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数学では、アフィン平面の領域の符号付き面積または向き付き面積は、正または負の符号、つまり「プラス」( )または「マイナス」( )によって指定された向きの面積です。より一般的には、任意の表面領域の符号付き面積は、指定された向きの表面積です。領域の境界が単純な曲線である場合、符号付き面積は境界の向きも示します。 ${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$

古代メソポタミア、エジプト、ギリシャの数学には負の数や符号付き面積という明確な概念はなかったが、境界線や曲線で囲まれた図形の概念があり、図形を貼り合わせたり一部を切り取ったりすることで面積を計算または比較することができ、面積の加算または減算に相当するものであった。^[1]これはユークリッドの『原論』第1巻で形式化され、そこには「等しいものを等しいものに加えれば全体が等しい」や「等しいものから等しいものを減じれば余りが等しい」など、いくつかの共通の概念が冒頭に挙げられている（平面図形のうち、面積が同じものは「等しい」と呼ばれた）。^[2]第1巻の命題は三角形と平行四辺形の性質に関するもので、例えば、底辺が同じで平行線が同じ平行四辺形は等しいこと、底辺が同じで平行線が同じ三角形はこれらの平行四辺形の面積の半分であること、任意の「直線図形」（単純な多角形）を三角形に分割して同じ面積の平行四辺形を作成することなどが含まれています。^{[3]ギリシャの幾何学者は平面の面積を}求積法（図形と同じ面積の正方形を作成すること）で比較することが多く、原論の第2巻では任意の多角形と同じ面積の正方形を作成する方法を示しています。

負の数が、量が負になる可能性がある場合に別々に考慮した場合の符号を反転する必要をなくすことで代数方程式の解を簡素化するのと同様に、符号付き面積の概念は幾何学的な計算と証明を同様に簡素化します。1 つの面積を別の面積から減算する代わりに、反対向きの 2 つの符号付き面積を加算することができ、その結果得られる面積は、その符号に関係なく意味のある形で解釈できます。たとえば、『原論』の命題 II.12 ～ 13 には、余弦定理の幾何学的な前身が含まれていますが、これは、検討中の三角形の角度が鈍角か鋭角かによって別々のケースに分割されています。これは、特定の長方形をそれぞれ加算または減算する必要があるためです (角度の余弦は負か正のいずれかです)。長方形に符号付き面積が許可されている場合は、両方のケースを 1 つにまとめることができ、単一の証明で済みます (さらに、長方形が消える直角の場合もカバーします)。

『原論』の単純な多角形の非配向面積と同様に、アフィン平面の多角形（穴や自己交差を持つものを含む）の配向面積は、三角形の配向面積の合計に簡単に簡約でき、各三角形の配向面積は平行四辺形の配向面積の半分になります。任意の多角形の配向面積は、符号付き実数係数（形状の符号付き面積）と、単位面積を持つと宣言された指定多角形の配向面積の積として表すことができます。ユークリッド平面の場合、これは通常、単位正方形です。

任意の多角形（頂点の順序付きリストで記述）を三角形に分割する最も計算的に簡単な方法の1つは、任意の原点を選択し、次に原点と三角形内の隣接する頂点の各ペアの間に有向三角形を形成することです。平面に直交座標系が与えられている場合、この方法は18世紀の靴ひも公式です。^[4]

古代ギリシャ人は曲線の境界を持つ図形の面積を計算する一般的な方法を持っておらず、有限のステップのみを使用した円の求積法は未解決の問題でした（19世紀に不可能であることが判明しました）。しかし、アルキメデスは、現代の積分法の前身である枯渇法（無限個の三角形の面積を合計する）によって放物線の求積法を正確に計算し、同様のプロセスの最初の数ステップを実行して 円の求積法を近似しました。

実関数の積分は、区間[ a , b ]における軸と曲線の間の符号付き面積として考えることができます。軸より上の面積は正( )、軸より下の面積は負( )として指定できます。^[5]${\displaystyle x}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle +}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -}$

負の領域は、自然対数の研究では、曲線の下の符号付き領域として現れます。つまり、次のようになります。^[6]${\displaystyle y=1/x}$${\displaystyle 0<x<1}$ $${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=-\int _{x}^{1}{\frac {dt}{t}}}0.}$$

微分幾何学では、面の領域の面積の符号は、面の向きに関連付けられます。 ^[7]微分幾何学における集合Aの面積は、密度の積分として得られます。 ここで、d xとd y は、密度を構成する微分1形式です。くさび積は反可換性 を持つため、 です。密度は、多様体内で局所的に存在するが必ずしも全体的に存在するとは限らない平面の向きに関連付けられています。双曲線xy = 1の下の面積を積分して得られる自然対数の場合、密度d x ∧ d y はx > 1に対して正ですが、積分は 1に固定されているため、単位区間ではx軸の向きが反転します。この積分では、(− d x )方向は、 x > 1で使用されるものとは反対の密度を生成します。この反対の密度では、双曲線の下と単位間隔の上の領域は負の領域とみなされ、その結果、この領域では自然対数は負になります。 $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}dx\wedge dy,}$$${\displaystyle dy\wedge dx=-dx\wedge dy}$$${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}$$

符号付き面積は1908年にフェリックス・クラインによって行列式と関連付けられました。 ^[8]三角形が3点によって指定される場合、その面積は次のように表されます。 例えば、 の場合、面積は次のように表されます。$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.}$$${\displaystyle (x_{3},\ y_{3})=(0,0),}$${\frac {x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}{2}}。$

曲線で囲まれた扇形領域を考えると、それは面積を持ち 、一辺が(d x ,d y ) に等しい細い三角形で近似されます 。すると、「曲線と 2 つの半径ベクトルの間 の扇形の領域」は次のように与えられます。 たとえば、単位双曲線の逆方向は次 のように与えられます。すると、ゼロと θ の間の 双曲扇形 の領域は、負の扇形領域として 負の双曲角を与えます。 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}0&0&1\\x&y&1\\x+dx&y+dy&1\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}(x\ dy-y\ dx).}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}(x\ dy-y\ dx).}$$ ${\displaystyle x=\cosh t,\quad y=-\sinh t.}$$${\displaystyle x\dy-y\dx=-\cosh^{2}t\dt+\sinh^{2}t\dt=-dt,}$$$${\displaystyle {\frac {-1}{2}}\int _{0}^{\theta }dt={\frac {-t}{2}}{\big |}_{0}^{\theta }=-{\frac {\theta }{2}},}$$

ミハイル・ポストニコフの1979年の教科書『幾何学講義』では、座標ペアの関数として記述される特定の幾何学的変換を利用して「自由に浮遊する領域要素」を表現しています。^[9]せん断写像は 次 のいずれかです。 ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y)&\to (x,\ y+kx),\\(x,y)&\to (x+ky,\ y)\end{aligned}}}$$

任意の実数に対して、スクイーズ写像は ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle (x,y)\to (\lambda x,\ y/\lambda )}$$

任意の正の実数に対して。面積元は、変換の 1 つを最初のものに適用したときに 2 番目の変換が得られる場合に、別の面積元と関連しています。同値関係として、面積元は、ポストニコフ バイベクトルである関連元の同値類に分割されます。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle (\thicksim )}$

命題:もし、そして ${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(ka+\ell b,\ k_{1}a+\ \ell _{1}b)}$

${\displaystyle \delta =k\ell _{1}-\ell k_{1}\neq 0,}$それから${\displaystyle (a,b)\thicksim (a_{1},\ ({\frac {1}{\delta }})b_{1}).}$

証明:せん断マッピング${\displaystyle (a,\ b)\thicksim (a+{\frac {\ell }{k}}b,\ b)}$

${\displaystyle \thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b)}$スクイーズマッピング

${\displaystyle \thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b+{\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+\ell b))}$せん断マッピング

${\displaystyle =(ka+\ell b,\ {\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+({\frac {\delta }{k_{1}}}+\ell )b)}$

${\displaystyle =(ka+\ell b,\ {\frac {1}{\delta }}(k_{1}a+\ell _{1}b))\ \ {\text{since}}\ \ \ell +{\frac {\delta }{k_{1}}}={\frac {k}{k_{1}}}\ell _{1}}$

${\displaystyle =(a_{1},\ {\frac {1}{\delta }}b_{1}).}$

• ベクトル領域
• ボリューム形式
• 符号付き距離
• 署名された尺度
• 署名入り巻

• Kleitman, Daniel . 「第 15 章: 平行辺を持つ図形の面積と体積、行列式」。Kleitmanのホームページ。MIT 数学部のホームページ。