局所コンパクト位相群上の左不変（または右不変）測度
数学的解析 において 、 ハール測度は 局所的にコンパクトな位相群 のサブセットに「不変体積」を割り当て 、その結果としてそれらの群上の関数の 積分 を定義します。
この 測度は1933年に アルフレッド・ハール によって導入されたが、 リー群 に対するその特殊なケースは1897年に アドルフ・フルヴィッツ によって「不変積分」という名前で 導入されていた。 [1] [2]ハール測度は 解析学 、 数論 、 群論 、 表現論 、 統計学 、 確率論 、 エルゴード理論 の多くの部分で使用されている 。
予選 を局所コンパクト ハウス ドルフ位相群 と します 。 のすべての開部分集合によって生成される -代数は ボレル代数 と呼ばれます 。 ボレル代数の元は ボレル集合 と呼ばれます。 が の元であり 、が の 部分集合である場合 、 の左平行移動と右平行 移動を次のように g によって 定義 し ます 。
（ グ 、 ⋅ ）
{\displaystyle (G,\cdot )}
σ
{\displaystyle \sigma}
グ
{\displaystyle G}
グ
{\displaystyle g}
グ
{\displaystyle G}
S
{\displaystyle S}
グ
{\displaystyle G}
S
{\displaystyle S}
左翻訳:
グ S = { グ ⋅ s : s ∈ S } 。
{\displaystyle gS=\{g\cdot s\,:\,s\in S\}.}
正しい翻訳:
S グ = { s ⋅ グ : s ∈ S } 。
{\displaystyle Sg=\{s\cdot g\,:\,s\in S\}.}
左と右は、ボレル セットをボレル セットにマップします。
のボレル部分集合上の 測度が 左平行移動不変 である とは、すべてのボレル部分集合 とすべての 1に対して成り立つときである。
μ
{\displaystyle \mu}
グ
{\displaystyle G}
S ⊆ グ
{\displaystyle S\subseteq G}
グ ∈ グ
{\displaystyle g\in G}
μ （ グ S ） = μ （ S ） 。
{\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).}
のボレル部分集合上の 測度が 右平行移動不変で ある とは、すべてのボレル部分集合 とすべての 1に対して成り立つときである。
μ
{\displaystyle \mu}
グ
{\displaystyle G}
S ⊆ グ
{\displaystyle S\subseteq G}
グ ∈ グ
{\displaystyle g\in G}
μ （ S グ ） = μ （ S ） 。
{\displaystyle \mu(Sg)=\mu(S).}
ハールの定理 正の乗法定数を 除いて 、次の特性を満たす
のボレル部分集合上に 、一意 に可算加法 的で非自明な測度が存在します。
μ
{\displaystyle \mu}
グ
{\displaystyle G}
この測度 は左平行移動不変です: あらゆるボレル集合 に対して 。
μ
{\displaystyle \mu}
μ （ グ S ） = μ （ S ）
{\displaystyle \mu (gS)=\mu (S)}
グ ∈ グ
{\displaystyle g\in G}
S ⊆ グ
{\displaystyle S\subseteq G}
測度は あらゆるコンパクト集合上で有限です。つまり、 すべてのコンパクト に対してです 。
μ
{\displaystyle \mu}
μ （ け ） < ∞
{\displaystyle \mu (K)<\infty }
け ⊆ グ
{\displaystyle K\subseteq G}
この測度は ボレル集合上では 外正則で ある :
μ
{\displaystyle \mu}
S ⊆ グ
{\displaystyle S\subseteq G}
μ （ S ） = 無限大 { μ （ あなた ） : S ⊆ あなた 、 あなた
開ける
} 。
{\displaystyle \mu (S)=\inf\{\mu (U):S\subseteq U,U{\text{ open}}\}.}
この測度は 開集合上では 内部正則 である :
μ
{\displaystyle \mu}
あなた ⊆ グ
{\displaystyle U\subseteq G}
μ （ あなた ） = すする { μ （ け ） : け ⊆ あなた 、 け
コンパクト
} 。
{\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subseteq U,K{\text{ compact}}\}}.}
上のこのような測度は 左ハール測度 と呼ばれます。 上記の性質の結果として、 空でないすべての開部分集合に対して であることが示されます 。特に、 が コンパクトであれば は有限かつ正であるため、 正規化条件 を追加することで 上の左ハール測度を一意に指定できます 。
グ
{\displaystyle G}
μ （ あなた ） > 0
{\displaystyle \mu (U)>0}
あなた ⊆ グ
{\displaystyle U\subseteq G}
グ
{\displaystyle G}
μ （ グ ）
{\displaystyle \mu (G)}
グ
{\displaystyle G}
μ （ グ ） = 1
{\displaystyle \mu (G)=1}
完全に類推して、上の 右ハール測度 の存在と一意性も証明できます 。2 つの測度は一致する必要はありません。
グ
{\displaystyle G}
一部の著者は、ボレル集合ではなく ベール集合 にハール測度を定義しています。ベール測度は自動的に正則となるため、正則性条件は不要になります。Halmos [3] は 、コンパクト集合によって生成される - 環 の要素に対して非標準的な用語「ボレル集合」を使用し 、これらの集合にハール測度を定義しています。
σ
{\displaystyle \sigma}
左ハール測度は、すべての - 有限 ボレル集合に対して内部正則性条件を満たしますが、 すべての ボレル集合に対して内部正則であるとは限りません。たとえば、 単位円 (通常の位相) と 離散位相を 持つ実数直線の 積は、 積位相 を持つ局所コンパクト群であり 、この群上のハール測度は、閉部分集合 に対して内部正則ではありません 。 (この垂直セグメントのコンパクト部分集合は有限集合であり、点は測度 を持つ ため、この垂直セグメントの任意のコンパクト部分集合の測度は です 。ただし、外部正則性を使用すると、セグメントが無限測度を持つことを示すことができます。)
σ
{\displaystyle \sigma}
{ 1 } × [ 0 、 1 ]
{\displaystyle \{1\}\times [0,1]}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
左ハール測度の存在と一意性（スケーリングを除く）は、 アンドレ・ヴェイユ によって初めて完全な一般性をもって証明された。 [4] ヴェイユの証明では 選択公理 が用いられ、 アンリ・カルタンは 選択公理を使わない証明を行った。 [5] カルタンの証明では存在と一意性が同時に証明されている。カルタンの議論の簡略化された完全な説明は、 1963 年に アルフセンによってなされた。 [6] 2 次可算 局所コンパクト群に対する不変測度の特殊なケースは、 1933 年にハールによって示されていた。 [1]
例
が離散群 である 場合 、コンパクト部分集合は有限部分集合と一致し、 上の（左不変および右不変の）ハール測度は 計数測度 です 。
グ
{\displaystyle G}
グ
{\displaystyle G}
区間上で 値をとる 位相群上のハール測度は、 ルベーグ測度 のボレル部分集合へ の制限に等しい 。これは次のように一般化できる。
（
R
、 + ）
{\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}
1
{\displaystyle 1}
[ 0 、 1 ]
{\displaystyle [0,1]}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
（
R
ん
、 + ） 。
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+).}
円群 上の ハール測度を定義するには、 によって定義されるから へ の 関数を考えます 。すると は によって定義できます
。
ここで は 上のルベーグ測度です。 となるように 因子が選択されます 。
μ
{\displaystyle \mu}
T
{\displaystyle \mathbb {T} }
ふ
{\displaystyle f}
[ 0 、 2 π ]
{\displaystyle [0,2\pi ]}
T
{\displaystyle \mathbb {T} }
ふ （ t ） = （ コス （ t ） 、 罪 （ t ） ）
{\displaystyle f(t)=(\cos(t),\sin(t))}
μ
{\displaystyle \mu}
μ （ S ） =
1
2 π
メートル （
ふ
− 1
（ S ） ） 、
{\displaystyle \mu (S)={\frac {1}{2\pi }}m(f^{-1}(S)),}
メートル
{\displaystyle m}
[ 0 、 2 π ]
{\displaystyle [0,2\pi ]}
（ 2 π
）
− 1
{\displaystyle (2\pi )^{-1}}
μ （
T
） = 1
{\displaystyle \mu (\mathbb {T} )=1}
が乗法による正の実数 の群である 場合、
任意のボレル部分集合 の正の実数に対して ハール測度 が で与えられる
。例えば、 が 区間 とすると 、 となる 。ここで、乗法群をこの区間に作用させて、そのすべての要素に数 を乗じると、区間 となる 。この新しい区間 を 測定すると、
グ
{\displaystyle G}
μ
{\displaystyle \mu}
μ （ S ） =
∫
S
1 t
d t
{\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,dt}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
[ 1つの 、 b ]
{\displaystyle [a,b]}
μ （ S ） = ログ （ b
/
1つの ）
{\displaystyle \mu (S)=\log(b/a)}
グ
{\displaystyle g}
グ S
{\displaystyle gS}
[
g
⋅
a
,
g
⋅
b
]
.
{\displaystyle [g\cdot a,g\cdot b].}
μ
(
g
S
)
=
log
(
(
g
⋅
b
)
/
(
g
⋅
a
)
)
=
log
(
b
/
a
)
=
μ
(
S
)
.
{\displaystyle \mu (gS)=\log((g\cdot b)/(g\cdot a))=\log(b/a)=\mu (S).}
が乗算を演算とする非ゼロの実数の群である 場合、 非ゼロの実数の
任意のボレル部分集合に対してハール測度 が によって与えられます
。
G
{\displaystyle G}
μ
{\displaystyle \mu }
μ
(
S
)
=
∫
S
1
|
t
|
d
t
{\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{|t|}}\,dt}
S
{\displaystyle S}
一般線型群 では 、任意の左ハール測度は右ハール測度であり、そのような測度の1つは によって与えられます
。
ここで は、 すべての -行列の集合と同一視される 上のルベーグ測度を表します 。これは、 変数変換の公式 から得られます。
G
=
G
L
(
n
,
R
)
{\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )}
μ
{\displaystyle \mu }
μ
(
S
)
=
∫
S
1
|
det
(
X
)
|
n
d
X
{\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX}
d
X
{\displaystyle dX}
R
n
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
前の 3 つの例を一般化すると、群が 滑らかな 群演算 を伴う の開部分多様体として表される場合、 上の左ハール測度 は で与えられます 。ここで、 は の群単位元 、 は における による左乗算の ヤコビ 行列式 、 は 上のルベーグ測度です 。これは、 変数変換の公式 に従います。右ハール測度は、 が による右乗算のヤコビ行列式 である点を除いて、同じ方法で与えられます 。
G
{\displaystyle G}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
G
{\displaystyle G}
1
|
J
(
x
⋅
)
(
e
1
)
|
d
n
x
{\displaystyle {\frac {1}{|J_{(x\cdot )}(e_{1})|}}d^{n}x}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
G
{\displaystyle G}
J
(
x
⋅
)
(
e
1
)
{\displaystyle J_{(x\cdot )}(e_{1})}
x
{\displaystyle x}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
d
n
x
{\displaystyle d^{n}x}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
J
(
⋅
x
)
(
e
1
)
{\displaystyle J_{(\cdot x)}(e_{1})}
x
{\displaystyle x}
直交群 の場合 、そのハール測度は次のように構築できます (ランダム変数の分布として)。まず をサンプリング します。つまり、すべての要素が平均 0 で分散 1 の正規分布の IID サンプルである行列です。次に、 行列に対して グラム・シュミット過程を 使用します。結果のランダム変数は に値を取り、そのグループ上の確率ハール測度に従って分布します。 [7] 特殊直交群は のハール測度の制限 の開部分群である ため、 へのハール測度は に対する ハール測度を与えます (ランダム変数の用語では、これは行列式が 1、つまり確率 1/2 のイベントになるように条件付けることを意味します)。
G
=
O
(
n
)
{\displaystyle G=O(n)}
A
∼
N
(
0
,
1
)
n
×
n
{\displaystyle A\sim N(0,1)^{n\times n}}
O
(
n
)
{\displaystyle O(n)}
S
O
(
n
)
{\displaystyle SO(n)}
O
(
n
)
{\displaystyle O(n)}
O
(
n
)
{\displaystyle O(n)}
S
O
(
n
)
{\displaystyle SO(n)}
S
O
(
n
)
{\displaystyle SO(n)}
に対するのと同じ方法を 使用して、 ユニタリ群 上のハール測度を構築できます。 特殊ユニタリ群 ( では測度 0 を持つ ) の場合、そのハール測度は次のように構築できます。まず、 上のハール測度 (確率分布になるように 1 に正規化) からサンプルし 、 とします 。ここで 、 は角度のいずれか 1 つである可能性があります。次に、 上の一様分布から独立にサンプルします 。すると、 は 上のハール測度として分布します 。
O
(
n
)
{\displaystyle O(n)}
U
(
n
)
{\displaystyle U(n)}
G
=
S
U
(
n
)
{\displaystyle G=SU(n)}
U
(
n
)
{\displaystyle U(n)}
A
{\displaystyle A}
U
(
n
)
{\displaystyle U(n)}
e
i
θ
=
det
A
{\displaystyle e^{i\theta }=\det A}
θ
{\displaystyle \theta }
k
{\displaystyle k}
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \{1,...,n\}}
e
−
i
θ
+
2
π
k
n
A
{\displaystyle e^{-i{\frac {\theta +2\pi k}{n}}}A}
S
U
(
n
)
{\displaystyle SU(n)}
を、 を固定した に対する の形式の すべてのアフィン線型変換の集合 と します 。 を、非可換群に なる 関数合成 の操作 と関連付けます。 を 右半平面と同一視することができ、 その下では群演算は になります。 上の 左不変ハール測度 （それぞれ、右不変ハール測度 ）は、 の任意の
ボレル部分集合に対して で 与えられます
。 これは、 が 開部分集合である場合 、 を固定した に対して、 置換による積分は と
なるのに対し、 を固定した に対しては 、
G
{\displaystyle G}
A
:
R
→
R
{\displaystyle A:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
r
↦
x
r
+
y
{\displaystyle r\mapsto xr+y}
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
x
>
0.
{\displaystyle x>0.}
G
{\displaystyle G}
∘
{\displaystyle \circ }
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
(
0
,
∞
)
×
R
=
{
(
x
,
y
)
:
x
,
y
∈
R
,
x
>
0
}
{\displaystyle (0,\infty )\times \mathbb {R} =\left\{(x,y)~:~x,y\in \mathbb {R} ,x>0\right\}}
(
s
,
t
)
∘
(
u
,
v
)
=
(
s
u
,
s
v
+
t
)
.
{\displaystyle (s,t)\circ (u,v)=(su,sv+t).}
μ
L
{\displaystyle \mu _{L}}
μ
R
{\displaystyle \mu _{R}}
G
=
(
0
,
∞
)
×
R
{\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} }
μ
L
(
S
)
=
∫
S
1
x
2
d
x
d
y
{\displaystyle \mu _{L}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy}
μ
R
(
S
)
=
∫
S
1
x
d
x
d
y
{\displaystyle \mu _{R}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy}
S
{\displaystyle S}
G
=
(
0
,
∞
)
×
R
.
{\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} .}
S
⊆
(
0
,
∞
)
×
R
{\displaystyle S\subseteq (0,\infty )\times \mathbb {R} }
(
s
,
t
)
∈
G
{\displaystyle (s,t)\in G}
μ
L
(
(
s
,
t
)
∘
S
)
=
∫
(
s
,
t
)
∘
S
1
x
2
d
x
d
y
=
∫
S
1
(
s
u
)
2
|
(
s
)
(
s
)
−
(
0
)
(
0
)
|
d
u
d
v
=
μ
L
(
S
)
{\displaystyle \mu _{L}((s,t)\circ S)=\int _{(s,t)\circ S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{(su)^{2}}}|(s)(s)-(0)(0)|\,du\,dv=\mu _{L}(S)}
(
u
,
v
)
∈
G
{\displaystyle (u,v)\in G}
μ
R
(
S
∘
(
u
,
v
)
)
=
∫
S
∘
(
u
,
v
)
1
x
d
x
d
y
=
∫
S
1
s
u
|
(
u
)
(
1
)
−
(
v
)
(
0
)
|
d
s
d
t
=
μ
R
(
S
)
.
{\displaystyle \mu _{R}(S\circ (u,v))=\int _{S\circ (u,v)}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{su}}|(u)(1)-(v)(0)|\,ds\,dt=\mu _{R}(S).}
次元の任意の リー群 上で、左ハール測度は 、ルベーグ測度 のように、 任意の非ゼロ左不変 -形式に関連付けることができます。右ハール測度についても同様です。これは、モジュラー関数 が、 随伴表現 の 行列式 の絶対値として計算できることも意味します 。
d
{\displaystyle d}
d
{\displaystyle d}
ω
{\displaystyle \omega }
|
ω
|
{\displaystyle |\omega |}
網掛けの面積が1平方単位です。 正の実数のハール測度を 標準双曲線の正の枝 xy = 1 の下の 面積で表すには、区間 [ a,b ], b > a > 0 で生成されるボレル集合を使用します。たとえば、 a = 1 で b = オイラー数 e の場合、面積は log (e/1) = 1 に等しくなります。次に、任意の正の実数 c について、区間 [ ca, cb ] 上の面積は log ( b / a ) に等しいため、面積は正の実数による乗算で不変になります。面積は、 a が0 に近づき、 b が 大きくなると、どちらも無限大に近づくことに注意してください。このハール測度を使用して対数関数を定義すると、 a は 1 に固定され、[b,1] 内の区間 (0 < b < 1)上の面積は 負の面積 とみなされます。このように、測度は常に正またはゼロであっても、対数は任意の実数値を取ることができます。
が非ゼロ 四元数 の群である場合 、 は の 開部分集合と見なすことができます 。ハール測度は によって与えられ、
は におけるルベーグ測度を表し 、 は のボレル部分集合です 。
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
μ
{\displaystyle \mu }
μ
(
S
)
=
∫
S
1
(
x
2
+
y
2
+
z
2
+
w
2
)
2
d
x
d
y
d
z
d
w
{\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}}\,dx\,dy\,dz\,dw}
d
x
∧
d
y
∧
d
z
∧
d
w
{\displaystyle dx\wedge dy\wedge dz\wedge dw}
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
S
{\displaystyle S}
G
{\displaystyle G}
が素数 に対する -進数 の加法群である 場合、 が測度 を 持つようにすることでハール測度が与えられます 。ここでは -進整数
の環です。
G
{\displaystyle G}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
a
+
p
n
O
{\displaystyle a+p^{n}O}
p
−
n
{\displaystyle p^{-n}}
O
{\displaystyle O}
p
{\displaystyle p}
ハール測度の構築
コンパクト部分集合を用いた構成 ハール測度を構築する以下の方法は、本質的にはハールとヴェイユが使用した方法です。
が空でない任意 の 部分集合に対して、は その被覆 の左平行移動の最小の数と定義されます (したがって、これは非負の整数または無限大です)。これはコンパクト集合 に対しては加法的ではありませんが、 が 単位元 の十分に小さい開近傍である (および に依存 )という、 互いに素なコンパクト集合 に対しては という性質があります 。ハール測度の考え方は、が小さくなる につれての極限のようなものを 取り、互いに素なコンパクト集合のすべてのペアに対して を加法的にするというものですが、まずは極限が無限大にならないように正規化する必要があります。したがって、 が空でない内部 (これは群が局所的にコンパクトであるために存在する) を持つコンパクト集合を固定し、コンパクト集合 に対して を 定義する
S
,
T
⊆
G
{\displaystyle S,T\subseteq G}
S
{\displaystyle S}
[
T
:
S
]
{\displaystyle [T:S]}
S
{\displaystyle S}
T
{\displaystyle T}
K
⊆
G
{\displaystyle K\subseteq G}
[
K
:
U
]
+
[
L
:
U
]
=
[
K
∪
L
:
U
]
{\displaystyle [K:U]+[L:U]=[K\cup L:U]}
K
,
L
⊆
G
{\displaystyle K,L\subseteq G}
U
{\displaystyle U}
K
{\displaystyle K}
L
{\displaystyle L}
[
K
:
U
]
{\displaystyle [K:U]}
U
{\displaystyle U}
A
{\displaystyle A}
K
{\displaystyle K}
μ
A
(
K
)
=
lim
U
[
K
:
U
]
[
A
:
U
]
{\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}
ここで、極限は、任意の近傍に最終的に含まれる単位元の適切な有向開近傍集合に対して取られます。極限が存在するような有向集合の存在は、 チコノフの定理 を使用して示されます。
関数は の互いに素なコンパクト部分集合上で加法的であり 、これはそれが正則 内容 であることを意味する。正則内容から、まず内部正則性によって開集合に拡張し、次に外部正則性によってすべての集合に拡張し、最後にそれをボレル集合に制限することによって、測度を構築することができる 。(開集合の場合でも 、対応する測度は 上記の lim sup 公式で与えられる必要はない。問題は、lim sup 公式で与えられる関数は一般に可算劣加法的ではなく、特にコンパクト閉包を持たない任意の集合上で無限大であるため、外部測度ではないということである。)
μ
A
{\displaystyle \mu _{A}}
G
{\displaystyle G}
μ
A
{\displaystyle \mu _{A}}
U
{\displaystyle U}
μ
A
(
U
)
{\displaystyle \mu _{A}(U)}
コンパクトにサポートされた関数を使用した構成 カルタンは、ハール測度を ラドン測度 （コンパクトに支えられた連続関数上の正の線形関数）として構築する別の方法を導入した。これは 、、、 が の部分集合ではなく、コンパクトに支えられた正の連続関数であるという 点を除けば、上記の構築に似ている。この場合、 が、 ある に対して の左平行移動の線形結合よりも小さい数の最小値を と定義する 。 前 と 同様 に、次のように定義する。
A
{\displaystyle A}
K
{\displaystyle K}
U
{\displaystyle U}
G
{\displaystyle G}
[
K
:
U
]
{\displaystyle [K:U]}
c
1
+
⋯
+
c
n
{\displaystyle c_{1}+\cdots +c_{n}}
K
(
g
)
{\displaystyle K(g)}
c
1
U
(
g
1
g
)
+
⋯
+
c
n
U
(
g
n
g
)
{\displaystyle c_{1}U(g_{1}g)+\cdots +c_{n}U(g_{n}g)}
U
{\displaystyle U}
g
1
,
…
,
g
n
∈
G
{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}\in G}
μ
A
(
K
)
=
lim
U
[
K
:
U
]
[
A
:
U
]
{\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}
。 極限が存在するという事実は証明するのに多少の労力を要しますが、これを行う利点は、証明が選択公理の使用を避け、副産物としてハール測度の一意性を与えることです。汎関数は、 コンパクトにサポートされた連続関数上の正の線形汎関数に拡張されるため、ハール測度を与えます。(極限は で線形ですが 、個々の項は 通常 で線形ではないことに注意してください 。)
μ
A
{\displaystyle \mu _{A}}
K
{\displaystyle K}
[
K
:
U
]
{\displaystyle [K:U]}
K
{\displaystyle K}
関数の平均値を用いた構成 フォン・ノイマンは関数の平均値を使ってハール測度を構成する方法を示したが、これはコンパクト群に対してのみ機能する。その考え方は、 コンパクト群上の関数が与えられたとき、 定数関数と最大で小さな数 だけ異なる左平行移動の 凸結合 ( ) を見つけることができる というものである。次に、 が ゼロに近づくにつれて、これらの定数関数の値は関数 の平均値 (または積分) と呼ばれる極限に近づくことを示す 。
f
{\displaystyle f}
∑
a
i
f
(
g
i
g
)
{\textstyle \sum a_{i}f(g_{i}g)}
∑
a
i
=
1
{\textstyle \sum a_{i}=1}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
f
{\displaystyle f}
局所的にコンパクトだがコンパクトではないグループの場合、コンパクトにサポートされた関数の平均値はゼロなので、この構成ではハール測度は得られません。ただし、平均値を持つグループ上の ほぼ周期的な関数 の場合は、これと同様のことが機能しますが、これはハール測度に関しては与えられません。
リー群の構成 n 次元リー群では 、ハール測度は左不変な n 形式によって誘導される測度として簡単に構築できます。これはハールの定理以前に知られていました。
正しいハール尺度 また、上記の正則性条件を満たし、コンパクト集合上で有限である 唯一の（正の定数による乗算を除いて）右並進不変ボレル測度が存在することが証明できますが、これは左並進不変測度と一致する必要はありません 。左ハール測度と右ハール測度は、いわゆる ユニモジュラー群 （以下を参照）に対してのみ同じです。ただし、と の関係を見つけるのは非常に簡単です 。
ν
{\displaystyle \nu }
μ
{\displaystyle \mu }
μ
{\displaystyle \mu }
ν
{\displaystyle \nu }
実際、ボレル集合 に対して、 の元の逆集合 で表すとしよう 。定義すると、
S
{\displaystyle S}
S
−
1
{\displaystyle S^{-1}}
S
{\displaystyle S}
μ
−
1
(
S
)
=
μ
(
S
−
1
)
{\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }
これは右ハール測度です。右不変性を示すには、定義を適用します。
μ
−
1
(
S
g
)
=
μ
(
(
S
g
)
−
1
)
=
μ
(
g
−
1
S
−
1
)
=
μ
(
S
−
1
)
=
μ
−
1
(
S
)
.
{\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }
正しい尺度は一意であるため、 はの倍数であり 、したがって
μ
−
1
{\displaystyle \mu _{-1}}
ν
{\displaystyle \nu }
μ
(
S
−
1
)
=
k
ν
(
S
)
{\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}
すべてのボレル集合 に対して 、 は 正の定数です。
S
{\displaystyle S}
k
{\displaystyle k}
モジュラー関数 右ハール測度の左平行移動は右ハール測度である。より正確には、 が右ハール測度である場合 、 群元 g の任意の固定された選択 に対して 、
ν
{\displaystyle \nu }
S
↦
ν
(
g
−
1
S
)
{\displaystyle S\mapsto \nu (g^{-1}S)\quad }
も右不変である。したがって、ハール測度の定数倍係数までの一意性により、 群から正の実数への関数 （ハール係数 、 モジュラー関数 、 モジュラー指標 と呼ばれる）が存在し、任意のボレル集合に対して
Δ
{\displaystyle \Delta }
S
{\displaystyle S}
ν
(
g
−
1
S
)
=
Δ
(
g
)
ν
(
S
)
.
{\displaystyle \nu (g^{-1}S)=\Delta (g)\nu (S).\quad }
右ハール測度は正のスケーリング係数まで明確に定義されているため、この式はモジュラー関数が上記の式における右ハール測度の選択に依存しないことを示しています。
モジュラー関数は、 Gから 正の実数 の乗法群への連続群準同型である 。 モジュラー関数が恒等的に である場合 、または、同値として、ハール測度が左不変と右不変の両方である場合、グループは ユニモジュラーと呼ばれる。ユニモジュラー群の例には、 アーベル群 、 コンパクト群 、 離散群 （たとえば、 有限群 ）、 半単純リー群 、 連結冪 零リー群が ある。 [ 要出典 ] 非ユニモジュラー群の例には、アフィン変換の群がある
。
1
{\displaystyle 1}
{
x
↦
a
x
+
b
:
a
∈
R
∖
{
0
}
,
b
∈
R
}
=
{
[
a
b
0
1
]
}
{\displaystyle {\big \{}x\mapsto ax+b:a\in \mathbb {R} \setminus \{0\},b\in \mathbb {R} {\big \}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}
実数直線上。この例は、 解ける リー群がユニモジュラである必要がないことを示しています。この群では、左ハール測度は で与えられ 、右ハール測度は で与えられます 。
1
a
2
d
a
∧
d
b
{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}da\wedge db}
1
|
a
|
d
a
∧
d
b
{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}da\wedge db}
均質空間における測定 局所コンパクト群が 等質空間 に対して推移的に作用する場合 、この空間が不変測度、またはより一般的には の 何らかの特性に対して となる性質を持つ半不変測度を持つ かどうかを問うことができます。このような測度が存在するための必要十分条件は、制限が に等しいことです 。 ここで 、 とはそれぞれ と のモジュラー関数です。 [8]
特に、 上の不変測度が存在するのは、 のモジュラー関数 を に制限した場合 が の モジュラー関数で ある場合に限ります 。
G
{\displaystyle G}
G
/
H
{\displaystyle G/H}
μ
(
g
S
)
=
χ
(
g
)
μ
(
S
)
{\displaystyle \mu (gS)=\chi (g)\mu (S)}
χ
{\displaystyle \chi }
G
{\displaystyle G}
χ
|
H
{\displaystyle \chi |_{H}}
Δ
|
H
/
δ
{\displaystyle \Delta |_{H}/\delta }
Δ
{\displaystyle \Delta }
δ
{\displaystyle \delta }
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
G
/
H
{\displaystyle G/H}
Δ
{\displaystyle \Delta }
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
δ
{\displaystyle \delta }
H
{\displaystyle H}
例 が群で が 上三角行列の部分群である 場合、 のモジュラー関数は 非自明ですが、 のモジュラー関数は 自明です。これらの商は の任意の指標に拡張できない ため、商空間(1 次元の 実射影空間 と考えることができます ) には半不変測度さえありません。
G
{\displaystyle G}
S
L
2
(
R
)
{\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}
H
{\displaystyle H}
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
G
/
H
{\displaystyle G/H}
ハール積分 ルベーグ積分 の一般理論を用いると、 上の すべてのボレル可測関数の積分を定義することができます。この積分は ハール積分 と呼ばれ 、次のように表されます。
f
{\displaystyle f}
G
{\displaystyle G}
∫
f
(
x
)
d
μ
(
x
)
{\displaystyle \int f(x)\,d\mu (x)}
ハール測度は
どこにありますか。
μ
{\displaystyle \mu }
左ハール測度の1つの性質は 、 を の要素とすると 、次が成り立つことです。
μ
{\displaystyle \mu }
s
{\displaystyle s}
G
{\displaystyle G}
∫
G
f
(
s
x
)
d
μ
(
x
)
=
∫
G
f
(
x
)
d
μ
(
x
)
{\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)}
上の 任意のハール積分関数に対して成り立つ。これは 指示関数 に対しては即値である ：
f
{\displaystyle f}
G
{\displaystyle G}
∫
1
A
(
t
g
)
d
μ
=
∫
1
t
−
1
A
(
g
)
d
μ
=
μ
(
t
−
1
A
)
=
μ
(
A
)
=
∫
1
A
(
g
)
d
μ
,
{\displaystyle \int {\mathit {1}}_{A}(tg)\,d\mu =\int {\mathit {1}}_{t^{-1}A}(g)\,d\mu =\mu (t^{-1}A)=\mu (A)=\int {\mathit {1}}_{A}(g)\,d\mu ,}
これは本質的に左不変性の定義です。
用途 数学年報 の同じ号で 、ハールの論文の直後に、ハールの定理は ジョン・フォン・ノイマン によってコンパクト群に限定された ヒルベルトの第5問題を 解くために使われた。 [9]
が離散群でない限り、 非測定集合 の理論によれば、 選択公理を 仮定して、 の すべての 部分集合上に可算加法左不変正則測度を定義することは不可能である 。
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
抽象調和分析 ハール測度は局所コンパクト群上の 調和解析、特に ポンチャギン双対性 の理論で使用されます 。 [10] [11] [12] 局所コンパクト群上のハール測度の存在を証明するには、 上の 左不変 ラドン測度を 示すだけで十分です。
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
数理統計学 数理統計学では、ハール測度は、 変換のコンパクト群の 事前確率である事前測度として使用される。これらの事前測度は、 ワルドによる ベイズ手続き （またはベイズ手続きの限界） としての許容手続きの特徴付けを利用して、 許容手続き を構築するために使用される。たとえば、 位置パラメータ を持つ分布の族に対する右ハール測度は、と 最も 同変である ピットマン推定量 をもたらす 。左ハール測度と右ハール測度が異なる場合、通常は右測度が事前分布として好まれる。正規分布のパラメータ空間上のアフィン変換の群の場合、右ハール測度は ジェフリーズ事前 測度である。 [13] 残念ながら、右ハール測度でさえ、主観的な情報を回避する事前測度を構築する他の方法と同様に、実用には推奨できない役に立たない事前測度をもたらすことがある。 [14]
統計学におけるハール測度の別の用途は条件付き推論 であり 、統計量の標本分布はデータの別の統計量によって条件付けられます。不変量理論的条件付き推論では、標本分布は変換群の不変量（ハール測度が定義されるもの）によって条件付けられます。条件付けの結果は、不変量が使用される順序と最大不変量の選択に依存する場合があり、そのため、 統計的不変原理 だけでは、一意に最良の条件付き統計量（存在する場合）を選択できません。少なくとも別の原理が必要です。
非コンパクト群については、統計学者は 従属群 を用いてハール測度の結果を拡張した。 [15]
ヴェイユの逆定理 1936年、 アンドレ・ヴェイユは 、ある群が特定の 分離 特性を持つ左不変測度を持つ場合、 [3] 群上に位相を定義でき、群の完備化は局所コンパクトであり、与えられた測度はこの完備化上のハール測度と本質的に同じであることを示し、ハールの定理の（ある種の）逆を証明しました。
参照
注記
^ ab Haar、A. (1933)、「Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen」、 Annals of Mathematics 、2、vol. 34、いいえ。 1、147–169ページ、 土井 ：10.2307/1968346、 JSTOR 1968346 ^ IM ジェームズ、トポロジーの歴史、p.186 ^ ab ハルモス、ポール・R. (1950)。 測度論 。ニューヨーク：シュプリンガー・サイエンス+ビジネス・メディア。p. 219-220。ISBN 978-1-4684-9442-6 。 ^ Weil、André (1940)、 L'intégration dans les groupes topologiques et ses application 、Actualités Scientifiques et Industrielles、vol. 869、パリ: ヘルマン ^ Cartan、Henri (1940)、「Sur la mesure de Haar」、 Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 、 211 : 759–762 ^ Alfsen, EM (1963)、「ハール測度の存在と一意性の簡略化された構成的証明」、 Math. Scand. 、 12 : 106–116 ^ Diaconis, Persi (2003-02-12). 「固有値のパターン: 第70回ジョサイア・ウィラード・ギブス講演」. アメリカ数学会報 . 40 (2): 155–178. doi : 10.1090/s0273-0979-03-00975-3 . ISSN 0273-0979. ^ ブルバキ、ニコラス （2004）、 積分II第7章§6定理3 、ベルリン-ハイデルベルク-ニューヨーク：シュプリンガー ^ von Neumann, J. (1933)、「Die Einfuhrung Analytischer Parameter in Topologischen Gruppen」、 Annals of Mathematics 、2、vol. 34、いいえ。 1、170–179ページ、 土井 ：10.2307/1968347、 JSTOR 1968347 ^ バナシュチク、ヴォイチェフ (1991)。 位相ベクトル空間の加法的サブグループ 。数学の講義ノート。 Vol. 1466. ベルリン: Springer-Verlag。 viii+178ページ。 ISBN 3-540-53917-4 MR 1119302 。 ^ Yurii I. Lyubich. 群のバナッハ表現理論入門 。1985年のロシア語版（ハリコフ（Kharkiv）、ウクライナ）からの翻訳。Birkhäuser Verlag。1988年。 ^ Charles F. Dunkl と Donald E. Ramirez: 調和解析のトピックス 。Appleton-Century-Crofts。1971 年 。ISBN 039027819X 。 ^ Berger, James O. (1985)、「6 不変性」、 統計的決定理論とベイズ分析 （第 2 版）、Springer Verlag、pp. 388–432 ^ ロバート、クリスチャン P (2001)。 ベイズ選択 - 意思決定理論の動機 （第 2 版）。シュプリンガー 。ISBN 0-387-94296-3 。 ^ ボンダー、ジェームズ V.ポール・ミルンズ (1981)。 「適応性: ハント・スタインの統計的応用とグループに関する関連条件の調査」。 Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie および Verwandte Gebiete 。 57 ：103-128。 土井 : 10.1007/BF00533716 。
さらに読む ディーステル、ジョー 、 スパルズベリー、アンジェラ （2014）、 ハール測度の喜び 、数学大学院研究、第150巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、 ISBN 978-1-4704-0935-7 、 MR 3186070 ルーミス、リン （1953）、 抽象調和解析入門 、D. ヴァン・ノストランド社、 hdl ： 2027/uc1.b4250788 。 ヒューイット、エドウィン。ロス、ケネス A. (1963)、 抽象高調波解析。 Vol. I: 位相グループの構造。統合理論、群表現。 、Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 115、ベルリン - ゲッティンゲン - ハイデルベルク: Springer-Verlag、 MR 0156915 ナハビン、レオポルド (1965)、 ハール インテグラル 、ニュージャージー州プリンストン: D. ヴァン ノストランド アンドレ・ヴェイユ 『 基礎数論』 、アカデミック出版、1971年。
外部リンク 局所コンパクト位相群上のハール積分の存在と一意性 - Gert K. Pedersen 著 局所コンパクト群上の不変測度の存在と一意性について - Simon Rubinstein-Salzedo 著
![{\displaystyle \{1\}\times [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daaed32bc9c788ddab713d681ff6d64b2c08e0e8)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348d40bf3f8b7e1c00c4346440d7e2e4f0cc9b91)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [g\cdot a,g\cdot b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219cc489c5719d2e01f4ed2e08e8f76455d64ffb)
![{\displaystyle [T:S]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e122fdfa3769405929d766649f057d92d522609)
![{\displaystyle [K:U]+[L:U]=[K\cup L:U]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0c2333d5277120a30a4f48b829169b79806a67)
![{\displaystyle [K:U]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d359f8cac3b2ec43436f11f8ee8e283c99957bb)
![{\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc384a8e77c4fdb08dec910b6121b61629299456)
