ダルブー和を用いて構築された積分
実解析 では 、 ダルブー積分は ダルブー和 を使って構築され、 関数 の 積分 の可能な定義の1つである。ダルブー積分は リーマン積分 と同等であり 、関数がダルブー積分可能であるのは、それがリーマン積分可能である場合のみであり、2つの積分の値が存在する場合は、それらが等しい。 [1] ダルブー積分の定義は、リーマン積分の定義よりも計算や証明に適用しやすいという利点がある。そのため、 微積分 や実解析の入門書では、真のリーマン積分ではなく、ダルブー積分を使ってリーマン積分を展開することが多い。 [2]さらに、定義は リーマン–スティルチェス積分の 定義に容易に拡張できる 。 [3]ダルブー積分は、発明者である ガストン・ダルブー （1842–1917）
にちなんで名付けられている。
意味 ダルブー積分の定義では、 区間 上の 任意の有界な 実 数値関数 に対して存在する 上側積分と下側積分 (ダルブー) を考慮します。ダルブー 積分は、上側 積分と 下側積分が等しい場合にのみ存在します。上側積分と下側積分は、 それぞれ「曲線の下の面積」を過大評価および過小評価する 上側 (ダルブー) 和と下側 (ダルブー) 和の下限と上限です。特に、積分区間の特定の分割に対して、上側和と下側和は、分割の各サブ区間で f の上限と下限をそれぞれ高さとする長方形スライスの面積を合計します 。これらの考え方は、次のように明確にされています。
ふ
{\displaystyle f}
[ 1つの 、 b ] 。
{\displaystyle [a,b].}
ダルブーの計算 4 つの部分区間の下部 (緑) と上部 (緑とラベンダー) のダルブー和 区間の分割とは、 次 のような
値の有限列である。
[ 1つの 、 b ]
{\displaystyle [a,b]}
x
私
{\displaystyle x_{i}}
1つの =
x
0
<
x
1
< ⋯ <
x
ん
= b 。
{\displaystyle a=x_{0}、x_{1}、x_{n}=b.}
各区間は 分割の サブ区間 と呼ばれる。 を有界関数とし、
[
x
私 − 1
、
x
私
]
{\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}
ふ : [ 1つの 、 b ] →
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
ポ = （
x
0
、 … 、
x
ん
）
{\displaystyle P=(x_{0},\ldots,x_{n})}
を の分割とする 。
[ 1つの 、 b ]
{\displaystyle [a,b]}
ま
私
=
すする
x ∈ [
x
私 − 1
、
x
私
]
ふ （ x ） 、
メートル
私
=
無限大
x ∈ [
x
私 − 1
、
x
私
]
ふ （ x ） 。
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}}
に対する
上 ダルブー 和
は
ふ
{\displaystyle f}
ポ
{\displaystyle P}
あなた
ふ 、 ポ
=
∑
私 = 1
ん
（
x
私
−
x
私 − 1
）
ま
私
。
{\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!}
に対する 下 ダルブー 和
は
ふ
{\displaystyle f}
ポ
{\displaystyle P}
ら
ふ 、 ポ
=
∑
私 = 1
ん
（
x
私
−
x
私 − 1
）
メートル
私
。
{\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!}
下限ダルブー和と上限ダルブー和は、下限和と上限和と呼ばれることもあります。
ダルブー積分 f の 上 ダルブー積分 は
あなた
ふ
= 無限大 {
あなた
ふ 、 ポ
: ポ
のパーティションです
[ 1つの 、 b ] } 。
{\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{は}}[a,b]の分割である\}。}
f の 下 ダルブー積分 は
ら
ふ
= すする {
ら
ふ 、 ポ
: ポ
のパーティションです
[ 1つの 、 b ] } 。
{\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{は}}[a,b]\}の分割です。}
いくつかの文献では、下線と上線が付いた積分記号は、それぞれ下側と上側のダルブー積分を表します。
ら
ふ
≡
∫
1つの
b
_
ふ （ x ）
d
x 、
あなた
ふ
≡
∫
1つの
b
¯
ふ （ x ）
d
x 、
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}L_{f}\equiv {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\\&{}U_{f}\equiv {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\end{aligned}}}
ダルブー和と同様に、これらは単に 下積分と上積分 と呼ばれることもあります。
U f = L f のとき、その共通値を ダルブー積分 と呼ぶ 。 [4]また、 f は ダルブー積分可能 、または単に 積分可能 と
も言い、
∫
1つの
b
ふ （ t ） d t
=
あなた
ふ
=
ら
ふ
。
{\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}=U_{f}=L_{f}.}
f の積分可能性に対する同等かつ有用な基準は、任意のε > 0に対して [ a , b ]の分割 Pε が 存在し、 [5]
U
f
,
P
ϵ
−
L
f
,
P
ϵ
<
ε
.
{\displaystyle U_{f,P_{\epsilon }}-L_{f,P_{\epsilon }}<\varepsilon .}
プロパティ 任意のパーティションについて、上ダルブー和は常に下ダルブー和以上になります。さらに、下ダルブー和は、幅 ( b − a ) と高さ inf( f ) の長方形を [ a , b ] で割ったものによって下に制限されます。同様に、上ダルブー和は、幅 ( b − a ) と高さ sup( f )の長方形によって上に制限されます 。
(
b
−
a
)
inf
x
∈
[
a
,
b
]
f
(
x
)
≤
L
f
,
P
≤
U
f
,
P
≤
(
b
−
a
)
sup
x
∈
[
a
,
b
]
f
(
x
)
{\displaystyle (b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)}
下ダルブー積分と上ダルブー積分は、
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}
( a , b )
内の 任意の cが与えられる
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
c
_
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
b
_
f
(
x
)
d
x
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
c
¯
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
b
¯
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}
下ダルブー積分と上ダルブー積分は必ずしも線形ではありません。 g :[ a , b ] → R も有界関数であると仮定すると、上積分と下積分は次の不等式を満たします。
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
+
∫
a
b
_
g
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
_
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
d
x
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
+
∫
a
b
¯
g
(
x
)
d
x
≥
∫
a
b
¯
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\end{aligned}}}
定数 c ≥ 0の
場合、
∫
a
b
_
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
∫
a
b
¯
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}
定数 c≤0 の場合、
∫
a
b
_
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
∫
a
b
¯
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
a
b
_
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}
機能について考える
F
:
[
a
,
b
]
→
R
F
(
x
)
=
∫
a
x
_
f
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}F:[a,b]\to \mathbb {R} \\&{}F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(t)\,dt,\end{aligned}}}
すると、 Fは リプシッツ連続に なります。F が 上ダルブー積分を使用して定義された 場合も、同じ結果が成り立ちます。
例
ダルブー積分可能関数 関数が 区間 上でダルブー積分可能であることを示し 、その値を決定したいとします。これを行うには、 それぞれの長さ の等しいサイズの部分区間 に分割し ます。等しいサイズの部分区間の分割 を と表します 。
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
n
{\displaystyle n}
1
/
n
{\displaystyle 1/n}
n
{\displaystyle n}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
は 上で厳密に増加する ので 、任意の特定の部分区間の最小値はその開始点によって与えられます。同様に、任意の特定の部分区間の最大値はその終了点によって与えられます。 における - 番目の部分区間の開始点 は であり 、終了点は です 。したがって、分割上の下ダルブー和は 次のように与えられます。
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
k
{\displaystyle k}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
(
k
−
1
)
/
n
{\displaystyle (k-1)/n}
k
/
n
{\displaystyle k/n}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
L
f
,
P
n
=
∑
k
=
1
n
f
(
x
k
−
1
)
(
x
k
−
x
k
−
1
)
=
∑
k
=
1
n
k
−
1
n
⋅
1
n
=
1
n
2
∑
k
=
1
n
[
k
−
1
]
=
1
n
2
[
(
n
−
1
)
n
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}
同様に、上ダルブー和は次のように与えられる。
U
f
,
P
n
=
∑
k
=
1
n
f
(
x
k
)
(
x
k
−
x
k
−
1
)
=
∑
k
=
1
n
k
n
⋅
1
n
=
1
n
2
∑
k
=
1
n
k
=
1
n
2
[
(
n
+
1
)
n
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}
以来
U
f
,
P
n
−
L
f
,
P
n
=
1
n
{\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}={\frac {1}{n}}}
したがって、任意の に対して、 を持つ 任意
の 分割は
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
n
>
1
ε
{\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}
U
f
,
P
n
−
L
f
,
P
n
<
ε
{\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}<\varepsilon }
これは ダルブー積分可能であることを示している。積分値を求めるには、
f
{\displaystyle f}
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
=
lim
n
→
∞
U
f
,
P
n
=
lim
n
→
∞
L
f
,
P
n
=
1
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}}
積分不可能な関数 ディリクレ関数が 次のように定義されて
いるとします。
f
:
R
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,1]}
f
(
x
)
=
{
0
if
x
is rational
1
if
x
is irrational
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0&{\text{if }}x{\text{ is rational}}\\1&{\text{if }}x{\text{ is irrational}}\end{cases}}\end{aligned}}}
有理数と無理数はどちらも の 稠密な部分集合 なので、 は任意の 分割のどの部分区間でも 0 と 1 の値を取る。したがって、任意の分割に対して 、
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
P
{\displaystyle P}
L
f
,
P
=
∑
k
=
1
n
(
x
k
−
x
k
−
1
)
inf
x
∈
[
x
k
−
1
,
x
k
]
f
=
0
U
f
,
P
=
∑
k
=
1
n
(
x
k
−
x
k
−
1
)
sup
x
∈
[
x
k
−
1
,
x
k
]
f
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}}
ここから、下ダルブー積分と上ダルブー積分は等しくないことがわかります。
分割の改良とリーマン積分との関係 精緻化に進むと、下限の合計が増加し、上限の合計が減少します。 分割の 改良 は 、すべての i = 0, …, n に対して 整数 r ( i )が存在し 、
x
0
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
y
0
,
…
,
y
m
{\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}
x
i
=
y
r
(
i
)
.
{\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}.}
つまり、改良を行うには、サブ間隔を小さな部分に分割し、既存のカット部分を削除しないでください。
は then
の改良版である
P
′
=
(
y
0
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle P'=(y_{0},\ldots ,y_{m})}
P
=
(
x
0
,
…
,
x
n
)
,
{\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n}),}
U
f
,
P
≥
U
f
,
P
′
{\displaystyle U_{f,P}\geq U_{f,P'}}
そして
L
f
,
P
≤
L
f
,
P
′
.
{\displaystyle L_{f,P}\leq L_{f,P'}.}
P 1 、 P 2 が同じ区間の2つの分割である
場合（一方が他方の細分化である必要はない）、
L
f
,
P
1
≤
U
f
,
P
2
,
{\displaystyle L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}},}
そしてそれは
L
f
≤
U
f
.
{\displaystyle L_{f}\leq U_{f}.}
リーマン和は常に対応する下ダルブー和と上ダルブー和の間にある。形式的には、 とを 一緒にするとタグ付き分割になる。
P
=
(
x
0
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}
T
=
(
t
1
,
…
,
t
n
)
{\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})}
x
0
≤
t
1
≤
x
1
≤
⋯
≤
x
n
−
1
≤
t
n
≤
x
n
{\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}}
（リーマン積分 の定義のように ）そして のリーマン和が P と T に対応する R に等しい場合 、
f
{\displaystyle f}
L
f
,
P
≤
R
≤
U
f
,
P
.
{\displaystyle L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.}
前述の事実から、リーマン積分は少なくともダルブー積分と同じくらい強力です。つまり、ダルブー積分が存在する場合、十分に細かい分割に対応する上ダルブー和と下ダルブー和は積分の値に近くなるため、同じ分割上のリーマン和も積分の値に近くなります。上ダルブー積分または下ダルブー積分の値に任意に近くなるタグ付き分割が存在するため (以下を参照)、リーマン積分が存在する場合、ダルブー積分も存在する必要があります。
参照
注記
^ デビッド・J・フーリス;ムスタファ・A・ムネム（1989年）。微積分の後: 分析。デレン出版社。 p. 396.ISBN 978-0-02-339130-9 。 ^ Spivak, M. (1994). 微積分学（第3版） . ヒューストン、テキサス州：Publish Or Perish, Inc. pp. 253–255. ISBN 0-914098-89-6 。 ^ Rudin, W. (1976). 数学解析の原理 (第3版) ニューヨーク: McGraw-Hill. pp. 120–122. ISBN 007054235X 。 ^ ウルフラム MathWorld ^ スピヴァック 2008、第13章。
参考文献 「ダルブー積分」。 Wolfram MathWorld 。 2013 年 1 月 8 日 閲覧 。 数学百科事典のダルブー積分 「ダルブー和」、 数学百科事典 、 EMS Press 、2001 [1994] スピヴァック、マイケル（2008）、 微積分 （第4版）、Publish or Perish、 ISBN 978-0914098911 「ダルブー積分とリーマン積分の同値性」。 [ YouTube リンク切れ ]
![{\displaystyle [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba5cb29655f824ce80a0b6a32d9326d0e8742cd)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09cb12a889d47020c8ce7046a2eb60785e00c0b6)
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17d20124547d96a57c5e6cd4386d88abaa622a4)
![{\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{は}}[a,b]の分割である\}。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c80efd98952174f7e33c5514f879c5b0312c63c)
![{\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{は}}[a,b]\}の分割です。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cf42db4f18d5237b1e94a8c633c4c6e57f6cc7)
![{\displaystyle (ba)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (ba)\sup _{x\in [a,b]}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb367d6382f3b3ea0ed86c0c7c530396f62f06ed)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ca354c965e553c119390bdc098498cf6924e2a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9424ce17345ffd01d310f81608947a0e695ff49e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40054deea36d550b2217ad101771ba19237c4b85)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f36ce4043d1090c33efc2d28aee715a8625fb01)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}F:[a,b]\to \mathbb {R} \\&{}F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(t)\,dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab44bbba0d648c9aa5080ae7dc002915bbdfeb23)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9d5136be122292af60763e9e5c1d81fead9972)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c2c468d5244b9b8e8434d9438d274cb7ecdac1)
![{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544f3424022cc28aa3f4a349b27528a5e947eaa2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53219a61241091dae7dc2f3a2dfeba19ad209f2)
