シリーズ（数学）

数学において、級数とは、大まかに言えば、無限個の項を次々に加えていくことである。 ^[1]級数の研究は、微積分学とその一般化である数学的解析の主要な部分である。級数は数学のほとんどの分野で使用され、生成関数を介した組合せ論における有限構造の研究にも使用される。無限級数の数学的特性により、物理学、コンピュータサイエンス、統計学、金融などの他の定量的分野にも広く応用できる。

古代ギリシャ人の間では、潜在的に無限の 合計が有限の結果を生み出すという考えは逆説的であると考えられており、最も有名なのはゼノンのパラドックスである。^{[2] [3]それにもかかわらず、無限級数は、}アルキメデスなどの古代ギリシャの数学者によって、例えば放物線の求積法などで実際に適用された。^{[4] [5]}ゼノンのパラドックスの数学的側面は、17世紀、特にアイザック・ニュートンの初期の微積分学を通じて、極限の概念を使用して解決された。^[6]この解決は、19世紀にカール・フリードリヒ・ガウスやオーギュスタン＝ルイ・コーシー^[7]などの研究を通じてより厳密になり、さらに改善され、実数の完全性を通じてこれらの和のうちどれが存在するか、級数​​の絶対収束と条件付き収束を使用して、級数の項をそれらの和を変えずに並べ替えることができるかどうかという疑問に答えた。

現代の用語では、数、関数、行列、または加算可能なその他の項の順序付けられた無限のシーケンス は、次々に項を加算する数列を定義します。項が無限にあることを強調するために、数列は無限数列とも呼ばれます。数列は、大文字シグマの加算記法を使用して、 またはのような 式で表されます。 ^[8]${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$${\displaystyle a_{i}}$$${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.}$$

級数で表される加算の無限シーケンスは、有限の時間内に順番に明示的に実行することはできません。ただし、項とその有限和が極限を持つ集合に属している場合は、級数 の和と呼ばれる値を級数に割り当てることができます。この値は、極限が存在する場合、級数の最初の項の有限和の ⁠ ⁠ が無限大に近づくときの極限です。[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ^{]これらの}有限和は、級数の 部分和と呼ばれます。和の表記法を使用する場合、 それが存在する場合。^{[9] [10] [11]}極限が存在する場合、級数は収束または和可能であり、シーケンスも和可能であり、そうでない場合、極限が存在しない場合は、級数は発散します。^{[9] [10] [11]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{n}a_{i},}$$${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

この式は、級数（項を次々に無限に追加していく暗黙の過程）と、級数が収束する場合は級数の和（過程の明示的な極限）の両方を表します。これは、加算（追加する過程）とその結果（⁠ ⁠ ⁠と⁠ ⁠の和）の両方を加算で表すという同様の慣習を一般化したものです。 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

一般的に、級数の項は環、多くの場合実数体 または複素数体から来ます。その場合、級数全体の集合自体も環であり、その環における加算は級数の項を項ごとに加算することから成り、乗算はコーシー積です。^{[12] [13] [14]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

級数、あるいは冗長的に無限級数とは、無限和のことである。級数はしばしば [8] [15] [16] と表され、^ここで項 は一連の数値、関数、あるいはその他加算可能なもののいずれかである。級数は大文字シグマ表記法 で表すこともできる: ^{[8] [16]} $${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \quad {\text{or}}\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle a_{k}}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\qquad {\text{or}}\qquad \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$$

また、いくつかの最初の項、省略記号、一般項、そして最後の省略記号を使用して級数を表すことも一般的です。一般項は、⁠ ⁠${\displaystyle n}$番目の項を⁠ ⁠の関数として表したものです。 たとえば、オイラー数は級数で定義できます 。 ここで、 は最初の正の整数の積を表し、慣例的に次のように等しくなります^{[17] [18] [19]}${\displaystyle n}$$${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots \quad {\text{ or }}\quad f(0)+f(1)+f(2)+\cdots +f(n)+\cdots .}$$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+\cdots +{\frac {1}{n!}}+\cdots ,}$$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0!}$${\displaystyle 1.}$

級数が与えられたとき、その⁠ ⁠番目の部分和は^{[9] [10] [11] [16]}である。${\textstyle s=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}.}$$

ある著者は、系列を部分和の列で直接識別する。^{[9] [11]}部分和の列または項の列のいずれかが系列を完全に特徴づけ、項の列は部分和の列から連続する要素間の差をとることで復元できる。 $${\displaystyle a_{n}=s_{n}-s_{n-1}.}$$

シーケンスの部分和は線形シーケンス変換の一例であり、コンピュータサイエンスではプレフィックス和としても知られています。シーケンスをその部分和から復元する逆変換は、別の線形シーケンス変換である有限差分です。

級数の部分和は、より単純な閉じた形式の表現を持つことがあります。例えば、等差級数には部分和があり 、 幾何級数には部分和があります^{[20] [21] [22]}、または単に⁠ ⁠ ⁠ ⁠の 場合。 $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left(a+kd\right)=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +(a+nd)=(n+1){\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}nd{\bigr )},}$$ $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}}$$${\displaystyle r\neq 1}$${\displaystyle s_{n}=a(n+1)}$${\displaystyle r=1}$

厳密に言えば、級数は部分和の列が極限を持つとき 、収束する、収束する、または和算可能であると言われる。部分和の列の極限が存在しない場合、級数は発散する、または発散する。^[23]部分和の極限が存在する場合、それは級数の和または級数の値と呼ばれる：^{[9] [10] [11] [16]} 有限個の非ゼロ項のみを持つ級数は常に収束する。このような級数は、項の数を気にせずに有限和を考えるのに便利である。^[24]和が存在する場合、級数の和とその番目の部分和との差は、無限級数の 番目の打ち切り誤差として知られている。[ 25 ] ^{[ 26]} $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.}$$${\displaystyle n}$${\textstyle s-s_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k},}$${\displaystyle n}$

収束級数の例としては、等比級数が挙げられる。 $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{k}}}+\cdots .}$$

代数計算により、各部分和がで ある ことが示され、 級数は収束し、打ち切り誤差を伴って⁠ ⁠に収束する。^{[20] [21] [22]}${\displaystyle s_{n}}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{2^{k}}}=2-{\frac {1}{2^{n}}}.}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(2-{\frac {1}{2^{n}}}\right)=2,}$$${\displaystyle 2}$${\textstyle 1/2^{n}}$

対照的に、等比級数 は実数 では発散します。^{[20] [21] [22]しかし、}拡張された実数直線では収束し、その極限は 、各ステップでの打ち切り誤差は となります。^[27]$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }2^{k}}$$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle +\infty }$

一連の部分和の収束を直接計算して評価することが困難な場合は、収束テストを使用して、その数列が収束するか発散するかを証明できます。

通常の有限和では、加法の結合法則の結果として、和の項は和の結果を変えることなく自由にグループ化したりグループ化解除したりできます。同様に、級数では、級数の項を有限にグループ化しても、級数の部分和の極限は変わらず、したがって級数の合計も変わりません。ただし、無限級数で無限回のグループ化が行われると、グループ化された級数の部分和は元の級数とは異なる極限を持つ可能性があり、異なるグループ化は互いに異なる極限を持つ可能性があります。の合計はの合計と等しくない可能性があります。${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})={}}$${\displaystyle (a_{0}+a_{1})+a_{2}.}$${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})+{}}$${\displaystyle (a_{3}+a_{4})+\cdots .}$

たとえば、グランディ級数 ⁠ ⁠には、 ${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$⁠ ⁠${\displaystyle 1}$と⁠ ⁠${\displaystyle 0}$の間を交互に繰り返す部分和のシーケンスがあり、収束しません。その要素をペアでグループ化すると、すべての項で部分和がゼロになり、したがって合計がゼロになる級数が作成されます。最初の項以降から要素をペアでグループ化すると、すべての項で部分和が 1 になり、したがって合計が 1 になる級数が作成されますが、結果は異なります。 ${\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots ={}}$${\displaystyle 0+0+0+\cdots ,}$${\displaystyle 1+(-1+1)+{}}$${\displaystyle (-1+1)+\cdots ={}}$${\displaystyle 1+0+0+\cdots ,}$

一般に、級数の項をグループ化すると、元の級数の部分和の部分列である部分和の列を持つ新しい級数が作成されます。つまり、元の級数が収束する場合、グループ化後の新しい級数も収束します。つまり、収束する数列のすべての無限部分列も同じ極限に収束します。ただし、元の級数が発散する場合、上記のグランディの級数の例のように、グループ化された級数は必ずしも発散しません。ただし、グループ化された級数の発散は、元の級数が発散する必要があることを意味します。なぜなら、元の級数の部分和の部分列が収束していないことを証明するためです。収束している場合は不可能です。この推論は、調和級数の発散の証明でオレームに適用され、^{[28]一般的な}コーシー凝縮テストの基礎となっています。^{[29] [30]}

通常の有限和では、加算の交換法則の結果として、和の項は和の結果を変えることなく自由に並べ替えることができます。同様に、級数では、級数の項の有限並べ替えは級数の部分和の極限を変えず、したがって級数の合計も変えません。有限並べ替えの場合、並べ替えがそれ以上の項に影響を与えない項がいくつか存在します。並べ替えの影響はその項までの有限和に分離することができ、有限和は並べ替えによって変化しません。 ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$${\displaystyle a_{0}+a_{2}+a_{1}={}}$${\displaystyle a_{2}+a_{1}+a_{0}.}$

しかし、グループ化に関しては、級数の項を無限に並べ替えると、級数の部分和の極限が変化することがあります。ある値に収束する部分和のシーケンスを持つ級数で、項を並べ替えると他の値に収束する部分和を持つ級数を形成できる場合、これを条件付き収束級数と呼びます。並べ替えに関係なく同じ値に収束するものを無条件収束級数と呼びます。

実数と複素数の級数の場合、級数が無条件に収束するのは、その項の絶対値を合計した級数が収束する場合のみであり、この性質は絶対収束と呼ばれます。それ以外の場合、収束はするが絶対収束しない実数または複素数の級数は条件付き収束します。条件付き収束する実数の和は、他の任意の実数を極限として生成するか、発散するように並べ替えることができます。これらの主張は、リーマン級数定理の内容です。^{[31] [32] [33]}${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\displaystyle |a_{0}|+|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots ,}$

条件付き収束の歴史的に重要な例としては、交代調和級数がある。

$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$ の自然対数の和は2 であり、項の絶対値の和は調和級数であり、 調和級数の発散に応じて発散するため、^[28]交代調和級数は条件付き収束します。たとえば、交代調和級数の項を並べ替えて、元の級数の正の項の後に、元の級数の負の項が 1 つではなく 2 つ続くようにすると、^[34]が生成されます。 これは元の級数の倍であるため、自然対数の半分の和 2 になります。リーマン級数定理により、交代調和級数を並べ替えて他の任意の実数を生成することもできます。 $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{1 \over n}=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad =\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right),\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

2つの級数の加算は項ごとの和^{[13] [35] [36] [37]}、または和の表記法で与えられる。 ${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\textstyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$ ${\textstyle (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots \,}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+b_{k}.}$$

加算された級数の部分和に記号とを使用し、結果として得られる級数の部分和に記号 を使用すると、この定義は、結果として得られる級数の部分和が に従うことを意味します。すると、結果として得られる級数の部分和のシーケンスの極限である結果として得られる級数の和は、 極限が存在するときに を満たします。したがって、まず、加算された級数が加算可能であれば、加算から得られる級数は加算可能であり、次に、結果として得られる級数の和は、追加された級数の和の加算です。2 つの発散する級数を加算すると、収束する級数が生じる場合があります。たとえば、発散​​する級数とその項の倍数の級数を加算すると、すべてゼロの級数が生じ、ゼロに収束します。ただし、一方が収束し、もう一方が発散する 2 つの級数の場合、加算の結果は発散します。^[35]${\displaystyle s_{a,n}}$${\displaystyle s_{b,n}}$${\displaystyle s_{a+b,n}}$${\displaystyle s_{a+b,n}=s_{a,n}+s_{b,n}.}$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{a+b,n}=\lim _{n\rightarrow \infty }(s_{a,n}+s_{b,n})=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}+\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n},}$$${\displaystyle -1}$

実数または複素数の級数の場合、級数の加算は結合法則、可換法則、および可逆法則です。したがって、級数の加算により、実数または複素数の収束する級数の集合はアーベル群の構造を持ち、また、実数または複素数のすべての級数の集合（収束特性に関係なく）はアーベル群の構造を持ちます。

定数（ここではスカラーと呼ばれる）を持つ級数の積は、項ごとの積^[35]、または和の表記法で 表され、${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\displaystyle c}$ ${\textstyle ca_{0}+ca_{1}+ca_{2}+\cdots }$

$${\displaystyle c\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }ca_{k}.}$$

元の級数の部分和の記号と を乗じた後の級数の部分和の記号を使用すると、この定義は、すべての に対して であり、したがって極限が存在する場合も であることを意味します。したがって、級数が加算可能であれば、その級数の任意の非ゼロのスカラー倍数も加算可能であり、その逆も同様です。つまり、級数が発散する場合、その級数の任意の非ゼロのスカラー倍数も発散します。 ${\displaystyle s_{a,n}}$${\displaystyle s_{ca,n}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle s_{ca,n}=cs_{a,n}}$${\displaystyle n,}$${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{ca,n}=c\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n},}$

実数と複素数のスカラー乗算は結合性、可換性、可逆性があり、級数加算 にわたって分配されます。

まとめると、級数の加算とスカラー乗算により、収束級数の集合と実数の級数の集合は実ベクトル空間の構造を持ちます。同様に、複素数の級数と収束級数に対しては複素ベクトル空間が得られます。これらのベクトル空間はすべて無限次元です。

2つの級数とを掛け合わせて3つ目の級数を生成することをコーシー積と呼ぶ^{[12] [13] [14] [36] [38]}は、 それぞれ で和の表記法で書くことができる。 ここで、級数の部分和の収束は、加算の場合ほど簡単には証明できない。しかし、級数とが両方とも絶対収束する級数であれば、それらを掛け合わせて得られる級数も、掛け合わせた級数の2つの和の積に等しい和で絶対収束する。^{[13] [36] [39]}${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j},}$$${\textstyle c_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}={}\!}$${\displaystyle \!a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\cdots +a_{k-1}b_{1}+a_{k}b_{0}.}$${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{c,n}=\left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}\right)\cdot \left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n}\right).}$$

絶対収束する実数および複素数の級数の級数乗算は結合的、可換的であり、級数の加算に対して分配的である。級数乗算は、級数の加算とともに、絶対収束する実数または複素数の級数の集合に可換環の構造を与え、スカラー 乗算とともに可換代数の構造も与える。また、これらの演算は、すべての実数または複素数の級数の集合に結合代数の構造を与える。

• 等比級数[ ^{20] [21]}は、各項が前の項に定数（この文脈では公比と呼ばれる）を掛けることによって生成される級数です。例：一般に、初項が で公比がである等比級数は、の場合にのみ収束し、その場合には に収束します。$${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2.}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }ar^{n},}$${\textstyle |r|<1}$${\textstyle {a \over 1-r}}$
• 調和級数は級数である^[40] 調和級数は発散する。$${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}$$
• 交代級数とは、項の符号が交互に変わる級数である。^[41]例：交代調和級数、およびライプニッツの公式$${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2),}$$$${\displaystyle -1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}},}$$${\displaystyle \pi .}$
• 伸縮級数[ ^42]は、 数列⁠ ⁠ が⁠ ⁠無限大に向かって進むにつれて極限⁠ ⁠に収束する場合に収束します。この級数の値は⁠ ⁠です。^[43]$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(b_{n}-b_{n+1}\right)}$$ ${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b_{1}-L}$
• 等差幾何級数とは、等差数列の要素と等比数列の対応する要素との積である項を持つ級数です。例:$${\displaystyle 3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.}$$
• ディリクレ級数は ⁠ ⁠に対して収束し⁠ ⁠に対して発散します。これは、収束テストで後述する収束の積分テストで示されます。 ⁠ ⁠の関数として、この級数の和はリーマンのゼータ関数です。^[44]$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$$${\displaystyle p>1}$${\displaystyle p\leq 1}$${\displaystyle p}$
• 超幾何級数とその一般化（基本超幾何級数や楕円超幾何級数など）は、可積分系や数理物理学に頻繁に登場する。^[45]$${\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s})_{n}\;n!}}z^{n}}$$
• 収束がまだ分かっていない/証明されていない基本級数がいくつかあります。たとえば、フリントヒルズ級数が収束するかどうかは分かっていません。収束は、有理数でどれだけよく近似できるかによって決まります（これは現時点では分かっていません）。より具体的には、和への数値的寄与が大きい⁠ ⁠の値は、の連分数収束の分子です。連分数収束の分子は、1、3、22、333、355、103993、... で始まる数列です（OEISの数列A046947 ）。これらは、何らかの整数⁠ ⁠に対して⁠ ⁠に近い整数であるため、 はに近く、その逆数は大きくなります。$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}},}$$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n}$${\displaystyle m\pi }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \sin n}$${\displaystyle \sin m\pi =0}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(4)}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$$

級数の収束を判定する最も簡単なテストの一つは、すべての級数に適用できる消失条件または⁠ ⁠${\displaystyle n}$項テストである。 の場合、級数は発散し、 の場合、テストは決定的ではない。^{[46] [47]}${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

ある級数の項がすべて非負の実数である場合、たとえば、その項が別の実数または複素数の級数の絶対値である場合、部分和の列は非減少である。したがって、非負の項を持つ級数は、部分和の列が有界である場合にのみ収束するため、級数またはその項の絶対値の境界を見つけることは、級数の収束または絶対収束を証明する効果的な方法である。^{[48] [49] [47] [50]}

例えば、級数は収束し、絶対収束する。なぜなら、すべての と に対して、伸縮和の議論は、それらの非負の境界項の級数の部分和自体が2で上方に境界付けられることを意味するからである。 ^[43]この級数の正確な値は である。バーゼル問題を参照。 ${\textstyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots \,}$${\textstyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\textstyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}}$

このタイプの境界設定戦略は、一般的な級数比較テストの基礎となる。最初は一般的な直接比較テストである：^{[51] [52] [47]}任意の級数 について、 が絶対収束する級数で、ある正の実数および十分に大きいについて、 も絶対収束する場合。 が発散し、 十分に大きいすべての について である場合、も絶対収束しません。ただし、たとえばの符号が変化する場合は、条件付きで収束する可能性があります。2 番目は、一般的な極限比較テストである：^{[53] [54]}が絶対収束する級数で、 が十分に大きいについて である場合、も絶対収束しません。が発散し、十分に大きいすべての についてである場合、も絶対収束しません。ただし、 の符号が変化する場合は、条件付きで収束する可能性があります。 ${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum b_{n}}$${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq C\left\vert b_{n}\right\vert }$${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum \left\vert b_{n}\right\vert }$${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \geq \left\vert b_{n}\right\vert }$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\textstyle \sum b_{n}}$${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \leq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum \left|b_{n}\right|}$${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \geq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$

特に等比級数との比較を用いると、 ^{[20] [21]}これら 2 つの一般的な比較テストは、非負の項を持つ級数の収束または一般項を持つ級数の絶対収束に対するさらに 2 つの一般的で一般に有用なテストを意味します。 1 つ目は比テストです: ^{[55] [56] [57]}十分に大きい すべて に対して となる定数が存在する場合、 は絶対収束します。 比が 未満であるが 未満の定数より小さくない場合、収束は可能ですが、このテストでは収束は確立されません。 2 つ目は根テストです: ^{[55] [58] [59]}十分に大きい すべて に対して となる定数が存在する場合、 は絶対収束します。 ${\displaystyle C<1}$${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert <C}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle C<1}$${\displaystyle \textstyle \left\vert a_{n}\right\vert ^{1/n}\leq C}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$

あるいは、特に積分の級数表現との比較を使用すると、積分テストを導出できます。^{[60] [61]が}区間上で定義された正の単調減少関数である場合、すべての に対して  項を持つ級数に対して、積分が有限である場合に限り、収束します。級数の平坦化バージョンとの比較を使用すると、コーシーの凝縮テストが得られます。^{[29] [30]}項のシーケンスが非負かつ非増加である場合、2つの級数とが収束するか、発散するかのいずれかです。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [1,\infty )}$${\displaystyle a_{n}=f(n)}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$${\displaystyle a_{n}}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$

実数または複素数の級数は、収束するが絶対収束しない場合は、 条件付き収束（または半収束）であると言われます。条件付き収束は、絶対収束とは異なる方法でテストされます。

条件付き収束のテストの重要な例の 1 つは、交代級数テストまたはライプニッツ テストです。^{[62] [63] [64]}すべて となる形式の級数は、交代 と呼ばれます。このような級数は、非負数列が単調減少で に収束する 場合に収束します。逆は一般には成り立ちません。このテストの応用の有名な例は、交代級数テストに従って収束する交代調和級数です (その和は に等しい )。ただし、各項の絶対値を取ることによって形成される級数は、発散する通常の調和級数です。^{[65] [66]}${\textstyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$${\displaystyle \ln 2}$

交代級数検定は、より一般的なディリクレ検定の特殊なケースとして考えることができる。^{[67] [68] [69]}がゼロに収束する減少する非負の実数の項の列であり、が有界な部分和を持つ項の列である場合、級数は収束する。 をとると交代級数検定が復元される。 ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (\lambda _{n})}$${\textstyle \sum \lambda _{n}a_{n}}$${\displaystyle \lambda _{n}=(-1)^{n}}$

アーベルの検定は半収束級数を扱うためのもう一つの重要な手法である。 ^{[67] [29]}級数が、、項を含む級数の部分和が有界であり、有界変化を持ち、が存在する形式である場合およびが収束する場合、級数は収束する。 ${\textstyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle s_{b,n}=b_{0}+\cdots +b_{n}}$${\displaystyle \lambda _{n}}$${\displaystyle \lim \lambda _{n}b_{n}}$${\textstyle \sup _{n}|s_{b,n}|<\infty ,}$ ${\textstyle \sum \left|\lambda _{n+1}-\lambda _{n}\right|<\infty ,}$${\displaystyle \lambda _{n}s_{b,n}}$${\textstyle \sum a_{n}}$

特定の種類の級数に対する他の特殊な収束検定としては、フーリエ級数に対するディニ検定^[70]がある。

数値解析（特に検証済み数値解析とコンピュータ支援証明）では、級数の切り捨て誤差の評価が重要です。これは、収束を証明したり、収束率を解析したりするために使用できます。

交代級数テストの条件が によって満たされるとき、正確な誤差評価が存在する。^[71]を与えられた交代級数の部分和に設定する。すると次の不等式が成り立つ。 ${\textstyle S:=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}u_{m}}$${\displaystyle s_{n}}$${\textstyle s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}u_{m}}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle |S-s_{n}|\leq u_{n+1}.}$$

比を用いることで、超幾何級数が切り捨てられたときの誤差項の評価を得ることができる。^[72]

指数行列の場合:

$${\displaystyle \exp(X):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k},\quad X\in \mathbb {C} ^{n\times n},}$$

次の誤差評価が成り立つ（スケーリングと二乗法）：^{[73] [74] [75]}

$${\displaystyle T_{r,s}(X):={\biggl (}\sum _{j=0}^{r}{\frac {1}{j!}}(X/s)^{j}{\biggr )}^{s},\quad {\bigl \|}\exp(X)-T_{r,s}(X){\bigr \|}\leq {\frac {\|X\|^{r+1}}{s^{r}(r+1)!}}\exp(\|X\|).}$$

多くの場合、部分和のシーケンスが収束しないという厳密な意味で収束しない級数に一般化和を割り当てることが望ましいです。 和法とは、級数の和の古典的な概念を体系的に拡張する方法で、発散級数に和を割り当てる方法です。 和法には、次第に発散する級数に適用できる順に、チェザロ和法、一般化チェザロ和法${\displaystyle (C,\alpha )}$、アーベル和法、ボレル和法があります。 これらの方法はすべて、元の項の級数またはその部分和のシーケンスのシーケンス変換に基づいています。 和法の代替ファミリーは、シーケンス変換ではなく 解析接続に基づいています。

可能な総和方法に関するさまざまな一般的な結果が知られています。シルバーマン-テプリッツの定理は、係数のベクトルに無限行列を適用して発散級数を合計する方法である行列総和法を特徴付けます。発散級数を合計する最も一般的な方法は非構成的であり、バナッハ限界に関係します。

実数値または複素数値関数の系列

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$$

が集合⁠ ⁠上の極限に点ごとに収束するとは、級数が⁠ ⁠内の各⁠ ⁠に対して実数または複素数の級数として収束する場合を言う。同様に、部分和 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$

$${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)}$$

⁠ ⁠内の各⁠ ⁠に対して⁠ ⁠ が無限大に近づくにつれて⁠ ⁠${\displaystyle f(x)}$に収束します。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$

関数級数の収束に関するより強い概念は、一様収束です。級数が集合内で一様収束するとは、級数が ⁠ ⁠のあらゆる点で関数⁠ ⁠に点ごとに収束し、これらの点ごとの誤差の最大値が⁠ ⁠番目の部分和で極限を近似する場合です。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \sup _{x\in E}{\bigl |}s_{N}(x)-f(x){\bigr |}}$$

⁠ ⁠の増加とともに、⁠ ${\displaystyle N}$⁠とは無関係にゼロに収束します。 ${\displaystyle x}$

級数が一様収束するのは望ましいことです。なぜなら、級数の項の多くの特性が極限によって保持されるからです。たとえば、連続関数の級数が一様収束する場合、極限関数も連続です。同様に、⁠ ⁠ が${\displaystyle f_{n}}$閉じた有界区間⁠ ⁠上で積分可能であり、一様収束する場合、級数は⁠ ⁠上でも積分可能であり、項ごとに積分できます。一様収束のテストには、ワイエルシュトラスの M テスト、アーベルの一様収束テスト、ディーニのテスト、コーシー基準などがあります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$

関数の級数のより洗練された収束の種類も定義できます。たとえば、測度論では、関数の級数は、測度ゼロの集合を除いて点ごとに収束する場合、ほぼすべての点で収束します。他の収束モードは、検討中の関数の空間上の異なる距離空間構造に依存します。たとえば、関数の級数は、集合⁠ ⁠上の極限関数⁠ ⁠に平均収束する場合、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$

$${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\int _{E}{\bigl |}s_{N}(x)-f(x){\bigr |}^{2}\,dx=0.}$$

べき級数とは、次の形式の級数である。

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}$$

関数の点⁠ ⁠におけるテイラー級数は、多くの場合、 ⁠ ⁠の近傍で関数に収束する冪級数である。例えば、級数 ${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$$

は原点におけるのテイラー級数であり、任意の⁠ ⁠に対してこれに収束します。 ${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle x}$

⁠ ⁠${\displaystyle x=c}$でのみ収束しない限り、そのような級数は、複素平面上の点⁠ ⁠${\displaystyle c}$を中心とする特定の開いた収束円板上で収束し、円板の境界のいくつかの点でも収束することがあります。この円板の半径は収束半径と呼ばれ、原理的には係数⁠ ⁠${\displaystyle a_{n}}$の漸近線から決定できます。収束は、収束円板の内部の閉じた有界な（つまり、コンパクトな）部分集合上で一様です。つまり、コンパクト集合上で一様収束します。

歴史的に、レオンハルト・オイラーなどの数学者は、たとえ収束しないとしても、無限級数を自由に扱ってきました。19 世紀に微積分学が健全で正しい基礎の上に置かれたとき、級数の収束の厳密な証明が常に必要でした。

冪級数の多くの用法は和を指すが、冪級数を形式的な和として扱うことも可能である。つまり、加算演算は実際には実行されず、記号「+」は必ずしも加算に対応すると解釈されない抽象的な連言記号である。この設定では、級数の収束ではなく、係数のシーケンス自体が重要です。形式的な冪級数は、組み合わせ論において、たとえば生成関数の方法を使用して、そうでなければ扱いが難しいシーケンスを記述および研究するために使用されます。ヒルベルト-ポアンカレ級数は、次数付き代数を研究するために使用される形式的な冪級数です。

冪級数の極限を考慮しない場合でも、項が適切な構造をサポートしている場合は、記号「+」を加算に対応するものとして扱い、冪級数の加算、乗算、微分、不定積分などの演算を「形式的に」定義することができます。最も一般的な設定では、項は可換環から来ているため、形式的な冪級数は項ごとに加算し、コーシー積を介して乗算することができます。この場合、形式的な冪級数の代数は、基礎となる項環上の自然数のモノイドの全代数です。 ^[76] 基礎となる項環が微分代数である場合、形式的な冪級数の代数も微分代数であり、微分は項ごとに実行されます。

ローラン級数は、指数が正と負の両方の項を級数に加えることで、冪級数を一般化したものである。ローラン級数とは、以下の形式の級数である。

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$

このような級数が収束する場合、一般には円板ではなく環状部で収束し、場合によってはいくつかの境界点でも収束します。級数は収束環状部の内部のコンパクトな部分集合上で一様に収束します。

ディリクレ級数とは、

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}$$

ここで、⁠ ⁠ は${\displaystyle s}$複素数です。たとえば、すべての⁠ ⁠が${\displaystyle a_{n}}$⁠ ⁠${\displaystyle 1}$に等しい場合、ディリクレ級数はリーマンゼータ関数です。

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

ゼータ関数と同様に、ディリクレ級数は一般に解析的整数論で重要な役割を果たします。一般に、ディリクレ級数は、⁠ ⁠${\displaystyle s}$の実部が収束横座標と呼ばれる数よりも大きい場合に収束します。多くの場合、ディリクレ級数は、解析接続によって収束領域外の解析関数に拡張できます。たとえば、ゼータ関数のディリクレ級数は⁠ ⁠のときに絶対収束しますが、ゼータ関数は ⁠ ⁠に 単純な極を持つ⁠ ⁠で定義された正則関数に拡張できます。 ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$${\displaystyle 1}$

この級数は一般ディリクレ級数に直接一般化できます。

項が三角関数である関数の級数を三角級数と呼びます。

$${\displaystyle A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).}$$

三角級数の最も重要な例は、関数の フーリエ級数です。

漸近級数 は、通常、 漸近展開 と呼ばれ、項が異なる漸近次数の列の関数であり、部分和が漸近極限における他の関数の近似値である無限級数です。一般には収束しませんが、近似値の列として有用であり、それぞれが有限個の項に対して目的の解に近い値を提供します。これらは、摂動論やアルゴリズム の分析において重要なツールです。

漸近級数は、通常の関数の収束級数のように、必ずしも漸近限界から離れたところで望みどおりの答えを正確に生成できるとは限りません。実際、典型的な漸近級数は、有限数の項の後に漸近限界から離れたところで実用的な最善の近似値に達します。項の数が増えると、級数はより精度の低い近似値を生成します。

無限級数は、古代ギリシャの 運動の哲学の現代分析、特にゼノンのパラドックスにおいて重要な役割を果たしている。^[77]アキレスと亀のパラドックスは、連続的な運動には実際には無限の時間的瞬間が必要であることを示しているが、これはおそらく不合理であった。アキレスは亀を追いかけるが、競争の開始時に亀の位置に到達したとき、亀は2番目の位置に到達していた。アキレスがこの2番目の位置に到達したとき、亀は3番目の位置にいる、というように続く。ゼノンは、したがってアキレスが亀に到達することは決してなく、したがって連続的な運動は幻想に違いないと主張したと言われている。ゼノンは競争をそれぞれ有限の時間を必要とする無限の数のサブ競争に分割したため、アキレスが亀を捕まえるのにかかる合計時間は級数で与えられる。このパラドックスの純粋に数学的かつ想像力に富んだ側面の解決法は、級数の項の数は無限であるが、その和は有限であり、アキレスが亀に追いつくのに必要な時間を与えるというものである。しかし、現代の運動哲学では、問題の物理的側面は未解決のままであり、哲学者と物理学者の両方が、ゼノンのように空間運動が無限に分割可能であることを疑っている。量子重力理論における量子力学と一般相対性理論の仮説的調和は、しばしばプランクスケールでの時空の量子化を導入する。^{[78] [79]}

ギリシャの数学者アルキメデスは、今日でも微積分の分野で使用されている方法を用いて、初めて知られている無限級数の和を導き出しました。彼は、無限級数の和を用いて放物線の弧の下の面積を計算するために消尽法を使用し、 ^[5] πの驚くほど正確な近似値を与えました。^{[80] [81]}

ケーララ学派の数学者たちは 1350年頃に無限級数を研究していた。^[82]

17 世紀には、ジェームズ・グレゴリーが新しい十進法で無限級数の研究を行い、いくつかのマクローリン級数を発表しました。1715 年には、テイラー級数が存在するすべての関数に対してテイラー級数を構成する一般的な方法がブルック・テイラーによって提供されました。18世紀には、レオンハルト・オイラーが超幾何級数とq 級数の理論を開発しました。

無限級数の妥当性に関する研究は、 19世紀のガウスから始まったと考えられている。オイラーはすでに超幾何級数を検討していた。

$${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }$$

これについてガウスは 1812 年に回想録を出版しました。この回想録では、収束のより単純な基準と、剰余と収束の範囲に関する問題が確立されました。

コーシー(1821) は、収束の厳密なテストを主張しました。彼は、2 つの級数が収束する場合、それらの積は必ずしも収束するとは限らないことを示し、有効な基準の発見が始まりました。収束と発散という用語は、それよりずっと前にグレゴリー(1668)によって導入されていました。レオンハルト オイラーとガウスはさまざまな基準を示し、コリン マクローリンはコーシーの発見のいくつかを予見していました。コーシーは、そのような形式で 複素関数を展開することにより、冪級数の理論を発展させました。

アベル（1826）は二項級数に関する回想録の中で

$${\displaystyle 1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }$$

コーシーの結論のいくつかを修正し、およびの複素数値に対する級数の完全に科学的な総和を与えた。彼は収束の問題において連続性の問題を考慮する必要性を示した。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$

コーシーの方法は、一般的な基準ではなく特別な基準をもたらしましたが、同じことは、この主題について初めて綿密な調査を行ったラーベ( 1832)、対数検定デュボア・レイモンド(1873) とプリンスハイム(1889) が特定の領域内で失敗することを証明したド・モルガン(1842 年以降) 、ベルトラン(1842)、ボネ (1843)、マルムステン(1846、1847、後者は積分なし)、ストークス(1847)、パウカー(1852)、チェビシェフ(1852)、およびアルント (1853) についても言えます。

一般的な基準はクンマー(1835) によって始まり、アイゼンシュタイン(1847)、関数理論へのさまざまな貢献におけるワイエルシュトラス、ディーニ(1867)、デュボア＝レイモンド (1873) など、多くの人々によって研究されてきました。プリンスハイムの回想録 (1889) は、最も完全な一般理論を提示しています。

一様収束の理論はコーシー (1821) によって扱われ、その限界はアーベルによって指摘されたが、最初にそれにうまく取り組んだのはザイデルとストークス(1847-48) であった。コーシーはアーベルの批判を認めつつ、再びこの問題を取り上げ (1853)、ストークスがすでに見出していた結論と同じ結論に達した。トーマはこの理論を使用した (1866) が、関数の理論の要求にもかかわらず、一様収束と非一様収束を区別することの重要性を認識するのにかなり遅れがあった。

級数が収束するが絶対収束しない場合、その級数は半収束（または条件付き収束）であると言われます。

半収束級数はポアソン (1823) によって研究され、マクローリン公式の剰余の一般形も与えられました。しかし、この問題の最も重要な解決はヤコビ (1834) によるもので、彼は剰余の問題を別の観点から研究し、別の公式に到達しました。この表現はマルムステン( 1847) によっても解明され、別の表現が与えられました。シュレーミルヒ( Zeitschrift、第 1 巻、p. 192、1856) もヤコビの剰余を改良し、剰余とベルヌーイ関数の関係を示しました。

$${\displaystyle F(x)=1^{n}+2^{n}+\cdots +(x-1)^{n}.}$$

ジェノッキ（1852）はこの理論にさらなる貢献をした。

初期の作家の中にはヴロンスキーがいたが、彼の「至高の法」（1815）はケイリー（1873）によって注目されるまでほとんど認知されていなかった。

フーリエ級数は、ガウス、アーベル、コーシーが無限級数の理論を解明していたのと同時期に、物理的考察の結果として研究されていた。正弦と余弦の展開、弧の正弦と余弦の累乗による多重弧の級数は、 ヤコブ・ベルヌーイ(1702) とその兄弟ヨハン・ベルヌーイ(1701) によって扱われており、さらに以前にはヴィエタによって扱われていた。オイラーとラグランジュはこの問題を簡略化し、ポアンソ、シュレーター、グライシャー、クンマーもこれを簡略化した。

フーリエ (1807) は、与えられた関数⁠ ⁠を${\displaystyle x}$⁠ ⁠${\displaystyle x}$の倍数の正弦または余弦で展開するという別の問題を設定し、この問題を彼の著書「波動関数の解析理論」(1822) にまとめました。オイラーは既に級数の係数を決定する公式を与えていましたが、フーリエは一般定理を主張し証明しようとした最初の人物でした。ポアソン(1820–23) も別の観点からこの問題に取り組みました。しかし、フーリエは級数の収束の問題を解決せず、コーシー(1826) が試み、ディリクレ (1829) が完全に科学的な方法で扱うことになりました ( 「フーリエ級数の収束」を参照)。ディリクレの三角級数の扱い方 (クレレ、1829 年 ) は、リーマン (1854 年 )、ハイネ、リプシッツ、シュレーフリ、 デュボア＝レーモンドによる批判と改良の対象となった。三角級数とフーリエ級数の理論に貢献した他の著名な人物としては、ディーニ、エルミート、ハルフェン、クラウゼ、バイアリー、アペルなどがいた。

任意のインデックスセット上の無限和の定義が与えられる場合があります^[83] この一般化により、通常の級数の概念との2つの主な違いが導入されます。第1に、セットに特定の順序が与えられない場合があります。第2に、セットが無数である可能性があります。たとえば、条件付き収束の概念はインデックスセットの順序に依存するため、収束の概念はこれらに対して再検討する必要があります。 ${\displaystyle I.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$

がインデックスセットからセットへの関数である場合、に関連付けられた「シリーズ」は、インデックス要素で示される 要素の正式な合計です。${\displaystyle a:I\mapsto G}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a(x)\in G}$${\displaystyle x\in I}$

$${\displaystyle \sum _{x\in I}a(x).}$$

インデックスセットが自然数の場合、関数は で表されるシーケンスです。自然数でインデックスされたシリーズは順序付けられた形式的な和なので、自然数によって誘導される順序を強調するためにと書き直すことができます。したがって、自然数でインデックスされたシリーズの一般的な表記法が得られます。 ${\displaystyle I=\mathbb {N} ,}$${\displaystyle a:\mathbb {N} \mapsto G}$${\displaystyle a(n)=a_{n}.}$${\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots .}$$

非負の実数の族をインデックス集合にわたって合計する場合、定義する。 ${\displaystyle \left\{a_{i}:i\in I\right\}}$${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup {\biggl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite}}{\biggr \}}\in [0,+\infty ].}$$

上限が有限のとき、となる集合は可算である。実際、任意の に対して、集合の濃度は有限である。 ${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle a_{i}>0}$${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle \left|A_{n}\right|}$${\displaystyle A_{n}=\left\{i\in I:a_{i}>1/n\right\}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\,\left|A_{n}\right|=\sum _{i\in A_{n}}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .}$$

が可算無限で、 と数え上げられる場合、上で定義した合計は以下を満たす。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle I=\left\{i_{0},i_{1},\ldots \right\}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{i_{k}},}$$ ただし、その値はシリーズの合計として許可されます。 ${\displaystyle \infty }$

非負の実数上の任意の和は、非負関数の計数測度に関する積分として理解することができ、これが 2 つの構成間の多くの類似点を説明しています。

を、空でない集合からハウスドルフアーベル位相群への写像（ とも表記）とする。 を、 を有向集合として捉え、を結合として包含関係で順序付けしたのすべての有限部分集合の集合とする 。族は、で表され の和と呼ばれる次の極限が存在するとき、無条件に加算可能であると言われる。${\displaystyle a:I\to X}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X.}$${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I,}$${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}a_{i}}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$${\displaystyle X:}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}:=\lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in A}a_{i}=\lim {\biggl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}{\biggr \}}}$$ 和が有限部分和の極限であると言うことは、の原点の任意の近傍に対して、の有限部分集合が存在し、 ${\displaystyle \textstyle S:=\sum _{i\in I}a_{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle I}$

$${\displaystyle S-\sum _{i\in A}a_{i}\in V\qquad {\text{ for every finite superset}}\;A\supseteq A_{0}.}$$

は完全に順序付けられていないので、これは部分和の列の極限ではなく、むしろ正味の極限である。^{[84] [85]}${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$

における原点のあらゆる近傍に対して、 となるより小さな近傍が存在する。 従って、無条件に加算可能な族の有限部分和はコーシーネットを形成する。つまり、における原点のあらゆる近傍に対して、 となる有限部分集合が存在する。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V-V\subseteq W.}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in A_{1}}a_{i}-\sum _{i\in A_{2}}a_{i}\in W\qquad {\text{ for all finite supersets }}\;A_{1},A_{2}\supseteq A_{0},}$$ これは、任意の に対してが成り立つことを意味します(およびを取ることにより)。 ${\displaystyle a_{i}\in W}$${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$${\displaystyle A_{1}:=A_{0}\cup \{i\}}$${\displaystyle A_{2}:=A_{0}}$

が完備な場合、族はにおいて無条件に合計可能であることと、有限和が後者のコーシーネット条件を満たすことが等しいことが等しい。 が完備でにおいて無条件に合計可能である場合、すべての部分集合に対して、対応する部分族も において無条件に合計可能である。${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle J\subseteq I,}$${\displaystyle \left(a_{j}\right)_{j\in J},}$${\displaystyle X.}$

非負数の族の和が、前述の拡張された意味で有限であるとき、それは位相群の和と一致する。${\displaystyle X=\mathbb {R} .}$

の族が無条件に加算可能である場合、の原点のすべての近傍に対して、にないすべての添字に対してとなる有限部分集合が存在します。 が第 1 可算空間である場合、となる集合は可算であることがわかります。 これは、一般のアーベル位相群では必ずしも真ではありません (以下の例を参照)。 ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A_{0}\subseteq I}$${\displaystyle a_{i}\in W}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{0}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle a_{i}\neq 0}$

ハウスドルフアーベル位相群において 族が無条件に和算可能である場合、その級数は通常の意味で収束し、同じ和を持つと 仮定する。${\displaystyle I=\mathbb {N} .}$${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}.}$$

本質的に、無条件加算可能性の定義は加算の順序に依存しない。が無条件加算可能である場合、指数集合の任意の置換後も級数は収束し、同じ和となる。 ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$$

逆に、級数のあらゆる順列が収束する場合、その級数は無条件収束する。が完備な場合、無条件収束は、すべての部分級数が収束するという事実と同値である。 がバナッハ空間である場合、これは、あらゆる符号の列に対して、級数 が${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon _{n}=\pm 1}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}}$$

収束する${\displaystyle X.}$

が位相ベクトル空間（TVS）であり、が（おそらく無数な）族である場合、この族は、ネットの極限がに存在する場合、合計可能である^[86]。ここで、は包含によって有向されるのすべての有限部分集合の有向集合であり、${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \textstyle \lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}x_{A}}$ ${\displaystyle \left(x_{A}\right)_{A\in \operatorname {Finite} (I)}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\textstyle x_{A}:=\sum _{i\in A}x_{i}.}$

さらに、族上の任意の連続半ノルムに対してが加算可能である場合、それは絶対加算可能であると呼ばれます。 がノルム可能空間であり、 がの絶対加算可能な族である場合、 の可算な集合を除くすべての は必然的に0 です。したがって、ノルム空間では、通常は可算な数の項を持つ級数のみを考慮する必要があります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x_{i}}$

総和可能族は核空間の理論において重要な役割を果たします。

級数の概念は、半ノルム空間の場合に簡単に拡張できます。 がノルム空間の要素の列であり、 である場合、級数はでに収束し、 の級数の部分和の列がでに収束します。つまり、 ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \textstyle \sum x_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\textstyle {\bigl (}\!\!~\sum _{n=0}^{N}x_{n}{\bigr )}_{N=1}^{\infty }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\Biggl \|}x-\sum _{n=0}^{N}x_{n}{\Biggr \|}\to 0\quad {\text{ as }}N\to \infty .}$$

より一般的には、級数の収束は任意のアーベル ハウス ドルフ位相群で定義できます。具体的には、この場合、部分和の列が収束する場合に、級数は収束します。${\displaystyle \textstyle \sum x_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$

が半ノルム空間である場合、絶対収束の概念は次のようになる。内のベクトルの級数は、 ${\displaystyle (X,|\cdot |)}$${\textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|x_{i}\right|<+\infty }$$

その場合、最大で可算な数を除いてすべての値は必然的にゼロになります。 ${\displaystyle \left|x_{i}\right|}$

バナッハ空間内のベクトルの可算級数が絶対収束する場合、それは無条件に収束しますが、その逆は有限次元のバナッハ空間でのみ成立します (Dvoretzky と Rogers (1950) の定理)。

が順序付けられた集合、例えば順序数である場合、条件付き収束級数を考えることができる。 この場合、超限再帰によって定義する。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \alpha _{0}.}$

$${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha +1}\!a_{\beta }=a_{\alpha }+\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }}$$

極限順序数の場合${\displaystyle \alpha ,}$

$${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }=\lim _{\gamma \to \alpha }\,\sum _{\beta <\gamma }a_{\beta }}$$

この制限が存在する場合。それまでのすべての制限が存在する場合、級数は収束します。 ${\displaystyle \alpha _{0},}$

• 関数をアーベル位相群に入れると、サポートがシングルトンであるすべての関数に対して が定義されます。すると、位相では点ごとの収束が起こります(つまり、和は無限積群で取られます)。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle a\in X,}$ $${\displaystyle f_{a}(x)={\begin{cases}0&x\neq a,\\f(a)&x=a,\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \{a\}.}$$${\displaystyle f=\sum _{a\in X}f_{a}}$$${\displaystyle \textstyle Y^{X}}$
• 単位の分割の定義では、任意の添字集合上の関数の和を構築します。形式的には、これには無数級数の和の概念が必要ですが、構築により、任意の に対して、和には有限個の非ゼロ項のみが存在するため、そのような和の収束に関する問題は発生しません。実際には、通常はさらに次のことを想定します。関数の族は局所的に有限です。つまり、任意の に対して、有限個を除くすべての関数が消えるの近傍が存在します。有限和の下で保存される連続性、微分可能性などの の規則性プロパティは、この関数の族の任意の部分集合の和に対して保存されます。${\displaystyle I,}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}\varphi _{i}(x)=1.}$$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi _{i},}$
• 位相 という順序の位相空間として見た最初の非可算 順序数では、によって与えられる定数関数は、有限部分和ではなくすべての可算部分和に対して極限を取る場合にのみ を満たします(言い換えると、1 のコピーは です) 。この空間は分離可能ではありません。${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle f:\left[0,\omega _{1}\right)\to \left[0,\omega _{1}\right]}$${\displaystyle f(\alpha )=1}$$${\displaystyle \sum _{\alpha \in [0,\omega _{1})}\!\!\!f(\alpha )=\omega _{1}}$$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$

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• スピヴァック、マイケル (2008) [1967].微積分学(第4版). ヒューストン、テキサス州: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1。

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