いくつかのsの値に対する上側不完全ガンマ関数：0（青）、1（赤）、2（緑）、3（オレンジ）、4（紫）。 Mathematica 13.1 の ComplexPlot3D 関数で作成した色を使用して、複素平面上の -2-2i から 2+2i の範囲で正規化された不完全ガンマ関数 Q(2,z) をプロットします。 数学 において、上 不完全ガンマ関数 と下不完全ガンマ関数は、特定の積分 などの様々な数学的問題の解として現れる特殊関数 の一種です。
それぞれの名称は、積分定義に由来しており、ガンマ関数 と同様に定義されますが、積分範囲が異なり、「不完全」です。ガンマ関数は、0から無限大までの積分として定義されます。これに対し、下側不完全ガンマ関数は、0から可変の上限までの積分として定義されます。同様に、上側不完全ガンマ関数は、可変の下限から無限大までの積分として定義されます。
意味 上側不完全ガンマ関数は次のように定義される。 Γ （ s 、 x ） = ∫ x ∞ t s − 1 e − t d t 、 {\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,} γ （ s 、 x ） = ∫ 0 x t s − 1 e − t d t 。 {\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt.} 、s は複素数パラメータであり、s の実部は 正である。
不動産 部分積分 により、漸化式が 得られる。Γ （ s + 1 、 x ） = s Γ （ s 、 x ） + x s e − x {\displaystyle \Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}} γ （ s + 1 、 x ） = s γ （ s 、 x ） − x s e − x 。 {\displaystyle \gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.} Γ （ s ） = ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt} Γ （ s ） = Γ （ s 、 0 ） = リム x → ∞ γ （ s 、 x ） {\displaystyle \Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)} γ （ s 、 x ） + Γ （ s 、 x ） = Γ （ s ） 。 {\displaystyle \ガンマ (s,x)+\ガンマ (s,x)=\ガンマ (s)。}
複素数値への展開 実数正のs とx に対して上記で定義された下不完全ガンマ関数と上不完全ガンマ関数は、複素数x とs のほぼすべての組み合わせに対して定義される、x とs の両方に関する正則関数 に展開することができます。[ 1 ]
下側不完全ガンマ関数
正則拡張 下側不完全ガンマ 関数の漸化式を繰り返し適用すると、べき級数 展開が得られます。[ 2 ] γ （ s 、 x ） = ∑ k = 0 ∞ x s e − x x k s （ s + 1 ） ⋯ （ s + k ） = x s Γ （ s ） e − x ∑ k = 0 ∞ x k Γ （ s + k + 1 ） 。 {\displaystyle \gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.} k → ∞ のときΓ( z + k ) の絶対値 が急速に増加し、 Γ( z ) の逆数が 整関数 であるという事実から、右端の和の係数は適切に定義され、局所的にすべての複素数s とxに対して和は 一様に収束します。 ワイエルシュトラス の定理[ 3 ] γ * \displaystyle \gamma ^{*}} 4 ] γ * （ s 、 z ） := e − z ∑ k = 0 ∞ z k Γ （ s + k + 1 ） {\displaystyle \gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}} は、 z (固定されたs の場合) とs (固定されたz の場合)の両方に関して整 で あり、 [ 1 ] ハルトッグスの定理 によりC × C [ 5 ] 分解が成り立つ。 [ 1 ] γ （ s 、 z ） = z s Γ （ s ） γ * （ s 、 z ） 、 {\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z),} z とs の 両方において、かつ個別に、正則関数 として拡張する。z s \displaystyle z^{s}} Γ関数は 、最初の2つの因子が特異点 を捉えている。γ （ s 、 z ） {\displaystyle \gamma (s,z)} z = 0s が非正の整数の場合)、一方、最後の因子はそのゼロに寄与します。
多価性 複素対数 log z = log | z | + i arg z は2 πi の倍数までしか決定されないため、多価 関数となります。複素対数を含む関数は通常この性質を受け継ぎます。その中には複素べき乗 や、その分解にz s が 含まれるためγ 関数も含まれます。
多値関数の不確定性は、値の選択方法を明示する必要があるため、複雑な問題を引き起こします。これに対処するための戦略は次のとおりです。
このセクションの数式を正しく解釈するには、以下の規則に従う必要があります。特に明記されていない限り、以下のことが前提となります。
セクター 頂点がz = 0にある C Dは、 z ≠ 0 かつα − δ < arg z < α + δ zから構成される。ただし、 α はある値で、0 < δ ≤ π α は 任意に選択でき、指定されない。δ が指定されていない場合は、 π であるとみなされ、セクターは実際には平面C z = 0を起点とし、 − α 分岐切断 として機能する。注: 多くのアプリケーションやテキストでは、α は暗黙のうちに 0 とみなされ、セクターは正の実軸を中心に配置される。
支店 特に、虚部が範囲( α − δ , α + δ ) に制限される任意のセクター D 上に、一価正則対数が存在する。このような制限された対数に基づいて、z s と不完全ガンマ関数は、 D (またはC × D 。α に2 π の倍数を加えると、同じ集合D 上に相関する異なる分岐の集合が得られる。ただし、ここでの任意の文脈では、α は固定されており、関係するすべての分岐はそれに関連付けられていると仮定する。| α | < δ 主分岐 と呼ばれる。これは、正の実軸上の実数版と等しいためである。注: 多くのアプリケーションやテキストでは、公式は主分岐に対してのみ有効である。
枝間の関係 複素べき関数と下側不完全ガンマ関数の異なるブランチの値は、次の式を掛け合わせることで互いに導出できます。e 2 π 私 k s {\displaystyle e^{2\pi iks}} [ 1 ] k は適切な整数である。
分岐点付近での挙動 上記の分解は、γがz = 0付近で漸近的に 次のように振る舞うことをさらに示している。 γ （ s 、 z ） ≍ z s Γ （ s ） γ * （ s 、 0 ） = z s Γ （ s ） / Γ （ s + 1 ） = z s / s 。 {\displaystyle \gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s.}
正の実数x 、y、 sに対して 、( x 、 y ) → (0、 s ) のときx y s > 0 に対してγ ( s 、0) = 0と設定することを正当化するように思われる。しかし、複素数領域では状況がやや異なる。(a) s の実部が正であり、(b) u v の 値が有限個 の枝からのみ取られる場合に限り、 ( u 、 v ) → (0、 s ) のとき、それらは必ずゼロに収束し、 γ ( u 、 v )も同様にゼロに収束する。γ ( b ) の単一の枝 では自然に満たされるため、実部が正のs に対してγ ( s 、0) = 0 は 連続極限と なる 。また、このような連続は決して解析的なもの ではないことに注意する。
代数関係 実数γ ( s , z ) で観測されるすべての代数関係と微分方程式は 、その正則対応物にも成り立ちます。これは、実数区間で有効な正則関数間の方程式はどこでも成り立つという恒等定理 の結果です。特に、漸化式[ 2 ] ∂γ ( s , z )/ ∂z = z s −1 e − z [ 2 ]
積分表現 最後の関係式は、固定されたs に対して、γ は 正則関数z s −1 e − z の原始関数または原始関数で あることを示しています。したがって、任意の複素u 、 v ≠ 0 に対して、 ∫ u v t s − 1 e − t d t = γ （ s 、 v ） − γ （ s 、 u ） {\displaystyle \int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)} 積分経路が 被積分関数の分岐の定義域内に完全に含まれている 限り、この関係は成り立ちます。さらに、 sの実部が正である場合、 u → 0 の極限γ ( s , u ) → 0が適用され、最終的にγ [ 1 ] γ （ s 、 z ） = ∫ 0 z t s − 1 e − t d t 、 ℜ （ s ） > 0. {\displaystyle \gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re (s)>0.}
ここでは、開始点にのみ 0 が含まれる積分経路であれば、それ以外は被積分関数の分岐の定義域に限定されていれば有効です。例えば、 0 とz を結ぶ直線などがこれに該当します。
z → +∞ の極限
実数値 γ s 、x に対して次の式が成り立つ: [ 7 ] Γ （ s ） = ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t d t = リム x → ∞ γ （ s 、 x ） {\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}
s 複合体この結果は複素数s にも適用されます。まず1 ≤ Re( s ) ≤ 2 かつ1 < a < b と仮定します。すると | γ （ s 、 b ） − γ （ s 、 1 ） | ≤ ∫ 1 b | t s − 1 | e − t d t = ∫ 1 b t ℜ s − 1 e − t d t ≤ ∫ 1 b t e − t d t {\displaystyle \left|\gamma (s,b)-\gamma (s,a)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|t^{s-1}\right|e^{-t}\,dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,dt} [ ] | z s | = | z | ℜ s e − ℑ s 引数 z {\displaystyle \left|z^{s}\right|=\left|z\right|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}} a が 十分に大きい場合のみ任意に小さくなるため、γ ( s , x )は、1 ≤ Re(s) ≤ 2 のストリップ上でx → ∞[ 3 ] γ ( s , x ) = ( s − 1) γ ( s − 1, x ) − x s − 1 e − x の極限を取り、 x → ∞ およびすべてのn に対してlim x n e − x = 0 であることに注意すると、γ ( s , x ) はストリップの外側でも Γ 関数の漸化式に従う関数に収束することがわかります。 Γ （ s ） = リム x → ∞ γ （ s 、 x ） {\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)} s 、実数 x 、主成分γ
セクター別収束 ここで、u を ある固定されたδ ( α = 0 )を持つセクター| arg z | < δ < π /2からとします。γを Γ （ s ） − γ （ s 、 u ） = Γ （ s ） − γ （ s 、 | u | ） + γ （ s 、 | u | ） − γ （ s 、 u ） 。 {\displaystyle \Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u).}
上記のように、| u | | γ （ s 、 | u | ） − γ （ s 、 u ） | ≤ ∫ u | u | | z s − 1 e − z | d z = ∫ u | u | | z | ℜ s − 1 e − ℑ s 引数 z e − ℜ z d z 、 {\displaystyle \left|\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)\right|\leq \int _{u}^{|u|}\left|z^{s-1}e^{-z}\right|dz=\int _{u}^{|u|}\left|z\right|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,dz,} ここで、 γの積分表示と上記の | zs | R = | u | u と| u | ≤ R | 引数 u | R ℜ s − 1 e ℑ s | 引数 u | e − R コス 引数 u ≤ δ R ℜ s e ℑ s δ e − R コス δ = M （ R コス δ ） ℜ s e − R コス δ {\displaystyle \leq R\left|\arg u\right|R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }} M = δ (cos δ ) −Re s e Im sδ はu またはR に依存しない定数です。再び、大きなxに対する x n e − x R が ∞ に向かって増加するにつれて 0 に近づくことがわかります。合計すると、次のようになります。 Γ （ s ） = リム | z | → ∞ γ （ s 、 z ） 、 | 引数 z | < π / 2 − ϵ 、 {\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{|z|\to \infty }\gamma (s,z),\quad \left|\arg z\right|<\pi /2-\epsilon ,} s が非負整数でない 場合、 0 < ε < π /2 は任意に小さいが固定されており、γは
概要 γ （ s 、 z ） {\displaystyle \gamma (s,z)}
s に対してz 全体 。固定されたs が整数でない場合、 z に関して多価正則であり、 z = 0 に分岐点を 持つ。 各枝は固定されたz ≠0に対して s に関して有理型 であり、非正の整数sに単純極を持つ。
上側不完全ガンマ関数 上不完全ガンマ関数 については、z またはs に関する正則拡張が [ 1 ] Γ （ s 、 z ） = Γ （ s ） − γ （ s 、 z ） {\displaystyle \Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)} ( s , z )において。 γ {\displaystyle \gamma } Γ {\displaystyle \Gamma } Γ {\displaystyle \Gamma }
上記の式においてs が非正の整数である場合、差のどちらの部分も定義されず、ここでs → 0に対して展開される 極限プロセス によって欠落した値が埋められます。複素解析は 正則性 を保証します。Γ （ s 、 z ） {\displaystyle \Gamma (s,z)} 固定されたz に対して、その極限の近傍 で有界で あることが証明される。
限界を決定するために、γ * {\displaystyle \gamma ^{*}} z = 0 のe − x {\displaystyle e^{-x}} γ {\displaystyle \gamma } （ここではx 、sを 正の実数と仮定する）： γ （ s 、 x ） = ∫ 0 x t s − 1 e − t d t = ∫ 0 x ∑ k = 0 ∞ （ − 1 ） k t s + k − 1 k ! d t = ∑ k = 0 ∞ （ − 1 ） k x s + k k ! （ s + k ） = x s ∑ k = 0 ∞ （ − x ） k k ! （ s + k ） {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,x)&=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\,dt=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt\\[1ex]&=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}\end{aligned}}} [ 4 ] γ * （ s 、 x ） = ∑ k = 0 ∞ （ − x ） k k ! Γ （ s ） （ s + k ） 、 {\displaystyle \gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}},} γ * {\displaystyle \gamma ^{*}} x (および非正の整数でないすべての複素数s ) に対して収束します。
実数値への制約が解除されたことで、このシリーズは以下のように拡張できるようになった。 γ （ s 、 z ） − 1 s = − 1 s + z s ∑ k = 0 ∞ （ − z ） k k ! （ s + k ） = z s − 1 s + z s ∑ k = 1 ∞ （ − z ） k k ! （ s + k ） 、 ℜ （ s ） > − 1 、 s ≠ 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}&=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}\\[1ex]&={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k!(s+k)}},&\Re (s)>-1,\,s\neq 0.\end{aligned}}}
s → 0 の[ 9 ] z s − 1 s → ln （ z ） 、 Γ （ s ） − 1 s = 1 s − γ + O （ s ） − 1 s → − γ 、 {\displaystyle {\frac {z^{s}-1}{s}}\to \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\to -\gamma ,} γ {\displaystyle \gamma } ここで、はオイラー・マスケローニ定数で ある）ので、 Γ （ 0 、 z ） = リム s → 0 （ Γ （ s ） − 1 s − （ γ （ s 、 z ） − 1 s ） ） = − γ − ln （ z ） − ∑ k = 1 ∞ （ − z ） k k （ k ! ） {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (0,z)&=\lim _{s\to 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-\left(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}}\right)\right)\\&=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k\,(k!)}}\end{aligned}}} は、 s → 0指数積分 としても知られています。E 1 （ z ） {\displaystyle E_{1}(z)} 10 ]
漸化式により、Γ （ − n 、 z ） {\displaystyle \Gamma (-n,z)} n については、この結果から導出できる。[ 11 ] Γ （ − n 、 z ） = 1 n ! （ e − z z n ∑ k = 0 n − 1 （ − 1 ） k （ n − k − 1 ） ! z k + （ − 1 ） n Γ （ 0 、 z ） ） {\displaystyle \Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+\left(-1\right)^{n}\Gamma (0,z)\right)} s およびz ≠ 0 に対して、z とs の両方に関して正則であることが証明されます。
Γ （ s 、 z ） {\displaystyle \Gamma (s,z)}
s に対してz 全体 。固定されたs が ゼロではなく正の整数でない場合、 z に関して多価正則であり、 z = 0 に分岐点を 持つ。等しいΓ （ s ） {\displaystyle \Gamma (s)} s の 実部が正でz = 0（ s 私 、 z 私 ） → （ s 、 0 ） {\displaystyle (s_{i},z_{i})\to (s,0)} 解析的な拡張 ではない（実数s < 0では成り立た ない ！）。 固定されたz ≠ 0 に対して、各枝全体で s 内に存在する。
特別価格 Γ （ s + 1 、 1 ） = ⌊ e s ! ⌋ e {\displaystyle \Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}} s が正の整数 である場合、Γ （ s 、 x ） = （ s − 1 ） ! e − x ∑ k = 0 s − 1 x k k ! {\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}} s が正の整数 である場合、[ 12 ] Γ （ s 、 0 ） = Γ （ s ） 、 ℜ （ s ） > 0 {\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0} Γ （ 1 、 x ） = e − x {\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}} γ （ 1 、 x ） = 1 − e − x {\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}} Γ （ 0 、 x ） = − エイ （ − x ） {\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)} x > 0 {\displaystyle x>0} Γ （ s 、 x ） = x s E 1 − s （ x ） {\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)} Γ （ 1 2 、 x ） = π erfc （ x ） {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)} γ （ 1 2 、 x ） = π erf （ x ） {\displaystyle \gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)} ここ、エイ {\displaystyle \operatorname {Ei} } は指数積分 です。E n {\displaystyle \operatorname {E} _{n}} 一般化指数積分で あり、erf {\displaystyle \operatorname {erf} } は誤差関数 であり、erfc {\displaystyle \operatorname {erfc} } は相補誤差関数 である。erfc （ x ） = 1 − erf （ x ） {\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}
漸近挙動 γ （ s 、 x ） x s → 1 s {\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\to {\frac {1}{s}}} x → 0 {\displaystyle x\to 0} Γ （ s 、 x ） x s → − 1 s {\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}} x → 0 {\displaystyle x\to 0} ℜ （ s ） < 0 {\displaystyle \Re (s)<0} s の場合、 Γ( s , x ) ~ − x s s の誤差は、 s ≠ −1 の場合はO ( x min{ s + 1, 0} )s = −1 の場合はO (ln( x ))のオーダー Γ （ s 、 x ） ～ Γ （ s ） − ∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n x s + n n ! （ s + n ） {\displaystyle \Gamma (s,x)\sim \Gamma (s)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{s+n}}{n!(s+n)}}} 漸近 級数としてx → 0 + {\displaystyle x\to 0^{+}} s ≠ 0 、 − 1 、 − 2 、 … {\displaystyle s\neq 0,-1,-2,\dots } 13 ] Γ （ − N 、 x ） ～ C N + （ − 1 ） N + 1 N ! ln x − ∑ n = 0 、 n ≠ N ∞ （ − 1 ） n x n − N n ! （ n − N ） {\displaystyle \Gamma (-N,x)\sim C_{N}+{\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\ln x-\sum _{n=0,n\neq N}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n-N}}{n!(n-N)}}} 漸近 級数としてx → 0 + {\displaystyle x\to 0^{+}} N = 1 、 2 、 … {\displaystyle N=1,2,\dots } C N = （ − 1 ） N + 1 N ! （ γ − ∑ n = 1 N 1 n ） {\textstyle C_{N}={\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\left(\gamma -\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)} γ {\displaystyle \gamma } はオイラー・マスケローニ定数 である。[ 13 ] γ （ s 、 x ） → Γ （ s ） {\displaystyle \gamma (s,x)\to \Gamma (s)} x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } 14 ] Γ （ s 、 x ） x s − 1 e − x → 1 {\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\to 1} x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } [ 15 ] もしs {\displaystyle s} Γ （ s 、 z ） ～ z s − 1 e − z ∑ k = 0 Γ （ s ） Γ （ s − k ） z − k {\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}} 漸近 級数として| z | → ∞ {\displaystyle |z|\to \infty } | 引数 z | < 3 2 π {\displaystyle \left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi } 16 ]
下側のガンマ関数は、べき級数展開を用いて評価できます。[ 17 ] γ （ s 、 z ） = ∑ k = 0 ∞ z s e − z z k s （ s + 1 ） … （ s + k ） = z s e − z ∑ k = 0 ∞ z k s k + 1 ¯ {\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)\dots (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}} s k + 1 ¯ {\displaystyle s^{\overline {k+1}}} はポッホハンマーのシンボル です。
別の拡張は γ （ s 、 z ） = ∑ k = 0 ∞ （ − 1 ） k k ! z s + k s + k = z s s M （ s 、 s + 1 、 − z ） 、 {\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),} M 合流型超幾何関数 である。
z の実部が正の場合、 γ （ s 、 z ） = s − 1 z s e − z M （ 1 、 s + 1 、 z ） {\displaystyle \gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)} M （ 1 、 s + 1 、 z ） = 1 + z （ s + 1 ） + z 2 （ s + 1 ） （ s + 2 ） + z 3 （ s + 1 ） （ s + 2 ） （ s + 3 ） + ⋯ {\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }
再び合流超幾何関数 を用い、クンマーの恒等式を用いると、 Γ （ s 、 z ） = e − z U （ 1 − s 、 1 − s 、 z ） = z s e − z Γ （ 1 − s ） ∫ 0 ∞ e − u u s （ z + u ） d u = e − z z s U （ 1 、 1 + s 、 z ） = e − z ∫ 0 ∞ e − u （ z + u ） s − 1 d u = e − z z s ∫ 0 ∞ e − z u （ 1 + u ） s − 1 d u 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1{-}s,1{-}s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1{+}s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}du\\&=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}du.\end{aligned}}}
数値計算を行う際には、ガウスの連分数展開 が有用な式となる。 γ （ s 、 z ） = z s e − z s − s z s + 1 + z s + 2 − （ s + 1 ） z s + 3 + 2 z s + 4 − （ s + 2 ） z s + 5 + 3 z s + 6 − ⋱ 。 {\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}
この連分数は、s が負の整数でない限り、すべての複素数zに対して収束する。
上側のガンマ関数は連続分数を持つ[ 18 ] Γ （ s 、 z ） = z s e − z z + 1 − s 1 + 1 z + 2 − s 1 + 2 z + 3 − s 1 + ⋱ {\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}} Γ （ s 、 z ） = z s e − z 1 + z − s + s − 1 3 + z − s + 2 （ s − 2 ） 5 + z − s + 3 （ s − 3 ） 7 + z − s + 4 （ s − 4 ） 9 + z − s + ⋱ {\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}
乗法定理 以下の乗法定理 が成り立つ。 Γ （ s 、 z ） = 1 t s ∑ 私 = 0 ∞ （ 1 − 1 t ） 私 私 ! Γ （ s + 私 、 t z ） = Γ （ s 、 t z ） − （ t z ） s e − t z ∑ 私 = 1 ∞ （ 1 t − 1 ） 私 私 L 私 − 1 （ s − 私 ） （ t z ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)\\&=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).\end{aligned}}}
ソフトウェア実装 不完全ガンマ関数は、様々な数式処理システム で利用可能です。
ただし、直接入手できない場合でも、スプレッドシート （および数式処理ソフトウェア）に一般的に含まれる関数を使用して、不完全な関数値を計算できます。たとえば、 Excelでは、 ガンマ関数 とガンマ分布 関数を組み合わせて計算できます。
下位不完全関数:γ （ s 、 x ） {\displaystyle \gamma (s,x)} = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)。 上側の不完全関数:Γ （ s 、 x ） {\displaystyle \Gamma (s,x)} = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE))。 これらはガンマ分布の累積分布関数 の定義から導かれる。
Python では、Scipy ライブラリが不完全ガンマ関数の実装を提供していますが、最初の引数に負の値を指定することはできません。mpmathライブラリのscipy.special関数は、すべての複素数の引数をサポートしています。gammainc
正則化ガンマ関数とポアソン確率変数 関連する2つの関数は、正則化ガンマ関数である。 P （ s 、 x ） = γ （ s 、 x ） Γ （ s ） 、 Q （ s 、 x ） = Γ （ s 、 x ） Γ （ s ） = 1 − P （ s 、 x ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}P(s,x)&={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},\\[1ex]Q(s,x)&={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).\end{aligned}}} P （ s 、 x ） {\displaystyle P(s,x)} は、形状パラメータ を持つガンマ確率変数 の累積分布関数 です。s {\displaystyle s} スケールパラメータ 1。
いつs {\displaystyle s} Q （ s + 1 、 λ ） {\displaystyle Q(s+1,\lambda )} はポアソン確率変数 の累積分布関数です。X {\displaystyle X} P o 私 （ λ ） {\displaystyle \mathrm {Poi} (\lambda )} 教授 （ X ≤ s ） = ∑ 私 ≤ s e − λ λ 私 私 ! = Γ （ s + 1 、 λ ） Γ （ s + 1 ） = Q （ s + 1 、 λ ） 。 {\displaystyle \Pr(X\leq s)=\sum _{i\leq s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s+1,\lambda )}{\Gamma (s+1)}}=Q(s+1,\lambda ).}
この公式は、部分積分を繰り返し行うことで導き出すことができる。
P （ s 、 x ） {\displaystyle P(s,x)} Q （ s 、 x ） {\displaystyle Q(s,x)} scipy ではgammainc[ 19 ] gammaincc[ 20 ]
偏微分 上記の積分表現を用いると、上不完全ガンマ関数の導関数はΓ （ s 、 x ） {\displaystyle \Gamma (s,x)} x に関して ∂ Γ （ s 、 x ） ∂ x = − x s − 1 e − x {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}} s {\displaystyle s} [ 21 ] ∂ Γ （ s 、 x ） ∂ s = ln x Γ （ s 、 x ） + x T （ 3 、 s 、 x ） {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)} 2階微分 は ∂ 2 Γ （ s 、 x ） ∂ s 2 = ln 2 x Γ （ s 、 x ） + 2 x [ ln x T （ 3 、 s 、 x ） + T （ 4 、 s 、 x ） ] {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x\left[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)\right]} T （ m 、 s 、 x ） {\displaystyle T(m,s,x)} これは、Meijer G 関数 の特殊なケースです。T （ m 、 s 、 x ） = G m − 1 、 m m 、 0 （ 0 、 0 、 … 、 0 s − 1 、 − 1 、 … 、 − 1 | x ） 。 {\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).} すべての 連続する導関数を表現するために使用できるため、独自の内部閉鎖 特性を持っています。一般に、 ∂ m Γ （ s 、 x ） ∂ s m = ln m x Γ （ s 、 x ） + m x ∑ n = 0 m − 1 P n m − 1 ln m − n − 1 x T （ 3 + n 、 s 、 x ） {\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)} P j n {\displaystyle P_{j}^{n}} ポッホハンマー記号 で定義される順列は次 のとおりです。 P j n = （ n j ） j ! = n ! （ n − j ） ! 。 {\displaystyle P_{j}^{n}={\binom {n}{j}}j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.} ∂ T （ m 、 s 、 x ） ∂ s = ln x T （ m 、 s 、 x ） + （ m − 1 ） T （ m + 1 、 s 、 x ） {\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)} ∂ T （ m 、 s 、 x ） ∂ x = − T （ m − 1 、 s 、 x ） + T （ m 、 s 、 x ） x {\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {T(m-1,s,x)+T(m,s,x)}{x}}} T （ m 、 s 、 x ） {\displaystyle T(m,s,x)} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} T （ m 、 s 、 z ） = − （ − 1 ） m − 1 （ m − 2 ） ! d m − 2 d t m − 2 [ Γ （ s − t ） z t − 1 ] | t = 0 + ∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n z s − 1 + n n ! （ − s − n ） m − 1 {\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {\left(-1\right)^{m-1}}{(m-2)!}}\left.{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}z^{s-1+n}}{n!\left(-s-n\right)^{m-1}}}} s は 負の整数でもゼロでもない という理解のもとで。このような場合、極限を用いる必要があります。結果| z | ≥ 1 {\displaystyle |z|\geq 1} 解析接続 によって得られる。この関数のいくつかの特殊なケースは簡略化できる。例えば、T （ 2 、 s 、 x ） = Γ （ s 、 x ） / x {\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x} x T （ 3 、 1 、 x ） = E 1 （ x ） {\displaystyle x\,T(3,1,x)=\mathrm {E} _{1}(x)} E 1 （ x ） {\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)} は指数積分 です。これらの導関数と関数T （ m 、 s 、 x ） {\displaystyle T(m,s,x)} [ 22 ] [ 23 ] ∫ x ∞ t s − 1 ln m t e t d t = ∂ m ∂ s m ∫ x ∞ t s − 1 e t d t = ∂ m ∂ s m Γ （ s 、 x ） {\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)} ラプラス変換 やメリン変換 といった膨大な種類の変換にまで拡張または一般化することができます。 コンピュータ代数システム と組み合わせることで、特殊関数の活用は、特に実用的な工学応用で遭遇する定積分を解くための強力な手法となります（詳細は「記号積分」を参照）。
不定積分と定積分 以下の不定積分は、部分積分法 （いずれの場合も積分定数は 省略）を用いることで容易に得られる。 ∫ x b − 1 γ （ s 、 x ） d x = 1 b （ x b γ （ s 、 x ） − γ （ s + b 、 x ） ） 、 ∫ x b − 1 Γ （ s 、 x ） d x = 1 b （ x b Γ （ s 、 x ） − Γ （ s + b 、 x ） ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{b-1}\gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),\\[1ex]\int x^{b-1}\Gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).\end{aligned}}} フーリエ変換 によって結び付けられています。 ∫ − ∞ ∞ γ （ s 2 、 z 2 π ） （ z 2 π ） s 2 e − 2 π 私 k z d z = Γ （ 1 − s 2 、 k 2 π ） （ k 2 π ） 1 − s 2 。 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}dz={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.} ( Gradshteyn et al. 2015 、§7.642) の適切な特殊化によって導かれる。
注記 1 2 3 4 5 6 "DLMF: §8.2 定義と基本特性 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第 8 章 不完全ガンマ関数と関連関数" . dlmf.nist.gov . 1 2 3 "DLMF: §8.8 漸化式と導関数 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第 8 章 不完全ガンマ関数と関連関数" . dlmf.nist.gov . 1 2 ドナルド・E・マーシャル（2009年秋）。 「複素解析」 （PDF） 。 数学534 （学生用配布資料）。ワシントン大学。p.56の定理3.9。 2011年5月16日に オリジナル （PDF）からアーカイブ。 2011年 4月23日 に取得 。 1 2 "DLMF: §8.7 級数展開 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第 8 章 不完全ガンマ関数および関連関数" . dlmf.nist.gov . ↑ Paul Garrett. "Hartogsの定理：分離解析性は結合を意味する" (PDF) . cse.umn.edu . 2023年 12月21日 取得 . ↑ C. Teleman. "Riemann Surfaces" (PDF) . berkeley.edu . 2023年 12月21日 取得 . ↑ "DLMF: §5.2 定義 ‣ 特性 ‣ 第 5 章 ガンマ関数" . dlmf.nist.gov . ↑ "DLMF: §4.4 特殊な値と極限 ‣ 対数、指数、べき乗 ‣ 第 4 章 基本関数" . dlmf.nist.gov . ↑ 最後の式を参照。 ↑ "DLMF: §8.4 特殊値 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第 8 章 不完全ガンマ関数および関連関数" . dlmf.nist.gov . ↑ 「DLMF: 8.4 特殊値」 。 ↑ Weisstein, Eric W. 「不完全ガンマ関数」 . MathWorld . 1 2 Bender & Orszag (1978). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers . Springer. Bibcode : 1978amms.book.....B . ↑ "DLMF: §8.11 漸近近似と展開 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第 8 章 不完全ガンマ関数と関連関数" . dlmf.nist.gov . ↑ Temme, NM (1979). "不完全ガンマ関数の漸近展開". SIAM Journal on Mathematical Analysis . 10 (4): 757– 766. doi : 10.1137/0510071 . ↑ "DLMF: §8.11 漸近近似と展開 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第 8 章 不完全ガンマ関数と関連関数" . dlmf.nist.gov . ↑ "DLMF: §8.11 漸近近似と展開 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第 8 章 不完全ガンマ関数と関連関数" . dlmf.nist.gov . ↑ アブラモヴィッツとステガンp. 263、6.5.31 ↑ "scipy.special.gammainc — SciPy v1.11.4 マニュアル" . docs.scipy.org . ↑ "scipy.special.gammaincc — SciPy v1.11.4 マニュアル" . docs.scipy.org . ↑ KO Geddes 、ML Glasser、RA Moore、TC Scott、「特殊関数の微分による初等関数を含む定積分のクラスの評価」 、AAECC（応用代数工学、通信および計算）、第1巻、（1990）、pp. 149–165、↑ Milgram, MS (1985). "一般化積分指数関数" . Math. Comp . 44 (170): 443– 458. doi : 10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4 . MR 0777276 . ↑ Mathar (2009). "Numerical Evaluation of the Oscillatory Integral over exp(i*pi*x)*x^(1/x) between 1 and infinity". arXiv : 0912.3844 [ math.CA ].
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}&=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}\\[1ex]&={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k!(s+k)}},&\Re (s)>-1,\,s\neq 0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a45d9dcd150239034fd6f918d3923432d72b54e4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(s,x)&={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},\\[1ex]Q(s,x)&={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec55e479ed11354fd61908d46ba0982e317b45f)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x\left[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442e90c89d5cb3dcacb43c280856a293ea7ce2bb)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{b-1}\gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),\\[1ex]\int x^{b-1}\Gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9168e1bcd7e2356ed5db1ef1df7ca3f54e39e4e5)
