ウィーナープロセス

無条件確率密度関数は、固定された時刻tにおいて、平均 = 0、分散 = tの正規分布に従います。 $${\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.}$$

期待値はゼロです。 $${\displaystyle \operatorname {E} [W_{t}]=0.}$$

計算式を用いると、分散はtとなります。 $${\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=t.}$$

これらの結果は、増分がゼロを中心とする 正規分布を持つという定義から直ちに導かれる。したがって$${\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).}$$ マルチンゲール特性を証明するための有用な分解法は、ブラウン運動増分分解とも呼ばれ、 $${\displaystyle W_{t}=W_{s}+(W_{t}-W_{s}),\;s\leq t}$$

共分散と相関（ここで）$s ≤ t$): $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})&=s,\\\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})&={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.\end{aligned}}}$$

これらの結果は、重複しない増分が独立であるという定義から導かれるものであり、その定義のうち、無相関であるという性質のみが用いられている。^{[ 9 ]}$t_1 ≤ t_2$。 $$\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].}$$

代入 $${\displaystyle W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}}$$ 我々は以下に到達する： $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}}$$

以来${\textstyle W_{t_{1}}=W_{t_{1}}-W_{t_{0}}}$そして${\textstyle W_{t_{2}}-W_{t_{1}}}$独立している、 $$\displaystyle \operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.}$$

したがって $$\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.}$$

シミュレーションに役立つ系として、t ₁ < t ₂の場合、次のように書ける。 $${\displaystyle W_{t_{2}}=W_{t_{1}}+{\sqrt {t_{2}-t_{1}}}\cdot Z}$$ ここで、Zは独立な標準正規変数である。

ウィーナー（1923）は、ブラウン運動の経路をランダムフーリエ級数で表現した。$\xi_n$は平均ゼロ、分散1の独立なガウス変数である。 $${\displaystyle W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pin}}}$$ そして $${\displaystyle W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}$$ ブラウン運動を表す${\textstyle [0,1]}$スケールされたプロセス $${\displaystyle {\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)}$$ はブラウン運動である${\textstyle [0,c]}$(cf.カルーネン・レーヴの定理)。

移動最大値の同時分布 $${\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}$$ そしてW _tは $${\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.}$$

無条件分布を取得するには${\textstyle f_{M_{t}}}$−∞ < w ≤ mの範囲で積分します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}}$$

半正規分布の確率密度関数。期待値^{[ 10 ]}は $${\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}$$

時刻tにおいてウィーナー過程の値が既知である場合${\textstyle W_{t}}$区間内の最大値の条件付き確率分布を計算することが可能です${\textstyle [0,t]}$（ウィーナー確率過程の極値の確率分布を参照）。 既知の値によって条件付けられた最大値の累積確率分布関数。${\textstyle W_{t}}$、 は： $${\displaystyle \,F_{M_{W_{t}}}(m)=\Pr \left(M_{W_{t}}=\max _{0\leq s\leq t}W(s)\leq m\mid W(t)=W_{t}\right)=\ 1-\ e^{-2{\frac {m(m-W_{t})}{t}}}\ \,,\,\ \ m>\max(0,W_{t})}$$

多項式p ( x , t )が偏微分方程式を満たす場合$${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0}$$ すると確率過程 $${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)}$$はマルチンゲール です。

例：${\textstyle W_{t}^{2}-t}$これはマルチンゲールであり、[ 0, t ]上でのWの二次変動がtに等しいことを示しています。したがって、 Wが(−c, c) から最初に出る期待時間はc2^に等しくなります。

より一般的に言えば、任意の多項式p ( x , t )に対して、次の確率過程はマルチンゲールである。 $${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,}$$ ここでaは多項式である $${\displaystyle a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).}$$

例：${\textstyle p(x,t)=\left(x^{2}-t\right)^{2},}$${\textstyle a(x,t)=4x^{2};}$そのプロセス $${\displaystyle \left(W_{t}^{2}-t\right)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$$ これはマルチンゲールであり、マルチンゲールの二次変形を示しています。${\textstyle W_{t}^{2}-t}$[0, t ] 上では、 $${\displaystyle 4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.}$$

多項式よりも一般的な関数p ( xa , t )については、ローカル マルチンゲールを参照してください。

これらの性質を持つすべての関数wの集合は、完全なウィーナー測度を持つ。つまり、ウィーナー過程のパス（サンプル関数）は、ほぼ確実にこれらの性質をすべて持つ。

二乗誤差距離に関するウィーナー過程の情報レート、すなわちその二次レート歪み関数は、 ^{[ 14 ]}で与えられる。$${\displaystyle R(D)={\frac {2}{\pi ^{2}D\ln 2}}\approx 0.29D^{-1}.}$$ したがって、エンコードすることは不可能です${\textstyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$バイナリコードを使用して、${\textstyle TR(D)}$ビットを復元し、期待平均二乗誤差がD未満となる。一方、任意の${\textstyle \varepsilon >0}$十分大きなTと、以下のバイナリ コードが存在する。${\textstyle 2^{TR(D)}}$回復時の期待平均二乗誤差が${\textstyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$このコードから最大${\textstyle D-\varepsilon }$。

多くの場合、ウィーナー過程を最初にサンプリングせずにエンコードすることは不可能です。ウィーナー過程を一定間隔でサンプリングすると、${\textstyle T_{s}}$これらのサンプルを表現するためにバイナリコードを適用する前に、コードレートとコードレートの最適なトレードオフ${\textstyle R(T_{s},D)}$また、期待平均二乗誤差D (連続時間ウィーナー過程の推定において) はパラメトリック表現^{[ 15 ]に従います。}$${\displaystyle R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi )-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi ,}$$$${\displaystyle D_{\theta }={\frac {T_{s}}{6}}+T_{s}\int _{0}^{1}\min \left\{S(\varphi )-{\frac {1}{6}},\theta \right\}d\varphi ,}$$ どこ${\textstyle S(\varphi )=(2\sin(\pi \varphi /2))^{-2}}$そして${\textstyle \log ^{+}[x]=\max\{0,\log(x)\}}$。 特に、${\textstyle T_{s}/6}$これは、サンプリング操作のみに関連する平均二乗誤差（エンコードなし）です。

A をウィーナー過程に関連する事象 (より厳密には、関数空間におけるウィーナー測度に関して可測な集合) とし、X t_を時間区間 [0, t ] におけるウィーナー過程が与えられたときのAの条件付き確率(より厳密には、[0, t ] 上の与えられた部分軌跡との連結がAに属する軌跡の集合のウィーナー測度) とする。このとき、過程X _tは連続マルチンゲールである。そのマルチンゲール性は定義から直ちに導かれるが、その連続性は非常に特殊な事実であり、すべてのブラウンマルチンゲールが連続であるという一般定理の特殊な場合である。ブラウンマルチンゲールは、定義により、ブラウン濾過に適合したマルチンゲールであり、ブラウン濾過は、定義により、ウィーナー過程によって生成される濾過である。${\textstyle B_{t}^{2}-t}$そして${\textstyle e^{\theta B_{t}-{\tfrac {\theta ^{2}}{2}}t}}$これらはマルチンゲールである。^{[ 17 ]}

ウィーナー過程の時間積分 $${\displaystyle W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)\,ds}$$これは積分ブラウン運動または積分ウィーナー過程 と呼ばれます。これは多くの応用分野で発生し、ウィーナー過程の共分散が次の事実を用いて計算すると、分布N (0, t ³ /3)を持つことが示されています^{[ 18 ]。}${\textstyle t\wedge s=\min(t,s)}$[ ^{19 ]​}

で定義されるプロセスの一般の場合 $${\displaystyle V_{f}(t)=\int _{0}^{t}f'(s)W(s)\,ds=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))\,dW_{s}}$$ それから、${\textstyle a>0}$、 $${\displaystyle \operatorname {Var} (V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))^{2}\,ds}$$$${\displaystyle \operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t+a)-f(s))(f(t)-f(s))\,ds}$$ 実際には、${\textstyle V_{f}(t)}$は常に平均ゼロの正規乱数です。これにより、${\textstyle V_{f}(t+a)}$与えられた${\textstyle V_{f}(t)}$取ることによって $${\displaystyle V_{f}(t+a)=A\cdot V_{f}(t)+B\cdot Z}$$ ここで、Zは標準正規変数であり、 $${\displaystyle A={\frac {\operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))}{\operatorname {Var} (V_{f}(t))}}}$$$${\displaystyle B^{2}=\operatorname {Var} (V_{f}(t+a))-A^{2}\operatorname {Var} (V_{f}(t))}$$ のケース${\textstyle V_{f}(t)=W^{(-1)}(t)}$対応する${\textstyle f(t)=t}$これらの結果はすべて、伊藤等長性の直接的な帰結と見なすことができる。n回積分されたウィーナー過程は、分散がゼロの平均正規変数である。${\textstyle {\frac {t}{2n+1}}\left({\frac {t^{n}}{n!}}\right)^{2}}$これは、繰り返し積分に関するコーシーの公式によって与えられます。

（原点から始まる）すべての連続マルチンゲールは、時間変換されたウィーナー過程である。

例: 2 W _t = V (4 t )ここでVは別のウィーナー過程 ( Wとは異なりますが、 Wと同じように分布します) です。

例。${\textstyle W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}}$どこ${\textstyle A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$Vは別のウィーナー過程である。

一般に、Mが連続マルチンゲールである場合、${\textstyle M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}}$ここで、A ( t )は[0, t ]におけるMの2次変動であり、Vはウィーナー過程である。

系。 （ドゥーブのマルチンゲール収束定理も参照）M _tを連続マルチンゲールとし、 $${\displaystyle M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},}$$$${\displaystyle M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.}$$

そうなると、考えられるのは以下の2つのケースのみとなる。 $${\displaystyle -\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,}$$$${\displaystyle -\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty$$ ;} その他のケース（例：${\textstyle M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,}$ ${\textstyle M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty }$など）の確率は0です。

特に、非負の連続マルチンゲールは、ほとんど確実に（ t → ∞のとき）有限の極限を持つ。

（この小節で）マルチンゲールについて述べたことはすべて、ローカルマルチンゲールにも当てはまります。

連続セミマルチンゲールの幅広いクラス（特に拡散過程）は、時間変換と測度変換の組み合わせによってウィーナー過程と関連付けられます。

この事実を利用すると、ウィーナー過程について上述した定性的な性質を、連続半マルチンゲールの広いクラスに一般化することができる。 ^{[ 20 ] [ 21 ]}

複素数値ウィーナー過程は、次の形式の複素数値ランダム過程として定義できる。${\textstyle Z_{t}=X_{t}+iY_{t}}$どこ${\textstyle X_{t}}$そして${\textstyle Y_{t}}$これらは独立したウィーナー過程（実数値）です。言い換えれば、これは2次元ウィーナー過程であり、ここで我々は${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$と${\textstyle \mathbb {C} }$[ ^{22 ]​}

ブラウンシートは多パラメータ一般化である。定義は著者によって異なり、中にはブラウンシートを特に2次元の時間パラメータを持つものと定義する者もいる。${\textstyle t}$一方、一般的な寸法を定義する人もいる。