Loading article…
幾何学において、座標系とは、ユークリッド空間などの多様体上の点やその他の幾何学的要素の位置を一意に決定し標準化するために、1つ以上の数値、すなわち座標を用いるシステムのことです。[ 1 ] [ 2 ]座標は互換性がなく、通常は順序付きタプルにおける位置、または「 x座標」などのラベルによって区別されます。座標は初等数学では実数とみなされますが、複素数や可換環などのより抽象的なシステムの要素である場合もあります。座標系を用いることで、幾何学の問題を数値の問題に変換したり、その逆を行ったりすることが可能になります。これが解析幾何学の基礎です。[ 3 ]
1次元座標系の最も単純な例は、数直線を用いて実数で直線上の点を識別することです。このシステムでは、任意の点O（原点）が与えられた直線上に選ばれます。点Pの座標は、 OからPまでの符号付き距離として定義され、符号付き距離は、 Pが直線のどちら側にあるかによって正または負として扱われる距離です。各点には一意の座標が与えられ、各実数は一意の点の座標となります。[ 4 ]
座標系の典型的な例は、デカルト座標系です。平面では、 2本の垂直な直線が選択され、点の座標はそれらの直線までの符号付き距離とされます。[ 5 ] 3次元では、互いに直交する3つの平面が選択され、点の3つの座標はそれぞれの平面までの符号付き距離となります。[ 6 ]これは、 n次元ユークリッド空間内の任意の点に対してn個の座標を作成するように一般化できます。
平面のもう 1 つの一般的な座標系は極座標系です。[ 7 ]点を極として選択し、この点からの光線を極軸とします。与えられた角度θに対して、極を通る直線が 1 つあり、その極軸との角度はθです(軸から直線まで反時計回りに測定)。すると、この直線上に、与えられた数rに対して原点からの符号付き距離がrである点が 1 つ存在します。与えられた座標のペア ( r , θ ) に対しては 1 つの点がありますが、任意の点は多くの座標のペアで表されます。たとえば、( r , θ )、( r , θ + 2π )、(− r , θ + π ) はすべて同じ点の極座標です。極は、 θの任意の値に対して(0, θ )で表されます。
極座標系を3次元に拡張するには、2つの一般的な方法があります。円筒座標系では、デカルト座標系と同じ意味を持つz座標がrとθの極座標に追加され、3つ組( r、θ、z )が得られます。[ 8 ]球面座標系では、円筒座標( r、z )のペアを極座標( ρ、φ )に変換することで、3つ組( ρ、θ、φ )が得られます。[ 9 ]
平面上の点は、同次座標では ( x、y、z )の三つ組で表すことができ、ここでx / zとy / zはその点のデカルト座標です。[ 10 ]平面上の点を指定するには 2 つの座標しか必要ないため、これは「余分な」座標を導入することになりますが、このシステムは無限大を使用せずに射影平面上の任意の点を表せるという点で有用です。一般に、同次座標系とは、座標の比率のみが重要であり、実際の値は重要ではないシステムのことです。
その他の一般的な座標系には、以下のようなものがあります。
座標を用いずに曲線を記述する方法はいくつかあり、曲率や弧長などの不変量を用いた内在方程式を用いる。これらには以下のようなものがある。
座標系は、点の位置を指定するためによく使用されますが、線、平面、円、球などのより複雑な図形の位置を指定するためにも使用されることがあります。たとえば、プリュッカー座標は、空間内の線の位置を決定するために使用されます。[ 11 ]必要に応じて、記述されている図形の種類を使用して座標系の種類を区別します。たとえば、線座標という用語は、線の位置を指定するすべての座標系に使用されます。
2つの異なる幾何学的図形の座標系が、解析の観点から同等になる場合がある。その例として、射影平面上の点と線の同次座標系が挙げられる。このような場合、2つのシステムは双対的であると言われる。双対的なシステムは、一方のシステムから得られた結果を他方のシステムに引き継ぐことができるという性質を持つ。これは、これらの結果が同じ解析結果の異なる解釈にすぎないためである。これは双対性の原理として知られている。[ 12 ]
幾何学的図形を記述するための座標系は、多くの場合、複数存在します。異なる座標系間の関係は座標変換によって表され、ある座標系における座標を別の座標系における座標で表す式が得られます。例えば、平面において、デカルト座標 ( x , y ) と極座標 ( r , θ ) が同じ原点を持ち、極軸が正のx軸である場合、極座標からデカルト座標への座標変換は、 x = r cos θおよびy = r sin θで与えられます。
空間からその空間自身への全単射ごとに、2つの座標変換を関連付けることができます。
例えば、1次元の場合、マッピングが右に3だけ平行移動する場合、最初のマッピングでは原点が0から3に移動するため、各点の座標は3小さくなり、2番目のマッピングでは原点が0から-3に移動するため、各点の座標は3大きくなります。
座標系が与えられたとき、点の座標の 1 つが変化し、他の座標が一定に保たれている場合、結果として得られる曲線は座標曲線と呼ばれます。座標曲線が直線である場合、それは座標線と呼ばれます。座標曲線の一部が直線ではない座標系は、曲線座標系と呼ばれます。[ 13 ]直交座標は、曲線座標の特殊ではあるが非常に一般的なケースです。
他のすべての定数座標がゼロとなる座標線は座標軸と呼ばれ、座標を割り当てるために使用される方向付けられた線です。デカルト座標系では、すべての座標曲線は直線であるため、座標の数と同じ数の座標軸が存在します。さらに、座標軸は互いに直交しています。
極座標系は曲線座標系の一種で、座標曲線は直線または円です。ただし、座標曲線のうち1つは原点という一点に縮約され、原点は半径ゼロの円として扱われることがよくあります。同様に、球座標系や円筒座標系も、座標曲線は直線、円、または半径ゼロの円となります。
座標曲線として現れる曲線は数多くあります。例えば、放物線座標の座標曲線は放物線です。
3次元空間において、1つの座標を一定に保ち、他の2つの座標を変化させると、得られる曲面を座標曲面と呼びます。例えば、球面座標系でρを一定に保つことで得られる座標曲面は、原点を中心とする球です。3次元空間では、2つの座標曲面の交点は座標曲線です。デカルト座標系では、座標平面について話すことができます。同様に、座標超曲面は、 n次元座標系の1つの座標を固定することによって得られる( n -1)次元空間です。[ 14 ]
座標マップ、または座標チャートの概念は、多様体の理論の中心です。座標マップは、基本的に、与えられた空間の部分集合の座標系であり、各点がちょうど 1 つの座標セットを持つという性質を持ちます。より正確には、座標マップは、空間Xの開部分集合からR nの開部分集合への同相写像です。[ 15 ]空間全体に対して 1 つの一貫した座標系を提供することは、多くの場合不可能です。この場合、座標マップの集合をまとめて、空間をカバーするアトラスを形成します。このようなアトラスを備えた空間は多様体と呼ばれ、座標マップが重なる部分で構造が一貫している場合、多様体上に追加の構造を定義できます。たとえば、微分可能な多様体とは、ある座標マップから別の座標マップへの座標の変化が常に微分可能な関数である多様体です。
幾何学と運動学では、座標系は点の（線形）位置と軸、平面、剛体の角度位置を記述するために使用されます。[ 16 ]後者の場合、ノードに固定された第 2 の（通常「ローカル」と呼ばれる）座標系の向きは、第 1 の（通常「グローバル」または「ワールド」座標系と呼ばれる）座標系に基づいて定義されます。たとえば、剛体の向きは、 3 つの列に 3 つの点のデカルト座標を含む向き行列で表すことができます。これらの点は、ローカルシステムの軸の向きを定義するために使用されます。これらは、それらの軸に沿って配置された3 つの単位ベクトルの先端です。
地球全体は、位置を正確に測定する必要がある最も一般的な幾何学的空間の一つであり、そのため座標系が必要となります。ヘレニズム時代のギリシャ人以来、上記のような様々なタイプの座標系が開発されてきました。