運動学

粒子の速度は、粒子の運動の方向と大きさを表すベクトル量です。より数学的に言えば、ある点の位置ベクトルの時間変化率がその点の速度です。粒子の2つの位置の差（変位）を時間間隔で割った比率を考えてみましょう。この比率はその時間間隔における平均速度と呼ばれ、次のように定義されます。$${\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {v}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {v}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {v}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$どこ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} }$は時間間隔中の変位ベクトルです${\displaystyle \Delta t}$時間間隔が極限に達すると${\displaystyle \Delta t}$平均速度がゼロに近づくと、位置ベクトルの 時間微分として定義される瞬間速度に近づきます。$${\displaystyle \mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$ したがって、粒子の速度は、その位置の時間変化率である。さらに、この速度は、粒子の軌跡上のあらゆる位置において、軌跡に接線方向となる。非回転座標系においては、座標方向の導関数は考慮されない。なぜなら、それらの方向と大きさは定数だからである。

物体の速度とは、その物体の速度の大きさのことである。これはスカラー量で ある。$${\displaystyle v=|\mathbf {v} |={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}},}$$ どこ${\displaystyle s}$は粒子の軌跡に沿って測定された弧長です。この弧長は粒子が移動するにつれて常に増加する必要があります。したがって、${\displaystyle {\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}}$は非負であるため、速度も非負である。

速度ベクトルは、大きさと方向の両方が同時に変化する可能性があります。したがって、加速度は、速度ベクトルの大きさの変化率と方向の変化率の両方を考慮に入れています。粒子の位置に関して速度を定義する際に使用したのと同じ考え方を、速度に適用して加速度を定義することもできます。粒子の加速度は、速度ベクトルの変化率によって定義されるベクトルです。時間間隔における粒子の平均加速度は、比率として定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {\bar {a}} ={\frac {\Delta \mathbf {\bar {v}} }{\Delta t}}={\frac {\Delta {\bar {v}}_{x}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{y}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{z}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {a}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {a}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {a}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$ ここで、Δvは平均速度、Δtは時間間隔である。

粒子の加速度は、時間間隔がゼロに近づくときの平均加速度の極限であり、これは時間微分である。 $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

あるいは、 $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{(\Delta t)^{2}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{(\Delta t)^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{d}}t^{2}}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

したがって、加速度は、その粒子の速度ベクトルの1階微分と位置ベクトルの2階微分に相当します。非回転座標系では、座標方向の微分は考慮されません。なぜなら、方向と大きさは定数だからです。

物体の加速度の大きさは、その加速度ベクトルの大きさ | a | で表されます。これはスカラー量です。 $${\displaystyle |\mathbf {a} |=|{\dot {\mathbf {v} }}|={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}.}$$

相対位置ベクトルとは、ある点と別の点の位置関係を定義するベクトルです。これは2点の位置の差を表します。点Aと点Bの位置関係は、単純にそれらの位置の差です。

${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}}$

これは、それらの位置ベクトルの成分間の差です。

点Aに位置成分がある場合${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\left(x_{A},y_{A},z_{A}\right)}$

点Bは位置成分を持つ${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\left(x_{B},y_{B},z_{B}\right)}$

すると、点Aと点Bの相対的な位置は、それぞれの構成要素の差になります。${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}=\left(x_{A}-x_{B},y_{A}-y_{B},z_{A}-z_{B}\right)}$

ある点の別の点に対する速度は、単純にそれらの速度の差である。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}}$$ これは、それぞれの速度の成分の差です。

点Aに速度成分がある場合${\displaystyle \mathbf {v} _{A}=\left(v_{A_{x}},v_{A_{y}},v_{A_{z}}\right)}$点Bには速度成分がある${\displaystyle \mathbf {v} _{B}=\left(v_{B_{x}},v_{B_{y}},v_{B_{z}}\right)}$すると、点Aの点Bに対する相対速度は、それらの成分の差になります。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}=\left(v_{A_{x}}-v_{B_{x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y}},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}\right)}$

あるいは、相対位置ベクトルr _B/Aの時間微分を計算することによって、同じ結果が得られる。

点Cと点Bの相対的な加速度は、単純に両者の加速度の差に等しい。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}}$$ これは、それぞれの加速度の成分間の差です。

点Cに加速度成分がある場合${\displaystyle \mathbf {a} _{C}=\left(a_{C_{x}},a_{C_{y}},a_{C_{z}}\right)}$ 点Bには加速度成分がある${\displaystyle \mathbf {a} _{B}=\left(a_{B_{x}},a_{B_{y}},a_{B_{z}}\right)}$すると、点Cの点Bに対する相対 加速度は、それらの成分の差となる。${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}=\left(a_{C_{x}}-a_{B_{x}},a_{C_{y}}-a_{B_{y}},a_{C_{z}}-a_{B_{z}}\right)}$

ポジションの初期条件を仮定すると、${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$速度${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$その時${\displaystyle t=0}$が既知であれば、最初の積分により粒子の速度が時間の関数として得られる。^{[ 20 ]}$${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {a} (\tau )\,{\text{d}}\tau }$$

変位、速度、加速度、時間の間の追加の関係を導き出すことができます。加速度が一定の場合、 $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{t}}}$$上記の式に代入すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\left({\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\right)t.}$$

速度、位置、加速度の間の関係は、時間依存性を明示的に考慮せずに、平均加速度を時間について解き、代入して簡略化することによって得られます。

$${\displaystyle t={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{\mathbf {a} }}}$$

$${\displaystyle \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}\right)\cdot {\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\ ,}$$ どこ${\displaystyle \cdot }$は内積を表し、積はベクトルではなくスカラーであるため、これは適切です。 $${\displaystyle 2\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

内積は、ベクトル間の角度αのコサイン（詳細は 「内積の幾何学的解釈」を参照）と、ベクトルの大きさで置き換えることができます。この場合、次のようになります。$${\displaystyle 2\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

加速度は常に運動の方向であり、運動の方向は正または負でなければならないため、ベクトル間の角度（α）は0なので、${\displaystyle \cos 0=1}$、 そして $${\displaystyle |\mathbf {v} |^{2}=|\mathbf {v} _{0}|^{2}+2\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|.}$$ これは、ベクトルの大きさを表す表記法を用いることで簡略化できる。${\displaystyle |\mathbf {a} |=a,|\mathbf {v} |=v,|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|=\Delta r}$どこ${\displaystyle \Delta r}$一定の接線加速度がその経路に沿って適用されるため、任意の曲線経路をとることができます。 $${\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta r.}$$

これにより、粒子の運動のパラメトリック方程式は、速度と位置のデカルト座標関係に簡略化されます。この関係は、時間が未知の場合に有用です。また、次のこともわかっています。${\textstyle \Delta r=\int v\,{\text{d}}t}$または${\displaystyle \Delta r}$は速度－時間グラフの下の面積である。^{[ 21 ]}

私たちは${\displaystyle \Delta r}$上部の面積と下部の面積を足し合わせることによって。下部の面積は長方形であり、長方形の面積は${\displaystyle A\cdot B}$どこ${\displaystyle A}$幅と${\displaystyle B}$高さです。この場合${\displaystyle A=t}$そして${\displaystyle B=v_{0}}$（${\displaystyle A}$ここでの加速度は${\displaystyle a}$これは、底部が${\displaystyle tv_{0}}$では、上面の面積（三角形）を求めてみましょう。三角形の面積は${\textstyle {\frac {1}{2}}BH}$どこ${\displaystyle B}$ベースであり、${\displaystyle H}$は高さです。^{[ 22 ]}この場合、${\displaystyle B=t}$そして${\displaystyle H=at}$または${\textstyle A={\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at^{2}}{2}}}$追加${\displaystyle v_{0}t}$そして${\textstyle {\frac {at^{2}}{2}}}$方程式の結果${\displaystyle \Delta r}$方程式の結果${\textstyle \Delta r=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$[ ^{23 ]この式は、}最終速度vが未知の場合に適用できます。

粒子の軌道が円筒上に限定されている場合、半径rは一定となり、速度ベクトルと加速度ベクトルは単純化されます。v _Pの速度は軌道r ( t ) の時間微分です。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

円筒上の粒子の軌跡の特殊なケースとして、z軸方向の動きがない場合が挙げられます。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},}$$ ここで、rとz₀_は定数である。この場合、速度vₚ_は次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }},}$$ どこ${\displaystyle \omega }$は、円筒のz軸周りの単位ベクトルθ ^{^}の角速度です。

粒子Pの_加速度aPは次のよ​​うに表される。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {{\text{d}}(v{\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=a{\hat {\mathbf {\theta } }}-v\theta {\hat {\mathbf {r} }}.}$$

コンポーネント $${\displaystyle a_{r}=-v\theta ,\quad a_{\theta }=a,}$$ これらはそれぞれ、加速度の半径方向成分と接線方向成分と呼ばれる。

角速度と角加速度の表記法は、しばしば次のように定義される。 $${\displaystyle \omega ={\dot {\theta }},\quad \alpha ={\ddot {\theta }},}$$ したがって、円軌道の半径方向および接線方向の加速度成分は次のように表されます。 $${\displaystyle a_{r}=-r\omega ^{2},\quad a_{\theta }=r\alpha .}$$

機械システムの構成要素の相対的な位置は、一方の構成要素上に固定された座標系Fに対して相対的に移動する座標系Mを導入することによって定義されます。M のFに対する剛体変換、すなわち変位によって、 2 つの構成要素の相対的な位置が定義されます。変位は、回転と並進の組み合わせから構成されます。

物体MのFに対するすべての変位の集合を、 Mの配置空間と呼ぶ。この配置空間内の、ある位置から別の位置への滑らかな曲線は、連続的な変位の集合であり、Fに対するMの運動と呼ばれる。物体の運動は、連続的な回転と並進の集合から構成される。

平面R ²における回転と並進の組み合わせは、同次変換と呼ばれる特定の種類の 3×3 行列で表すことができます。3×3 同次変換は、2×2回転行列A ( φ ) と 2×1 並進ベクトルd = ( d _x , d _y ) から次のように構成されます。 $${\displaystyle [T(\phi ,\mathbf {d} )]={\begin{bmatrix}A(\phi )&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$$ これらの同次変換は、平面z = 1 上の点、つまり座標r = ( x , y , 1) を持つ点に対して剛体変換を実行します。

特に、r を固定フレームFと一致する参照フレームM内の点の座標とします。このとき、 Mの原点がFの原点に対して並進ベクトルdだけ移動し、 Fの x 軸に対して角度 φ だけ回転すると、 M内の点のFにおける新しい座標は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {P} =[T(\phi ,\mathbf {d} )]\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

同次変換はアフィン変換を表します。この定式化が必要なのは、平行移動がR ²の線形変換ではないからです。しかし、射影幾何学を使用してR ^{2 を}R ³の部分集合とみなすと、平行移動はアフィン線形変換になります。^{[ 26 ]}

これにより、回転を、固定されたFに対する平面参照フレームMの、この共通のz軸を中心とした角度位置として記述することができます。Mにおける座標p = ( x , y )は、 Fにおける座標P = (X, Y)と次の行列方程式 で関連付けられます。$${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} ,}$$

どこ $${\displaystyle [A(t)]={\begin{bmatrix}\cos(\theta (t))&-\sin(\theta (t))\\\sin(\theta (t))&\cos(\theta (t))\end{bmatrix}},}$$これは、時間関数として、Fに対するM の角度位置を定義する回転行列です。

点p がM内で移動しない場合、F内でのその速度は次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {A}}(t)]\mathbf {p} .}$$ 座標pを消去して、これを軌道P ( t ) に対する操作として記述すると便利です。$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {A}}(t)][A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega ]\mathbf {P} ,}$$ 行列 $${\displaystyle [\Omega ]={\begin{bmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{bmatrix}},}$$これは、 Fに対するM の角速度行列として知られています。パラメータωは角度θの時間微分であり、すなわち次のようになります。 $${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}.}$$

FにおけるP ( t )の加速度は、速度の時間微分として得られます。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\ddot {P}}(t)=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ]{\dot {\mathbf {P} }},}$$ こうなる $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ][\Omega ]\mathbf {P} ,}$$ どこ $${\displaystyle [{\dot {\Omega }}]={\begin{bmatrix}0&-\alpha \\\alpha &0\end{bmatrix}},}$$はF上のM の角加速度行列であり、 $${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}.}$$

回転の記述には、以下の3つの量が含まれる。

• 角度位置：回転軸上の選択された原点からオブジェクトの点までの方向付き距離は、その点の位置を示すベクトルr ( t ) です。ベクトルr ( t ) は、回転軸に垂直な平面上に何らかの投影 (または同等に何らかの成分) r _⊥ ( t ) を持ちます。その点の角度位置は、既知の回転方向 (通常は右手の法則で与えられる)における基準軸 (通常は正のx軸) からベクトルr _⊥ ( t ) までの角度θです。
• 角速度：角速度ωは、時間tに対する角位置θの変化率です。$${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}}$$角速度は、図 1 において、回転軸に沿って向き、大きさωを持ち、右手の法則によって回転方向によって決定されるベクトルΩで表されます。
• 角加速度：角加速度αの大きさは、時間tに対する角速度ωの変化率です。$${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}}$$

並進運動学の式は、単純な変数交換によって、一定角加速度の平面回転運動学に容易に拡張できる。 $${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }=\omega _{\mathrm {i} }+\alpha t\!}$$$${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }=\omega _{\mathrm {i} }t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}}$$$${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{\mathrm {f} }+\omega _{\mathrm {i} })t}$$$${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }^{2}=\omega _{\mathrm {i} }^{2}+2\alpha (\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }).}$$

ここで、θ _iとθ _fはそれぞれ初期および最終の角位置、ω _iとω _fはそれぞれ初期および最終の角速度、αは一定の角加速度です。空間内の位置と空間内の速度はどちらも（回転下での性質に関して）真のベクトルであり、角速度も同様ですが、角度自体は真のベクトルではありません。

これらの式を定義するために、機械システムの構成要素Bの動きは、回転 [A( t )] と並進d ( t )の集合によって定義され、これらが同次変換 [T( t )]=[A( t ), d ( t )] に組み込まれます。pが移動参照フレームMで測定されたB内の点Pの座標である場合、 Fで追跡されるこの点の軌跡は次のように与えられます。 $${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[T(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$この表記法では、 P = (X, Y, Z, 1) とP = (X, Y, Z) を区別していませんが、文脈から明らかになるはずです。

点Pの軌跡を表すこの方程式を逆算すると、点Mにおける座標ベクトルpを次のように計算できます。 $${\displaystyle \mathbf {p} =[T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)={\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)^{\text{T}}&-A(t)^{\text{T}}\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}.}$$ この式は、回転行列の転置行列がその逆行列でもあるという事実を利用しています。つまり、次のようになります。 $${\displaystyle [A(t)]^{\text{T}}[A(t)]=I.\!}$$

点Pの軌跡P ( t ) に沿った速度は、この位置ベクトルの時間微分として得られます。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {T}}(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}=\left({\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\mathbf {d} }}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$ ドットは時間に関する微分を表します。pは定数なので、その微分はゼロになります。

この式は、固定座標系Fで測定された点Pの軌跡P ( t )に作用させることで、点Pの速度を求めるように修正できる。pの逆変換を速度方程式に 代入すると、次の式が得られる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{P}&=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)\\[4pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-\mathbf {d} \\0&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{\text{T}}&-{\dot {A}}A^{\text{T}}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {v} _{P}&=[S]\mathbf {P} .\end{aligned}}}$$ 行列[ S ]は次のように表される。 $${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}}$$ どこ $${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\text{T}},}$$ は角速度行列です。

演算子[ S ]を乗じると、速度vP_の式は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[\Omega ](\mathbf {P} -\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }}=\omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {v} _{O},}$$ ここで、ベクトルωは行列[Ω]の成分から得られる角速度ベクトルであり、ベクトルは $${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$は、移動座標系Mの原点Oに対するP の位置であり、 $${\displaystyle \mathbf {v} _{O}={\dot {\mathbf {d} }},}$$は原点O の速度です。

運動する物体B内の点Pの加速度は、その速度ベクトルの時間微分として求められる。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left([S]\mathbf {P} \right)=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S]{\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S][S]\mathbf {P} .}$$

この方程式は、まず計算することによって展開できます。 $${\displaystyle [{\dot {S}}]={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega {\dot {\mathbf {d} }}+{\ddot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega \mathbf {v} _{O}+\mathbf {A} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}}$$ そして $${\displaystyle [S]^{2}={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +\mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}\mathbf {d} +\Omega \mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}.}$$

加速度A _Pの公式は次のように得られます。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\dot {\Omega }}(\mathbf {P} -\mathbf {d} )+\mathbf {A} _{O}+\Omega ^{2}(\mathbf {P} -\mathbf {d} ),}$$ または $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=\alpha \times \mathbf {R} _{P/O}+\omega \times \omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {A} _{O},}$$ ここで、αは角速度ベクトルの微分から得られる角加速度ベクトルである。 $${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$は相対位置ベクトル（移動フレームMの原点Oに対するP の位置）であり、 $${\displaystyle \mathbf {A} _{O}={\ddot {\mathbf {d} }}}$$は、移動座標系M の原点の加速度である。

運動学的結合により、 6つの自由度すべてが正確に拘束される。

滑ることなく表面上を転がる物体は、その重心の速度が、その角速度と接触点から重心までのベクトルとの 外積に等しいという条件を満たす。$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{G}(t)={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{G/O}.}$$

傾いたり回転したりしない物体の場合、これは次のように簡略化されます。${\displaystyle v=r\omega }$。

これは、物体が張力を保ち長さを変えることのできない理想化されたコードで接続されているケースです。制約は、コードのすべてのセグメントの長さの合計が全長であり、したがってこの合計の時間微分がゼロであるということです。^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}この種の動的問題は振り子です。別の例としては、伸びないコードで縁に取り付けられた落下する重りに重力が作用して回転するドラムがあります。^{[ 31 ]}この種の平衡問題（つまり運動学的ではない）は懸垂線です。^{[ 32 ]}

ルーローは、機械を構成する部品間の理想的な接続を運動学的対と呼んだ。彼は、2 つのリンク間に線接触がある高次の対と、リンク間に面接触がある低次の対を区別した。J. フィリップスは、この単純な分類に当てはまらない対を構成する方法はたくさんあることを示した。^{[ 33 ]}

剛体（「リンク」）が運動対（「ジョイント」）で連結された構造は、運動連鎖と呼ばれます。機構やロボットは運動連鎖の例です。運動連鎖の自由度は、リンクの数とジョイントの数および種類から、可動性公式を用いて計算されます。この公式は、特定の自由度を持つ運動連鎖のトポロジーを列挙するためにも使用でき、これは機械設計におけるタイプ合成として知られています。