フーリエ変換

数学において、フーリエ変換( FT ) は、関数を入力として受け取り、元の関数に存在するさまざまな周波数の程度を表す別の関数を出力する積分変換です。 変換の出力は、周波数の複素数値関数です。フーリエ変換という用語は、この複素数値関数と数学演算の両方を指します。 区別する必要がある場合、演算の出力は、元の関数の周波数領域表現と呼ばれることがあります。 フーリエ変換は、音楽のコードの音を、それを構成するピッチの強度に分解することに似ています。

時間領域に局在する関数のフーリエ変換は周波数領域に広がり、その逆も同様です。この現象は不確定性原理として知られています。この原理の重要な例はガウス関数であり、確率論や統計学、および正規分布を示す物理現象 (拡散など) の研究で非常に重要です。ガウス関数のフーリエ変換は、別のガウス関数です。ジョセフ・フーリエは、熱伝達の研究で正弦変換と余弦変換(現代のフーリエ変換の虚数部と実数部に対応)を導入しました。この研究では、ガウス関数が熱方程式の解として現れます。

フーリエ変換は、不完全な リーマン積分として正式に定義することができ、積分変換になりますが、この定義は、より洗練された積分理論を必要とする多くのアプリケーションには適していません。^{[注 1]}たとえば、多くの比較的単純なアプリケーションでは、ディラックのデルタ関数を使用します。これは、関数であるかのように形式的に扱うことができますが、その正当性には数学的に洗練された観点が必要です。^{[注 2]}

フーリエ変換は、ユークリッド空間上の複数の変数の関数に一般化することもでき、 3 次元の「位置空間」の関数を3 次元の運動量の関数に（または空間と時間の関数を4 次元の運動量の関数に）変換します。この考え方により、空間フーリエ変換は、波動の研究、および波の解を位置または運動量の関数、場合によってはその両方の関数として表すことができることが重要である量子力学において非常に自然なものになります。一般に、フーリエ法を適用できる関数は複素数値であり、ベクトル値の場合もあります。^{[注 3]さらに一般化して、}グループ上の関数にすることもできます。これには、 RまたはR ⁿ上の元のフーリエ変換の他に、離散時間フーリエ変換(DTFT、グループ = Z )、離散フーリエ変換(DFT、グループ = Z mod N )、およびフーリエ級数または円フーリエ変換 (グループ = S ¹、単位円 ≈ 端点が識別された閉じた有限区間) が含まれます。後者は周期関数を扱うために日常的に用いられます。高速フーリエ変換(FFT) は DFT を計算するためのアルゴリズムです。

フーリエ変換は、複素数値関数をその構成周波数と振幅に分解する分析プロセスです。逆のプロセスは合成であり、変換から再現します。 ${\displaystyle \textstyle f(x)}$${\displaystyle \textstyle f(x)}$

まず、ある正の実数について有界区間で解析するフーリエ級数という 類推から始めることができます。 構成周波数は、振幅と位相が解析式で与えられる周波数における高調波の離散集合です。実際のフーリエ級数は合成式です。有界でない区間では、構成周波数は連続体です: ^{[1] [2] [3]} そして関数に置き換えられます: ^[4]${\displaystyle \textstyle f(x)}$${\displaystyle \textstyle x\in [-P/2,P/2],}$${\displaystyle P.}$${\displaystyle {\tfrac {n}{P}},n\in \mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}f(x)\,e^{-i2\pi {\frac {n}{P}}x}\,dx.}$$$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},\quad \textstyle x\in [-P/2,P/2].}$$${\displaystyle P\to \infty ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}\to \xi \in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle c_{n}}$

のすべての値について式 1を評価すると、周波数領域関数が生成されます。積分は、いくつかの周波数で発散する可能性があります。(§ 周期関数のフーリエ変換を参照) しかし、 がすべての導関数で次のように減少する場合、すべての周波数で収束します。(シュワルツ関数を参照)。リーマン-ルベーグの補題により、変換された関数もすべての導関数で減少します。 ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f^{(n)}(x)=0,n=0,1,2,\dots }$${\displaystyle {\widehat {f}}}$

極座標における複素数 は、周波数の振幅と位相の両方を表します。式 1 の直感的な解釈は、を乗じる効果は関数のすべての周波数成分から減算することであるということです^{[注 4]} 周波数にあった成分のみが、無限積分の非ゼロ値を生成できます。これは、(少なくとも形式的には) 他のすべてのシフトされた成分が振動し、ゼロに積分されるためです。(§ 例を参照) ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$${\displaystyle \xi .}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle \xi }$

対応する合成式は次のとおりです。

式2は、複素指数関数の加重和として 表現されます。${\displaystyle f(x)}$

これはフーリエ反転定理としても知られ、フーリエの 熱解析理論で初めて導入されました。^{[5] [6] [7] [8]}

関数と関数はフーリエ変換ペアと呼ばれます。^[9]  変換ペアを指定するための一般的な表記法は次のとおりです。^[10]   たとえば   ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ),}$$${\displaystyle \operatorname {rect} (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \operatorname {sinc} (\xi ).}$

測定可能な関数は 、その絶対値のルベーグ積分が有限である 場合に、（ルベーグ）積分可能と呼ばれます。 ルベーグ積分可能な関数の場合、フーリエ変換は式によって定義されます。^[11] 積分式は、仮定 によりすべてに対して明確に定義されます。（関数は周波数領域で有界かつ一様連続であることが示され、さらに、リーマン-ルベーグの補題により、無限大でゼロになります。） ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$$${\displaystyle \|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \|f\|_{1}<\infty }$${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C(\mathbb {R} )}$

空間は、ほぼどこでも等式の同値関係を法としてノルムが有限である測定可能な関数の空間です。フーリエ変換は 上で 1 対 1 です。ただし、像の簡単な特徴付けはなく、したがって逆変換の簡単な特徴付けもありません。特に、式 2 は、すべての導関数で が減少するという仮定の下でのみ述べられたため、もはや有効ではありません。 ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \|f\|_{1}}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f(x)}$

さらに、式 1 はにおける (複素数値) 関数のフーリエ変換を定義していますが、他の積分可能クラス、最も重要な二乗可積分関数の空間 に対しては明確に定義されていないことが容易にわかります。たとえば、関数 はにありますが にはないので、積分式 1 は発散します。ただし、の稠密部分空間へのフーリエ変換の制限は、上の内積に関してユニタリです。したがって、 上のユニタリ演算子への一意の連続拡張 (フーリエ変換とも呼ばれます) が許容されます。この拡張が重要な理由の 1 つは、フーリエ変換が空間を保存するため、 の場合とは異なり、フーリエ変換と逆変換が同じ基盤にあり、同じ関数空間からそれ自身への変換であるためです。 ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{1}}$

このような場合、積分を正規化し、極限まで進めることで、フーリエ変換を明示的に得ることができる。実際には、積分は適切なルベーグ積分ではなく、不適切積分と見なされることが多いが、収束のためには、不適切積分に暗黙的に含まれる（点ごとの）極限ではなく、弱極限または主値を使用する必要がある場合もある。Titchmarsh (1986) と Dym & McKean (1985) は、この手順を使用してフーリエ変換を平方積分可能関数に拡張する 3 つの厳密な方法を示している。フーリエ変換を扱う際の一般原則は、ガウス関数は に密であり、フーリエ変換のさまざまな特徴、たとえばユニタリー性はガウス関数に対して簡単に推論できるということである。フーリエ変換の特性の多くは、ガウス関数に関する 2 つの事実から証明できる。^[12]${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}}$

• それはそれ自体のフーリエ変換であり、${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$
• ガウス積分は${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi x^{2}}\,dx=1.}$

フーリエ変換の特徴は、畳み込み演算を備えたバナッハ代数の（上限）ノルムの下での連続関数のバナッハ代数への準同型であるということである。この記事で選択された規則は調和解析のものであり、ルベーグ測度を再正規化することなく、フーリエ変換がL ²上でユニタリであり、 L ^1からL ^∞への代数準同型であるという唯一の規則として特徴付けられる。^[13]${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{\infty }}$

独立変数 ( ) が時間( で表されることが多い) を表す場合、変換変数 ( )は周波数( で表されることが多い) を表します。たとえば、時間が秒で測定される場合、周波数はヘルツで表されます。フーリエ変換は、単位がラジアン/秒である角周波数で表すこともできます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \omega =2\pi \xi ,}$

式 1への代入 により 、関数が再ラベル付けされた次の規則が生成されます。式 1の定義とは異なり、フーリエ変換はもはやユニタリ変換ではなく、変換とその逆変換の式間の対称性が低くなります。これらの特性は、変換とその逆変換の間で因子を均等に分割することによって復元され、別の規則につながります。3 つの規則すべてのバリエーションは、順方向変換と逆変換の両方の複素指数カーネルを共役させることによって作成できます。符号は反対である必要があります。 ${\displaystyle \xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$${\displaystyle {\widehat {f_{1}}}:}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{3}}}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{3}}}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$${\displaystyle 2\pi }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{2}}}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{2}}}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$

1822年、フーリエは、連続関数か不連続関数かを問わず、あらゆる関数は正弦波の列に展開できると主張した（ジョセフ・フーリエ§ 熱の解析理論を参照）。 ^[14]この重要な研究は他の人によって修正され、拡張され、それ以来使用されているさまざまな形式のフーリエ変換の基礎となった。

一般に、係数は複素数であり、2 つの同値な形式があります (オイラーの公式を参照)。 ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.}$$

(式2 )との積は次のようになる。 ${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}&=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}\\&=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}\\&=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.\end{aligned}}}$$

極形式を使用して積がいかに簡単に簡略化されたか、またオイラーの公式を適用して直交形式がいかに簡単に導き出されたかは注目に値します。

オイラーの公式は、負の の可能性を導入し  、式 1 は定義されます。 特定の複素数値のみが変換を持ちます ( 「解析信号」を参照してください。簡単な例は です)。ただし、負の周波数は、信号処理、偏微分方程式、レーダー、非線形光学、量子力学、その他 で見つかる他のすべての複素数値を特徴付けるために必要です。${\displaystyle \xi .}$${\displaystyle \forall \xi \in \mathbb {R} .}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0}$${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0).}$${\displaystyle f(x),}$

実数値の場合、式 1 は対称性を持ちます (以下の § 共役を参照)。この冗長性により、式 2 はと を区別できます。  ただし、実数直線上ではと は区別できないため 、 の実際の符号はわかりません。 ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )}$${\displaystyle f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)}$${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}.}$${\displaystyle \xi _{0},}$${\displaystyle \cos(2\pi \xi _{0}x)}$${\displaystyle \cos(2\pi (-\xi _{0})x)}$

周期関数のフーリエ変換は、積分公式を直接使用して定義することはできません。式 1の積分を定義するには、関数が絶対積分可能でなければなりません。代わりに、フーリエ級数を使用するのが一般的です。定義を拡張して、周期関数を調整分布として見ることで、周期関数を含めることができます。

これにより、収束するフーリエ級数を持つ周期関数のフーリエ級数とフーリエ変換の関係を見ることができます。 が周期 を持つ周期関数で、収束するフーリエ級数を持つ場合、次のようになります。 ここ で、は のフーリエ級数係数であり、 はディラックのデルタ関数です。 言い換えると、フーリエ変換は、その歯にフーリエ級数係数が乗算された ディラックの櫛関数です。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),}$$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta }$

積分可能な関数のフーリエ変換は、任意の長さの一定の間隔でサンプリングすることができます。これらのサンプルは、ポアソン総和公式によってそれらのサンプルに比例するフーリエ級数係数を持つ周期関数の1サイクルから推定できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}.}$${\displaystyle f_{P}}$$${\displaystyle f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} }$$

の積分可能性は周期的な和が収束することを保証します。したがって、サンプルはフーリエ級数解析によって決定できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)}$$${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.}$$

がコンパクトなサポートを持つ場合、積分区間内には有限個の項があります。 がコンパクトなサポートを持たない場合、 の数値評価には、項の数 を減らす、または切り捨てるなどの近似が必要です。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f_{P}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f_{P}(x)}$${\displaystyle f(x)}$

周波数変数は、元の関数の定義域（通常はまたはという名前）の単位の逆単位を持つ必要があります。たとえば、が秒単位で測定される場合、はサイクル/秒またはヘルツでなければなりません。時間のスケールが秒単位の場合、通常は別のギリシャ文字を使用して角周波数（ ）をラジアン/秒単位で表します。を長さの単位に使用している場合、 は逆長さ、たとえば波数でなければなりません。つまり、実数直線には 2 つのバージョンがあります。1 つはの範囲での単位で測定され、もう 1 つは の範囲で の単位の逆単位で測定されます。実数直線のこれらの 2 つの異なるバージョンを互いに同一視することはできません。したがって、フーリエ変換は、1 つの関数空間から別の関数空間（定義の定義域が異なる関数）に移動します。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega =2\pi \xi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle t}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle t.}$

一般に、は常にその定義域の空間上の線型形式であるとみなされなければなりません。つまり、2 番目の実数直線は 1番目の実数直線の双対空間です。より正式な説明と詳細については、線型代数の記事を参照してください。この観点は、フーリエ級数の場合を含む、一般的な対称群へのフーリエ変換の一般化において重要になります。 ${\displaystyle \xi }$

フーリエ変換に含まれる実数の直線の 2 つのバージョンを比較するための好ましい方法が 1 つもない (多くの場合、「標準的な方法がない」と言われます) ため、一方の直線の単位を固定しても、もう一方の直線の単位のスケールは強制されません。これが、フーリエ変換の定義に関する競合する慣習が多数存在する理由です。単位の選択によって生じるさまざまな定義は、さまざまな定数によって異なります。

他の慣例によれば、フーリエ変換の指数には− iではなくiが使用され、反転式ではその逆になります。この慣例は現代物理学では一般的で^[15]、Wolfram Alpha のデフォルトです。また、複素波の周波数の正の値の標準的な定義がないため、周波数が負になったことを意味するものではありません。これは単に、 が  波ではなく  波の振幅であること  を意味します(前者はマイナス符号付きで、電磁波方程式の正弦平面波解の時間依存性や、量子波動関数の時間依存性でよく見られます)。フーリエ変換に関係する恒等式の多くは、明示的にi を含む項がすべて− iに置き換えられる限り、これらの慣例でも有効です。電気工学では、i が電流に使用される ため、虚数単位にはiではなく文字jが通常使用されます。${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$

無次元単位を使用する場合、定数因子は変換定義に記述されないこともあります。たとえば、確率論では、連続型のランダム変数Xの確率密度関数fの特性関数Φは指数関数に負の符号なしで定義され、xの単位は無視されるため、 2 πも存在しません。 $${\displaystyle \phi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.}$$

(確率論や数理統計学では、フーリエ—スティルチェス変換の使用が好まれます。これは、多くのランダム変数が連続型ではなく、密度関数を持たないため、関数ではなく分布、つまり「原子」を持つ尺度を扱う必要があるためです。)

より抽象的な群特性のより高い観点からは、これらすべての任意の選択は消えます。これについては、局所コンパクトアーベル群上の関数のフーリエ変換の概念を扱うこの記事の後半で説明します。

およびは、次を満たす実数直線上で ルベーグ測定可能な積分可能関数を表します。 これらの関数のフーリエ変換をそれぞれ および と表します。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle h(x)}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .}$$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )}$

フーリエ変換には以下の基本的な性質がある: ^[16]

$${\displaystyle a\ f(x)+b\ h(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ a\ {\widehat {f}}(\xi )+b\ {\widehat {h}}(\xi );\quad \ a,b\in \mathbb {C} }$$

$${\displaystyle f(x-x_{0})\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ e^{-i2\pi x_{0}\xi }\ {\widehat {f}}(\xi );\quad \ x_{0}\in \mathbb {R} }$$

$${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}f(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(\xi -\xi _{0});\quad \ \xi _{0}\in \mathbb {R} }$$

$${\displaystyle f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0}$$ この場合、時間反転特性が生まれます。 ${\displaystyle a=-1}$$${\displaystyle f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )}$$

複素関数の実部と虚部を偶数部と奇数部に分解すると、4つの成分があり、以下では下付き文字RE、RO、IE、IOで表されます。複素時間関数の4つの成分と複素周波数変換の4つの成分の間には1対1のマッピングがあります。^[17]

${\displaystyle {\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&f&=&f_{_{\text{RE}}}&+&f_{_{\text{RO}}}&+&i\ f_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ f_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&{\widehat {f}}&=&{\widehat {f}}_{_{\text{RE}}}&+&\overbrace {i\ {\widehat {f}}_{_{\text{IO}}}\,} &+&i\ {\widehat {f}}_{_{\text{IE}}}&+&{\widehat {f}}_{_{\text{RO}}}\end{array}}}$

このことから、次のようなさまざまな関係が明らかになります。

• 実数値関数の変換は共役対称関数です。 逆に、共役対称変換は実数値の時間領域を意味します。${\displaystyle (f_{_{RE}}+f_{_{RO}})}$${\displaystyle {\hat {f}}_{RE}+i\ {\hat {f}}_{IO}.}$
• 虚数値関数の変換は共役反対称関数であり、その逆もまた真である。${\displaystyle (i\ f_{_{IE}}+i\ f_{_{IO}})}$${\displaystyle {\hat {f}}_{RO}+i\ {\hat {f}}_{IE},}$
• 共役対称関数の変換は実数値関数であり、その逆もまた真です。${\displaystyle (f_{_{RE}}+i\ f_{_{IO}})}$${\displaystyle {\hat {f}}_{RE}+{\hat {f}}_{RO},}$
• 共役反対称関数の変換は虚数値関数であり、その逆もまた真である。${\displaystyle (f_{_{RO}}+i\ f_{_{IE}})}$${\displaystyle i\ {\hat {f}}_{IE}+i{\hat {f}}_{IO},}$

$${\displaystyle {\bigl (}f(x){\bigr )}^{*}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ \left({\widehat {f}}(-\xi )\right)^{*}}$$ （注：∗ は複素共役を表します。）

特に、が実数の場合、 は対称関数（エルミート関数とも呼ばれます）でもあります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\bigl (}{\widehat {f}}(\xi ){\bigr )}^{*}.}$$

が純虚数の場合、 は奇対称です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )=-({\widehat {f}}(\xi ))^{*}.}$$

$${\displaystyle \operatorname {Re} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}(\xi )+{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Im} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2i}}\left({\widehat {f}}(\xi )-{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$$

定義に 代入すると次のようになります。${\displaystyle \xi =0}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.}$$

関数の定義域での積分は、関数の 平均値またはDC バイアスとして知られています。${\displaystyle f}$

フーリエ変換は、非積分関数に対して定義される場合もありますが、積分関数のフーリエ変換にはいくつかの強力な特性があります。

任意の積分可能関数のフーリエ変換は一様連続であり、^[18]${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \left\|{\hat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}$$

リーマン・ルベーグの補題により、^[19] $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .}$$

しかし、 は積分可能である必要はありません。たとえば、積分可能な長方形関数のフーリエ変換はsinc 関数ですが、これはルベーグ積分可能ではありません。これは、その不定積分が交代調和級数と同様に動作し、絶対収束することなく和に収束するためです。 ${\displaystyle {\hat {f}}}$

逆変換をルベーグ積分として表すことは一般に不可能です。しかし、とが両方とも積分可能である場合、逆等式は ほとんどすべてのxに対して成り立ちます。その結果、フーリエ変換はL ¹ ( R )上で単射になります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {f}}}$$${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi }$$

f ( x )とg ( x )を積分可能とし、f̂ ( ξ )とĝ ( ξ )をそれらのフーリエ変換とする。f ( x )とg ( x )も2乗積分可能であれば、パーセバルの公式は次のように表される: ^{[20]。ここ}で バーは複素共役を表す。 $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi ){\overline {{\hat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}$$

上記から導かれるプランシュレルの定理は、[ 21 ^] $${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .}$$

プランシュレルの定理は、連続性の議論によって、フーリエ変換をL ² ( R )上のユニタリ演算子に拡張することを可能にする。L ¹ ( R ) ∩ L ² ( R )上で、この拡張はL ¹ ( R )上で定義された元のフーリエ変換と一致し、したがってフーリエ変換の定義域がL ¹ ( R ) + L ² ( R )（したがって1 ≤ p ≤ 2の場合はL ^p ( R ) ）に拡大される。 プランシュレルの定理は、科学では、フーリエ変換が元の量のエネルギーを保存すると解釈されている。 これらの式の用語は、あまり標準化されていない。 パーセバルの定理はフーリエ級数に対してのみ証明され、最初に証明したのはリャプノフであった。しかし、パーセバルの公式はフーリエ変換にも意味を成すため、フーリエ変換の文脈ではプランシュレルによって証明されたにもかかわらず、今でもパーセバルの公式、パーセバルの関係、あるいはパーセバルの定理と呼ばれることがよくあります。

局所コンパクトアーベル群の文脈におけるこの概念の一般的な定式化については、 ポントリャーギン双対性を参照してください。

フーリエ変換は、関数の畳み込みと乗算の間の変換です。f ( x )とg ( x )がそれぞれフーリエ変換f̂ ( ξ )とĝ ( ξ )を持つ積分可能な関数である場合、畳み込みのフーリエ変換は、フーリエ変換f̂ ( ξ )とĝ ( ξ )の積で与えられます(フーリエ変換の定義に関する他の規則では、定数係数が現れる場合があります)。

これは、次のことを意味します: ここで、∗ は畳み込み演算を表します。 $${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$$$${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\,{\hat {g}}(\xi ).}$$

線形時不変（LTI）システム理論では、単位インパルスをf ( x )に代入するとh ( x ) = g ( x )となるため、g ( x )を入力f ( x )と出力h ( x )を持つLTIシステムのインパルス応答として解釈するのが一般的です。この場合、ĝ ( ξ ) はシステムの 周波数応答を表します。

逆に、f ( x ) が2つの平方積分関数p ( x )とq ( x )の積として分解できる場合、 f ( x )のフーリエ変換は、それぞれのフーリエ変換p̂ ( ξ )とq̂ ( ξ )の畳み込みによって与えられます。

同様に、h ( x ) がf ( x )とg ( x )の相互相関である場合、 h ( x ) のフーリエ変換は次のようになることが示されます。 $${\displaystyle h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy}$$$${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\,{\hat {g}}(\xi ).}$$

特別な場合として、関数f ( x )の自己相関は 次のように なる。 $${\displaystyle h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy}$$$${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}.}$$

f ( x ) が絶対連続微分可能関数で、fとその導関数f′が積分可能であると仮定する。この場合、導関数のフーリエ変換は次のように表される。 より一般的には、 n次導関数f ^{( n )} のフーリエ変換は次のように表される。 $${\displaystyle {\widehat {f'\,}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\hat {f}}(\xi ).}$$$${\displaystyle {\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\hat {f}}(\xi ).}$$

同様に、${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi )\right\}=(i2\pi x)^{n}f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi ).}$

フーリエ変換を適用し、これらの公式を使用すると、一部の常微分方程式を代数方程式に変換することができ、解くのがはるかに簡単になります。これらの公式からは、「f ( x )が滑らかになるのは、 | ξ | → ∞に対してf̂ ( ξ )がすぐに 0 になる場合のみである 」という経験則も生まれます。逆フーリエ変換に同様の規則を使用すると、「f ( x )が滑らかになるのは、 | x | → ∞に対してf̂ ( ξ )がすぐに 0 になる場合のみである」とも言えます。

フーリエ変換は、次の式に従う固有関数を持つ線形変換である。${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi ,}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} .}$

固有関数の集合は、同次微分方程式が フーリエ変換の 固有関数につながり、方程式の形がフーリエ変換で不変である限り、それが得られる。^{[注 5]}言い換えれば、すべての解とそのフーリエ変換は 同じ方程式に従う。解が一意であると仮定すると、すべての解はフーリエ変換の固有関数でなければならない。方程式の形は、同次微分方程式をフーリエ変換する際に微分規則によって導入される因子から、すべての項に対して のいずれか 1 つの同じ因子が生じるようなべき級数に展開できる場合、フーリエ変換で不変である。なぜなら、この因子はその後キャンセルされる可能性があるからである。最も単純な許容可能なものは、標準正規分布につながる。^[22]$${\displaystyle \left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0}$$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi )}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle U(x)}$${\displaystyle \pm 1,\pm i}$${\displaystyle i^{n}}$${\displaystyle U(x)=x}$

より一般的には、微分法の規則により、定数 および が定数でない偶関数 である常微分方程式 は、方程式の両辺にフーリエ変換を適用しても形式が不変のままであることがわかるので、固有関数の集合も見出される。最も単純な例は によって提供され、これは量子調和振動子に対するシュレーディンガー方程式を考えることと同等である。^{[23]対応する解は、} L ² ( R )の正規直交基底の重要な選択を提供し、「物理学者」のエルミート関数によって与えられる。同様に、 を使用することができる。ここ で、He _n ( x )は「確率論者」のエルミート多項式であり、次のように定義される 。$${\displaystyle \left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle W(x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle W(x)=x^{2}}$$${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),}$$$${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

このフーリエ変換の慣例によれば、 $${\displaystyle {\hat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).}$$

言い換えれば、エルミート関数は、L ² ( R )上のフーリエ変換に対する完全な正規直交固有関数系を形成します。^{[16] [24]}しかし、この固有関数の選択は一意ではありません。なぜなら、フーリエ変換には4 つの異なる固有値( 1 の 4 乗根 ±1 と ± i )しかなく、同じ固有値を持つ固有関数の線形結合は、別の固有関数を与えるからです。^[25]この結果、L ² ( R ) を4 つの空間H ₀、H ₁、H ₂、およびH ₃の直和として分解することが可能であり、フーリエ変換は単にi ^kを乗算することによってHe _kに作用します。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id} }$

エルミート関数ψ _nの完全なセットは恒等関数の解決を提供するため、フーリエ演算子を対角化します。つまり、フーリエ変換は上記の固有値で重み付けされた項の合計で表すことができ、これらの合計は明示的に合計できます。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.}$$

フーリエ変換を定義するこのアプローチは、ノーバート・ウィーナーによって最初に提案されました。^[26]エルミート関数は、他の特性の中でも、周波数領域と時間領域の両方で指数関数的に急速に減少するため、フーリエ変換の一般化、つまり時間周波数解析で使用される分数フーリエ変換を定義するために使用されます。 ^[27]物理学では、この変換はエドワード・コンドンによって導入されました。^[28]この基底関数の変更は、適切な規則を使用するとフーリエ変換がユニタリ変換になるために可能になります。したがって、適切な条件下では、自己随伴生成器から次の結果が期待できます。^[29]${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .}$$

演算子は量子調和振動子の数演算子であり^{、[30] [31]と表記される。}${\displaystyle N}$ $${\displaystyle N\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right).}$$

これは、任意のtの値に対する分数フーリエ変換の生成器、および対応するアクティブ変換を実装するメーラー核を持つ特定の値に対する従来の連続フーリエ変換の生成器として解釈できます。 の固有関数はエルミート関数であり、したがって の固有関数でもあります。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle t=\pi /2,}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

フーリエ変換を分布に拡張すると、ディラックコームもフーリエ変換の固有関数になります。

関数 に対する適切な条件下では、関数 はフーリエ変換 から復元できます。実際、フーリエ変換演算子を で表すと となり、適切な関数 に対してフーリエ変換を 2 回適用すると関数が反転します。これは「時間の反転」と解釈できます。時間の反転は 2 周期であるため、これを 2 回適用すると となり、フーリエ変換演算子は 4 周期となり、同様に逆フーリエ変換はフーリエ変換を 3 回適用することで得られます。特に、フーリエ変換は可逆です (適切な条件下で)。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}f:={\hat {f}}}$${\displaystyle \left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}(f)=f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}\left({\hat {f}}\right)=f}$

より正確には、パリティ演算子を のように定義すると、次が得られます。 これらの演算子の等式には、問題の関数の空間の注意深い定義、関数の等式の定義 (すべての点で等式?ほとんどすべての場所で等式?)、演算子の等式の定義、つまり、問題の関数空間と演算子空間上のトポロジーの定義が必要です。これらはすべての関数に当てはまるわけではありませんが、さまざまな条件下では当てはまります。これらの条件は、フーリエ反転定理のさまざまな形式の内容です。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}}$$

フーリエ変換のこの 4 倍の周期性は、平面を 90° 回転させることに似ており、特に 2 倍の反復では反転が生じるため、実際にこの類似性は正確に表現できます。フーリエ変換は、単純に時間領域と周波数領域を入れ替え、逆フーリエ変換でそれらを元に戻すと解釈できますが、より幾何学的には、時間周波数領域で 90° 回転する(時間をx軸、周波数をy軸と見なす) と解釈でき、フーリエ変換は、他の角度による回転を伴う分数フーリエ変換に一般化できます。これはさらに、線型正準変換に一般化でき、これは特殊線型群 SL ₂ ( R )の時間周波数平面への作用として視覚化でき、保存されたシンプレクティック形式は、以下の不確定性原理に対応します。このアプローチは、特に信号処理の分野における時間周波数解析で研究されています。

ハイゼンベルク群は、実数直線上の平方可積分複素数値関数fのヒルベルト空間L ² ( R )上のユニタリ作用素の特定の群であり、変換( T _y f )( x ) = f ( x + y )とe ^{i 2π ξx}、( M _ξ f )( x ) = e ^{i 2π ξx} f ( x )による乗算によって生成される。これらの作用素は、 定数 ( xに依存しない) e ^{i 2π ξy} ∈ U (1) (単位係数複素数の円群) による乗算である (群) 交換子のように交換しない。抽象群として、ハイゼンベルク群は、群法則に従う 3 次元の 3 元( x、ξ、z ) ∈ R ² × U (1)のリー群である。 $${\displaystyle \left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x)}$$$${\displaystyle \left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{i2\pi \left(x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{2}+x_{1}\xi _{2}\right)}\right).}$$

ハイゼンベルク群をH ₁で表す。上記の手順は群構造だけでなく、ヒルベルト空間上のH ₁の標準的なユニタリ表現も記述しており、これをρ  : H ₁ → B ( L ² ( R ))で表す。 R ²の線型自己同型をJ ² = − Iと なるように 定義する。このJ はH ₁の一意の自己同型に拡張できる。 $${\displaystyle J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).}$$

ストーン・フォン・ノイマンの定理によれば、ユニタリ表現ρとρ∘jはユニタリ同値なので、唯一のインタートワイナーW∈U ( L2 ( R ))が存在し、^この 演算子Wはフーリエ変換です 。 $${\displaystyle \rho \circ j=W\rho W^{*}.}$$

フーリエ変換の標準的な特性の多くは、このより一般的な枠組みから直接導かれたものである。^[32]例えば、フーリエ変換の2乗W ²は、 J ² = − Iと関連した絡み合いであり、したがって、( W ² f )( x ) = f (− x )は元の関数fの反射である。

フーリエ変換の 積分は、その引数ξの複素値 について研究することができる。fの特性に応じて、これは実軸から全く収束しないかもしれないし、ξ = σ + iτのすべての値に対して複素解析関数に収束するかもしれないし、またはその中間の何かかもしれない。^[33]$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \xi t}f(t)\,dt}$$

ペイリー・ウィーナーの定理によれば、fは滑らか（すなわち、すべての正の整数nに対してn回微分可能）でコンパクトにサポートされていることが、f̂ ( σ + iτ )が正則関数であり、任意の整数n ≥ 0に対して、 ある定数Cに対して定数a > 0が存在する場合に限ります。（この場合、f は[− a , a ]でサポートされています。）これは、f̂がσ（固定τに対して）で急速に減少し、τ（σで一様）で指数関数的に増加する整関数であると表現できます。^[34] $${\displaystyle \left\vert \xi ^{n}{\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq Ce^{a\vert \tau \vert }}$$

（fが滑らかでなくL2のみの場合でも、 n = 0であればこの命題は成り立つ。^{[35] ）このような}複素変数関数の空間はペイリー・ウィーナー空間と呼ばれる。この定理^は半単純リー群に一般化されている。^[36]

f が半直線t ≥ 0上でサポートされている場合、物理的に実現可能なフィルタのインパルス応答関数はこの特性を持つ必要があるため、 f は「因果的」であると言われます。これは、原因に先行する結果がないためである。Paleyと Wiener は、その場合f̂ は複素下半平面τ < 0上の正則関数に拡張され、 τ が無限大に近づくにつれて 0 に近づくことを示した。 ^[37]逆は偽であり、因果関数のフーリエ変換をどのように特徴付けるかはわかっていません。^[38]

フーリエ変換f̂ ( ξ ) はラプラス変換 F ( s )と関連しており、微分方程式の解法やフィルタの解析にも使用されます。

フーリエ積分が実軸上でまったく収束しない関数f が、複素平面のある領域で定義された複素フーリエ変換を持つ場合があります。

例えば、f ( t )が指数関数的に増加する場合、つまり、 ある定数Cに対してa≥0である場合、^[39] 2πτ < −aの すべての範囲で収束するのはfの両側ラプラス変換である。 $${\displaystyle \vert f(t)\vert <Ce^{a\vert t\vert }}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}(i\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,}$$

ラプラス変換のより一般的なバージョン（「片側」）は $${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$$

f が因果的かつ解析的である場合、次のようになります。したがって、フーリエ変換を複素領域に拡張することは、因果関数の場合の特別なケースとしてラプラス変換を含めることを意味しますが、変数s = i 2π ξの変更を伴います。 ${\displaystyle {\hat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau ).}$

別の、おそらくより古典的な観点から見ると、ラプラス変換はその形式により、フーリエ変換が定義されている仮想線の外側で収束できるようにする追加の指数調節項を含みます。そのため、ラプラス変換は最大でも指数的に発散する級数と積分に対して収束できますが、元のフーリエ分解では収束できず、発散要素または臨界要素を持つシステムの分析が可能になります。線形信号処理からの 2 つの具体的な例としては、臨界コムからオールパス フィルター ネットワークを構築することと、単位円上での正確な極零キャンセルによる緩和フィルターがあります。このような設計は、リバーブなどの高度な非線形位相応答が求められるオーディオ処理では一般的です。

さらに、信号処理作業で拡張されたパルス状のインパルス応答が求められる場合、最も簡単に生成する方法は、発散時間応答を生成する回路を 1 つ用意し、遅延された反対の補償応答によってその発散を打ち消すことです。この場合、中間の遅延回路のみが古典的なフーリエ記述を許容しますが、これは重要です。両側の回路は両方とも不安定であり、収束フーリエ分解を許容しません。ただし、複素平面 (または離散的な場合は Z 平面) に収束の同一の半平面を持つラプラス領域記述を許容し、その効果を打ち消します。

現代数学では、ラプラス変換は慣例的にフーリエ法の範疇に含まれます。この 2 つの法則は、より一般的で抽象的な調和解析の概念に含まれます。

がa ≤ τ ≤ bに対して複素解析的である場合、 ${\displaystyle \xi =\sigma +i\tau }$${\displaystyle {\widehat {f}}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ia)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ib)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma }$$コーシーの積分定理 により、フーリエ逆変換公式は実軸に平行な異なる線に沿った積分を使用することができる。^[40]

定理: t < 0に対してf ( t ) = 0であり、定数C、a > 0に対して| f ( t ) | < Ce ^{a | t |}である場合、 任意のτ < − ⁠ に対して$${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +i\tau )e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma ,}$$1つの/2π⁠ .

この定理は、任意のb > a に対してラプラス変換のメリン逆変換公式^[39] を意味します。ここで、F ( s )はf ( t )のラプラス変換です。 $${\displaystyle f(t)={\frac {1}{i2\pi }}\int _{b-i\infty }^{b+i\infty }F(s)e^{st}\,ds}$$

この仮説は、カールソンとハントの結果のように、L 1 におけるf ^{( t} ) e −に弱める^ことができる。ただし、f はtの閉近傍内で有界に変化する（ディニテスト参照）、 tにおけるfの値は左極限と右極限の算術平均とみなされ、積分はコーシー主値の意味でとられるものとする。^[41]

これらの反転公式のL2バージョンも利用可能^{である。 [42]}

フーリエ変換は、任意の次元数nで定義できます。1 次元の場合と同様に、多くの規則があります。積分可能な関数f ( x )の場合、この記事では次のように定義します。 ここで、xとξはn次元ベクトルであり、x · ξはベクトルのドット積です。あるいは、 ξ は双対ベクトル空間に属すると見なすこともできます。その場合、ドット積はxとξの縮約となり、通常は⟨ x , ξ ⟩と記述されます。 $${\displaystyle {\hat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\star }}$

上記の基本的な性質はすべて、プランシュレルの定理やパーセバルの定理と同様に、 n次元フーリエ変換にも当てはまります。関数が積分可能である場合、フーリエ変換は依然として一様連続であり、リーマン・ルベーグの補題が成り立ちます。^[19]

一般的に言えば、 f ( x )が集中するほど、そのフーリエ変換f̂ ( ξ )はより広がる必要があります。特に、フーリエ変換のスケーリング特性は、関数をxに圧縮すると、そのフーリエ変換はξに広がると言っていると見ることができます。関数とそのフーリエ変換の両方を任意に集中させることはできません。

関数の圧縮とそのフーリエ変換との間のトレードオフは、関数とそのフーリエ変換を時間周波数領域上のシンプレクティック形式に関する共役変数として見ることによって、不確定性原理の形で形式化することができます。線形正準変換の観点から見ると、フーリエ変換は時間周波数領域で 90° 回転し、シンプレクティック形式を保存します。

f ( x ) が積分可能かつ二乗積分可能な関数であると仮定します。一般性を失うことなく、f ( x )が正規化されていると仮定します。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1.}$$

プランシュレルの定理から、f̂ ( ξ )も正規化されることがわかります。

x = 0の周りの広がりは、ゼロの周りの分散^[43]によって測定され、次のように定義されます。 $${\displaystyle D_{0}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx.}$$

確率論的に言えば、これはゼロに関する| f ( x ) | ²の2 番目のモーメントです。

不確定性原理は、f ( x )が絶対連続であり、関数x · f ( x )とf ′ ( x )が2乗積分可能である場合、^[16] $${\displaystyle D_{0}(f)D_{0}({\hat {f}})\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}.}$$

等式は、 σ > 0が任意でC ₁ = ⁠ の場合にのみ達成されます。$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}\end{aligned}}}$$⁴ √ 2/√σ​⁠となるので、 fはL2正規化される。 ^[16]言い換えれば、 ^fは^ゼロを中心とする分散σ2 / 2πの（正規化された）ガウス関数であり、そのフーリエ変換は分散σ ⁻² / 2πのガウス関数である。

実際、この不等式は、 _{任意のx0に対してξ0∈Rで} あることを意味します。^[44]$${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }(\xi -\xi _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$$

量子力学では、運動量と位置の波動関数はプランク定数の係数までフーリエ変換のペアである。この定数を適切に考慮すると、上記の不等式はハイゼンベルクの不確定性原理の記述となる。^[45]

より強力な不確定性原理はヒルシュマンの不確定性原理で、次のように表現されます。 ここで、H ( p ) は確率密度関数p ( x )の微分エントロピーです。 ここで、対数は、一貫性のある任意の底をとることができます。前の場合と同様に、ガウス分布に対して等式が達成されます。 $${\displaystyle H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f}}\right|^{2}\right)\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle H(p)=-\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\log {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx}$$

フーリエ変換の元々の定式化では複素数は使用されず、正弦と余弦が使用されていた。統計学者などは今でもこの形式を使用している。フーリエ逆変換が成り立つ絶対積分可能な関数fは、真の周波数（物理的に解釈するのが難しいと考えられる負の周波数は避ける^）λによって 展開することができる。$${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}a(\lambda )\cos(2\pi \lambda t)+b(\lambda )\sin(2\pi \lambda t){\bigr )}\,d\lambda .}$$

これは三角積分展開、またはフーリエ積分展開と呼ばれます。係数関数aとbは、フーリエコサイン変換とフーリエサイン変換の変形を使用して見つけることができます（正規化は、やはり標準化されていませ ん ）。 $${\displaystyle a(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \lambda t)\,dt}$$$${\displaystyle b(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \lambda t)\,dt.}$$

古い文献では、フーリエ余弦変換aとフーリエ正弦変換bという 2 つの変換関数が言及されています。

関数fは、三角関数の恒等式と組み合わせることで正弦変換と余弦変換から復元できます 。これはフーリエの積分公式と呼ばれます。^{[39] [47] [48] [49]}$${\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos {\bigl (}2\pi \lambda (\tau -t){\bigr )}\,d\tau \,d\lambda .}$$

R ⁿ上のk次同次 調和 多項式の集合をA _kと表記する。集合A _{k は}k次立体球面調和関数から構成される。立体球面調和関数は、高次元では次元 1 のエルミート多項式と同様の役割を果たす。具体的には、 A k 内の何らかの P ( x ) に対して f ( x ) = e −π| x | 2 P ( x ) とする_{と、 f̂ ( ξ ) = i − k f ( ξ ) となる。集合 H k を、 A k}内のP ( x )に対してf ( | x ^{| ) P (} x )の形式の関数の線形結合の^{L 2} ( R n )内の閉包とする。_すると空間_L 2 ( R n )は空間H kの直和となり、フーリエ変換^は各空間^H kをそれ自身^に写像し^、各空間_H kに対するフーリエ変換_の作用を_{特徴付ける}ことができる。^[19]

f ( x ) = f ₀ (| x |) P ( x )（P ( x )はA _k ）とする と 、 $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=F_{0}(|\xi |)P(\xi )}$$$${\displaystyle F_{0}(r)=2\pi i^{-k}r^{-{\frac {n+2k-2}{2}}}\int _{0}^{\infty }f_{0}(s)J_{\frac {n+2k-2}{2}}(2\pi rs)s^{\frac {n+2k}{2}}\,ds.}$$

ここでJ _{( n + 2 k − 2)/2 は、}次数 ⁠ の第一種ベッセル関数を表す。n + 2 k − 2/2⁠ 。k = 0のとき、これはラジアル関数のフーリエ変換のための便利な式を与える。 ^[50]これは本質的にハンケル変換である。さらに、 n + 2とnの場合を関連付ける単純な再帰があり^[51]、これにより、例えば、ラジアル関数の1次元フーリエ変換から3次元フーリエ変換を計算することができる。

高次元では、フーリエ変換の制限問題を研究することが興味深いものになります。積分可能な関数のフーリエ変換は連続的であり、この関数の任意の集合への制限が定義されます。しかし、2乗可積分関数の場合、フーリエ変換は2乗可積分関数の一般的なクラスである可能性があります。そのため、 L ² ( R ⁿ )関数のフーリエ変換の制限は、測度0の集合では定義できません。1 < p < 2の場合のL ^pの制限問題を理解することは、今でも活発な研究分野です。Sが非ゼロの曲率を持つ場合、フーリエ変換の集合Sへの制限を定義できる場合があります。SがR ⁿの単位球である場合は特に興味深いです。この場合、トーマス-シュタイン制限定理は、 1 ≤ p ≤ ⁠の場合、R ⁿの単位球へのフーリエ変換の制限はL ^p上の有界演算子であると述べます。2n +2です/3 + 3です⁠ .

1 次元と高次元のフーリエ変換の顕著な違いの 1 つは、部分和演算子に関するものです。原点を中心とする半径Rの球や、辺が2 Rの立方体など、 R ∈ (0,∞)でインデックス付けされた測定可能な集合E _Rの増加集合を考えます。与えられた積分可能な関数fに対して、次のように定義される 関数f _{R を考えます。}$${\displaystyle f_{R}(x)=\int _{E_{R}}{\hat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\cdot \xi }\,d\xi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

さらに、f ∈ L ^p ( R ⁿ )と仮定します。n = 1かつ1 < p < ∞の場合、E _R = (− R , R )とすると、ヒルベルト変換の有界性により、 Rが無限大に近づくにつれて、f _{R は}L ^pでfに収束します。 単純に、 n > 1の場合にも同じことが当てはまると期待できます。E _{R を}辺の長さがRの立方体とすると、収束は依然として成立します。 もう 1 つの自然な候補は、ユークリッド球体E _R = { ξ  : | ξ | < R }です。 この部分和演算子が収束するためには、単位球体の乗数がL ^p ( R ⁿ )で有界であることが必要です。n ≥ 2の場合、 p = 2でない限り単位球体の乗数が有界になることはないというのが、チャールズ・フェファーマンの有名な定理です。[ ^26]実際、p ≠2のとき、これはfR_がLpでfに収束しない^可能性があるだけでなく、いくつかの関数f∈Lp(Rn)に対してfRがLpの要素でさえないこと_を示して^います。

フーリエ変換は式1によって上で定義されました。より一般的には、 上では、 ルベーグ積分関数f、つまりf ∈ L ¹ ( R ⁿ )に対して有効です 。 ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{1})}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx,}$$

フーリエ変換F  : L ¹ ( R ⁿ ) → L ^∞ ( R ⁿ )は有界演算子です。これは、演算子ノルムが 1 で有界である ことを示す観察から従います。 確かに、それは 1 に等しく、これは、たとえば rect 関数の変換から見ることができます。L 1 の像は、無限遠でゼロになる連続関数の空間C ₀ ( R ⁿ )の部分集合です (リーマン^-ルベーグの補題) が、空間全体ではありません。実際、像の単純な特徴付けはありません。 $${\displaystyle \left\vert {\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert f(x)\vert \,dx,}$$

再び、1変数の場合と同様に、フーリエ変換は 上で定義できます。コンパクトに支えられた滑らかな関数はL ² ( R ⁿ )で積分可能かつ稠密であるため、プランシュレルの定理により^、連続性の議論によってL ² ( R ⁿ )の一般関数にフーリエ変換の定義を拡張できます。L 2 ( R ⁿ )のフーリエ変換は、通常のルベーグ積分ではもはや与えられませんが、不定積分、つまりL ²関数fに対して、 L ²の意味 で極限が取られるによって計算できます。^{[52] [53]} ) ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\lim _{R\to \infty }\int _{|x|\leq R}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx}$$

L ¹におけるフーリエ変換の特性の多くは、適切な制限的議論によって L ²にも引き継がれます。

さらに、F  : L ² ( R ⁿ ) → L ² ( R ⁿ )はユニタリ演算子である。^[54]演算子がユニタリであるためには、それが全単射であり、内積を保存することを示せば十分であり、この場合、これらはフーリエ反転定理と、任意のf、g ∈ L ² ( R ⁿ )に対して次の式が成り立つという事実と組み合わせることで得られる 。$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\mathcal {F}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}f(x)g(x)\,dx.}$$

特に、L ² ( R ⁿ )の像は、それ自体がフーリエ変換の対象となります。

に対して、フーリエ変換はMarcinkiewicz 補間によって定義することができ、これはそのような関数をL ²の太い尾部とL ¹の太い本体部に分解することと同義です。これらの各空間において、 L ^p ( R ⁿ )の関数のフーリエ変換はL ^q ( R ⁿ )にあります。ここで、q = ⁠${\displaystyle 1<p<2}$${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$p/p − 1⁠ はpのホルダー共役です（ハウスドルフ–ヤング不等式による）。しかし、 p = 2を除いて、この像は簡単には特徴付けられません。さらに拡張すると、より技術的になります。範囲2 < p < ∞でのL ^p内の関数のフーリエ変換には、超関数の研究が必要です。 ^{[18]実際、} p > 2のL ^p内の関数が存在することが示され、フーリエ変換は関数として定義されません。 ^[19]

一般化された関数、または超関数を考慮することによって、L ¹ + L ²からのフーリエ変換の領域を拡大することが考えられる。R ⁿ上の超関数は、空間C上の連続線型関数である。^∞
_℃（R ⁿ）は、適切な位相を備えたコンパクトに支えられた滑らかな関数である。次に、Cに対するフーリエ変換の作用を考慮する戦略である。^∞
_℃（R ⁿ）を双対性によって超関数に渡す。これを実行する際の障害は、フーリエ変換がC^∞
_℃( R ⁿ )からC^∞
_℃（R ⁿ） 。実際、 Cの要素のフーリエ変換^∞
_℃( R ⁿ ) は開集合上では消えない。不確定性原理に関する上記の議論を参照。

フーリエ変換は、シュワルツ関数の空間の双対である緩和分布 に対しても定義できます。シュワルツ関数は、そのすべての導関数とともに無限大で減少する滑らかな関数であるため、 です。フーリエ変換は、位相ベクトル空間としてのシュワルツ空間上の自己同型であり、したがってその双対である緩和分布の空間上の自己同型を誘導します。^[19]緩和分布には、多項式増加の行儀の良い関数、コンパクトなサポートの分布、および上記のすべての積分可能な関数が含まれます。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\subseteq {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

緩和分布のフーリエ変換の定義として、fとgを積分可能な関数とし、f̂とĝをそれぞれそれらのフーリエ変換とする。すると、フーリエ変換は次の乗法公式に従う。^[19] $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(x)g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\hat {g}}(x)\,dx.}$$

すべての積分可能な関数f は、関係式によって 分布T _fを定義 (誘導) します。 したがって、緩和分布のフーリエ変換を双対性によって定義することは理にかなっています。 これをすべての緩和分布T に拡張すると、フーリエ変換の一般的な定義が得られます。 $${\displaystyle T_{f}(\phi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\phi (x)\,dx,\quad \forall \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$${\displaystyle T_{f}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle \langle {\widehat {T}}_{f},\phi \rangle =\langle T_{f},{\widehat {\phi }}\rangle ,\quad \forall \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$

分布は微分化することができ、前述のフーリエ変換と微分および畳み込みの互換性は、緩和分布に対しても当てはまります。

R ⁿ上の有限 ボレル測度 μのフーリエ変換は次のように与えられる: ^[55] $${\displaystyle {\hat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i2\pi x\cdot \xi }\,d\mu .}$$

この変換は、積分可能関数のフーリエ変換の多くの特性を引き続き備えています。 1 つの顕著な違いは、リーマン-ルベーグの補題が測度に対して成り立たないことです。^[18] dμ = f ( x ) dxの場合、上記の式はfのフーリエ変換の通常の定義に簡約されます。 μがランダム変数Xに関連付けられた確率分布の場合、フーリエ-スティルチェス変換は特性関数に密接に関連していますが、確率論の一般的な慣習ではe ^{− i 2π ξx}ではなくe ^iξxが採用されています。^{[16]分布が}確率密度関数を持つ場合、この定義は、やはり定数の選択が異なりますが、確率密度関数に適用されたフーリエ変換に簡約されます。

フーリエ変換は測度の特徴づけに使用できる。ボクナーの定理は、円上の正の測度のフーリエ-スティルチェス変換としてどのような関数が生じるかを特徴づける。^[18]

さらに、ディラックのデルタ関数は関数ではありませんが、有限のボレル測度です。そのフーリエ変換は定数関数です（その特定の値は、使用されるフーリエ変換の形式によって異なります）。

フーリエ変換は、任意の局所コンパクトアーベル群に一般化できる。局所コンパクトアーベル群とは、局所コンパクトハウスドルフ位相空間でもあるアーベル群であり、群演算は連続的である。G が局所コンパクトアーベル群である場合、それはハール測度と呼ばれる並進不変測度μを持つ。局所コンパクトアーベル群Gの場合、既約な、すなわち 1 次元のユニタリ表現の集合はその指標と呼ばれる。その自然な群構造とコンパクト集合上の一様収束の位相 (つまり、円群から へのすべての連続関数の空間上のコンパクト開位相によって誘導される位相) により、指標の集合Ĝ自体は局所コンパクトアーベル群であり、Gのポンチャギン双対と呼ばれる。L 1 ( G )内の関数fの場合、その^フーリエ変換は次のように定義される^[18] ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{G}\xi (x)f(x)\,d\mu \quad {\text{for any }}\xi \in {\hat {G}}.}$$

この場合、リーマン・ルベーグの補題が成り立ち、f̂ ( ξ )はĜ上の無限遠で消える関数である。

T = R/Z上のフーリエ変換はその一例です。ここで、T は局所コンパクトアーベル群であり、T上のハール測度μ は[0,1) 上のルベーグ測度と考えることができます。1次元複素ベクトル空間である複素平面C上のTの表現を考えてみましょう。に対してとなる表現のグループ ( Cは 1 次元なので既約)が存在します。 ${\displaystyle \{e_{k}:T\rightarrow GL_{1}(C)=C^{*}\mid k\in Z\}}$${\displaystyle e_{k}(x)=e^{i2\pi kx}}$${\displaystyle x\in T}$

このような表現の指標、つまり各およびに対するの跡は、それ自身です。有限群の表現の場合、群Gの指標表は、各行がGの 1 つの既約表現の指標となるようなベクトルの行であり、これらのベクトルは、シューアの補題によりGからCに写像される類関数の空間の正規直交基底を形成します。これで群T は有限ではなくなりましたが、依然としてコンパクトであり、指標表の正規直交性は保持されます。表の各行は の関数であり、2 つの類関数 ( Tはアーベル関数なのですべての関数は類関数です)間の内積は、正規化因子 とともにとして定義されます。この数列は、類関数の空間の正規直交基底です。 ${\displaystyle e_{k}(x)}$${\displaystyle x\in T}$${\displaystyle k\in Z}$${\displaystyle e^{i2\pi kx}}$${\displaystyle e_{k}(x)}$${\displaystyle x\in T,}$${\displaystyle f,g\in L^{2}(T,d\mu )}$${\textstyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y){\overline {g}}(y)d\mu (y)}$${\displaystyle |T|=1}$${\displaystyle \{e_{k}\mid k\in Z\}}$${\displaystyle L^{2}(T,d\mu )}$

有限群Gの任意の表現Vに対して、 はとなるスパン（はGの不変表現）として表すことができます。同様に、および に対しては となります。ポントリアギン双対はに対してであり、に対しては であり、に対するそのフーリエ変換は です。 ${\displaystyle \chi _{v}}$${\textstyle \sum _{i}\left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle \chi _{v_{i}}}$${\displaystyle V_{i}}$${\textstyle \left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{v}(g){\overline {\chi }}_{v_{i}}(g)}$${\displaystyle G=T}$${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$${\textstyle f(x)=\sum _{k\in Z}{\hat {f}}(k)e_{k}}$${\displaystyle {\hat {T}}}$${\displaystyle \{e_{k}\}(k\in Z)}$${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$${\textstyle {\hat {f}}(k)={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y)e^{-i2\pi ky}dy}$${\displaystyle e_{k}\in {\hat {T}}}$

フーリエ変換もゲルファント変換の特殊なケースです。この特定のコンテキストでは、上で定義したポンチャギン双対写像と密接に関連しています。

可換局所コンパクト ハウスドルフ 位相群 Gが与えられたとき、前と同様にハール測度を用いて定義された空間L ¹ ( G )を考える。畳み込みを乗算とすると、L ¹ ( G )は可換バナッハ代数となる。また、次の式で表される畳み込み* も持つ。$${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}}.}$$

最大の可能性のあるC *ノルムに関する完備化を取ると、その包絡C *代数が得られ、これはGの群C *代数C *( G )と呼ばれます。( L ¹ ( G )上の任意のC *ノルムはL ¹ノルムによって制限されるため、それらの上限が存在します。)

任意のアーベルC *代数Aが与えられると、ゲルファント変換はAとC ₀ ( A ^)の間の同型写像を与えます。ここでA ^はA上の弱 * 位相を持つ 乗法線形関数、すなわち 1 次元表現です。この写像は単に次のように与えられます。 C *( G ) の乗法線形関数は、適切な識別の後、 Gの指標とまったく同じであり、ゲルファント変換は、稠密な部分集合L ¹ ( G )に制限されると、フーリエ・ポンチャギン変換になります。 $${\displaystyle a\mapsto {\bigl (}\varphi \mapsto \varphi (a){\bigr )}}$$

フーリエ変換は、非可換群上の関数に対しても定義できます。ただし、その群がコンパクトである必要があります。基になる群が可換であるという仮定を外すと、既約ユニタリ表現は必ずしも 1 次元である必要はありません。これは、非可換群上のフーリエ変換がヒルベルト空間演算子として値を取ることを意味します。^{[56]コンパクト群上のフーリエ変換は}、表現論^[57]と非可換調和解析の主要なツールです。

G をコンパクトなハウス ドルフ位相群とする。Σは、有限次元既約ユニタリ表現のすべての同型類の集合と、各σ ∈ Σに対して有限次元d _σのヒルベルト空間H _σ上の表現U ^{( σ )}の明確な選択を表すものとする。μ がG上の有限ボレル測度である場合、 μのフーリエ・スティルチェス変換は、 によって定義される H _σ上の演算子である。 ここで、U ^{( σ ) は}、 H _σに作用するU ^{( σ )}の複素共役表現である。μが、 あるf ∈ L ¹ ( λ )に対してとして 表される、G上の左不変確率測度λに関して絶対連続である場合、 fのフーリエ変換はμのフーリエ・スティルチェス変換と同一視される。 $${\displaystyle \left\langle {\hat {\mu }}\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}\left\langle {\overline {U}}_{g}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\mu (g)}$$ $${\displaystyle d\mu =f\,d\lambda }$$

この写像は、 有限ボレル測度（RCA空間を参照）のバナッハ空間M（G）と、ノルムが有限である（有界）線型作用素E σ : H σ → H σの Σで_{インデックス} 付けさ_れたすべて_のシーケンスE =（E σ）で構成されるバナッハ空間C _∞（ Σ）の閉じた部分空間_との間の同型 を定義します 。「畳み込み定理」はさらに、バナッハ空間のこの同型は、実際にはC _∞（Σ）の部分空間へのC*-代数の等長同型であると主張しています。M （G）上の乗算は測度の畳み込みによって与えられ、によって定義される畳み込み* とC _∞（Σ）は、ヒルベルト空間作用素として自然なC * -代数構造を持ちます。 $${\displaystyle \mu \mapsto {\hat {\mu }}}$$ $${\displaystyle \|E\|=\sup _{\sigma \in \Sigma }\left\|E_{\sigma }\right\|}$$$${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}},}$$

ピーター・ワイルの定理が成り立ち、フーリエ変換公式（プランシュレルの定理）のバージョンが成り立ちます。 f ∈ L ² ( G )の場合、 ここで和はL ^{2 の}意味 で収束すると理解されます。 $${\displaystyle f(g)=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\operatorname {tr} \left({\hat {f}}(\sigma )U_{g}^{(\sigma )}\right)}$$

フーリエ変換の非可換な状況への一般化は、非可換幾何学の発展にも部分的に貢献した。^[要出典]この文脈では、フーリエ変換の非可換群へのカテゴリカルな一般化はタナカ・クラインの双対性であり、これは指標群を表現のカテゴリに置き換えたものである。しかし、これにより調和関数との関連が失われる。

信号処理の用語では、時間の関数は、完全な時間分解能を持つ信号の表現ですが、周波数情報はありません。一方、フーリエ変換は、完全な周波数分解能を持ちますが、時間情報はありません。ある点でのフーリエ変換の大きさは、周波数コンテンツがどれだけあるかですが、位置は位相（ある点でのフーリエ変換の引数）によってのみ与えられ、定在波は時間的に局所化されていません。つまり、正弦波は減衰することなく無限に続きます。これにより、時間的に局所化された信号、特に過渡信号や有限範囲の信号を解析するためのフーリエ変換の有用性が制限されます。

フーリエ変換の代替として、時間周波数解析では、時間周波数変換または時間周波数分布を使用して、信号を時間情報と周波数情報を持つ形式で表します。不確定性原理により、これらの間にはトレードオフがあります。これらは、短時間フーリエ変換、分数フーリエ変換、シンクロスクイージングフーリエ変換などのフーリエ変換の一般化である場合もあれば、^[58]ウェーブレット変換やチャープレット変換などの信号を表す他の関数である場合もあります。（連続）フーリエ変換のウェーブレット類似物は連続ウェーブレット変換です。^[27]

次の図は、フーリエ変換の積分が特定の関数に周波数が存在するかどうかを測定する方法を視覚的に示しています。最初の画像は、波を滑らかにオン/オフにするガウスエンベロープ関数 (2番目の項) によって形作られた3  Hz のコサイン波 (最初の項) である関数を示しています。次の 2 つの画像は、+3 Hz でのフーリエ変換を計算するために積分する必要がある積を示しています。積分関数の実数部の平均値は負ではありません。これは、と の交互の符号が同じ速度で同位相で振動するのに対し、と は同じ速度で直交位相で振動するためです。+3 Hz でのフーリエ変換の絶対値は 0.5 で、比較的大きい値です。-3 Hz でのフーリエ変換 (実信号から開始したため同一) に追加すると、3 Hz 周波数成分の振幅は 1 であることがわかります。 ${\displaystyle f(t)=\cos(2\pi \ 3t)\ e^{-\pi t^{2}},}$ ${\displaystyle f(t)e^{-i2\pi 3t},}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \operatorname {Re} (e^{-i2\pi 3t})}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \operatorname {Im} (e^{-i2\pi 3t})}$

しかし、存在しない周波数を測定しようとすると、積分の実数部と虚数部の両方が正と負の値の間で急速に変化します。たとえば、赤い曲線は 5 Hz を探しています。積分の絶対値はほぼゼロで、信号に 5 Hz 成分がほとんどなかったことを示しています。一般的な状況は通常これよりも複雑ですが、経験的に、フーリエ変換は関数に個々の周波数がどれだけ存在するかを測定する方法です。${\displaystyle f(t).}$

• 
  +5 Hz でのフーリエ変換の被積分関数の実数部と虚数部。
• 
  フーリエ変換の振幅。+3 Hz と +5 Hz のラベルが付いています。

先ほどのポイントを強調すると、Hz での応答の理由は    、 と  が区別できないためです    。 の変換は    、振幅が滑らかな包絡線の積分である 1 つの応答だけを持ちます。  一方  、 は  ${\displaystyle \xi =-3}$${\displaystyle \cos(2\pi 3t)}$${\displaystyle \cos(2\pi (-3)t)}$${\displaystyle e^{i2\pi 3t}\cdot e^{-\pi t^{2}}}$${\displaystyle e^{-\pi t^{2}},}$${\displaystyle \operatorname {Re} (f(t)\cdot e^{-i2\pi 3t})}$${\displaystyle e^{-\pi t^{2}}(1+\cos(2\pi 6t))/2.}$

一方の領域 (時間または周波数) で実行される線形演算には、もう一方の領域に対応する演算があり、その方が実行しやすい場合があります。時間領域での微分演算は周波数による乗算に対応するため、^{[注 6]}一部の微分方程式は周波数領域で解析する方が簡単です。また、時間領域での畳み込みは、周波数領域での通常の乗算​​に対応します (畳み込み定理を参照)。必要な演算を実行した後、結果を時間領域に戻すことができます。調和解析は、周波数領域と時間領域の関係を体系的に研究するもので、どちらか一方の方が「単純」な関数や演算の種類も含まれ、現代数学の多くの分野と深いつながりがあります。

おそらく、フーリエ変換の最も重要な用途は偏微分方程式を解くことです。19世紀の数理物理学の方程式の多くは、このように扱うことができます。フーリエは、1次元で無次元単位では熱方程式を研究しました。ここで 示す例は、少し難しいものですが、1次元の波動方程式です。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}t}}.}$$

いつものように、問題は解決策を見つけることではありません。解決策は無限にあります。問題はいわゆる「境界問題」です。つまり、「境界条件」を満たす解決策を見つけることです。 $${\displaystyle y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).}$$

ここで、fとg は与えられた関数です。熱方程式の場合、必要な境界条件は 1 つだけです (通常は最初の条件)。しかし、波動方程式の場合、最初の境界条件を満たす解y は無限に存在します。ただし、両方の条件を課すと、可能な解は 1 つだけになります。

解を直接求めるよりも、解のフーリエ変換ŷを求める方が簡単です。これは、フーリエ変換が微分をフーリエ双対変数による乗算に変換するため、元の関数に適用された偏微分方程式が、変換された関数に適用された双対変数の多項式関数による乗算に変換されるからです。ŷが決定したら、逆フーリエ変換を適用してy を求めることができます。

フーリエ法は以下のとおりです。まず、任意の形式の関数は 波動方程式を満たすことに注意してください。これらは基本解と呼ばれます。 $${\displaystyle \cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\text{ or }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}}$$

次に、任意の積分は任意のa ₊、a ₋、b ₊、b ₋ に対して波動方程式を満たすことに注意してください 。この積分は、線形方程式の解の連続した線形結合として解釈できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}y(x,t)=\int _{0}^{\infty }d\xi {\Bigl [}&a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x-t){\bigr )}+{}\\&b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (x-t)\right){\Bigr ]}\end{aligned}}}$$

これは関数のフーリエ合成の式に似ています。実際、これは変数xにおけるa _±とb _±の実逆フーリエ変換です。

3番目のステップは、境界条件を満たすyにつながる特定の未知の係数関数a _±とb _±をどのように見つけるかを調べることです。t = 0でのこれらの解の値に関心があります。したがって、 t = 0に設定します。フーリエ逆変換に必要な条件が満たされていると仮定すると、両辺の フーリエ正弦変換とフーリエ余弦変換（変数x ）を見つけて、次式を得ることができます 。 $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-}}$$$${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.}$$

同様に、 yをtに関して微分し、フーリエ正弦変換とフーリエ余弦変換を適用すると、次の式が得られます 。 $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right)}$$$${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(b_{+}-b_{-}\right).}$$

これらは、境界条件のフーリエ正弦変換とフーリエ余弦変換による 4 つの未知数a _±とb _±に関する 4 つの線形方程式であり、これらの変換が見つかる限り、初等代数で簡単に解くことができます。

要約すると、我々はξによってパラメータ化された基本解のセットを選択しました。その一般解は、パラメータξ上の積分の形の（連続的な）線形結合になります。しかし、この積分はフーリエ積分の形です。次のステップは、境界条件をこれらの積分で表し、それらを与えられた関数fおよびgに等しく設定することでした。しかし、微分に対するフーリエ変換の特性のため、これらの表現もフーリエ積分の形をとりました。最後のステップは、両辺にフーリエ変換を適用してフーリエ反転を利用し、与えられた境界条件fおよびgに関して係数関数a _±およびb _±の表現を取得することでした。

より高い観点から、フーリエの手順は、より概念的に再定式化することができます。変数が 2 つあるため、フーリエが空間変数のみを変換したように操作するのではなく、xとt の両方でフーリエ変換を使用します。 y ( x、t ) はL ¹にならないため、 ŷ は分布の意味で考慮する必要があることに注意してください。波として、それは時間を通じて持続するため、一時的な現象ではありません。ただし、それは有界であるため、そのフーリエ変換は分布として定義できます。この方程式に関連するフーリエ変換の操作上の特性は、xでの微分はi 2π ξによる乗算、 tに関する微分はi 2π fによる乗算であることです( fは周波数)。すると、波動方程式はŷの代数方程式になります。 これは、 ξ = ± fでない限り、ŷ ( ξ、f ) = 0 を 要求することと同等です。これで、先ほど選択した基本解がなぜうまくいったかがすぐにわかります。明らかに、f̂ = δ ( ξ ± f )が解になります。これらのデルタ関数にフーリエ変換を適用すると、先ほど選択した基本解が得られます。しかし、より高い観点から見ると、基本解を選択するのではなく、（退化した）円錐ξ ² − f ² = 0でサポートされているすべての分布の空間を考慮します。 $${\displaystyle \xi ^{2}{\hat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\hat {y}}(\xi ,f).}$$

次のように、直線ξ = f上の 1 変数の分布と直線ξ = − f 上の分布によって与えられる円錐曲線上でサポートされる分布を考慮することもできます。Φは任意のテスト関数で あり、 s ₊、およびs _{− は}1 変数の分布です。 $${\displaystyle \iint {\hat {y}}\phi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\phi (\xi ,\xi )\,d\xi +\int s_{-}\phi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,}$$

すると、フーリエ反転により、境界条件は、上でより具体的に述べたものと非常によく似たものになります（ Φ ( ξ , f ) = e ^{i 2π( xξ + tf )}と置くと、明らかに多項式増加になります）。 $${\displaystyle y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi }$$$${\displaystyle {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\bigr \}}i2\pi \xi e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi .}$$

ここで、前と同様に、変数xの 1 変数フーリエ変換をこれらのxの関数に適用すると、2 つの未知の分布s _{±に関する 2 つの方程式が生成されます (境界条件が}L ¹またはL ²の場合は、通常の関数として考えることができます)。

計算の観点から見ると、もちろん欠点は、まず境界条件のフーリエ変換を計算し、それからこれらから解を組み立て、逆フーリエ変換を計算しなければならないことです。利用できる幾何学的対称性がある場合を除いて、閉じた形式の式はまれであり、積分の振動特性のために数値計算は困難であり、収束が遅く、予測が困難になります。実際の計算では、他の方法が使用されることがよくあります。

20 世紀には、これらの方法が多項式係数を持つすべての線形偏微分方程式に拡張され、フーリエ変換の概念をフーリエ積分演算子を含むように拡張することで、いくつかの非線形方程式にも適用されました。

フーリエ変換は、核磁気共鳴(NMR) や赤外線 ( FTIR )などの他の種類の分光法でも使用されます。NMR では、指数関数的に形成された自由誘導減衰 (FID) 信号が時間領域で取得され、周波​​数領域でローレンツ線形にフーリエ変換されます。フーリエ変換は、磁気共鳴画像(MRI) や質量分析でも使用されます。

フーリエ変換は、量子力学において少なくとも 2 つの異なる方法で役立ちます。まず、量子力学の基本的な概念構造は、ハイゼンベルクの不確定性原理によって結び付けられた相補変数のペアの存在を前提としています。たとえば、1 次元では、たとえば粒子の空間変数q は、粒子の運動量pに関する情報を失うという代償を払って、量子力学の「位置演算子」によってのみ測定できます。したがって、粒子の物理的状態は、qの「波動関数」と呼ばれる関数、またはpの関数によって記述できますが、両方の変数の関数によって記述することはできません。変数pは、 qの共役変数と呼ばれます。古典力学では、粒子の物理的状態 (説明を簡単にするために 1 次元に存在する) は、 pとq の両方に同時に明確な値を割り当てることによって与えられます。したがって、すべての可能な物理的状態の集合は、 p軸とq軸を持つ 2 次元の実ベクトル空間であり、位相空間と呼ばれます。

対照的に、量子力学では、この空間の分極化を選択します。つまり、次元の半分の部分空間、たとえばq軸のみを選択しますが、点のみを考慮するのではなく、この軸上のすべての複素数値「波動関数」の集合を取ります。それでも、p軸を選択することは同様に有効な分極化であり、粒子の可能な物理的状態の集合の異なる表現をもたらします。波動関数の両方の表現は、フーリエ変換によって関連付けられます 。つまり、 $${\displaystyle \phi (p)=\int dq\,\psi (q)e^{-ipq/h},}$$$${\displaystyle \psi (q)=\int dp\,\phi (p)e^{ipq/h}.}$$

物理的に実現可能な状態はL ²であり、したがってプランシュレルの定理により、それらのフーリエ変換もL ²です。( qは距離の単位、p は運動量の単位であるため、指数にプランク定数が存在すると、当然のことながら 指数は無次元になります。)

したがって、フーリエ変換は、位置の波動関数による粒子の状態の表現方法から、運動量の波動関数による粒子の状態の表現方法へと移行するために使用できます。無限に多くの異なる分極が可能であり、すべてが同等に有効です。フーリエ変換によって状態をある表現から別の表現に変換できることは便利なだけでなく、ハイゼンベルクの不確定性原理の根底にある理由でもあります。

量子力学と量子場理論の両方におけるフーリエ変換のもう1つの用途は、適用可能な波動方程式を解くことである。非相対論的量子力学では、外力を受けない1次元の時間変動波動関数に対するシュレーディンガー方程式は、 $${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$$

これは、虚数単位iが存在することを除いて熱方程式と同じです。この方程式を解くには、フーリエ法を使用できます。

ポテンシャルエネルギー関数V ( x )によって与えられるポテンシャルが存在する場合、式は次のようになる。 $${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$$

上で言及した「基本解」は、粒子のいわゆる「定常状態」であり、上で説明したフーリエのアルゴリズムは、t = 0の値が与えられた場合のψの将来の発展の境界値問題を解くために使用できます。これらのアプローチはどちらも、量子力学ではあまり実用的ではありません。境界値問題と波動関数の時間発展は、実用上あまり重要ではありません。最も重要なのは定常状態です。

相対論的量子力学では、シュレーディンガー方程式は、複素数値の波動が考慮されることを除いて、古典物理学で通常行われていた波動方程式になる。他の粒子や場との相互作用がない場合の簡単な例として、今度は無次元単位での自由1次元クライン・ゴードン・シュレーディンガー・フォック方程式がある。 $${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+1\right)\psi (x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t).}$$

これは、数学的な観点からは、上で解いた古典物理学の波動方程式と同じです (ただし、複素数値の波で、手法に違いはありません)。これは量子場理論で非常に役立ちます。波の各個別のフーリエ成分は、個別の調和振動子として扱われ、量子化されます。この手順は「第 2 量子化」として知られています。フーリエ法は、非自明な相互作用も処理できるように適応されています。

最後に、量子調和振動子の数演算子は、例えばメーラー核を介して、フーリエ変換の生成子として解釈することができる。^[30]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

フーリエ変換は、時系列のスペクトル解析に使用されます。ただし、統計信号処理の主題では、通常、信号自体にフーリエ変換は適用されません。実際の信号が確かに過渡的である場合でも、特性がすべての時間にわたって一定であるという意味で定常である関数 (または、確率過程) によって信号をモデル化することが実用上望ましいことがわかっています。このような関数のフーリエ変換は通常の意味では存在せず、代わりにその自己相関関数のフーリエ変換を行う方が信号の解析に有用であることがわかっています。

関数fの自己相関関数Rは次のように定義される。 $${\displaystyle R_{f}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(t)f(t+\tau )\,dt.}$$

この関数は、相関する fの値間で経過する時間差τの関数です。

実際に発生するほとんどの関数fでは、 R は時間遅れτの有界偶関数であり、典型的なノイズ信号ではτ = 0で最大値をとる一様連続であることがわかります。

自己相関関数は、適切な方法で正規化されない限り、より正確には自己共分散関数と呼ばれ、時間差で区切られたfの値間の相関の強さを測定します。これは、 fとその過去の相関関係を検索する方法です。これは、信号の分析以外の統計タスクにも役立ちます。たとえば、f ( t ) が時刻tの温度を表す場合、24 時間の時間差での温度との強い相関関係が予想されます。

フーリエ変換を持ち、 $${\displaystyle P_{f}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }R_{f}(\tau )e^{-i2\pi \xi \tau }\,d\tau .}$$

このフーリエ変換は、 fのパワースペクトル密度関数と呼ばれます。( fからすべての周期成分を最初に除去しない限り、この積分は発散しますが、そのような周期性を除去するのは簡単です。)

この密度関数Pで示されるパワー スペクトルは、周波数ξによってデータに寄与する分散の量を測定します。電気信号では、分散は平均電力 (単位時間あたりのエネルギー) に比例するため、パワー スペクトルは、さまざまな周波数が信号の平均電力にどの程度寄与するかを表します。このプロセスは時系列のスペクトル分析と呼ばれ、時系列ではないデータの通常の分散分析 ( ANOVA ) に類似しています。

この意味でどの周波数が「重要」であるかを知ることは、フィルターの適切な設計と測定装置の適切な評価に不可欠です。また、データを生成する原因となる現象の科学的分析にも役立ちます。

信号のパワースペクトルは、狭帯域外のすべての周波数が除去された後に信号に残る平均パワーを測定することによって、直接近似的に測定することもできます。

スペクトル分析は、視覚信号に対しても実行されます。パワー スペクトルはすべての位相関係を無視しますが、これは多くの目的には十分ですが、ビデオ信号の場合は、フーリエ変換をツールとして使用して、他の種類のスペクトル分析も採用する必要があります。

その他の一般的な表記には次のものがあります: ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$$${\displaystyle {\tilde {f}}(\xi ),\ F(\xi ),\ {\mathcal {F}}\left(f\right)(\xi ),\ \left({\mathcal {F}}f\right)(\xi ),\ {\mathcal {F}}(f),\ {\mathcal {F}}\{f\},\ {\mathcal {F}}{\bigl (}f(t){\bigr )},\ {\mathcal {F}}{\bigl \{}f(t){\bigr \}}.}$$

科学や工学では、次のような置き換えも一般的です。 $${\displaystyle \xi \rightarrow f,\quad x\rightarrow t,\quad f\rightarrow x,\quad {\hat {f}}\rightarrow X.}$$

変換ペアは${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ {\hat {f}}(\xi )}$${\displaystyle x(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ X(f)}$

大文字表記の欠点は、またはのような変換を表現するときに、より扱いにくくなり、${\displaystyle {\widehat {f\cdot g}}}$${\displaystyle {\widehat {f'}},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\cdot g\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'\}.}$

素粒子物理学などの一部のコンテキストでは、関数とそのフーリエ変換の両方に同じ記号が使用されることがあります。この 2 つは引数によってのみ区別されます。つまり、 は運動量引数のためフーリエ変換を参照し、 は位置引数のため元の関数を参照します。 のようにチルダを使用してフーリエ変換を示すことができますが、 のように、チルダはよりローレンツ不変な形式で量の変更を示すために使用されることもあるため、注意が必要です。同様に、は のヒルベルト変換を表すことがよくあります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(k_{1}+k_{2})}$${\displaystyle f(x_{0}+\pi {\vec {r}})}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {dk}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle f}$

複素関数f̂ ( ξ )の解釈は、 2 つの実関数A ( ξ )とφ ( ξ ) を使って極座標形式 で表現することで容易になります。ここで、 は振幅、 は位相 です( arg 関数を参照)。 $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=A(\xi )e^{i\varphi (\xi )}}$$$${\displaystyle A(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|,}$$$${\displaystyle \varphi (\xi )=\arg \left({\hat {f}}(\xi )\right),}$$

すると、逆変換は次のように記述できます。 これは、 f ( x ) のすべての周波数成分の再結合です。各成分は、振幅がA ( ξ )で、初期位相角( x = 0 ) がφ ( ξ )であるe ^{2π ixξ}の形式の複素正弦波です。 $${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }A(\xi )\ e^{i{\bigl (}2\pi \xi x+\varphi (\xi ){\bigr )}}\,d\xi ,}$$

フーリエ変換は、関数空間へのマッピングと考えることができます。このマッピングはここではFと表記され、 F ( f ) は関数fのフーリエ変換を表すために使用されます。このマッピングは線形であるため、F は関数空間上の線形変換と見なすこともできます。また、線形変換をベクトル (ここでは関数f )に適用する線型代数の標準表記法を使用して、F ( f )の代わりにF fと書くことができます。フーリエ変換を適用した結果も関数であるため、この関数の値をその変数の値ξで評価することが目的となり、これはF f ( ξ )または( F f )( ξ )と表記されます。前者の場合、 Fが最初にfに適用され、次に結果の関数がξで評価されることが暗黙的に理解されており、その逆ではない ことに注意してください。

数学やさまざまな応用科学では、関数fと、その変数がxに等しいときのfの値( f ( x )と表記) を区別することがしばしば必要になります。つまり、 F ( f ( x ))のような表記は、形式的にはxにおけるfの値のフーリエ変換として解釈できます。この欠点にもかかわらず、前述の表記は、特定の関数または特定の変数の関数を変換するときによく使用されます。たとえば、は、 直交関数 のフーリエ変換がsinc 関数であることを表現するために時々使用され、または フーリエ変換のシフト特性を表現するために使用されます。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {rect} (x){\bigr )}=\operatorname {sinc} (\xi )}$$$${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}f(x+x_{0}){\bigr )}={\mathcal {F}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\,e^{i2\pi x_{0}\xi }}$$

最後の例は、変換された関数がx ₀の関数ではなくxの関数であるという仮定の下でのみ正しいことに注意してください。

上で述べたように、確率変数の特性関数はその分布測度のフーリエ・スティルチェス変換と同じであるが、この文脈では定数については異なる慣例をとるのが一般的である。通常、特性関数は次のように定義される。 $${\displaystyle E\left(e^{it\cdot X}\right)=\int e^{it\cdot x}\,d\mu _{X}(x).}$$

上記の「非ユニタリ角周波数」規則の場合と同様に、2 πの係数は正規化定数にも指数にも現れません。上記の規則のいずれとも異なり、この規則では指数に反対の符号が付けられます。

適切な計算方法は、元の数学関数の表現方法と出力関数の目的の形式に大きく依存します。このセクションでは、連続変数の関数と離散変数の関数（つまり、と値の順序付けられたペア）の両方を検討します。離散値の場合、変換積分は正弦波の合計になりますが、これは依然として周波数（または）の連続関数です。正弦波が調和的関係にある場合（つまり、値が間隔の整数倍で配置されている場合）、変換は離散時間フーリエ変換（DTFT）と呼ばれます。 ${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x}$

DTFT を等間隔の周波数値でサンプリングする方法は、最も一般的な最新の計算方法です。必要な周波数解像度に応じた効率的な手順については、「離散時間フーリエ変換」§「DTFT のサンプリング」で説明しています。ここで使用される離散フーリエ変換(DFT) は、通常、高速フーリエ変換(FFT) アルゴリズムによって計算されます。

§ 二乗積分可能関数、1次元、§ 離散時間フーリエ変換表などの閉形式フーリエ変換の表は、フーリエ解析積分（または和）を別の閉形式周波数関数（または）に数学的に評価することによって作成されます。^[59] 数学的に可能な場合、これは連続した周波数値の変換を提供します。 ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \omega }$

MatlabやMathematicaなど、記号積分が可能な多くのコンピュータ代数システムは、フーリエ変換を解析的に計算することができます。たとえば、cos(6π t ) e ^{−π t 2}のフーリエ変換を計算するには、 Wolfram Alphaintegrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to infにコマンドを入力します。^{[注 7]}

フーリエ変換の離散サンプリングは、変換が必要な周波数の各値での定義を数値積分することによっても実行できます。 ^{[60] [61] [62]} 数値積分アプローチは、解析的アプローチよりもはるかに広いクラスの関数で機能します。

入力関数が一連の順序付きペアである場合、数値積分はデータペアのセットの合計に簡略化されます。^[63] DTFTは、このより一般的な状況の一般的なサブケースです。

次の表は、いくつかの閉じた形式のフーリエ変換を記録しています。関数f ( x )とg ( x )の場合、フーリエ変換はf̂とĝで表されます。最も一般的な 3 つの規則のみが含まれています。エントリ 105 は、関数のフーリエ変換と元の関数の関係を示しており、これはフーリエ変換とその逆を関連付けていると見ることができることに注目すると役立つかもしれません。

この表のフーリエ変換は、Erdélyi (1954) または Kammler (2000、付録) に記載されています。

この表のフーリエ変換は、Campbell & Foster (1948)、Erdélyi (1954)、または Kammler (2000、付録) に記載されています。

この表のフーリエ変換は、Erdélyi (1954) または Kammler (2000、付録) に記載されています。

• ウィキメディア・コモンズのフーリエ変換に関連するメディア
• 数学百科事典
• ワイスタイン、エリック W.「フーリエ変換」。マスワールド。
• 結晶学におけるフーリエ変換