両側ラプラス変換

数学において、両側ラプラス変換または双対ラプラス変換は、確率のモーメント生成関数と等価な積分変換である。両側ラプラス変換は、フーリエ変換、メリン変換、Z変換、および通常のラプラス変換または片側ラプラス変換と密接に関連している。f ( t )がすべての実数に対して定義された実変数 t の実数値または複素数値関数である場合、両側ラプラス変換は積分によって定義される。

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}(s)=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

積分は、通常、両方の積分が収束する場合にのみ収束する 不定積分として理解される。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt}$

両側変換の一般的な表記法は存在しないようです。 ここで使用されている表記法は「bilateral」を思い起こさせます。一部の著者が使用している両側変換は ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}\{f\}(s)=s{\mathcal {B}}\{f\}(s)=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

純粋数学では、引数t は任意の変数にすることができ、ラプラス変換は微分演算子が関数をどのように変換するかを研究するために使用されます。

科学および工学のアプリケーションでは、引数t は多くの場合時間 (秒単位) を表し、関数f ( t ) は多くの場合時間とともに変化する信号または波形を表します。これらの場合、信号はフィルターによって変換されます。フィルターは数学演算子のように機能しますが、制限があります。フィルターは因果関係がある必要があり、つまり、特定の時間tの出力は、 tのより高い値の出力に依存できません。個体群生態学では、引数t は分散カーネル内の空間的な変位を表すことがよくあります。

時間の関数を扱う場合、f ( t ) は信号の時間領域表現と呼ばれ、 F ( s ) はs 領域(またはラプラス領域) 表現と呼ばれます。逆変換は、すべての周波数にわたる信号の周波数成分の合計として信号の合成を表しますが、順変換は、信号の周波数成分への 分析を表します。

フーリエ変換は、両側ラプラス変換によって定義できます。

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )=F(\omega ).}$

フーリエ変換の定義は異なることに注意し、特に

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)}$

代わりによく使われる。フーリエ変換の観点では、両側ラプラス変換も得られる。

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)={\mathcal {F}}\{f(t)\}(-is).}$

フーリエ変換は通常、実数値に対して存在するように定義されます。上記の定義は、フーリエ変換が収束すると想定される実軸を含まない可能性がある ストリップ内の画像を定義します。${\displaystyle a<\Im (s)<b}$

これが、ラプラス変換が制御理論と信号処理において価値を保っている理由です。フーリエ変換積分がその領域内で収束することは、それによって記述される線形でシフト不変なシステムが安定または臨界であることを意味するだけです。一方、ラプラス変換は、指数調節器として使用できる追加の項を含むため、最大でも指数関数的に増加するすべてのインパルス応答に対してどこかで収束します。超指数関数的に増加する線形フィードバック ネットワークは存在しないため、ラプラス変換に基づく線形でシフト不変なシステムの分析と解決は、フーリエ変換ではなくラプラス変換のコンテキストで最も一般的な形をとります。

同時に、今日ではラプラス変換理論は、より一般的な積分変換、さらには一般的な調和解析の範囲内にあります。その枠組みと命名法では、ラプラス変換は、後から考えればより一般的であるとしても、単にフーリエ解析の別の形式にすぎません。

uがヘヴィサイドのステップ関数で、その引数がゼロより小さいときはゼロ、引数がゼロのときは半分、引数がゼロより大きいときは 1 になる場合、ラプラス変換は両側ラプラス変換によって次のように定義できます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={\mathcal {B}}\{fu\}.}$

一方、私たちは

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {L}}\{f\}+{\mathcal {L}}\{f\circ m\}\circ m,}$

ここで、はマイナス 1 ( ) を乗算する関数なので、どちらのバージョンのラプラス変換も、もう一方のバージョンによって定義できます。 ${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle m(x)=-x}$

メリン変換は、両側ラプラス変換によって次のように定義される。

${\displaystyle {\mathcal {M}}\{f\}={\mathcal {B}}\{f\circ {\exp }\circ m\},}$

上と同じで、逆にメリン変換から両側変換を得るには次のようにします。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {M}}\{f\circ m\circ \log \}.}$

連続確率密度関数ƒ ( x )のモーメント生成関数は次のように表すことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}(-s)}$

以下の特性はBracewell (2000)およびOppenheim & Willsky (1997)に記載されています。

両側ラプラス変換のほとんどの特性は片側ラプラス変換の特性と非常に似ていますが、いくつか重要な違いがあります。

およびを、収束帯 における 両側ラプラス変換 およびを持つ関数とします。 を とします。するとパーセバルの定理が成り立ちます: ^[1]${\displaystyle f_{1}(t)}$${\displaystyle f_{2}(t)}$${\displaystyle F_{1}(s)}$${\displaystyle F_{2}(s)}$${\displaystyle \alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \max(-\beta _{1},\alpha _{2})<c<\min(-\alpha _{1},\beta _{2})}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f_{1}(t)}}\,f_{2}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\overline {F_{1}(-{\overline {s}})}}\,F_{2}(s)\,ds}$

この定理は、相互相関の形で畳み込み定理に逆ラプラス変換を適用することによって証明されます。

が収束帯 における両側ラプラス変換を持つ関数であるとする。 が であるとする。このときプランシュレルの定理が成り立つ: ^[2]${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle \alpha <\Re s<\beta }$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \alpha <c<\beta }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2c\,t}\,|f(t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|F(c+ir)|^{2}\,dr}$

両側ラプラス変換が存在する任意の2 つの関数について、つまりの任意の値に対して である場合、ほぼすべての場所でとなります。 ${\textstyle f,g}$${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\},{\mathcal {T}}\{g\}}$${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}={\mathcal {T}}\{g\},}$${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}(s)={\mathcal {T}}\{g\}(s)}$${\textstyle s\in \mathbb {R} ,}$${\textstyle f=g}$

双方向変換の収束要件は、片方向変換の場合よりも難しくなります。収束領域は通常小さくなります。

fが局所的に積分可能な関数（またはより一般的には局所的に有界な変化のボレル測度）である場合、 fのラプラス変換F（s）は、極限

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$

が存在する。ラプラス変換は、積分

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$

が存在する（適切なルベーグ積分として）。ラプラス変換は通常、条件付き収束と理解されており、後者の意味ではなく前者の意味で収束することを意味します。

F ( s )が絶対収束する値の集合は、 Re( s ) > aまたは Re( s ) ≥ aの形式のいずれかです。ここで、aは拡張された実定数、 −∞ ≤ a ≤ ∞です。 （これは優勢収束定理に従います。）定数a は絶対収束の横座標として知られ、f ( t ) の増加動作に依存します。^[3]同様に、両側変換は、a < Re( s ) < bの形式のストリップで絶対収束し、おそらく Re( s ) = aまたは Re( s ) = bの線を含みます。^{[4]ラプラス変換が絶対収束する}sの値のサブセットは、絶対収束領域または絶対収束領域と呼ばれます。両側の場合、絶対収束ストリップと呼ばれることもあります。ラプラス変換は、絶対収束領域で 解析的です。

同様に、 F ( s ) が（条件付きまたは絶対的に）収束する値の集合は、条件付き収束領域、または単に収束領域（ROC）として知られています。ラプラス変換がs = s ₀で（条件付きで）収束する場合、 Re( s ) > Re( s _{0 ) のすべての}sに対して自動的に収束します。したがって、収束領域は Re( s ) > aの形式の半平面であり、境界線 Re( s ) = aのいくつかの点が含まれる可能性があります。収束領域 Re( s ) > Re( s _{0 ) では、} fのラプラス変換は、部分積分によって次の積分として 表すことができます。

${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$

つまり、収束領域では、F ( s ) は他の関数の絶対収束ラプラス変換として効果的に表現できます。特に、解析的です。

fの減衰特性と収束領域内のラプラス変換の特性と の関係に関するPaley-Wiener の定理がいくつかあります。

エンジニアリング アプリケーションでは、すべての制限された入力が制限された出力を生成する場合、 線形時不変 (LTI) システムに対応する関数は安定します。

双方向変換は因果関係を尊重しません。汎用関数に適用する場合は意味がありますが、時間関数 (信号) を扱う場合は、片方向変換が適しています。

対応するフーリエ変換または片側ラプラス変換から、次の興味深い例を推測することができます（Bracewell（2000）も参照）。

• 因果フィルター
• 非因果システム
• 因果関係
• シンク フィルター- 理想的なシンク フィルター (別名、長方形フィルター) は非因果的であり、遅延は無限大です。

• LePage, Wilbur R. (1980)。エンジニアのための複素変数とラプラス変換。Dover Publications。
• Van der Pol, Balthasar、および Bremmer, H.、「両側ラプラス積分に基づく演算計算」、Chelsea Pub. Co.、第 3 版、1987 年。
• ウィダー、デイビッド・ヴァーノン（1941）、「ラプラス変換」、プリンストン数学シリーズ、第6巻、プリンストン大学出版局、MR  0005923。
• Bracewell, Ronald N. (2000).フーリエ変換とその応用(第 3 版).
• Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S. (1997). Signals & Systems (第 2 版).