ボクナー積分

数学において、ボクナー積分は、サロモン・ボクナーにちなんで名付けられ、単純な関数の積分の極限として、ルベーグ積分の定義をバナッハ空間に値を取る関数に拡張したものです。

を測度空間、をバナッハ空間とします。関数のボッホナー積分は、ルベーグ積分とほぼ同じ方法で定義されます。まず、単純関数 を の形式の任意の有限和として定義します。 ここで、 は-代数の互いに素な要素であり 、はの異なる元であり、 χ _{E は}の特性関数です。が有限である 場合はいつでも、単純関数 は積分可能であり、積分は 通常のルベーグ積分の場合とまったく同じように によって定義されます。 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:X\to B}$$${\displaystyle s(x)=\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i},}$$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \Sigma ,}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle \mu \left(E_{i}\right)}$${\displaystyle b_{i}\neq 0,}$$${\displaystyle \int _{X}\left[\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}\right]\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (E_{i})b_{i}}$$

測定可能な関数は、 左側の積分が通常のルベーグ積分である ような 積分可能な単純関数の列が存在する場合、ボッホナー積分可能である。${\displaystyle f:X\to B}$${\displaystyle s_{n}}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}\|f-s_{n}\|_{B}\,d\mu =0,}$$

この場合、ボホナー積分は次のように定義される。 $${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}\,d\mu .}$$

この数列はバナッハ空間のコーシー数列であることが示され、したがって右辺の極限が存在する。さらに、この極限は単純関数の近似数列に依存しない。これらの注釈は、積分が明確に定義されている（つまり、選択に依存しない）ことを示している。関数がボホナー積分可能であるのは、それがボホナー空間にある場合のみであることが示される。${\displaystyle \left\{\int _{X}s_{n}\,d\mu \right\}_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }.}$ ${\displaystyle L^{1}.}$

ルベーグ積分のよく知られた性質の多くは、ボホナー積分にも当てはまります。特に有用なのは、ボホナーの積分可能性の基準です。これは、が測度空間である場合、ボホナー可測関数がボホナー可積分であるため の必要条件は、${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle f\colon X\to B}$$${\displaystyle \int _{X}\|f\|_{B}\,\mathrm {d} \mu <\infty .}$$

ここで、関数がボッホナー可測 であるとは、関数が の可分部分空間に値を取る関数とほぼどこでも等しく、 内のすべての開集合の逆像が に属する場合を指します。同様に、は可算値単純関数の列のほぼどこでもの 極限です。${\displaystyle f\colon X\to B}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle g}$${\displaystyle B_{0}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle g^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu }$

がバナッハ空間と の間の連続線型作用素であり、がボッホナー積分可能である場合、 がボッホナー積分可能であり、 の積分と適用が、 すべての測定可能な部分集合 に対して次のように交換可能であること を示すのは比較的簡単です。 ${\displaystyle T\colon B\to B'}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B'}$${\displaystyle f\colon X\to B}$${\displaystyle Tf\colon X\to B'}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle \int _{E}Tf\,\mathrm {d} \mu =T\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$${\displaystyle E\in \Sigma }$

この結果の非自明な強力な形式は、ヒレの定理として知られ、閉じた演算子に対しても成り立ちます。^{[1] が}バナッハ空間との間の閉じた線型演算子であり、 と がボッホナー積分可能である 場合、 すべての測定可能な部分集合 に対して が成り立ちます。 ${\displaystyle T\colon B\to B'}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B'}$${\displaystyle f\colon X\to B}$${\displaystyle Tf\colon X\to B'}$$${\displaystyle \int _{E}Tf\,\mathrm {d} \mu =T\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$${\displaystyle E\in \Sigma }$

優勢収束定理のバージョンは、ボッホナー積分にも当てはまります。具体的には、 が完全な測度空間上の測定可能な関数の列で、ほぼどこでも極限関数 に向かう場合、 ほぼすべての、 、に対して である場合、となり、 すべての に対してと なります。 ${\displaystyle f_{n}\colon X\to B}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \|f_{n}(x)\|_{B}\leq g(x)}$$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle g\in L^{1}(\mu )}$$${\displaystyle \int _{E}\|f-f_{n}\|_{B}\,\mathrm {d} \mu \to 0}$$${\displaystyle n\to \infty }$$${\displaystyle \int _{E}f_{n}\,\mathrm {d} \mu \to \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$${\displaystyle E\in \Sigma }$

がボッホナー積分可能である場合、不等式は すべての に対して成立します。 特に、集合関数は に関して絶対連続である 上の 可算加法 値のベクトル測度を定義します。 ${\displaystyle f}$$${\displaystyle \left\|\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu \right\|_{B}\leq \int _{E}\|f\|_{B}\,\mathrm {d} \mu }$$${\displaystyle E\in \Sigma .}$$${\displaystyle E\mapsto \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$

ボホナー積分に関する重要な事実は、ラドン-ニコディム定理が一般には成り立た ず、代わりに「良い」バナッハ空間の重要なクラスを定義する性質 (ラドン-ニコディム性質) であるということです。

具体的には、が 上の測度である場合、はに関してラドン・ニコディム特性を持ち、 が 上の値を持つ任意の可算加法ベクトル測度に対して、が有界変化を持ち、 に関して絶対連続である場合、任意の 測定可能な集合に対してとなる -積分可能な関数が存在する^[2]。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (X,\Sigma ),}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu ,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle g:X\to B}$$${\displaystyle \gamma (E)=\int _{E}g\,d\mu }$$${\displaystyle E\in \Sigma .}$

バナッハ空間がラドン・ニコディム的性質を持つのは、任意の有限測度に関してラドン・ニコディム的性質を持つ場合である。^[2] 同値な定式化には以下が含まれる。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

• における有界離散時間マルチンゲールは次のように収束する[ ^3]${\displaystyle B}$
• 有界変分関数は微分可能であるae ^[4]${\displaystyle B}$
• 任意の有界な に対して、任意に小さい直径を持つおよびが存在する。 ^[3]${\displaystyle D\subseteq B}$${\displaystyle f\in B^{*}}$${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{+}}$$${\displaystyle \{x:f(x)+\delta >\sup {f(D)}\}\subseteq D}$$

空間はラドン・ニコディム性を持つことが知られていますが、の有界開集合の空間や無限コンパクト空間の空間はラドン・ニコディム性を持たないことが知られています。^[5]ラドン・ニコディム性を持つ空間には、可分双対空間（これはダンフォード・ペティスの定理です）[要^出典]や反射空間（特にヒルベルト空間を含む）が含まれます。^[2]${\displaystyle \ell _{1}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ),}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega ),}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle C(K),}$${\displaystyle K}$

• ボホナー空間 – 位相空間の種類
• ボクナー測定関数
• ペティス積分
• ベクトル測定
• 弱測定可能関数

• Bochner、Salomon (1933)、「Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind」(PDF)、Fundamenta Mathematicae、20 : 262–276
• Bourgin, Richard D. (1983).ラドン・ニコディム特性を持つ凸集合の幾何学的側面. 数学講義ノート 993. ベルリン: Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0069321. ISBN 3-540-12296-6。
• Donald Cohn (2013)、Measure Theory、Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher、Springer、doi :10.1007/978-1-4614-6956-8、ISBN 978-1-4614-6955-1
• 吉田耕作 (1980)、関数解析、数学の古典、第123巻、Springer、doi :10.1007/978-3-642-61859-8、ISBN 978-3-540-58654-8
• ディーステル、ジョセフ (1984)、「バナッハ空間における数列と級数」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 92、Springer、doi :10.1007/978-1-4612-5200-9、ISBN 978-0-387-90859-5
• ディーステル、ウール（1977）、ベクトル測度、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1515-1
• ヒル、アイナー、フィリップス、ラルフ（1957）、関数解析と半群、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1031-6
• ラング、セルジュ（1993）、実数と関数解析（第3版）、Springer、ISBN 978-0387940014
• ソボレフ、VI (2001) [1994]、「ボクナー積分」、数学百科事典、EMS プレス
• van Dulst, D. (2001) [1994]、「ベクトル測度」、数学百科事典、EMS Press