分数ブラウン運動

このプロセスは自己相似である。なぜなら、確率分布の観点からは、次のようになるからである。

${\displaystyle B_{H}(at)\sim |a|^{H}B_{H}(t).}$

この特性は、共分散関数が2H次の同次関数であり、フラクタル特性とみなせることに起因します。FBmは、原点でゼロ、定常かつ自己相似な増分を持つ、唯一の平均ゼロのガウス過程として定義することもできます。

増分は一定です。

${\displaystyle B_{H}(t)-B_{H}(s)\;\sim \;B_{H}(t-s).}$

H > 1/2の場合、このプロセスは長距離依存性を示します。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }E[B_{H}(1)(B_{H}(n+1)-B_{H}(n))]=\infty .}$

サンプルパスはほとんど至るところで微分不可能である。しかし、ほとんどすべての軌跡は、Hより厳密に小さい任意の次数で局所的にヘルダー連続である。すなわち、そのような各軌跡について、すべてのT > 0 およびすべてのε > 0 に対して、(ランダムな) 定数cが存在し、     

${\displaystyle |B_{H}(t)-B_{H}(s)|\leq c|t-s|^{H-\varepsilon }}$

0  < s、t < Tの場合。   

確率1で、 B _H ( t )のグラフは、ハウスドルフ次元^{[ 2 ]}とボックス次元^{[ 3 ]}の両方が2 − Hである。

通常のブラウン運動と同様に、分数ブラウン運動に関する確率積分を定義することができ、これは通常「分数確率積分」と呼ばれます。ただし一般に、通常のブラウン運動に関する積分とは異なり、分数確率積分はセミマルチンゲールではありません。

ブラウン運動は、ホワイトノイズをフィルタリングしたものと見なすことができる。${\displaystyle \omega ^{-2}}$（つまり、積分された）分数ブラウン運動は、ホワイトノイズによってフィルタリングされます。${\displaystyle \omega ^{-H-1/2}}$（分数積分に対応）

既知の共分散関数を持つ定常ガウス過程を生成する方法を用いて、 fBmのサンプルパスをシミュレートすることができる。最も単純な方法は、共分散行列のコレスキー分解法（後述）に基づいており、これは、サイズのグリッド上で行われる。${\displaystyle n}$ オーダーの複雑さを持つ${\displaystyle O(n^{3})}$より複雑だが計算速度が速い方法として、Dietrich & Newsam (1997)の巡回埋め込み法がある。

fBMの値を時刻ごとにシミュレートしたいとします。${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$コレスキー分解法を用いて 。

• 行列を作成する${\displaystyle \Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}}$どこ${\displaystyle \,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2}$。
• 計算する${\displaystyle \,\Sigma }$平方根行列${\displaystyle \,\Gamma }$つまり${\displaystyle \,\Sigma ^{2}=\Gamma }$大まかに言えば、${\displaystyle \,\Sigma }$は、分散共分散行列に関連付けられた「標準偏差」行列です。${\displaystyle \,\Gamma }$。
• ベクトルを構築する${\displaystyle \,v}$標準正規分布に従って独立に抽出されたn 個の数値のうち、
• 定義すると${\displaystyle \,u=\Sigma v}$それから${\displaystyle \,u}$fBmのサンプルパスを生成します。

計算するために${\displaystyle \,\Sigma }$例えば、コレスキー分解法を用いることができます。別の方法としては、固有値を用いる方法があります。${\displaystyle \,\Gamma }$:

• 以来${\displaystyle \,\Gamma }$は対称正定値行列であるため、すべての固有値は${\displaystyle \,\lambda _{i}}$の${\displaystyle \,\Gamma }$満足する${\displaystyle \,\lambda _{i}>0}$、（${\displaystyle i=1,\dots ,n}$)
• させて${\displaystyle \,\Lambda }$固有値の対角行列、すなわち${\displaystyle \Lambda _{ij}=\lambda _{i}\,\delta _{ij}}$どこ${\displaystyle \delta _{ij}}$はクロネッカー デルタです。私たちは定義します${\displaystyle \Lambda ^{1/2}}$対角行列としてエントリを持つ${\displaystyle \lambda _{i}^{1/2}}$つまり${\displaystyle \Lambda _{ij}^{1/2}=\lambda _{i}^{1/2}\,\delta _{ij}}$。

結果は実数値であることに注意してください。${\displaystyle \lambda _{i}>0}$。

• させて${\displaystyle \,v_{i}}$固有値に関連付けられた固有ベクトル${\displaystyle \,\lambda _{i}}$。 定義する${\displaystyle \,P}$行列として${\displaystyle i}$番目の列は固有ベクトルです${\displaystyle \,v_{i}}$。

固有ベクトルは線形独立であるため、行列は${\displaystyle \,P}$可逆である。

• したがって、${\displaystyle \Sigma =P\,\Lambda ^{1/2}\,P^{-1}}$なぜなら${\displaystyle \Gamma =P\,\Lambda \,P^{-1}}$。

^{[ 6 ]}​

${\displaystyle B_{H}(t)=\int _{0}^{t}K_{H}(t,s)\,dB(s)}$

ここで、Bは標準ブラウン運動であり、

${\displaystyle K_{H}(t,s)={\frac {(t-s)^{H-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (H+{\frac {1}{2}})}}\;_{2}F_{1}\left(H-{\frac {1}{2}};\,{\frac {1}{2}}-H;\;H+{\frac {1}{2}};\,1-{\frac {t}{s}}\right).}$

どこ${\displaystyle _{2}F_{1}}$これはオイラー超幾何積分です。

点におけるfBmをシミュレートしたいとします。${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T}$。

• 標準正規分布に従って抽出されたn個の数値からなるベクトルを作成する。
• √T / nを各成分ごとに掛けて、[0, T ]上のブラウン運動の増分を得る。このベクトルを次のように表す。 ${\displaystyle (\delta B_{1},\ldots ,\delta B_{n})}$。
• 各${\displaystyle t_{j}}$計算する

${\displaystyle B_{H}(t_{j})={\frac {n}{T}}\sum _{i=0}^{j-1}\int _{t_{i}}^{t_{i+1}}K_{H}(t_{j},\,s)\,ds\ \delta B_{i}.}$

この積分はガウス求積法によって効率的に計算できる。