ディスク統合

回転する関数がxの関数である場合、次の積分は回転体の体積を表します。

$\displaystyle \pi \int _{a}^{b}R(x)^{2}\,dx$

ここで、R ( x )は関数と回転軸の間の距離です。これは回転軸が水平である場合にのみ機能します（例：y = 3またはその他の定数）。

回転する関数がyの関数である場合、次の積分によって回転体の体積が得られます。

${\displaystyle \pi \int _{c}^{d}R(y)^{2}\,dy}$

ここで、R ( y )は関数と回転軸との間の距離です。これは回転軸が垂直である場合（例：x = 4、またはその他の定数）にのみ有効です。

中空回転体（「ワッシャー法」）を得るには、外側の回転体の体積から内側の回転体の体積を差し引くという手順になります。これは、以下のような単一の積分で計算できます。

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\right)\,dx}$

ここで、R _O ( x )は回転軸から最も遠い関数であり、R _I ( x )は回転軸に最も近い関数です。例えば、次の図は、平方根曲線と二次曲線で囲まれた赤い「葉」のx軸に沿った回転を示しています。

この固体の体積は次のとおりです。

$\displaystyle \pi \int _{0}^{1}\left(\left({\sqrt {x}}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

2つの関数の差の二乗を計算するのではなく、2つの関数の二乗の差を計算するように注意すべきである。

$${\displaystyle R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\neq \left(R_{\mathrm {O} }(x)-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}}$$

（この公式はx軸を中心とした回転にのみ適用されます。）

任意の水平軸を中心に回転させるには、各式からその軸の値を引くだけです。hが水平軸の値である場合、体積は

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(\left(h-R_{\mathrm {O} }(x)\right)^{2}-\left(h-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

例えば、y = −2 x + x ²とy = xの間の領域を軸y = 4に沿って回転させるには、次のように積分します。

${\displaystyle \pi \int _{0}^{3}\left(\left(4-\left(-2x+x^{2}\right)\right)^{2}-(4-x)^{2}\right)\,dx\,.}$

積分範囲は、最初の式の零点から 2 番目の式の零点を引いたものです。x 軸以外の軸に沿って積分する場合、回転軸から最も遠い関数のグラフが必ずしも明確ではないことに注意してください。前の例では、y = xのグラフは x 軸に関してy = −2 x + x ²のグラフよりも上にありますが、回転軸に関してy = x の関数は内側の関数です。つまり、そのグラフはy = 4または例の回転軸の式に近くなります。

同じ考え方は、y軸だけでなく他のどの縦軸にも適用できます。積分式に代入する前に、各方程式をxについて解くだけでよいのです。