リーマン・スティルチェス積分

数学 において、リーマン–スティルチェス積分は、リーマン積分の一般化であり、ベルンハルト・リーマンとトーマス・ヨハネス・スティルチェスにちなんで名付けられました。この積分の定義は、1894年にスティルチェスによって初めて発表されました。^{[1]これは、}ルベーグ積分の有益で有用な前身であり、離散確率と連続確率に適用される統計定理の同等の形式を統一するための貴重なツールです。

実数値関数の区間上の実変数に対する別の実数値関数に関するリーマン・スティルチェス積分は次のように表される。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \int _{x=a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x).}$

その定義は、区間の分割 のシーケンスを使用する。${\displaystyle P}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}.}$

積分は、分割のメッシュ（最長区間の長さ）がに近づくにつれて、近似 和の極限として定義される。${\displaystyle 0}$

${\displaystyle S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\left[g(x_{i+1})-g(x_{i})\right]}$

ここで、は- 番目のサブ区間にあります。2 つの関数と は、それぞれ被積分関数と積分器と呼ばれます。通常、は単調(または少なくとも有界変化) かつ右半連続(ただし、後者は基本的に慣例です)であると見なされます。特に連続である必要はありません。これにより、点質項を持つ積分が可能になります。 ${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle [x_{i};x_{i+1}]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

ここでの「極限」とは、任意のε > 0に対してδ > 0 が存在し、メッシュ( P )<  δである 任意のパーティションPに対して、および[ x _i ,  x _{i +1} ]内の任意の点c _iの選択に対して、

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon .\,}$

リーマン・スティルチェス積分は、次の形式で 部分積分が可能である。

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} f(x)}$$

そしてどちらかの積分の存在は、もう一方の積分の存在を意味する。^[2]

一方、古典的な結果^{[3]によれば、} fがα-ヘルダー連続でgがα + β >1でβ-ヘルダー連続であれば積分は明確に定義される 。

が で有界であり、単調増加し、リーマン積分可能である場合、リーマン・スティルチェス積分はリーマン積分と次の式で関連付けられる。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle g'(x)}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x}$$

ステップ関数 において がで連続であれば、 $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}}$$${\displaystyle a<s<b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(s)}$$

g がルベーグ測度に関する確率密度関数を持つランダム変数Xの累積確率分布関数であり、f が期待値が有限である任意の関数である場合、 Xの確率密度関数はgの導関数であり、次の式が得られます。 ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\,\left|f(X)\right|\,\right]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.}$

しかし、この式は、X がルベーグ測度に関する確率密度関数を持たない場合には機能しない。特に、Xの分布が離散的である場合 (つまり、確率のすべてが質点によって説明される場合) には機能しない。また、累積分布関数gが連続的であっても、 g が絶対的に連続でない場合は機能しない(ここでも、カントール関数がこの失敗の例として挙げられる)。しかし、恒等式は

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$

g が実数直線上の任意の累積確率分布関数であれば、それがどんなに不規則であっても成り立つ。特に、確率変数Xの累積分布関数gがどんなに不規則であっても、モーメントE( X ⁿ ) が存在する場合、それは

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} g(x).}$

リーマン・スティルチェス積分は、区間 [ a , b ] 内の連続関数のバナッハ空間C [ a , b ] の双対空間を、有界変化の関数に対するリーマン・スティルチェス積分として表すF. リースの定理の元の定式化に現れます。後に、その定理は測度の観点から再定式化されました。

リーマン・スティルチェス積分は、ヒルベルト空間における（非コンパクトな）自己随伴（より一般的には正規）作用素のスペクトル定理の定式化にも現れる。この定理では、積分は射影のスペクトル族に関して考慮される。^[4]

最も簡単な存在定理は、fが連続でgが[ a , b ]上で有界変化である場合、積分が存在することを述べています。 ^{[5] [6] [7]部分積分公式により、} fとg の条件が逆転した場合、つまりfが有界変化でg が連続である場合にも積分は存在します。

関数gは、2 つの (有界な) 単調関数の差である場合に限り、有界変化です。gが有界変化でない場合は、 gに関して積分できない連続関数が存在します。一般に、 fとg が不連続点を共有する場合、積分は明確に定義されませんが、他のケースもあります。

x、f(x)、g(x)をすべて直交軸 に沿って描いた3Dプロットは、リーマン・スティルチェス積分の幾何学的解釈につながる。^[8]

g(x)-x平面が水平で、f(x)方向が上を向いている場合、検討する表面は湾曲したフェンスのようなものです。フェンスはg(x)が描く曲線に沿っており、フェンスの高さはf(x)で与えられます。フェンスは、g(x) -x 平面とf(x)シートの間で区切られたg(x)シート (つまり、f( x)軸に沿って延長された g(x) 曲線) のセクションです。リーマン-スティルチェス積分は、このフェンスのf(x)-g(x)平面への投影面積、つまり実質的にその「影」です。g(x)の傾きは、投影面積に重み付けします。g(x)の傾きが最も急なg '(x ) となるxの値は、投影が大きいフェンスの領域に対応し、積分で最も重み付けされます。

gがステップ関数の 場合$${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}}$$

フェンスには幅 1、高さf(s)の長方形の「門」があります。したがって、門とその投影の面積は、リーマン-スティルチェス積分の値であるf(s)に等しくなります。

重要な一般化はルベーグ–スティルチェス積分であり、これはルベーグ積分がリーマン積分を一般化するのと類似した方法でリーマン–スティルチェス積分を一般化します。不正確なリーマン–スティルチェス積分が許容される場合、ルベーグ積分は厳密にはリーマン–スティルチェス積分よりも一般ではありません。

リーマン・スティルチェス積分は、被積分関数ƒまたは積分器gのいずれかがバナッハ空間内の値を取る場合にも一般化されます^[要出典]。g  : [ a , b ] → X がバナッハ空間X内の値を取る場合、それが強く有界な変化であると仮定するのが自然であり、これは次のことを意味します。

${\displaystyle \sup \sum _{i}{\|g(t_{i-1})-g(t_{i})\|}_{X}<\infty }$

全ての有限の区画を越える最高値

${\displaystyle a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{n}=b}$

区間 [ a , b ] のこの一般化は、ラプラス・スティルチェス変換を介して半群の研究で役割を果たします。

伊藤積分は、リーマン・スティッチェス積分を拡張して、単純な関数ではなく確率過程である被積分関数と積分器を包含するようにしたものである。確率微積分も参照。

^[9]を少し一般化して、上記の定義において、別のパーティションP _εを細分化するパーティションP を考慮する。つまり、P は、より細かいメッシュのパーティションからではなく、点の追加によってP _εから生じる。具体的には、 gに関するfの一般化されたリーマン・スティルチェス積分は、任意のε > 0 に対して、 P _{ε を}細分化する任意のパーティションPに対して、次のパーティションP _ε が存在するような数Aである。

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon \,}$

[ x _i ,  x _{i +1 ] 内の点}c _iのあらゆる選択について。

この一般化は、リーマン・スティルチェス積分を[ a ,  b ]の有向分割集合上のムーア・スミス極限として表す。^{[10] [11]}

結果として、この定義では、fとg が共通の不連続点を持つ 場合でも積分を定義できます。${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$

リーマン・スティルチェス積分は、ダルブー和の適切な一般化を使用して効率的に処理できます。分割Pと[ a、  b ]上の非減少関数gに対して、 gに関するfの上ダルブー和を次の ように定義します。

$${\displaystyle U(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)}$$

そして、下の合計は

$${\displaystyle L(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).}$$

すると、 gに関するfの一般化リーマン・スティルチェス則が存在するのは、任意のε > 0に対して、次の 分割Pが存在する場合のみである。

${\displaystyle U(P,f,g)-L(P,f,g)<\varepsilon .}$

さらに、f がgに関して（古典的な意味で）リーマン・スティルチェス積分可能であるのは 、

${\displaystyle \lim _{\operatorname {mesh} (P)\to 0}[\,U(P,f,g)-L(P,f,g)\,]=0.\quad }$^[12]

が連続的に微分可能であるとき、次の等式が存在することが示される。 ${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x}$

ここで、右辺の積分は標準リーマン積分であり、リーマン・スティルチェス積分によって積分できると仮定しています。 ${\displaystyle f}$

より一般的には、 がその導関数のルベーグ積分である場合、リーマン積分はリーマン・スティルチェス積分に等しくなります。この場合、は絶対連続であると言われます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

ジャンプ不連続がある場合や、連続かつ増加しながらもほぼすべての場所で導関数がゼロになる場合（たとえば、カントール関数や「悪魔の階段」）がありますが、どちらの場合も、リーマン・スティルチェス積分はgの導関数を含むどの式でも表現できません。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

標準リーマン積分は、リーマン・スティルチェス積分の特殊なケースです。 ${\displaystyle g(x)=x}$

ニューラルネットワークの研究で使われる関数、ReLU（Rerectified Linear Unit ）を考えてみましょう。リーマン・スティルチェス関数は次のように評価できます。 ${\displaystyle g(x)=\max\{0,x\}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,\mathrm {d} x}$

ここで、右側の積分は標準リーマン積分です。

カヴァリエリの原理は、リーマン・スティルチェス積分を用いて曲線で囲まれた領域を計算するために使用できる。^[13]リーマン積分の積分帯は、長方形でない形状の帯に置き換えられる。この方法は、「カヴァリエリ領域」を変換で変換するか、またはを積分関数として使用することである。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle g=h^{-1}}$

区間 上の与えられた関数に対して、「並進関数」は区間内の任意のシフトに対して必ず 1 回 交差します。「カヴァリエリ領域」は、軸、およびで囲まれます。領域の面積は ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a(y)}$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle f(x),a(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b(y)=a(y)+(b-a)}$

${\displaystyle \int _{a(y)}^{b(y)}f(x)\,dx\ =\ \int _{a'}^{b'}f(x)\,dg(x),}$

ここで、およびは、および が交差する- 値です。 ${\displaystyle a'}$${\displaystyle b'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a(y)}$${\displaystyle b(y)}$${\displaystyle f(x)}$

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