体積積分

数学（特に多変数微積分）において、体積積分（∭）は3次元領域における積分であり、つまり多重積分の特殊な場合である。体積積分は、例えばフラックス密度を計算したり、対応する密度関数から質量を計算したりするなど、多くの応用において物理学で特に重要である。

体積積分はしばしば微小体積要素を用いて表される。${\displaystyle dV=dx\,dy\,dz}$。 $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dV.}$$ それはまた、領域内の三重積分を意味することもある。$\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$関数の${\displaystyle f(x,y,z),}$そして通常は次のように表記されます。 $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$$円筒座標 における体積積分は $${\displaystyle \iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,}$$および球面座標 での体積積分（角度についてはISO規約を使用）${\displaystyle \varphi }$方位角と${\displaystyle \theta }$極軸から測定した場合（慣例については後述）は、次の形式になります。 $${\displaystyle \iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}$$ 三重積分は、ヤコビ行列と行列式を用いて、デカルト座標から任意の座標系に変換できます。座標の変換が${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (u,v,w)}$積分は次のように表すことができます。 $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{D}f(u,v,w)\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}\right|\,du\,dv\,dw}$$ ここで、ヤコビ行列式を次のように定義します。 $${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial x}{\partial w}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial w}}\\{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial w}}\\\end{vmatrix}}}$$

方程式を積分する${\displaystyle f(x,y,z)=1}$単位立方体上で以下の結果が得られます。 $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1}$$

したがって、予想どおり単位立方体の体積は 1 です。しかし、これはかなり自明なことであり、体積積分の方がはるかに強力です。たとえば、単位立方体上にスカラー密度関数がある場合、体積積分によって立方体の総質量が得られます。たとえば、密度関数は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}}$$ 立方体の総質量は次のとおりです。 $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}}$$

• 発散定理
• 面積分
• ボリューム要素
• 線状要素
• 線積分

• 「多重積分」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ワイスタイン、エリック W. 「体積積分」。マスワールド。