ダニエル積分

数学において、ダニエル積分は、学生が通常最初に紹介されるリーマン積分などのより初歩的なバージョンの概念を一般化した積分の一種です。ルベーグ積分の従来の定式化の主な難点の 1 つは、積分に関する有用な結果を得る前に、実用的な測度理論を最初に開発する必要があることです。ただし、パーシー J. ダニエル(1918) によって開発された代替アプローチがあり、この欠点はなく、特に積分が高次元空間に一般化され、スティルチェス積分 などのさらなる一般化が行われるため、従来の定式化に比べていくつかの重要な利点があります。基本的な考え方は、積分の 公理化です。

まず、ある集合 上で定義され、次の 2 つの公理を満たす有界実関数 (基本関数と呼ばれる) の族を選択します。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle H}$加算とスカラー乗算の通常の演算を備えた線形空間です。
• 関数が にある場合、その絶対値も にあります。${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |h|:x\mapsto |h(x)|}$

さらに、Hのすべての関数hには実数が割り当てられており、これはhの基本積分と呼ばれ、次の 3 つの公理を満たします。 ${\displaystyle Ih}$

直線性

hとk が両方ともHに属し、 とが任意の 2 つの実数である場合、 となります。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik}$

非否定性

すべて の場合、 となります。${\displaystyle h(x)\geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Ih\geq 0}$

連続

が内のすべての に対して 0 に収束する内の関数の非増加シーケンス (つまり ) である場合、 となります。${\displaystyle h_{n}}$${\displaystyle h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots }$${\displaystyle H}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Ih_{n}\to 0}$

または（より一般的には）

がにおける関数の増加列 (すなわち ) であり、におけるすべての に対して h に収束する場合、 となります。${\displaystyle h_{n}}$${\displaystyle h_{1}\leq \cdots \leq h_{k}\leq \cdots }$${\displaystyle H}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Ih_{n}\to Ih}$

つまり、基本関数の空間上で 連続した非負の線形関数を定義します。 ${\displaystyle I}$

これらの基本関数とその基本積分は、これらの公理を満たす関数の任意の集合と、これらの関数上の積分の定義とすることができます。すべてのステップ関数の族は、明らかに上記の基本関数の公理を満たします。ステップ関数の族の基本積分を、ステップ関数の下の (符号付き) 領域として定義すると、明らかに基本積分の公理を満たします。ステップ関数を基本関数として使用して、後述するダニエル積分の構築を適用すると、ルベーグ積分と同等の積分の定義が生成されます。すべての連続関数の族を基本関数として使用し、従来のリーマン積分を基本積分として使用することも可能ですが、この場合、ルベーグの定義と同等の積分が生成されます。同じことを行いますが、リーマン–スティルチェス積分を、適切な有界変動関数とともに使用すると、ルベーグ–スティルチェス積分と同等の積分の定義が得られます。

測度ゼロの集合は、次のように基本関数の観点から定義できます。のサブセットである集合が測度ゼロの集合であるとは、任意の に対して、 および上でとなるような、 H内の非負基本関数の非減少列が存在する場合です。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle h_{p}(x)}$${\displaystyle Ih_{p}<\varepsilon }$${\textstyle \sup _{p}h_{p}(x)\geq 1}$${\displaystyle Z}$

ある集合が完全測度の集合と呼ばれるのは、その補集合が に対する測度 0 の集合である場合です。ある性質が完全測度の集合のあらゆる点（または、測度 0 の集合を除くあらゆる場所）で成り立つ場合、その性質はのほぼあらゆる場所で成り立つと言えます。 ${\displaystyle X}$

結果は同じですが、著者によって積分の作り方が異なります。一般的なアプローチは、選択した基本関数に基づいて、より大きな関数のクラスを定義することから始めることです。クラス は、積分の集合が有界となるような、基本関数の非減少列の極限であるすべての関数の族です。の関数の積分は次のように定義されます。 ${\displaystyle L^{+}}$${\displaystyle h_{n}}$${\displaystyle Ih_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{+}}$

${\displaystyle If=\lim _{n\to \infty }Ih_{n}}$

この積分の定義は明確に定義されている、つまりシーケンスの選択に依存しないことがわかります。 ${\displaystyle h_{n}}$

しかし、このクラスは一般に、負の数による減算やスカラー乗算に対して閉じられていないため、これらの特性を持つより広いクラスの関数を定義して、さらに拡張する必要があります。 ${\displaystyle L^{+}}$${\displaystyle L}$

ロイデンの著書で説明されているダニエル（1918）の方法は、一般関数の上積分を次のよう に定義するものである。${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle I^{+}\phi =\inf _{f\geq \phi }If.}$

下積分も同様に定義され、簡単に言うと となる。最終的に は上積分と下積分が有限で一致する関数から成り、 ${\displaystyle I^{-}\phi =-I^{+}(-\phi )}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \int _{X}\phi (x)dx=I^{+}\phi =I^{-}\phi .}$

フレデリック・リースの発見に基づく別の方法が、シロフとグレヴィッチの著書および数学百科事典の記事で採用されています。ここで、 は、クラス のいくつかの関数について、差分 として (前のセクションで定義) の完全な測度の集合上で表すことができる関数で構成されます。関数の積分は次のように定義できます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \phi =f-g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L^{+}}$${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \int _{X}\phi (x)dx=If-Ig\,}$

もう一度、この積分は明確に定義されている、つまり をおよびに分解することに依存しないことを示すことができます。これは元のダニエル積分と同等であることがわかります。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

ルベーグの優勢収束定理、リース・フィッシャーの定理、ファトゥの補題、フビニの定理など、ルベーグ積分の伝統的な理論における重要な定理のほとんどすべても、この構成を使用して容易に証明できます。その特性は、伝統的なルベーグ積分と同一です。

集合と関数の間には自然な対応があるため、ダニエル積分を使って測度理論を構築することも可能です。ある集合の特性関数 を取ると、その積分をその集合の測度として取ることができます。ダニエル積分に基づくこの測度の定義は、従来のルベーグ測度と同等であることが示せます。 ${\displaystyle \chi (x)}$

一般積分を構成するこの方法は、特に関数解析の分野で、伝統的なルベーグの方法に比べていくつかの利点があります。上で指摘したように、通常の有限値ステップ関数を基本関数として選択する場合、ルベーグの構成とダニエルの構成は同等です。ただし、積分の定義をより複雑な領域に拡張しようとすると (たとえば、線形関数の積分を定義しようとすると)、ルベーグの構成を使用すると実際的な困難に遭遇しますが、ダニエルのアプローチではそれが緩和されます。

ポーランドの数学者ヤン・ミクシンスキーは、絶対収束級数の概念を用いて、ダニエル積分のより自然な代替定式化を行った。彼の定式化は、ボホナー積分（バナッハ空間に値を取る写像のルベーグ積分）に適用できる^{[要出典] 。ミクシンスキーの補題により、}空集合に言及することなく積分を定義できる。彼はまた、ダニエル積分を用いて、多重ボホナー積分の変数変換定理とボホナー積分に対するフビニの定理を証明した。アスプルンドとブンガルトの著書では、実数値関数に対するこのアプローチが明快に扱われている。また、ダニエル–ミクシンスキーのアプローチを用いた 抽象的なラドン–ニコディムの定理の証明も提供されている。

• ルベーグ積分
• リーマン積分
• ルベーグとスティルチェスの統合

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• Haberman, Shelby J. (1996)。「ダニエル積分の構築」。Advanced Statistics。ニューヨーク: Springer。pp. 199–263。ISBN 0-387-94717-5。
• ロイデン、HL (1988)。「ダニエル積分」。実解析（第3版）。イングルウッドクリフス：プレンティスホール。pp. 419–434。ISBN 0-02-404151-3。
• ルーミス、リン H. (1953)、「第 3 章: 積分」、抽象調和解析入門、D. ヴァン ノストランド、pp. 29–47、hdl : 2027/uc1.b4250788
• Shilov, GE; Gurevich, BL (1978)。積分、測定、微分：統一的アプローチ。Silverman, Richard A. 訳。Dover Publications。ISBN 0-486-63519-8。
• アスプルンド、エドガー、バンガート、ルッツ (1966)。統合への第一歩。ニューヨーク：ホルト、ライナーハート、ウィンストン。
• ソボレフ、VI (2001) [1994]、「ダニエル積分」、数学百科事典、EMSプレス
• テイラー、AE（1985）[1965]。関数と積分の一般理論。ドーバー。ISBN 0-486-64988-1。