${\displaystyle \tan^{-1}}$
• ベッセル関数は次のように表記される。
  • ${\displaystyle J_{n}(x),}$
  • ${\displaystyle \operatorname {besselj} (n,x),}$
  • ${\displaystyle {\rm {BesselJ}}[n,x].}$

下付き文字は、引数（通常は整数）を示すためによく使用されます。まれに、セミコロン（;）またはバックスラッシュ（\）が引数の区切り文字として使用されることがあります。これにより、アルゴリズム言語への翻訳が混乱する可能性があります。

上付き文字は、累乗 (指数) だけでなく、関数のその他の変更を示すこともあります。例 (特に三角関数と双曲線関数) は次のとおりです。

• ${\displaystyle \cos^{3}(x)}$通常は${\displaystyle (\cos(x))^{3}}$
• ${\displaystyle \cos^{2}(x)}$通常は、しかし決して${\displaystyle (\cos(x))^{2}}$${\displaystyle \cos(\cos(x))}$
• ${\displaystyle \cos^{-1}(x)}$は通常 を意味し、 を意味しません。この上付き文字の意味は他の意味と一貫していないため、混乱が生じる可能性があります。${\displaystyle \arccos(x)}$${\displaystyle (\cos(x))^{-1}}$

ほとんどの特殊関数は、複素変数の関数として考えられます。それらは解析的であり、特異点とカットが記述され、微分および積分表現が知られており、テイラー級数または漸近級数への展開が可能です。さらに、他の特殊関数との関係が存在する場合もあります。複雑な特殊関数は、より単純な関数で表現できます。評価にはさまざまな表現を使用できます。関数を評価する最も簡単な方法は、テイラー級数に展開することです。ただし、このような表現は収束が遅いか、まったく収束しない場合があります。アルゴリズム言語では、通常は有理近似が使用されますが、複雑な引数の場合は動作が悪くなる可能性があります。

三角法と指数関数は18世紀までに体系化され統一されましたが、特殊関数の完全で統一された理論の探求は19世紀から続いています。1800年から1900年にかけての特殊関数理論の頂点は楕円関数の理論でした。TanneryとMolk ^[3]などの本質的に完全な論文は、解析関数論（複素解析に基づく）の手法を使用して理論のすべての基本的な恒等式を解説しました。世紀の終わりには、球面調和関数の非常に詳細な議論も見られました。

純粋数学者は、既知の特殊関数のできるだけ多くを単一の原理から導く幅広い理論を模索しましたが、長い間、特殊関数は応用数学の領域でした。物理科学と工学への応用が関数の相対的な重要性を決定しました。電子計算以前は、特殊関数の重要性は、よく知られている対数表のように、簡単に参照できるように値の拡張表を面倒な計算で計算することによって確認されていました。(バベッジの差分エンジンは、そのような表を計算する試みでした。) この目的のための主な手法は次のとおりです。

• 数値解析、高速計算を可能にする無限級数やその他の解析式の発見、そして
• 可能な限り多くの関数を指定された関数に縮小します。

より理論的な質問には、漸近解析、複素平面における解析接続とモノドロミー、対称性原理とその他の構造方程式などがあります。

20世紀には特殊関数理論への関心がいくつかの波で高まりました。古典的なウィテカーとワトソン（1902）の教科書^[4]は複素解析を使用して理論を統一しようとしました。GNワトソンの著書「ベッセル関数の理論に関する論文」は漸近結果を含む1つの重要なタイプに対して可能な限り技術を推進しました。

その後のベイトマン写本プロジェクトは、アーサー・エルデーリィの編集の下、百科事典的な内容を目指したもので、電子計算が前面に出て表の作成が主要な課題ではなくなった頃に登場しました。

現代の直交多項式理論は明確ではあるが、その範囲は限られている。フェリックス・クラインが天文学と数理物理学で重要であると観察した超幾何級数は^[5]、後に概念的な整理を必要とする複雑な理論となった。リー群表現は球面関数の即時一般化を与える。1950年以降、古典理論のかなりの部分がリー群の観点から書き直された。さらに、代数的組合せ論の研究も理論の古い部分への関心を復活させた。イアン・G・マクドナルドの予想は、特殊関数風味の大規模で活発な新分野を切り開くのに役立った。差分方程式は、特殊関数の源として 微分方程式の横に位置づけられ始めている。

数論では、特定のディリクレ級数やモジュラー形式など、特定の特殊関数が伝統的に研究されてきました。そこには、特殊関数理論のほぼすべての側面が反映されているほか、怪物密造理論 から生まれたようないくつかの新しい側面も反映されています。

いくつかの特殊関数の類似物は正定値行列の空間上で定義されており、その中にはアトル・セルバーグに遡るべき関数^[6]、多変量ガンマ関数[ ^7]、およびベッセル関数のタイプ^[8]が含まれます。

NISTの数学関数デジタルライブラリには、行列引数のいくつかの特殊関数をカバーするセクションがあります。^[9]

• 数学関数のリスト
• 特殊機能とエポニムのリスト
• 基本関数

• アンドリュース、ジョージ E. ;アスキー、リチャード; ロイ、ランジャン (1999)。特殊関数。数学とその応用百科事典。第 71 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-62321-6. MR  1688958。
• テラス、オードリー(2016)。対称空間上の調和解析 - 高階空間、正定値行列空間および一般化（第2版）。Springer Nature。ISBN 978-1-4939-3406-5MR  3496932 。
• Whittaker, ET; Watson, GN (1996-09-13). A Course of Modern Analysis . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2 . 

• 米国商務省国立標準技術研究所。NIST 数学関数デジタルライブラリ。2018 年 12 月 13 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• Weisstein、Eric W.「特殊関数」。MathWorld。
• オンライン計算機、100 以上の関数を備えたオンライン科学計算機 (>=32 桁、多くの複雑なもの) (ドイツ語)
• EqWorldの特殊関数: 数式の世界
• 特殊関数と多項式 (Gerard 't Hooft と Stefan Nobbenhuis 著、2013 年 4 月 8 日)
• 特殊関数の数値解析法、A. Gil、J. Segura、NM Temme (2007) 著。
• R. ジャガンナサン、(P,Q)-特殊関数
• 特殊機能wiki