険しい道

確率解析において、ラフパスは滑らかなパスの概念を一般化したもので、ウィーナー過程などの古典的な不規則信号によって駆動される制御微分方程式の堅牢な解理論を構築することができます。この理論は1990年代にテリー・ライオンズによって開発されました。^{[1] [2] [3]} この理論についてはいくつかの説明があります。^{[4] [5] [6] [7]}

ラフパス理論は、高度に振動する非線形システム間の相互作用を捉え、正確にすることに重点を置いています。これは、LC Young の調和解析、KT Chen の幾何代数、H. Whitney の Lipschitz 関数理論、および確率解析の中心的なアイデアに基づいています。その概念と一様推定値は、純粋数学、応用数学、およびそれ以外の分野でも広く応用されています。これは、マルチンゲール特性や予測可能性などの特定の確率的特性を使用せずに、確率解析における多くの古典的な結果 (Wong-Zakai、Stroock-Varadhan のサポート定理、確率フロー構築など) を比較的簡単に回復するためのツールボックスを提供します。この理論は、伊藤の SDE 理論をセミマルチンゲール設定をはるかに超えて拡張します。数学の核心は、滑らかだが潜在的に高度に振動する多次元のパスを効果的に記述し、非線形動的システムへの影響を正確に予測するという課題です。シグネチャは、パスのモノイド（連結下）から自由テンソル代数の群のような要素への準同型写像です。これは、パスの段階的な要約を提供します。この非可換変換は、適切なヌル変更までパスに対して忠実です。パスのこれらの段階的な要約または特徴は、大まかなパスの定義の核心であり、局所的には、パスの細かい構造を見る必要性を排除します。テイラーの定理は、滑らかな関数が、局所的には、特定の特殊関数（その点に基づく単項式）の線形結合として表現される方法を説明しています。座標反復積分（シグネチャの項）は、類似した方法でストリームまたはパスを記述できる、より微妙な特徴の代数を形成します。これにより、大まかなパスの定義が可能になり、パス上の連続関数の自然な線形「基底」が形成されます。 ${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle \mathrm {d} y_{t}=f(y_{t})\,\mathrm {d} x_{t},y_{0}=a}$${\displaystyle x}$

マーティン・ヘアラーはラフパスを用いてKPZ方程式の堅牢な解理論を構築した。^{[8]その後、彼は}規則性構造理論として知られる一般化を提案し^{[9]、 2014年に}フィールズ賞を受賞した。

ラフパス理論は制御された微分方程式を理解することを目的としている

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}.}$

ここで、制御、すなわちバナッハ空間の値をとる連続パスは、微分可能でも有界変動でなくてもよい。制御パスの一般的な例は、ウィーナー過程のサンプルパスである。この場合、前述の制御微分方程式は確率微分方程式として解釈でき、" " に対する積分は伊藤の意味で定義できる。しかし、伊藤の微積分は の意味で定義され、特にパスワイズ定義ではない。ラフパスは、確率微分方程式のほぼ確実なパスワイズ定義を与える。ラフパスの解の概念は、 が -変動計量（以下で説明） でに収束する滑らかなパスのシーケンスである場合、 の意味で適切であり、${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}^{j}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle X(n)_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X(n)_{t}^{j};}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j},}$

は-変分計量で収束します。この連続性と解の決定論的性質により、Freidlin-Wentzellの大偏差理論^[10]や確率フローに関する結果など、確率解析における多くの結果を単純化および強化することが可能になります。 ${\displaystyle Y(n)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p}$

実際、ラフパス理論は伊藤・ストラトノビッチの計算の範囲をはるかに超えており、ガウス過程やマルコフ過程などの非セミマルチンゲール経路によって駆動される微分方程式を理解することを可能にします。^[11]

ラフパスは、切断された自由テンソル代数（より正確には、自由テンソル代数に埋め込まれた自由冪零群）の値を取るパスであり、このセクションでは簡単に説明します。 のテンソル冪（ ）は、射影ノルムを備えています（位相テンソル積を参照してください。ラフパス理論は、実際にはより一般的なクラスのノルムに有効です）。を切り捨てられたテンソル代数と します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes n}}$${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$${\displaystyle T^{(n)}(\mathbb {R} ^{d})}$

${\displaystyle T^{(n)}(\mathbb {R} ^{d})=\bigoplus _{i=0}^{n}{\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes i},}$慣例により、.${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d})^{\otimes 0}\cong \mathbb {R} }$

を単体とする。を連続写像とする。 を-テンソルへの射影を表すものとし、 についても同様とする。-変分計量は次のように定義される。 ${\displaystyle \triangle _{0,1}}$${\displaystyle \{(s,t):0\leq s\leq t\leq 1\}}$${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \triangle _{0,1}\to T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle j}$${\displaystyle \mathbf {Y} ^{j}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle d_{p}\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right):=\max _{j=1,\ldots ,\lfloor p\rfloor }\sup _{0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1}\left(\sum _{i=0}^{n-1}\Vert \mathbf {X} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}-\mathbf {Y} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}\Vert ^{\frac {p}{j}}\right)^{\frac {j}{p}}}$

ここで、上限はのすべての有限分割に対して取られます。 ${\displaystyle \{0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1\}}$${\displaystyle [0,1]}$

連続関数は、有限の総変化を持つパスのシーケンスが存在し、 ${\displaystyle \mathbf {X} :\triangle _{0,1}\rightarrow T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle X(1),X(2),\ldots }$

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right)}$

は-変分計量において に収束する。^[12]${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

ラフパス理論における中心的な結果は、ライオンズの普遍極限定理である。^[1]この結果の（弱い）バージョンは次のようになる。 を有限の総変化を持つパスの列とし、 ${\displaystyle X(n)}$

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\ldots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right)}$の粗い経路揚力を表します。${\displaystyle X(n)}$

が -変分計量でとして-幾何ラフパスに収束すると仮定する。が少なくとも有界導関数を持ち、- 次導関数が何らかの に対して -ヘルダー連続である関数であるとする。が微分方程式の解であると する。${\displaystyle \mathbf {X} (n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle (V_{j}^{i})_{j=1,\ldots ,d}^{i=1,\ldots ,n}}$${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha >p-\lfloor p\rfloor }$${\displaystyle Y(n)}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y(n)_{t})\,\mathrm {d} X(n)_{t}^{j}}$

そして次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbf {Y} (n)}$

${\displaystyle \mathbf {Y} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\ldots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} Y(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).}$

次に、 -変分計量で-幾何粗パスに収束します。 ${\displaystyle \mathbf {Y} (n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

さらに、微分方程式の解は ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}\qquad (\star )}$

幾何学的な大まかな経路によって駆動されます。 ${\displaystyle \mathbf {X} }$

この定理は、 RDE の解写像 (別名、伊藤-リヨン写像) が- 変分位相において連続 (実際は局所的にリプシッツ) であると解釈できます。したがって、ラフパス理論は、駆動信号をラフパスとして見ることで、古典的な確率微分方程式やそれ以降の方程式に対して堅牢な解理論が得られることを示しています。 ${\displaystyle \Phi :G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{d})\to G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{e})}$${\displaystyle (\star )}$${\displaystyle p}$

を多次元標準ブラウン運動とする。ストラトノビッチ積分をと表す。すると ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle \mathbf {B} _{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\circ \mathrm {d} B_{s_{1}},\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\circ \mathrm {d} B_{s_{1}}\otimes \circ \mathrm {d} B_{s_{2}}\right)}$

は任意の に対する -幾何的粗経路です。この幾何的粗経路はストラトノビッチブラウン粗経路と呼ばれます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle 2<p<3}$

より一般的には、を多次元分数ブラウン運動（座標成分が独立な分数ブラウン運動である過程）とし、 をとする。が の - 番目の2項区分線形補間である場合、 ${\displaystyle B_{H}(t)}$${\displaystyle H>{\frac {1}{4}}}$${\displaystyle B_{H}^{m}(t)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle B_{H}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} _{H}^{m}(s,t)=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\right.&\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1}),\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\,\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{2}),\\&\left.\int _{s<s_{1}<s_{2}<s_{3}<t}\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{2})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{3})\right)\end{aligned}}}$

は、-変分計量において、ほぼ確実に、に対して -幾何粗パスに収束します。^[13]この極限幾何粗パスは、ハーストパラメータ を持つ分数ブラウン運動によって駆動される微分方程式を理解するために使用できます。 のとき、2項近似に沿った上記の極限は、-変分では収束しないことがわかります。ただし、粗パスリフトを示す限り、もちろん微分方程式を理解することができます。このような（一意でない）リフトの存在は、Lyons–Victoir拡張定理の結果です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\frac {1}{H}}<p}$${\displaystyle H>{\frac {1}{4}}}$${\displaystyle 0<H\leq {\frac {1}{4}}}$${\displaystyle p}$

一般に、を -値の確率過程とします。ほぼ確実に、 ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle (s,t)\rightarrow \mathbf {X} _{s,t}^{j}\in {\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes j}}$

${\displaystyle \mathbf {X} :(s,t)\rightarrow (1,X_{t}-X_{s},\mathbf {X} _{s,t}^{2},\ldots ,\mathbf {X} _{s,t}^{\lfloor p\rfloor })}$

が-幾何ラフパスである場合、 はプロセスの強化です。強化が選択されると、ラフパス理論の仕組みにより、制御された微分方程式の意味を理解できるようになります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {X} _{s,t}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}.}$

十分に規則的なベクトル場に対して${\displaystyle V_{j}^{i}.}$

あらゆる確率過程（たとえ決定論的経路であっても）には、1つ以上（実際には無数に）の可能な強化が存在する可能性があることに注意する。^[14]異なる強化は、制御微分方程式の異なる解を生み出す。特に、ブラウン運動をブラウン運動の粗い経路以外の方法で幾何学的粗い経路に強化することは可能である。^{[15]これは、}ストラトノビッチ計算が、古典的な積の規則を満たす唯一の確率計算理論ではないこと を意味している。

${\displaystyle \mathrm {d} (X_{t}\cdot Y_{t})=X_{t}\,\mathrm {d} Y_{t}+Y_{t}\,\mathrm {d} X_{t}.}$

実際、ブラウン運動を幾何学的粗い経路として強化すると、この古典的な積の規則を満たす計算が生まれます。伊藤計算は、ブラウン運動を幾何学的粗い経路として強化することから直接生まれたのではなく、むしろ分岐した粗い経路として生まれました。

ラフパス理論は、次のような形式の（確率的）微分方程式の解の経路的概念を与えることを可能にする。

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=b(Y_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}}$

ただし、多次元確率過程はほぼ確実に大まかな経路として強化され、ドリフトとボラティリティは十分に滑らかであることが条件です (普遍極限定理のセクションを参照)。 ${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma }$

マルコフ過程、ガウス過程、その他ラフパスとして強化できるプロセスの例は数多くあります。^[16]

特に、分数ブラウン運動による微分方程式の解については、マリアバン計算とラフパス理論の組み合わせを使って証明された結果が数多くある。実際、ハーストパラメータを持つ分数ブラウン運動を含むガウス過程のクラスによって駆動される制御微分方程式の解は、ベクトル場のヘルマンダー条件の下で滑らかな密度を持つことが最近証明された。^{[17] [18]}${\displaystyle H>{\frac {1}{4}}}$

バナッハ空間から別のバナッハ空間への有界線型写像の空間を と表します。 ${\displaystyle L(V,W)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

を -次元の標準ブラウン運動とします。および を2回微分可能な関数とし、その2次導関数が何らかの に対して -ヘルダー関数であるとします。 ${\displaystyle B_{t}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle b:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow L(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha >0}$

を確率微分方程式の唯一の解と する${\displaystyle X^{\varepsilon }}$

${\displaystyle \mathrm {d} X^{\varepsilon }=b(X_{t}^{\epsilon })\,\mathrm {d} t+{\sqrt {\varepsilon }}\sigma (X^{\varepsilon })\circ \mathrm {d} B_{t};\,X^{\varepsilon }=a,}$

ここで はストラトノビッチ積分を表します。 ${\displaystyle \circ }$

フリードリン・ウェンツェルの大偏差理論は、一様位相に関して 閉集合または開集合の、としての漸近的挙動を研究することを目的としています。${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$${\displaystyle \mathbb {P} [X^{\varepsilon }\in F]}$${\displaystyle F}$

普遍極限定理は、制御パスを解に送る伊藤写像が- 変分位相から- 変分位相（したがって均一位相）への連続写像であることを保証する。したがって、大偏差理論における収縮原理は、フリードリン・ウェンツェルの問題を - 変分位相における大偏差原理の証明に帰着させる。^[10]${\displaystyle (t,{\sqrt {\varepsilon }}B_{t})}$${\displaystyle X^{\varepsilon }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (t,{\sqrt {\varepsilon }}B_{t})}$${\displaystyle p}$

この戦略は、ブラウン運動によって駆動される微分方程式だけでなく、分数ブラウン運動などの大まかな経路として強化できる任意の確率過程によって駆動される微分方程式にも適用できます。

もう一度、次元ブラウン運動を仮定する。ドリフト項とボラティリティ項が十分な規則性を持ち、確率微分方程式が ${\displaystyle B_{t}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \mathrm {d} \phi _{s,t}(x)=b(\phi _{s,t}(x))\,\mathrm {d} t+\sigma {(\phi _{s,t}(x))}\,\mathrm {d} B_{t};X_{s}=x}$

は、ラフパスの意味で一意の解を持つ。確率フロー理論における基本的な問題は、フローマップが存在し、すべてのに対して、 共巡回特性を満たすかどうかである。${\displaystyle \phi _{s,t}(x)}$${\displaystyle s\leq u\leq t}$

${\displaystyle \phi _{u,t}(\phi _{s,u}(x))=\phi _{s,t}(x)}$

から独立した空集合の外側。 ${\displaystyle s,u,t}$

普遍極限定理は、この問題を再びブラウン運動の粗い経路が存在し、すべての に対して次の乗法性を満たすかどうかに帰着させます。 ${\displaystyle \mathbf {B_{s,t}} }$${\displaystyle s\leq u\leq t}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{s,u}\otimes \mathbf {B} _{u,t}=\mathbf {B} _{s,t}}$

、およびから独立した空集合の外側。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle u}$${\displaystyle t}$

実際、ラフパス理論は、 、から独立したヌル集合の外側で の存在と一意性を与えるだけでなく、ドリフトとボラティリティからも の存在と一意性を与えます。 ${\displaystyle \phi _{s,t}(x)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma }$

Freidlin-Wentzell 理論の場合と同様に、この戦略はブラウン運動によって駆動される微分方程式だけでなく、ラフパスとして強化できるあらゆる確率過程にも当てはまります。

^{M. Gubinelli [5]}によって導入された制御されたラフパスは、ラフ積分 が${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle \int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u}}$

与えられた幾何学的大まかなパスに対して定義できます。 ${\displaystyle X}$

より正確には、バナッハ空間から別のバナッハ空間への有界線型写像の空間を と表します。 ${\displaystyle L(V,W)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

与えられた-幾何的な大まかな経路 ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \mathbf {X} =(1,\mathbf {X} ^{1},\ldots ,\mathbf {X} ^{\lfloor p\rfloor })}$

において、-制御パスはとなる関数であり、およびすべてに対して となる関数が存在する。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbf {Y} _{s}=(\mathbf {Y} _{s}^{0},\mathbf {Y} _{s}^{1},\ldots ,\mathbf {Y} _{s}^{\lfloor \gamma \rfloor })}$${\displaystyle \mathbf {Y} ^{j}:[0,1]\rightarrow L((\mathbb {R} ^{d})^{\otimes j+1},\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle M>0}$${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}$${\displaystyle j=0,1,\ldots ,\lfloor \gamma \rfloor }$

${\displaystyle \Vert \mathbf {Y} _{s}^{j}\Vert \leq M}$

そして

${\displaystyle \left\|\mathbf {Y} _{t}^{j}-\sum _{i=0}^{\lfloor \gamma \rfloor -j}\mathbf {Y} _{s}^{j+i}\mathbf {X} _{s,t}^{i}\right\|\leq M|t-s|^{\frac {\gamma -j}{p}}.}$

を、すべての に対して が存在し、すべてのに対して が存在するというヘルダー条件を満たす-幾何ラフパスとします。 ${\displaystyle \mathbf {X} =(1,\mathbf {X} ^{1},\ldots ,\mathbf {X} ^{\lfloor p\rfloor })}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M>0}$${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}$${\displaystyle j=1,,2,\ldots ,\lfloor p\rfloor }$

${\displaystyle \Vert \mathbf {X} _{s,t}^{j}\Vert \leq M(t-s)^{\frac {j}{p}},}$

ここで は の- 番目のテンソル成分を表します。 とします。は- 倍微分可能な関数で、 - 番目の導関数がHölder であるとすると、 ${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \gamma \geq 1}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$${\displaystyle \gamma -\lfloor \gamma \rfloor }$

${\displaystyle (f(\mathbf {X} _{s}^{1}),Df(\mathbf {X} _{s}^{1}),\ldots ,D^{\lfloor \gamma \rfloor }f(\mathbf {X} _{s}^{1}))}$

制御されたパスです。 ${\displaystyle \gamma }$

が-制御パスである場合、 ${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma >p-1}$

${\displaystyle \int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u}}$

が定義され、パス

${\displaystyle \left(\int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u},\mathbf {Y} _{s}^{0},\mathbf {Y} _{s}^{1},\ldots ,\mathbf {Y} _{s}^{\lfloor \gamma -1\rfloor }\right)}$

制御されたパスです。 ${\displaystyle \gamma }$

が少なくとも導関数を持ち、- 次導関数が何らかの に対して -Hölder 連続である関数であるとします。が微分方程式の解であるとします。 ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow L(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$${\displaystyle \gamma -\lfloor \gamma \rfloor }$${\displaystyle \gamma >p}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=V(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}.}$

定義する

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} X}}(\cdot )=V(\cdot );}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{r+1}Y}{\mathrm {d} ^{r+1}X}}(\cdot )=D\left({\frac {\mathrm {d} ^{r}Y}{\mathrm {d} ^{r}X}}\right)(\cdot )V(\cdot ),}$

ここで は微分演算子を表す。 ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \left(Y_{t},{\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} X}}(Y_{t}),{\frac {\mathrm {d} ^{2}Y}{\mathrm {d} ^{2}X}}(Y_{t}),\ldots ,{\frac {\mathrm {d} ^{\lfloor \gamma \rfloor }Y}{\mathrm {d} ^{\lfloor \gamma \rfloor }X}}(Y_{t})\right)}$

制御されたパスです。 ${\displaystyle \gamma }$

を有限の全変化を持つ連続関数とします。 定義${\displaystyle X:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle S(X)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}},\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \mathrm {d} X_{s_{2}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{n}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X_{s_{n}},\ldots \right).}$

パスの署名は と定義されます。 ${\displaystyle S(X)_{0,1}}$

署名は幾何学的ラフパスに対しても定義できます。を幾何学的ラフパスとし、 を有限の総変化を持つパスのシーケンスとします。 ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} (n)}$

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).}$

は-変分計量で に収束します。すると ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \int _{s<s_{1}<\cdots <s_{N}<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{N}}}$

は各 についてとして収束します。幾何学的ラフパスのシグネチャはとしての の極限として定義できます。 ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle S(X(n))_{s,t}}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

この署名は陳の同一性を満たしており、[ ^19]

${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{s,u}\otimes S(\mathbf {X} )_{u,t}=S(\mathbf {X} )_{s,t}}$

すべてに対して。 ${\displaystyle s\leq u\leq t}$

署名が自明なシーケンスであるパスの集合、より正確には、

${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{0,1}=(1,0,0,\ldots )}$

木のようなパスのアイデアを使用して完全に特徴付けることができます。

あらゆるおよびあらゆるに対して となるような連続関数が存在するとき、 -幾何ラフパスはツリー状である。${\displaystyle p}$${\displaystyle h:[0,1]\rightarrow [0,\infty )}$${\displaystyle h(0)=h(1)=0}$${\displaystyle j=1,\ldots ,\lfloor p\rfloor }$${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}$

${\displaystyle \Vert \mathbf {X} _{s,t}^{j}\Vert ^{p}\leq h(t)+h(s)-2\inf _{u\in [s,t]}h(u)}$

ここで、 はの - 番目のテンソル成分を表します。 ${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

幾何学的ラフパスは、木状である場合に限り、を満たす。 ^{[20] [21]}${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{0,1}=(1,0,\ldots )}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

パスのシグネチャが与えられれば、木のような部分を持たない唯一のパスを再構築することが可能である。^{[22] [23]}

テンソル代数のノルムが一定の許容条件を満たす限り、ラフパス理論の核となる結果を無限次元に拡張することも可能だ。^[24]

• ルジェイ、アントワーヌ (2009)。 「またしても険しい道への入門」。ドナティ・マルタンでは、キャサリン。他。 （編）。確率セミナー XLII。数学の講義ノート。 Vol. 1979年、ベルリン：シュプリンガー。 1–101ページ。ISBN 978-3-642-01762-9。