マルチンキェヴィチの補間定理

数学、特に関数解析において、Józef Marcinkiewicz ( 1939 )によって発見されたMarcinkiewicz 補間定理は、 L ^p空間に作用する非線形作用素のノルムを制限する結果である。 

マルチンキェヴィチの定理は、線形作用素に関するリース・トーリンの定理に似ているが、非線形作用素にも適用される。

f を実数または複素数の値をとる可測関数とし、測度空間( X , F , ω ) 上で定義する。fの分布関数は次のように定義される。  

${\displaystyle \lambda _{f}(t)=\omega \left\{x\in X\mid |f(x)|>t\right\}.}$

するとfは弱fと呼ばれる$\displaystyle L^{1}}$定数Cが存在し、 fの分布関数がすべてのt  >  0に対して次の不等式を満たす場合:

$\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C}{t}}.}$

上記の不等式における最小の定数Cは弱定数と呼ばれます。$\displaystyle L^{1}}$規範であり、通常はで表されます${\displaystyle \|f\|_{1,w}}$または${\displaystyle \|f\|_{1,\infty }.}$同様に、空間は通常L ^{1, w}またはL ^1,∞で表されます。

（注：この用語はやや誤解を招く可能性があります。なぜなら、弱ノルムは三角不等式を満たさないからです。これは、上の関数の和を考えるとわかります。）${\displaystyle (0,1)}$によって与えられた${\displaystyle 1/x}$ そして${\displaystyle 1/(1-x)}$（これはノルムが2ではなく4である。）

どれでも$\displaystyle L^{1}}$関数はL ^1、wに属し、さらに不等式が成り立つ。

${\displaystyle \|f\|_{1,w}\leq \|f\|_{1}.}$

これはマルコフの不等式（別名チェビシェフの不等式）に他なりません。逆は成り立ちません。例えば、関数 1/ x はL ^{1, w}には属しますが、L ¹には属しません。

同様に、弱い$\displaystyle L^{p}}$空間は、すべての関数fの空間として、${\displaystyle |f|^{p}}$L 1 ^、w、および弱$\displaystyle L^{p}}$標準を使用する

${\displaystyle \|f\|_{p,w}=\left\||f|^{p}\right\|_{1,w}^{\frac {1}{p}}.}$

より直接的に、L ^p、wノルムは、不等式における最良の定数Cとして定義される。

$\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}$

t  > 0のすべての場合 。

非公式には、マルチンキェヴィッチの定理は次のとおりです。

定理。Tを有界線形作用素とする。$\displaystyle L^{p}}$に${\displaystyle L^{p,w}}$そして同時に$\displaystyle L^{q}}$に${\displaystyle L^{q,w}}$すると、Tも有界作用素となる。$\displaystyle L^{r}}$に$\displaystyle L^{r}}$pとqの間の任意のrについて。

言い換えれば、極値pとqに関して弱い有界性のみを要求する場合でも、正則有界性は依然として成り立つ。これをより厳密に説明するには、 Tは稠密な部分集合上でのみ有界であり、完備化可能であることを説明する必要がある。詳細については、リース＝トーリンの定理を参照されたい。

マルチンキェヴィチの定理がリース・トーリンの定理よりも弱いのは、ノルムの評価においてである。この定理は、$\displaystyle L^{r}}$Tのノルムですが、この境界はr がpまたはqのいずれかに収束するにつれて無限大に増加します。具体的には( DiBenedetto 2002 、定理 VIII.9.2)、次のように仮定します。

${\displaystyle \|Tf\|_{p,w}\leq N_{p}\|f\|_{p},}$

${\displaystyle \|Tf\|_{q,w}\leq N_{q}\|f\|_{q},}$

したがって、L ^pからL ^p、wへのTの作用素ノルムは高々N _pであり、L ^qからL ^q、wへのTの作用素ノルムは高々N _qである。このとき、 pとqの間のすべてのrおよびすべてのf ∈ L ^rに対して、次の補間不等式が成り立つ。  

$\displaystyle \|Tf\|_{r}\leq \gamma N_{p}^{\delta }N_{q}^{1-\delta }\|f\|_{r}}$

どこ

${\displaystyle \delta ={\frac {p(qr)}{r(qp)}}}$

そして

${\displaystyle \gamma =2\left({\frac {r(qp)}{(rp)(qr)}}\right)^{1/r}.}$

定数δとγは、q  =  ∞の場合についても極限をとることによって与えることができる。

この定理の別バージョンは、T が次の意味で準線形演算子であると仮定するだけで、より一般的に成り立つ。すなわち、T が次の条件を満たすような定数C  > 0 が存在する。 

${\displaystyle |T(f+g)(x)|\leq C(|Tf(x)|+|Tg(x)|)}$

ほぼすべてのxに対して。定理は、γ を に置き換えることを除いて、述べられたとおりに正確に成り立つ。

${\displaystyle \gamma =2C\left({\frac {r(qp)}{(rp)(qr)}}\right)^{1/r}.}$

演算子T (準線形である可能性あり) は、次の形式の評価を満たす。

${\displaystyle \|Tf\|_{q,w}\leq C\|f\|_{p}}$

は弱型 ( p , q )であると言われます。演算子が単に型 ( p , q ) であるのは、T がL ^pからL ^qへの有界変換である場合です。

${\displaystyle \|Tf\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}$

補間定理のより一般的な定式化は以下のとおりです。

• T が弱型 ( p ₀ , q ₀ ) および弱型 ( p ₁ , q ₁ )の準線形演算子で、q ₀  ≠ q ₁である場合、各 θ ∈ (0,1)に対して、 Tは ( p , q )型であり、 pおよびq はp ≤ qの形式で、次のようになります。   

${\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},\quad {\frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.}$

後者の定式化は、ヘルダーの不等式と双対性論法を適用することによって前者から導かれる。

有名な応用例として、ヒルベルト変換があります。乗数として考えると、関数fのヒルベルト変換は、まずfのフーリエ変換を行い、次に符号関数を掛け、最後に逆フーリエ変換を適用することによって計算できます。

したがって、パーセバルの定理により、ヒルベルト変換は以下から制限されることが容易に示される。${\displaystyle L^{2}}$に${\displaystyle L^{2}}$あまり知られていない事実は、${\displaystyle L^{1}}$に${\displaystyle L^{1,w}}$したがって、マルチンキェヴィチの定理は、それが以下から制限されることを示している。${\displaystyle L^{p}}$に${\displaystyle L^{p}}$1 < p < 2の任意の場合において、これは有界である。双対性の議論から、2 < p < ∞ の場合にも有界であることが示される。実際には、 pが 1 または ∞の場合、ヒルベルト変換は実際には有界ではない。

もう1つの有名な例はハーディ・リトルウッド最大関数で、これは線形ではなく劣線形演算子にすぎない。${\displaystyle L^{p}}$に${\displaystyle L^{p}}$境界はすぐに導き出せる${\displaystyle L^{1}}$弱すぎる${\displaystyle L^{1}}$巧妙な変数変換による推定では、マルチンキェヴィッチ補間の方がより直感的なアプローチです。ハーディ・リトルウッド最大関数は自明に以下の範囲に制限されます。${\displaystyle L^{\infty }}$に${\displaystyle L^{\infty }}$すべてに強い境界性${\displaystyle p>1}$弱い (1,1) 推定と補間から直ちに導かれる。弱い (1,1) 推定は、ヴィタリ被覆補題から得られる。

この定理は、マルチンキェヴィチ（1939年）によって初めて発表され、彼は第二次世界大戦で亡くなる直前にアントニ・ジグムントにこの結果を示した。ジグムントはこの定理をほとんど忘れており、特異積分作用素の理論に関する彼の初期の著作には含まれていなかった。後にジグムント（1956年）は、マルチンキェヴィチの結果が自身の研究を大幅に簡略化できることに気づき、その際に、かつての教え子の定理を自身の一般化とともに発表した。

1964年にリチャード・A・ハントとグイド・ワイスはマルチンキェヴィチ補間定理の新しい証明を発表した。^{[ 1 ]}

• 補間空間

• ディベネデット、エマヌエーレ (2002)、実分析、ビルクホイザー、ISBN 3-7643-4231-5。
• ギルバーグ、デイビッド；トルーディンガー、ニール S. (2001)、楕円型二階偏微分方程式、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 3-540-41160-7。
• Marcinkiewicz, J. (1939)、「Sur l'interpolation d'operations」、CR Acad.科学。パリ、208 : 1272–1273​
• スタイン、エリアス；ワイス、グイド（1971）、『ユークリッド空間におけるフーリエ解析入門』、プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-08078-X。
• Zygmund, A. (1956)、「演算の補間に関する Marcinkiewicz の定理について」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées、Neuvième Série、35 : 223–248、ISSN 0021-7824、MR 0080887