非初等積分

数学において、与えられた基本関数の非基本的原始積分は、原始関数（つまり、体の演算を用いた定数、代数、指数、三角、対数関数の有限個の商から構成される関数）ではない原始積分（または不定積分）である。^{[1] 1835年の}リウヴィルの定理は 、非基本的原始積分が存在することを初めて証明した。^{[2]この定理は}、どの基本関数が基本的原始積分を持つかを（困難を伴いながらも）判定するための リッシュのアルゴリズムの基礎も提供する。

非基本的な不定積分を持つ関数の例には次のものがあります。

• ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{4}}}}$^[1]（楕円積分）
• ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$^[3]（対数積分）
• ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$^[1]（誤差関数、ガウス積分）
• ${\displaystyle \sin(x^{2})}$および（フレネル積分）${\displaystyle \cos(x^{2})}$
• ${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)}$（正弦積分、ディリクレ積分）
• ${\displaystyle {\frac {e^{-x}}{x}}}$（指数積分）
• ${\displaystyle e^{e^{x}}\,}$（指数積分の観点から）
• ${\displaystyle \ln(\ln x)\,}$（対数積分の観点から）
• ${\displaystyle {x^{c-1}}e^{-x}}$(不完全ガンマ関数) の場合、原始積分は指数積分で表すことができます。 の場合、原始積分は誤差関数で表すことができます。任意の正の整数の場合、原始積分は基本です。${\displaystyle c=0,}$${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}},}$${\displaystyle c=}$

いくつかの一般的な非初等的原始関数には名前が付けられており、いわゆる特殊関数を定義しています。これらの新しい関数を含む式は、より大規模な非初等的原始関数のクラスを表現できます。上記の例では、対応する特殊関数の名前を括弧内に記載しています。

非初等的原始積分は、多くの場合テイラー級数を使って評価できます。関数に初等的原始積分がない場合でも、そのテイラー級数は多項式のように項ごとに積分することができ、原始積分関数は同じ収束半径を持つテイラー級数として与えられます。ただし、被積分関数に収束テイラー級数がある場合でも、その係数の列には初等式がない場合が多く、項ごとに評価する必要があり、積分テイラー級数と同じ制限があります。

不定積分（原始積分）を初等的に評価できない場合でも、対応する定積分を数値積分で近似することは常に可能である。また、初等的な原始積分が存在しないが、特定の定積分（多くの場合、無限区間上の不定積分）を初等的に評価できる場合もある。最も有名なのはガウス積分である。 ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$

基本関数の集合の積分による閉包は、リウヴィリアン関数の集合です。

• 代数関数 – 数学関数
• 閉形式の表現 – 与えられた一連の演算を含む数式
• 微分 – 瞬間的な変化率（数学）
• 微分代数 – 微分方程式の代数的研究
• 積分のリスト
• リウヴィルの定理（微分代数）  – 初等関数の不定理が初等関数として表現できる場合を述べる
• リチャードソンの定理 – 実数の等式の決定不可能性
• 記号積分 – 不定積分の計算
• タルスキの高校代数問題 – 数学の問題
• 超越関数 – 多項式方程式を満たさない解析関数

• 非基本関数の積分、SOS MATHematics.com、2012 年 12 月 7 日にアクセス。

• Williams, Dana P.、「NONELEMENTARY ANTIDERIVATIVES」、1993 年 12 月 1 日。2014 年 1 月 24 日にアクセス。