ホロノミック関数

させて${\displaystyle \mathbb {K} }$特性0の体である(例えば、${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} }$または${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$)

関数${\displaystyle f=f(x)}$と呼ばれる${\displaystyle D}$多項式が存在する場合、有限（またはホロノミック）である。${\displaystyle 0\neq a_{r}(x),a_{r-1}(x),\ldots ,a_{0}(x)\in \mathbb {K} [x]}$そのため

${\displaystyle a_{r}(x)f^{(r)}(x)+a_{r-1}(x)f^{(r-1)}(x)+\cdots +a_{1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)=0}$

すべての${\displaystyle x}$これは次のように書くこともできます。${\displaystyle Af=0}$どこ

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}D_{x}^{k}}$

そして${\displaystyle D_{x}}$は、​${\displaystyle f(x)}$に${\displaystyle f'(x)}$。${\displaystyle A}$は消滅演算子と呼ばれる${\displaystyle f}$（消滅演算子${\displaystyle f}$リング内で理想を形成する${\displaystyle \mathbb {K} [x][D_{x}]}$絶滅者と呼ばれる${\displaystyle f}$数量${\displaystyle r}$これは消滅演算子の次数と呼ばれる。拡張して、ホロノミック関数${\displaystyle f}$秩序があると言われている${\displaystyle r}$このような位数の消滅演算子が存在する場合。

シーケンス${\displaystyle c=c_{0},c_{1},\ldots }$と呼ばれる${\displaystyle P}$多項式が存在する場合、再帰的（またはホロノミック）である。${\displaystyle a_{r}(n),a_{r-1}(n),\ldots ,a_{0}(n)\in \mathbb {K} [n]}$そのため

${\displaystyle a_{r}(n)c_{n+r}+a_{r-1}(n)c_{n+r-1}+\cdots +a_{0}(n)c_{n}=0}$

すべての${\displaystyle n}$これは次のように書くこともできます。${\displaystyle Ac=0}$どこ

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}S_{n}}$

そして${\displaystyle S_{n}}$シフト演算子がマッピングします${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots }$に${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots }$。${\displaystyle A}$は消滅演算子と呼ばれる${\displaystyle c}$（消滅演算子${\displaystyle c}$リング内で理想を形成する${\displaystyle \mathbb {K} [n][S_{n}]}$絶滅者と呼ばれる${\displaystyle c}$数量${\displaystyle r}$これは消滅演算子の次数と呼ばれる。さらに、ホロノミックシーケンスは${\displaystyle c}$秩序があると言われている${\displaystyle r}$このような位数の消滅演算子が存在する場合。

ホロノミック関数は、まさにホロノミック数列の生成関数です。${\displaystyle f(x)}$がホロノミックである場合、係数は${\displaystyle c_{n}}$べき級数展開において

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$

ホロノミック数列を形成する。逆に、与えられたホロノミック数列に対して${\displaystyle c_{n}}$上記の和によって定義される関数はホロノミックである（これは、和の収束半径がゼロであっても、形式的べき級数の意味で真である）。

ホロノミック関数（または数列）は、いくつかの閉包性を満たす。特に、ホロノミック関数（または数列）は環を形成する。しかし、除法に関して閉じていないため、体を形成しない。

もし${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}}$そして${\displaystyle \textstyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}x^{n}}$がホロノミック関数であるならば、以下の関数もホロノミック関数である。

• ${\displaystyle h(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)}$、 どこ${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$定数です
• ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$（数列のコーシー積）
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}x^{n}}$（数列のアダマール積）
• ${\displaystyle h(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}f_{k}\right)x^{n}}$
• ${\displaystyle h(x)=f(a(x))}$、 どこ${\displaystyle a(x)}$は任意の代数関数です。ただし、${\displaystyle a(f(x))}$一般的にはホロノミックではない。

ホロノミック関数の重要な特性は、閉包特性が有効であることです。${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$消滅演算子${\displaystyle h}$上記のいずれかの演算を用いて定義された値は、明示的に計算することができる。

ホロノミック関数の例としては、以下のようなものがある。

• 多項式や有理関数を含むすべての代数関数
• 正弦関数と余弦関数（ただし、正接、余接、正割、余割は除く）
• 双曲線正弦関数と双曲線余弦関数（ただし、双曲線正接関数、双曲線余接関数、双曲線正割関数、双曲線余割関数は含まない）
• 指数関数と対数（任意の底）
• 一般化超幾何関数${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p},b_{1},\ldots ,b_{q},x)}$関数として考える${\displaystyle x}$すべてのパラメータ付き${\displaystyle a_{i}}$、${\displaystyle b_{i}}$固定された
• エラー関数${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$
• ベッセル関数${\displaystyle J_{n}(x)}$、${\displaystyle Y_{n}(x)}$、${\displaystyle I_{n}(x)}$、${\displaystyle K_{n}(x)}$
• エアリーの機能${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$、${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)}$

ホロノミック関数のクラスは、超幾何関数のクラスの厳密な上位集合です。ホロノミック関数ではあるが超幾何関数ではない特殊関数の例としては、ヒューン関数などがあります。

ホロノミックシーケンスの例としては、以下のようなものがあります。

• フィボナッチ数列${\displaystyle F_{n}}$より一般的には、すべての定数再帰シーケンス
• 階乗の数列${\displaystyle n!}$
• 二項係数の列${\displaystyle \textstyle {n \choose k}}$（いずれかの関数として）${\displaystyle n}$または${\displaystyle k}$）
• 調和数列${\displaystyle \textstyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$より一般的には${\displaystyle \textstyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}$任意の整数に対して${\displaystyle m}$
• カタルーニャ数列
• モツキン数列
• 障害の列挙。

超幾何関数、ベッセル関数、および古典的な直交多項式は、変数のホロノミック関数であることに加えて、パラメータに関してもホロノミック列である。例えば、ベッセル関数は${\displaystyle J_{n}}$そして${\displaystyle Y_{n}}$2次線形漸化式を満たす${\displaystyle x(f_{n+1}+f_{n-1})=2nf_{n}}$。

非ホロノミック関数の例としては、以下のようなものがある。

• 機能${\displaystyle {\tfrac {x}{e^{x}-1}}}$^{[ 2 ]}
• 機能${\displaystyle \tan x+\sec x}$^{[ 3 ]}
• 2つのホロノミック関数の商は、一般にホロノミック関数ではない。

非ホロノミック数列の例としては、以下のようなものがある。

• ベルヌーイ数
• 交互順列の数^{[ 4 ]}
• 整数分割の数^{[ 3 ]}
• 数字${\displaystyle \log n}$^{[ 3 ]}
• 数字${\displaystyle n^{\alpha }}$どこ${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Z} }$^{[ 3 ]}
• 素数^{[ 3 ]}​
• 既約かつ連結な順列の列挙。^{[ 5 ]}