セミマルチンゲール

確率論では、実数値の確率過程 X は、局所マルチンゲールとcàdlàg適応有限変化過程の和として分解できる場合、セミマルチンゲールと呼ばれます。セミマルチンゲールは「優れた積分器」であり、伊藤積分とストラトノビッチ積分を定義できる 最大のクラスの過程を形成します。

セミマルチンゲールのクラスは非常に大きいです (たとえば、すべての連続微分可能プロセス、ブラウン運動、ポアソンプロセスなどが含まれます)。サブマルチンゲールとスーパーマルチンゲールは、セミマルチンゲールのサブセットを表します。

フィルタリングされた確率空間（Ω、F、（F _t）_{t  ≥ 0} 、P）上で定義された実数値プロセスXは、次のように分解できる場合、 セミマルチンゲールと呼ばれる。

${\displaystyle X_{t}=M_{t}+A_{t}}$

ここで、Mはローカルマルチンゲールであり、A はローカルに制限された変動のcàdlàg 適応プロセスです。これは、ほとんどすべてのコンパクトな間隔とすべての間隔について、サンプルパスが制限された変動であること を意味します。${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle I\subset [0,\infty )}$${\displaystyle I\ni s\mapsto A_{s}(\omega )}$

R ⁿ値プロセスX = ( X ¹ ,..., X ⁿ ) は、その各コンポーネントX ^{i が}セミマルチンゲールである場合にセミマルチンゲールです。

まず、単純予測可能過程は、停止時間TとF _T測定可能なランダム変数Aに対する形式H _t = A 1 _{{ t > T }}の過程の線形結合として定義される。このような単純予測可能過程Hと実数値過程Xの積分H ⋅ Xは、

${\displaystyle H\cdot X_{t}:=1_{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).}$

これは、HにおけるH⋅Xの線形性によって、すべての単純な予測可能なプロセスに拡張されます。

実数値過程Xがセミマルチンゲールであるとは、それがcàdlàg、adaptedであり、すべてのt ≥ 0に対して、

${\displaystyle \left\{H\cdot X_{t}:H{\rm {\ は\単純\予測可能\であり\ }}|H|\leq 1\right\}}$

確率的に有界である。ビヒテラー・デラシェリー定理によれば、これら 2 つの定義は同等である (Protter 2004、p. 144)。

• 適応型で連続的に微分可能なプロセスは、連続的で局所的に有限変化のプロセスであり、したがって半マルチンゲールです。
• ブラウン運動はセミマルチンゲールです。
• すべての càdlàgマルチンゲール、サブマルチンゲール、スーパーマルチンゲールはセミマルチンゲールです。
• 伊藤過程は、 dX = σdW + μdtの形式の確率微分方程式を満たす半マルチンゲールです。ここで、W はブラウン運動であり、σ、μ は適応過程です。
• すべてのレヴィ過程はセミマルチンゲールです。

文献で研究されている連続プロセスと適応プロセスのほとんどはセミマルチンゲールですが、常にそうであるとは限りません。

• ハーストパラメータH ≠ 1/2 の非整数ブラウン運動はセミマルチンゲールではありません。

• セミマルチンゲールは、伊藤積分を定義できるプロセスの最大のクラスを形成します。
• セミマルチンゲールの線形結合はセミマルチンゲールです。
• セミマルチンゲールの積はセミマルチンゲールであり、これは伊藤積分の部分積分公式の結果である。
• すべてのセミマルチンゲールには二次関数の変化が存在します。
• セミマルチンゲールのクラスは、オプションの停止、局所化、時間の変化、および確率測度の絶対連続的な変化に対して閉じています（ギルサノフの定理を参照）。
• X がR ^m値の半マルチンゲールであり、f がR ^mからR ⁿへの2回連続微分可能関数である場合、f ( X ) は半マルチンゲールです。これは伊藤の補題の結果です。
• 半マルチンゲールであるという特性は、濾過を縮小しても維持されます。より正確には、X が濾過F _tに関して半マルチンゲールであり、サブ濾過G _tに関して適応されている場合、XはG _t -半マルチンゲールです。
• (Jacod の可算展開) 半マルチンゲールであるという性質は、可算な集合の互いに素な集合によるフィルタリングの拡大によっても維持されます。F t がフィルタリングであり、G t が F t と互いに素な測定可能な集合の可算な集合によって生成されるフィルタリングであると仮定します。_すると、すべて_のF _t半マルチンゲール_はG _t半マルチンゲールでもあります。(Protter 2004、p. 53)

定義により、すべてのセミマルチンゲールは、ローカルマルチンゲールと有限変化プロセスの合計です。ただし、この分解は一意ではありません。

連続セミマルチンゲールは、X = M + Aとして一意に分解されます。ここで、Mは連続ローカルマルチンゲールであり、A はゼロから始まる連続有限変化プロセスです。(Rogers & Williams 1987、p. 358)

例えば、Xが確率微分方程式d X _t = σ _t d W _t + b _t dtを満たす伊藤過程である場合、

${\displaystyle M_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dW_{s},\ A_{t}=\int _{0}^{t}b_{s}\,ds.}$

特殊セミマルチンゲールは、分解 を持つ実数値プロセスです。ここで、 はローカルマルチンゲールであり、 はゼロから始まる予測可能な有限変化プロセスです。この分解が存在する場合、P-ヌル集合を除いて一意です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X=M^{X}+B^{X}}$${\displaystyle M^{X}}$${\displaystyle B^{X}}$

すべての特殊セミマルチンゲールはセミマルチンゲールです。逆に、セミマルチンゲールは、プロセスX _t ^*  ≡ sup _{s  ≤  t}  |X _s | が局所的に積分可能である場合にのみ、特殊セミマルチンゲールです(Protter 2004、p. 130)。

たとえば、すべての連続セミマルチンゲールは特殊セミマルチンゲールであり、その場合、MとA は両方とも連続プロセスです。

はセミマルチンゲール の確率指数関数を表すことを思い出してください。 が^{[説明が必要]}となる特殊なセミマルチンゲールである場合、 およびは局所マルチンゲールです。^[1]過程はの乗法補償子と呼ばれ、恒等式はの乗法分解と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta B^{X}\neq -1}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(B^{X})\neq 0}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)/{\mathcal {E}}(B^{X})={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(B^{X})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right){\mathcal {E}}(B^{X})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

セミマルチンゲールは、その二次変化[ X ]が有限変化の純粋ジャンプ過程である場合、 純粋不連続と呼ばれる（Kallenberg 2002） 。つまり、

${\displaystyle [X]_{t}=\sum _{s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}}$。

この定義によれば、時間はまったくジャンプを示さないにもかかわらず、純粋に不連続なセミマルチンゲールです。純粋に不連続なセミマルチンゲールの代わりの (そして推奨される) 用語である二次純粋ジャンプセミマルチンゲール (Protter 2004、p. 71) は、純粋に不連続なセミマルチンゲールの二次変化が純粋ジャンプ プロセスであるという事実に基づいています。すべての有限変化セミマルチンゲールは二次純粋ジャンプ セミマルチンゲールです。適応された連続プロセスは、有限変化である場合に限り、二次純粋ジャンプ セミマルチンゲールです。

すべてのセミマルチンゲール X に対して、ゼロから始まる唯一の連続ローカルマルチンゲールが存在し、これは二次純粋ジャンプセミマルチンゲールです (He, Wang & Yan 1992、p. 209; Kallenberg 2002、p. 527)。ローカルマルチンゲールは、 Xの連続マルチンゲール部分と呼ばれます。 ${\displaystyle X^{c}}$${\displaystyle X-X^{c}}$${\displaystyle X^{c}}$

は測度固有であることに注意してください。と が2 つの同値な測度である場合、 は通常 とは異なりますが、とは両方とも2 次純粋ジャンプ セミマルチンゲールです。ギルサノフの定理により、 は連続有限変化過程であり、 となります。 ${\displaystyle X^{c}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle X^{c}(P)}$${\displaystyle X^{c}(Q)}$${\displaystyle X-X^{c}(P)}$${\displaystyle X-X^{c}(Q)}$ ${\displaystyle X^{c}(P)-X^{c}(Q)}$${\displaystyle [X^{c}(P)]=[X^{c}(Q)]=[X]-\sum _{s\leq \cdot }(\Delta X_{s})^{2}}$

すべてのセミマルチンゲールは、 という一意の分解を持ち、では、成分は予測可能な時間にジャンプせず、 はセミマルチンゲール位相における予測可能な時間でのジャンプの合計に等しくなります。このため が成り立ちます。^[2]「qc」成分の代表的な例としては、伊藤過程とレヴィ過程があります。 「dp」成分はマルコフ連鎖であると解釈されることが多いですが、一般に予測可能なジャンプ時間は孤立点ではない場合があります。たとえば、 は原理的にすべての有理時間でジャンプする可能性があります。はジャンプの合計に等しいにもかかわらず (セミマルチンゲール位相)、必ずしも有限変化ではないことにも注意してください。たとえば、時間間隔 では は独立した増分を持ち、時間 でのジャンプは等しい確率で値を取ります。 ${\displaystyle X}$$${\displaystyle X=X_{0}+X^{\mathrm {qc} }+X^{\mathrm {dp} },}$$${\displaystyle X_{0}^{\mathrm {qc} }=X_{0}^{\mathrm {dp} }=0}$${\displaystyle X^{\mathrm {qc} }}$${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$${\displaystyle [X^{\mathrm {qc} },X^{\mathrm {dp} }]=0}$${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$${\displaystyle \{\tau _{n}=2-1/n\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \pm 1/n}$

セミマルチンゲールの概念と、それに関連する確率解析の理論は、微分可能多様体内の値を取るプロセスにまで拡張されます。多様体M上のプロセスXがセミマルチンゲールであるとは、MからRへのすべての滑らかな関数fに対してf ( X ) がセミマルチンゲールであることを意味します (Rogers & Williams 1987、p. 24)。一般多様体上のセミマルチンゲールの確率解析では、ストラトノビッチ積分を使用する必要があります。

• シグマ・マーチンゲール

• 何盛武、王嘉剛、燕嘉安（1992）、セミマルチンゲール理論と確率計算、サイエンスプレス、CRCプレス社、ISBN 0-8493-7715-3
• カレンバーグ、オラフ（2002）、現代確率の基礎（第2版）、シュプリンガー、ISBN 0-387-95313-2
• プロッター、フィリップ E. (2004)、確率積分と微分方程式(第 2 版)、Springer、ISBN 3-540-00313-4
• ロジャース、LCG。ウィリアムズ、デヴィッド (1987)、拡散、マルコフ過程、およびマーチンゲール、vol. 2、John Wiley & Sons Ltd、ISBN 0-471-91482-7
• カランディカール、ラジェーヴァ L.; ラオ、BV (2018)、確率微積分入門、Springer Ltd、ISBN 978-981-10-8317-4